函数法 根据所给不等式的特征，利用函数的性质 及函数图象来证明不等式成立的方法，称 之为函数法。

荆州师范学院 张军涛

教学目标重点掌握函数 的单调性 , 三角

函数的有界性等 .

01

xx

xy

通过数形结合 , 培养学生思维能力 , 提高逻辑

能正确证明有关不等式 .

推理能力 .

例 1 ：求函数 的最小值。4

52

2

x

xy

分析：请思考下面解法对否？

4

14

4

14

4

52

2

2

2

2

2

xx

x

x

x

xy

24

142

2

2

x

x ∴函数的最小值是 2 。

上面的解 法是错误的‘此时“ =” 不能达到，因为当

.34

14 2

2

2

xx

x 故取等号时的 x 值不存在。

思考 1 、函数 在 0 ＜ x≤1, x ＞ 1 时的单调性。 x

xy1

设 0<x1<x2≤1 y2 － y1=

1212

11

22

11

11

xxxx

xx

xx

y2 － y1 ＞ 0

＜ 0

1<x1<x2

2 、函数 ,(a>0) 在 时的单调性。x

axy axax ,0

xo

y

ax

y

o 1

2

tty

1解：令 则有tx 42 （ t≥2 ）

x

根据函数 当 t≥2 是增区间

∴ ymin=

2

5t

ty1

例 1 ：求函数 的最小值

4

52

2

x

xy

1 2o

y

2

5

．1 2o

y

2

5

．x

例 2 ：已知 求证： 32

1 22 yxyx

x

y

o1 2--12

解：

r ·(x,y)

设： cosrx sinry 2,0

222

2222

sinsincos

cos

rr

ryxyx

2sin

2

112r

∵x2+y2=r2 1≤r∴ 2≤2

32

1 22 yxyx2

32sin1

2

1 1≤r2≤2

思考如果 x+y=1, x+2y=1,x2+y2=3 ，为条件如何设三角函数？

21 22 yx

例 3 ：求证： 112 xx

解：设

4

5

2

11

4

5

2

11

12

2

22

2

xxx

xxx

xxy

1x

1x

·· · ·

·

·

1-1 x

y

o2

12

1

-1

利用函数图象可得 y≥-1

112 xx

思考： 如何求证：

123 xx

【巩固练习】1 、当 x R∈ + 时 , 下列函数中最小值是 2 的为

(A)y=x2 － 2x+4 (B) x

xy16

2

12

2

2

xxy(C) (D)

xxy

1

（ ）

D

2 、设 0x ，x

xysin

2sin 求 的最小值。

解：设 t=sinx 则

tt y

2

（ 0<t≤1)

tty

2 在 0<t≤ 2 是减区间 ∴ 当 t=1

时 ymin=3

3 、若 a>b>1, 则 aa

1

bb

1

4 、若 x2+y2=1, 可设 x= y= , ≤x+y≤

4sin2sincos

yx 22 yx

5 、 求证： 121 xx

证明：设 xxy 21

=－ 2x+3 (x≤1)1 (1<x≤2)2x － 3 (x>2)

>

cos sin

2 2

1

1 2 x

y

o

【能力训练】

6 、设 x2+y2=1, 求 (1+xy)(1 － xy) 的最大值 , 最小值 .

7 、设 x2+xy+y2=3, 求证： 2≤x2+y2≤6

设： x=cosA, y=sinA

∴(1+xy)(1 － xy)

=(1+cosAsinA)(1 － cosAsinA)=1 － sin2Acos2A

A2sin4

11 2 111

4

3 xyxy

证明：设 x=rcosB y=rsinB r∴ 2=x2+y2

∵x2+xy+y2=r(cos2B+sin2B+sinBcosB)

32sin2

112

Br

Br

2sin2

11

32

∴2≤r2≤6

课堂总结1 、用函数 0 a

x

axy 可求两个正数的最小值。

但必须判断 自变量所在的区间的增减性。

2 、对于有 x+y=1,x2+y2=r2,a≤x2+y2≤b, 条件的不等式的

证明可设 x=cos2A y=sin2A ， x=rcosB y=rsinB 等。

3 、通过函数图象，可直接求证含绝对值及难以推理

的不等式。

思考：求证：2

3

1

1

2

12

2

x

xx

证明：设1

12

2

x

xxy 则（ 1 － y)x2+x+1 － y=0

当 y=1 时， x=0 ①当 y≠1 时，∵ x R =1∈ ∴△ － 4 （ 1 － y) 2 ≥0 4y2 － 8y+3≤0 ②

2

3

2

1 y由①②得

2

3

1

1

2

12

2

x

xx

点评：⑴求证分式不等式，若分子分母的变量指数 最高为二次时，宜用二次函数“△”法。 ⑵当 x2 项系数不定时必须讨论系数是 0 与不是 0 两种情况。