函数的极值与导数

苏州市东山中学

已知函数 f(x)=2x3-6x2+7

(1) 求 f(x) 的单调区间 , 并画出其图象 ;

【复习与思考】

(2) 函数 f(x) 在 x=0 和 x=2 处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系 ?

设函数 y=f(x) 在 x=x0 及其附近有定义，(1) 如果在 x=x0 处的函数值比它附近所有各点的函数值都大，即 f(x)<f(x0), 则称 f(x0) 是函数y=f(x) 的一个极大值 . 记作 :y 极大值 =f(x0)

【函数极值的定义】

(2) 如果在 x=x0 处的函数值比它附近所有各点的函数值都小，即 f(x)>f(x0), 则称 f(x0) 是函数y=f(x) 的一个极小值 . 记作 :y 极小值 =f(x0)

极大值与极小值统称为极值 ,x0 叫做函数的极值点 .

y

a bx1 x2 x3 x4

)( 1xf)( 4xf

O x

)( 2xf

)( 3xf

观察上述图象 ,试指出该函数的极值点与极值 ,并说出哪些是极大值点 ,哪些是极小值点 .

(1) 极值是一个局部概念 , 反映了函数在某一点附近的大小情况 ;

(2) 极值点是自变量的值，极值指的是函数值 ;

(3) 函数的极大 ( 小 ) 值可能不止一个 , 而且函数的极大值未必大于极小值 ;

【关于极值概念的几点说明】

(4) 函数的极值点一定在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而函数的最值既可能在区间的内部取得，也可能在区间的端点取得。

【问题探究】 函数 y=f(x) 在极值点的导数值为多少 ?在极值点附近的导数符号有什么规律 ?

y

a bx1 x2 x3 x4

)( 1xf)( 4xf

O x

)( 2xf

)( 3xf

(1) 如果 f /(x0)=0, 并且在 x0 附近的左侧 f /(x0)>

0

右侧 f /(x0)<0, 那么 f(x0) 是极大值

【函数的极值与导数的关系】

(2) 如果 f /(x0)=0, 并且在 x0 附近的左侧 f /(x0)<

0

右侧 f /(x0)>0, 那么 f(x0) 是极小值

（ 1 ） 求导数 f/(x) ；（ 2 ） 解方程 f/(x)=0（ 3 ） 通过列表检查 f/(x) 在方程 f/(x)=0 的根的左右两侧的符号，进而确定函数的极值点与极值 .

【求函数极值的步骤】

例题 : 求函数

的极值 .

443

1 3 xxy

【课堂练习】课本 P31

例 2:求函数 的极值 .1)1( 32 xy

【思考交流】导数值为 0 的点一定是函数的极值点吗 ?

对于可导函数而言 , 其极值点一定是导数为 0 的点 , 反之导数为 0 的点不一定是函数的极值点 . 因此 : 导数值为 0 的点是该点为极值点的必要非充分条件 .