線形方程式
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1 線線線線線 線線 線 線線線 １２２２
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線形方程式. １２月２２日発表. 今回のテーマ. 正定値対称行列について コレスキー法 反復法について ヤコビ法 ガウス・ザイデル法 SOR 法. １．正値対称行列. A が実対称行列で，任意の に対して をみたすとき 正定値 という．. も正値対称行列である．. なぜなら，. したがって，いま行列 が正定値でないと仮定すると. - PowerPoint PPT Presentation
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線形方程式
１２月２２日発表
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今回のテーマ
正定値対称行列について コレスキー法
反復法について ヤコビ法 ガウス・ザイデル法 SOR 法
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１．正値対称行列
A が実対称行列で，任意の に対して をみたすとき正定値という．
0X0
1,
n
jijiij
T xxaAXX
も正値対称行列である．
)(ksA
なぜなら，
)( )()( kij
ks aA )( , njik
ji
n
kji
kjkk
kk
kkik
ijji
n
kji
kij xxa
a
aaxxa
,
)1(,1)1(
1,1
)1(1,)1(
,
)( )(
2
)1(1,1
)1(1,
1)1(
1,11,
)1(
n
kiik
kk
kki
kkkkji
n
kji
kij x
a
aaxxa x
4
したがって，いま行列 が正定値でないと仮定すると
)( )()( kij
ks aA
n
kiik
kk
kki
k xa
ax 0
)1(1,1
)1(1,
1
を満たす をとれば もまた正定値でないことになる． この論法を続ければ結局 が正定値でないことになって矛盾する．
したがって， は正定値である．
1kx)1( k
sA
)1(AA
nkksA ,,2,1,)(
5
•コレスキー法
A が対称行列のならば と分解できた． A が正定値ならば に を代入して がわかる．
TLDLAXAX k
sT )( Tnkk
T xxxX 1001 0)( k
kka
)(
)2(22
)1(11
2/1
nnna
a
a
D
とおき とおくと
TLDS 2/1 SSLDLDA TT 2/12/1
これをコレスキー分解という．
6
S は右上三角行列で
nn
n
n
s
ss
sss
S
222
11211
とすると， は成分表示で
ASST )(221 jiassssss ijijiijiiji となり，これから次の関係式が得られる．
1
1
2i
kkiiiii sas
ii
i
kkjkiijij sas ss /)(
1
1
)( 1111 as
)( 1111 sjj as
この式によって を出発値として の順に S の成分を求めることができる．S が求められれば も求まり によって の解が得られる．
1111 as Ts
ysxbysT , bAx
これをコレスキー法という．
7
２．反復法
方程式 をそれと同値な なる形に変形し，初期値 から出発して逐次代入 を行って解を求める方法が反復法である．
与えられた行列 A を， 対角成分のみから成る対角行列 D ，左下三角行列 E ，および右上三角行列 F ，の和に分解しておく．
nna
a
a
D
22
11
cMxxx )(
0
0
0
0
223
11312
n
n
aa
aaa
F
bAx
0
0
0
0
21
3231
21
nn aa
aa
a
E
0x
A=D + E + F
)( )()1( kk xx
8
)(11
)(22
)(11
1)1(
)(2
)(323
)(1212
122
)1(2
)(1
)(313
)(2121
111
)1(1
(
(
(
knnn
kn
knnnn
kn
knn
kkk
knn
kkk
xaxaxabax
xaxaxabax
xaxaxabax
・ヤコビ法 非対角成分に相当する項をすべて右辺に移項し
た次の形において反復を行う方法をヤコビ法という．
)(1)1( )( kk xFEbDx
bDxFEDx kk 1)(1)1( )(
行列で表すと
すなわち
9
nxxx ,,, 21 ・ガウス・ザイデル法ヤコビ法においてすべての量 に各
段階で得られている最新のデータを代入するようにしたものが ガウス・ザイデル法である．
第１行目は は同じ 第２行目は においてヤコビ法の計算の を で計算済みなので に変える．
)1(1
kx)1(
2kx
)(121kxa
)1(1
kx )1(121
kxa
)( )()1(1)1( kkk FxExbDx
bEDFxEDx kk 1)(1)1( )()(
)()(
11)1(
11)1(
111)1( ( k
njnk
jjjk
jjjk
jjjjk
j xaxaxaxabax
行列で表すと
すなわち
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・ SOR 法（加速緩和法）
ガウス・ザイデル法において各段階で計算された値 を 次の段でそのまま採用せずに，ガウス・ザイデル法で本来修正される量 に加速パラメータ を乗じてこの修正量を拡大し，これを前段で得られている近似値に加えるのが SOR 法である．
)(
(
)()1()()(
)()(11
)1(11
)1(11
1)1(
kj
kkj
kj
knjn
kjjj
kjjj
kjjjj
kj
xxx
xaxaxaxaba
)1( kjx
)()1( kj
kj xx )1(
11
行列で表すと
)(
)(
)()1()()1(
)()1(1)1(
kkkk
kkk
xxx
FxExbD
この２式から を消去すれば次の式を得る)1( k
bEDxFDIEDIx kk 1)(111)1( )()1()(
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•反復行列これらの三種類の反復法はいずれも
NbMxxx kkk )()()1( )(
の形に表現されている．行列 M を反復行列という． 各反復法における反復行列は次のようになっている
ヤコビ法ガウス・ザイデル法SOR 法
)(1 FEDM j
FEDMG1)(
})1{()( 111 FDIEDIM
