Векторы

Петрова С.А., учитель математики МООУ санаторной школы-интерната № 6 г. Ярославля

2012 г

Понятие вектора

Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

Понятие вектора

В данном случае началом отрезка является точка А, концом отрезка – точка В. Сам вектор обозначен через .

А

ВАВ

Понятие вектора

Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. 

А

ВВА

Обозначения

Векторы записываются двумя большими латинскими буквами , , …Первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

Обозначения

Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:,,

Свойства векторов

Векторы бывают:

o Ортогональными (перпендикулярными)

o Коллинеарными (параллельными)o противоположно направлеными

o сонаправленнымиo Равными

o Коллинеарными (параллельными)

Модуль вектора

Длиной или модулем ненулевого вектора  называется длина отрезка АВ. Длина нулевого вектора  равна нулю.

Модуль вектора

Для обозначения длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля

Действия с векторами

Суммойдвух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора, а конец – в конце вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .

сложение векторов по правилу треугольников

В соответствии с определением слагаемые и их сумма образуют треугольник. Поэтому данное правило сложения двух векторов называют «правилом треугольника».

Действия с векторами

если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов

Действия с векторамисложение векторов по правилу параллелограмма

𝑎

𝑏

Произведение вектора на число

•  

-а

=

Координаты вектора

Единичным вектором или ортом называется вектор, длина которого равна единице и который направлен вдоль какой-либо координатной оси.

Единичный вектор, направленный вдоль оси x, обозначается .Единичный вектор, направленный вдоль оси y, обозначается .

Координаты вектора

x

y

O -i

-j1

1

Любой вектор a можно разложить по координатным векторам:Коэффициенты разложения определяются единственным образом и называются координатами вектора  в данной системе координат.

Координаты вектора

Скалярное произведение

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если один из векторов нулевой скалярное произведение считается равным нулю. 

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов и обозначается через или ; или