第八章

允收抽樣

2

8.1 概論• 允收抽樣 (acceptance sampling) 係指從送驗批量 ( 群體 ) 中隨機抽取一定大小的樣本進行檢驗；若檢驗結果小於設定的標準，則判定該批產品的品質符合標準，應得以允收；若檢驗結果超過設定的標準，則判定該批產品的品質不符合標準，應得以拒收。

3

一、優點：1. 檢驗次數少，成本少，人力需求少，因此檢

驗成本較經濟。2. 降低檢驗期間搬運之耗損率。3. 加強供應商製程管制的意願。4. 降低檢驗人員因重複性工作所導致之工作疲

勞。5. 提供無法全面檢驗產品之品質評估標準。

4

二、缺點：1. 可能會造成不良品被允收之風險。2. 可能會造成良品被拒收之風險。3. 抽樣計畫之設計需額外耗費時間、人力與成

本。4. 無法確保送驗批量中所有產品之品質及其相

關資訊。

5

• 產品生產批 (lot) 或送驗批必須具相同的形式、等級、類別、成分及外觀等，且在同一環境、人員及設備的條件下所完成之產品，因此送驗產品之特性必須具一致性，即送驗產品必須在相同的製程設備、程序、環境及標準等情況下，所生產完成的產品，使其具有相同的品質特性。

6

8.2 抽樣計畫之形式一、單次抽樣計畫

– 單次抽樣計畫 (single sampling plans) 是由送驗批量中僅隨機抽取一次樣本執行檢驗，以做為判定之標準；若樣本的不良數小於允收數，則判定為允收，反之則判定為拒收。

二、雙次抽樣計畫– 雙次抽樣計畫 (double sampling plans) 是由送驗批量中隨機抽取第一次樣本執行檢驗，以判定其「允收」、「續抽」或「拒收」等三個可能情況，且第一次抽樣之樣本抽後不再放回。若第一次抽樣結果無法判定「允收」或「拒收」，屬「續抽」情形，則執行第二次抽樣檢驗，且第二次抽樣結果必須能判定出「允收」或「拒收」，其抽樣程序，如圖 8.1 所示。

7

8

三、多次抽樣計畫– 多次抽樣計畫 (multiple sampling plans) 之抽樣次數大於 2 ，但不得多於 K 次 ( 一般 3 ≤ K ≤ 7) 。

四、截略抽樣計畫– 截略抽樣計畫 (curtailed sampling plans) 為節省檢驗的工作量及成本。於抽檢驗計畫執行期間，若已檢驗的樣本數小於應檢驗的樣本數 (n) 即可判定拒收時，即停止驗驗。

9

10

五、連鎖抽樣計畫– 連鎖抽樣計畫 (chain sampling plans) 屬連續

型抽樣計畫 (continuing sampling plans) 的一種，當抽樣結果不符允收要求時即停止檢驗。

六、跳批抽樣計畫1. 開始各批均進行 100% 檢驗；2. 連續 i 批均允收；3. 進行跳批抽樣檢驗；4. 跳批抽樣過程中有一批 ( 或二批、三批等，

依雙方議定結果執行 ) 檢驗不合格，判定為拒收時，即重新回到步驟 1 開始後續的檢驗。

11

七、逐次抽樣計畫– 逐次抽樣計畫 (sequential sampling plans) 是依照既定的驗收標準，執行抽樣、檢驗及判定，其作業方式與多次抽樣計畫雷同，惟逐次抽樣計畫沒有限制抽樣次數，可無限制的連續抽樣。

12

8.3 抽樣檢驗之風險一、生產者風險

– 生產者風險 (Producer Risk, PR) 係指生產者品質良好，已達允收水準時，理應予以允收，惟因隨機抽取的樣本中恰好抽到較多的不良品，致該批產品被判為拒收，因此將導致生產者損失。

二、消費者風險– 消費者風險 (Customer Risk, CR) 係指當產品品質相當惡劣，已達拒收水準時，理應予以拒收，惟因隨機抽取的樣本恰好抽到較多的良品，且符合品質規範要求，以致被判為允收，如此將導致消費者損失。

13

8.4 允收品質水準之訂定8.4.1 經驗法

一、缺點等級• 依據檢驗項目之嚴重缺點、主要缺點及次要缺點，分別訂定不同的允收品質水準。

14

二、檢驗項目• 依檢驗項目多寡決定允收品質水準的要求。

15

8.4.2 　損益平衡法• 經由品質成本分析可得其損益平衡點，如下式所示：

外部品質成本內部品質成本損益平損點

16

17

例題 8.2

解

18

8.4.3 　歸納法

19

例題 8.3

解

20

例題 8.3

21

8.5 操作特性曲線• 操作特性曲線 (Operating Characteristic

curve, OC curve) (OC曲線 ) 係指在不同的不良率 (p) 情況下，送驗產品被允收的機率 (Pa) 。一、 A 型 OC曲線

• 當送驗產品係來自有限的群體，或樣本數 (n) 與批量 (N) 之比率 (n/N) ≥ 0.1 時，則二項式分配可以超幾何分配計算其 OC曲線，此 OC曲線稱為 A 型OC曲線。

22

二、 B 型 OC曲線• 當產品係來自批量生產或連續型生產的產品，此類產品批量 (N) 相當大，相對的 (n/N) 相當小，且製程不良率很小時，則二項式分配可以卜氏分配計算其 OC曲線，此 OC曲線稱為 B 型 OC曲線。當N ≥ 10n 時， A 型 OC曲線與 B 型 OC曲線幾乎相同。一般沒有特別提及 A 型 OC曲線，則可視該 OC曲線為 B 型 OC曲線。

• 理想的操作特性曲線於不良率座標軸僅含合格區及不合格區兩部份，如圖 8.3 所示，其中合格區的允收機率為 1 ，不合格區的允收機率為 0 。

23

24

• 若以隨機抽樣方式執行檢驗，則操作特性曲線可分為「合格區」 (p ≤ AQL) 、「未定區」 (AQL < p ≤ LTPD) 及「不合格區」 (p > LTPD) 三大部份，其中「合格區」最大不良率為允收不良率 (p0) ，「不合格區」最小不良率為拒收不良率 (p1) ，不良率 (p) 在 p0 與 p1之間的「未定區」稱為無差異品質水準 (Indifference Quality Level, IQL) 區。

25

一、生產者風險– 允收機率 (pa) = 1 － α ，相對應的允收不良率

(p0) 為允收品質水準 (Acceptable Quality Level, AQL) ，即 p0 = AQL 。

二、消費者風險– 允收機率 (Pa) =β ，相對應的拒收不良率 (p1) 為拒收品質水準 (Lot Tolerance Percentage Defective, LTPD) ，即 p1 = LTPD 。

26

27

8.5.1 　單次抽樣計畫• 單次抽樣計畫之操作特性曲線製作步驟如下：

1. 假設送驗批量的不良率 (p) ；2. 預估不良數平均數 (λ) = np ；3. A 型 OC曲線：以超幾何分配分別計算各允收數 (c = 0,

　　 1,…, c － 1, c) 的允收機率，並以其累積 允收機率當作該不良率之允收機率 (Pa)

4. B 型 OC曲線：以卜氏分配表查出各組 (np, d)≤ 允收數 量 (c ＝ 0,1, …, c － 1, c) 的累積允收機率 (Pa) ；以 p 與 Pa繪製 OC曲線。

5. 其他不良率可以內差方式求得。

28

例題 8.4

解

29

例題 8.4

30

8.5.2 雙次抽樣計畫• 雙次抽樣計畫之操作特性曲線必須繪製兩

條 OC曲線，第一條 OC曲線代表第一次抽樣的允收機率；第二條 OC曲線代表第一次抽樣與第二次抽樣兩次合併的允收機率。

31

8.5.2 雙次抽樣計畫• 雙次抽樣計畫之操作特性曲線繪製程序如

下 ( 以圖 8.6 為例 ) ：1. 假設送驗產品之不良率 (p) ；2. 比照單次抽樣計畫之操作特性曲線製作步驟，

計算第一次抽樣之允收機率 (Pa)

(Pa)I ＝ (Pa(≤ c1))I，其中 I表第一次抽樣， (Pa)I

為第一次允收機率

32

33

34

35

例題 8.5

解

36

例題 8.5

37

例題 8.5

38

例題 8.5

39

例題 8.5

40

例題 8.5

41

例題 8.5

42

例題 8.5

43

例題 8.5

44

例題 8.5

45

例題 8.5

46

例題 8.5

47

例題 8.5

48

8.6 操作特性曲線之特性

49

• OC曲線的品質保證特性：1. 於送驗批量中隨機抽取相同比例的樣本數，

即 n/N 為固定比率值，且允收數 (c) 為固定值，則 OC曲線對不同 n 的比率值有很大的差異性，即同一允收機率情況下 n愈小，被允收的機率 (Pa)愈大；反之，被允收的機率 (Pa)愈小。因此當指定不良率 (p) 時，抽樣的樣本數愈多，被允收的機率愈小。由 OC曲線的變化知，允收機率 (Pa) 與 n/N 之關係，屬非線性關係，因此抽樣檢驗不宜採用百分比的觀念訂定樣本數 (n) 。

50

2. 於不同數量的送驗批量 (N) 情況下，抽取相同數量的樣本數 (n) 及固定允收數 (c) 時，其 OC曲線對品質保證之差異不大，此類型OC曲線適用於歸準型抽樣計畫。

3. 於送驗批量 (N) 及允收數 (c) 固定不變的情況下，當抽樣的樣本數 (n) 愈大時， OC曲線將變得愈陡峭，即允收機率 (Pa)愈小。當樣本數 (n) 愈大時，其 α值愈大 ( 允收機率愈小 ) ， β值愈小 ( 不良率愈小 ) ；反之，其 α值愈小 ( 允收機率愈大 ) ， β值愈大 ( 不良率愈大 ) 。此類型 OC曲線適用於大多數的抽樣計畫。

51

4. 當送驗批量 (N) 及抽樣樣本數 (n) 不變的情況下，允收數 (c) 愈少時， OC曲線會變得愈陡峭，即允收機率 (Pa)愈小。當允收數 (c) 愈大時，其 α值愈小 ( 允收機率愈大 ) ， β值愈大 ( 不良率愈大 ) ；反之，其 α值愈大 ( 允收機率愈小 ) ， β值愈小 ( 不良率愈小 ) 。

52

8.7 平均出廠品質• 平均出廠品質 (Average Outgoing Quality, AOQ)

係指產品經由廠方執行選別型檢驗 (screening inspection) 後再將產品送出廠，藉由長期檢驗的結果，可瞭解產品品質特性之平均出廠不良率，即為平均出廠品質。

• 若產品批量為 N ，其製程不良率為 p ，允收機率為 Pa，由批量中隨機抽取 n 個樣本執行選別型檢驗，其可能發生的結果與處置方式為： 1. 拒收：進行 100% 檢驗，並將所有不良品以良品替換。

因此，該批不良品數 = 0 。不良率 ( ) = 0p

53

2.允收：以良品替換樣本中之不良品。該批未檢驗部份仍有不良品數 = p×(N － n) 。當允收機率為 Pa時，該批被允收時的不良品數量為：Pa×p×(N － n) ，不良率 ( ) 為：

　經選別型檢驗後，該批產品之不良率，即為出廠品質 (Outgoing Quality, OQ) ：

p

54

• 若有 K 批產品，每一批量為 N ，不良率為 p ，允收機率為 Pa ， K 批之總數量為 KN 。經選別型檢驗後，於拒收時其不良率 ( ) = 0 ；於允收時其不良數為： K×Pa×p×(N － n) 。 K 批之允收不良率 ( ) = K×Pa×p×(N － n)/ KN 。每批的平均出廠品質 (AOQ) 為：

• 平均出廠品質極限 (Average Outgoing Quality Limit, AOQL) 為 AOQ-p曲線中最高點，即 AOQ的最大值。

pp

55

例題 8.7

解

56

例題 8.7

57

例題 8.7

58

59

8.8 平均樣本數• 平均樣本數 (Average Sample Number,

ASN) 係指於抽樣計畫中規劃不同的允收、續抽或拒收標準時，平均每一送驗批所需檢驗的樣本大小。

60

• 雙次抽樣計畫之平均樣本大小係決定於是否需執行第二次抽樣，然第二次抽樣樣本大小又與送驗批的不良率有關。因此，若需執行第二抽樣情況下，雙次抽樣計畫之平均樣本數 (ASN) 之計算方式如下：

61

• 因此，平均樣本數 (ASN) 為上述兩種情況之累加：

62

例題 8.8

解

63

例題 8.8

64

例題 8.8

65

8.9 平均總檢驗數• 平均總檢驗數 (Average Total Inspection, ATI)

是在選別型抽樣計畫下，每批產品之平均檢驗數量。

• 若每批產品數量為 N ，其不良率為 p ，允收機率為 Pa，由批量中隨機抽取 n 個樣本執行選別型檢驗。其檢驗結果可能被判定為允收或拒收：1. 允收：檢驗樣本數 = n 。2. 拒收：需執行 100% 檢驗，其發生之機率為 1 － Pa，

拒收時除檢驗已抽取的 n 個樣本數外，尚需檢驗產品的數量為 (1 － Pa) ×(N － n) 。

66

• 若有 K 批產品送驗，則總檢驗數量＝ K×n＋ K×(1 － Pa)×(N － n) ，則每一批平均總檢驗數量 (ATI) 為：

67

• 單次抽樣計畫與雙次抽樣計畫之平均總檢驗數為：一、單次抽樣計畫

ATI ＝ n ＋ (1 － Pa) ×(N － n)

• 若送驗批不良率 p = 0 ，則允收機率 (Pa) = 1 ， 1 －Pa = 0 ，即 ATI = n ；若送驗不良率 p = 100% ，則允收機率為 (Pa) = 0 ， ATI = N 。

68

二、雙次抽樣計畫

ATI ＝ n1 ＋ (N － n) ×(Pr)I ＋ n2×[1 － (Pa)I －(Pr)I] ＋ (N － n1 － n2) ×(Pr)II

　其中 (Pa)I = 第一次抽樣之允收機率；　　　 (Pr)I = 第一次抽樣之拒收機率；　　　 (PI)I =1 － (Pa)I － (Pr)I= 第一次抽樣之續抽機率；　　　 (Pr)II = 第二次抽樣拒收機率。

69

例題 8.11

解

70

例題 8.11

71

例題 8.11

72

例題 8.12

解

73

例題 8.12

74

8.10 計數值抽樣計畫之設計8.10.1 單點式抽樣計畫• 單點式抽樣計畫僅滿足消費者風險或生產者風險。滿足消費者風險的 OC曲線必須通過 (Pa(β), p1) 點，如圖 8.18 所示；滿足生產者風險的 OC曲線必須通過 (Pa(α), p0) 點如圖 8.21 所示。

75

76

一、滿足消費者風險1. 確定滿足消費者風險 (β) 時之 (Pa(β), p1) 及

生產者風險 (α) ；2. 假設不同的允收數 (c) ；3. 依據允收機率 (Pa(β)) 及假設的允收數 (c) ，

即可以卜氏機率分配表 ( 或表 8.20) ，查出np =np(β)值；

77

4. 當送驗批量不良率 (p) 已知時，則樣本數 (n) 可以卜氏機率分配表 ( 或表 8.20) ，查出之np(β)值，除以該允收機率 (Pa(β)) 之相對應的不良率 (p1) ：

5. 在滿足消費者風險 (β) 之允收機率 (Pa(β)) 及其不良率 (p1) 的情況下，同時又符合生產者風險(α) 之允收機率 (Pa(α)=1 － α) 時，則可以 Pa(α) 之允收機率及允收數 (c) ，查卜氏機率分配表 ( 或表 8.20) ，得出 np = np(α)值；

78

6. 在先滿足消費者風險 (Pa(β), p1) ，再滿足生產者風險之允收機率 (Pa(α)) 情況下，其不良率 (p0) 係以卜氏機率分配表 ( 或表 8.19) 查出之 np = np(α) 值，除以樣本數 (n) ：

79

例題 8.13

解

80

例題 8.13

81

例題 8.13

82

例題 8.13

83

例題 8.13

84

例題 8.13

85

二、滿足生產者風險1. 確定滿足生產者風險 (α) 時之 (Pa(α), p0) 及

消費者風險之允收機率 (Pa(β)) ；2. 假設不同的允收數 (c) ；3. 依據滿足生產者風險 (α) 的允收機率 (Pa(α))

及假設的允收數 (c) ，查卜氏機率分配表 ( 或表 8.20) ，得出 np = np(α) 值；

86

4. 滿足允收數 (c) 及生產者風險 (α) 之允收機率 (Pa(α)) 情況下，由卜氏機率分配表 ( 或表8.20) 查出 np(α)值。其樣本數 (n) 為：

4. 滿足生產者風險 (α) 之允收機率 (Pa(α)) 及其不良率 (p0) ，同時又符合消費者風險 (β) 之允收機率 (Pa(β)) 時，可以允收機率 Pa(β)及允收數 (c) ，查卜氏機率分配表 ( 或表8.20) ，得出 np(β)值；

87

6. 由卜氏機率分配表 ( 或表 8.20) 查出的 np(β)值及滿足生產者風險之抽樣樣本數 (n) ，即可計算其拒收不良率 (p1) ：

88

例題 8.14

解

89

例題 8.14

90

例題 8.14

91

例題 8.14

92

例題 8.14

93

8.10.2 兩點式抽樣計畫• 若要同時滿足生產者風險及消費者風險時，

必須通過 (Pa(α), p0) 及 (Pa(β), p1) 兩點，如圖 8.23 所示，此抽樣計畫稱為兩點式抽樣計畫 (two-point sampling plans) 或稱規準型抽樣計畫。1. 於完全滿足消費者風險情況下，盡可能接近

生產者的風險。2. 於完全滿足生產者風險情況下，盡可能接近

消費者的風險。

94

95

例題 8.15

解

96

例題 8.15

97

8.10.3 　選別型抽樣計畫• 選別型檢驗係當送驗批被判定為拒收時，需執行 100% 檢驗，並挑出不良品以良品替換；當送驗批被判定為允收時，僅需將樣本中之不良品以良品更換。選別型抽樣計畫係使經由選別型檢驗之產品其平均總檢驗數量 (ATI) 最小，以降低檢驗成本。

98

99

100

101

8.10.4 連續型抽樣計畫• 連續型抽樣計畫屬 AOQL 型抽樣計畫可保證產品的平均出廠品質，其決定產品品質的因素為：平均出廠品質極限 (AOQL) 、檢驗間隔數 (clearance number) (i) 及抽樣頻率 (sampling frequency) (f) ，

102

一、平均篩檢數量– 當執行篩檢階段發現一個不良品後連續檢驗 i個良品的機率為 p×qi。發現一個不良品後維持篩檢的條件機率 (p) 為：

– 發現一個不良品後仍維持篩檢的數量

103

二、平均檢驗頻率– 當執行抽樣頻率為 f 之抽樣檢驗階段，發現一個不良品的機率為 p ，因此在該不良品出現前平均已檢驗數量 (v) ＝ 1/(f×p) 。於篩檢階段通過檢驗的樣本數為 u ；於抽樣檢驗階段通過檢驗的樣本數為 v×f ，因此平均檢驗頻率為：

104

三、平均出廠品質– 於檢驗期間發現不良品時即以良品更換，因此檢驗過的產品均為良品，其不良率為 0 。將未檢驗的平均檢驗頻率 (1 － F)乘以不良率 (p) ，即為平均出廠品質。

AOQ ＝ p×(1 － F)

105

例題 8.19

解

106

例題 8.20

解

107

例題 8.20

108

8.10.5 逐次抽樣計畫

109

• 允收線 (d0) 與拒收線 (d1) 之計算可以下式表之：d0＝－ h0 ＋ s×n

d1 ＝ h1 ＋ s×n

• 其中

• 由 d0 及 d1繪製逐次抽樣計畫管制範圍，如圖 8.27所示。

110

• 其中 d0 及 d1為整數，取大於 d1的最接近整數當作拒收數，取小於 d0的最接近整數當作允收數。

111

例題 8.21

解

112

例題 8.21

113

例題 8.21

114

例題 8.21

115

8.11 計量值抽樣計畫之設計8.11.1 保證送驗批平均數之抽樣計畫

一、管制單邊規格下限• 若產品製程變異已知，僅管制規格下限時，其抽樣計畫為 (n, ) ，其中 為樣本平均數管制下限，其允收機率 (1 － α) 及拒收機率 (α) 之分布；及當製程平均數由 μ0 偏移至 μ1時，其允收機率 (β) 及拒收機率 (1 － β) 之分布，如圖 8.29 所示。

LXLX

116

117

118

119

例題 8.22

解

120

例題 8.22

121

例題 8.22

122

例題 8.22

123

二、管制單邊規格上限• 已知製程變異，單邊規格管制上界之抽樣計畫為：

124

例題 8.23

解

125

三、管制雙邊規格界限• 已知變異性，雙邊規格之抽樣計畫為：

126

127

128

129

130

例題 8.25

解

131

例題 8.25

132

8.11.2 保證送驗批不良率 K值法

133

134

例題 8.26

解

135

8.11.3 保證送驗批不良率 M值法• 當製程標準差已知，以樣本標準常態分配 Z值推估群體變異時其統計量為：

• 其推估批量不良率 ( ) ，如圖 8.34 所示。

p̂

136

• 當 ，允收時，其最大允收不良率 (M) 為：

• 其判定方式如下：

KσUSLX

137

138

139

140

例題 8.27

解