方差分析

analysis of variance ANOVA

2012 年硕士研究生《医学统计学》

第三节

随机区组设计资料的方差分析

一、随机区组设计——配伍组设计 (randomized block design)

先按影响实验结果的非处理因素（如性别、体重、年龄、职业、病情、病程等）将受试对象配成若干个区组，再分别将各区组内的受试对象随机分配到各处理或对照组。

1. 随机化分组方法

区组（单位组）：按照需要控制的混杂因素（影响实验结果的非处理因素）水平相同或相似的原则，将实验单位组合而成。

每个区组内各实验单位的处理类型遵循完全随机化原则分配。目的是减少实验误差，节省样本例数，提高实验效率。

分组步骤：（ 1）实验单位编号，根据影响实验结果的非处理因素配成区组

（单位组，对） ;

（ 2）取随机数；（ 3）区组内随机数排序 ;

（ 4）根据区组内随机数序号决定处理类型。

1. 将 15 只小白鼠按体重从轻到重编号， 体重相近的 3 只小白鼠配成一个区组，共形成 5 个区组

2. 为每个小白鼠取一个 2 位数随机数3. 每个区组内的 3 个随机数排序4. 区组内随机数最小者分入甲组，中等者分入乙

组，最大者分入丙组

例 4-4 ：比较三种抗癌药物的抑瘤效果，按小白鼠的体重配成 5 个区组，每个区组内的 3 只小白鼠随机接受 3 种药物。

15 只小白鼠区组随机分组结果区组号 1 2 3

编 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9

随机数 68 35 26 00 99 53 93 61 28

序 号 3 2 1 1 3 2 3 2 1

分组结果 丙 乙 甲 甲 丙 乙 丙 乙 甲

区组号 4 5

小白鼠 10 11 12 13 14 15

随机数 52 70 05 48 34 56

序 号 2 3 1 2 1 3

分组结果 乙 丙 甲 乙 甲 丙

分组的均衡性比较（ N=15， b=5， k=3）单位组

干预 3 3 4 4

1 1

10 10 2 2

5 5

6 6

7 7

13 13 8 8

9 9

11 11

12 12 14 14

15 15

甲

乙

丙

2. 随机区组设计的特点

随机化分组要重复多次，重复次数为区组的个数，每次随机分配都对同一个区组内的受试对象进行。 各个处理组受试对象数量相同，等于区组的个数。

各个区组的受试对象数量相同，等于处理组的个数。

3. 随机区组设计统计方法选择

1. 正态分布且方差齐同，采用随机区组设计方差分析 (two-way ANOVA) 或配对 t

检验（ g=2 ）；

2. 不满足方差分析和 t 检验条件时，数据变换或采用随机区组设计资料的 Friedman

M 检验（非参数方法）。

处理因素(g个水平) 区组 编号 1 2 3 … g

1 X11 X21 X31 … Xg1

2 X12 X22 X32 … Xg2

…

…

…

…

…

…

j X1j X2j X3j … Xgj

…

…

…

…

…

…

n 1nX 2nX 3nX … gnX

随机区组设计的试验结果

二、变异分解

通过配伍控制了一个重要的非处理因素的影响

总变异：包括所有来源的变异处理组间变异：随机误差和处理效应配伍组间变异：随机误差和某非处理（区组）因素的作用误差变异：完全由随机误差产生

变异来源 自由度 SS MS F

总变异 N－1 2

1 1

g n

iji j

X C

处理间 g－1 2

1 1

1( )

g n

iji jn

X C

SS

处理

处理

MS

MS处理

误差

区组间 n－1 2

1 1

1( )gn

ijj ig

X C

SS

区组

区组

MS

MS区组

误差

误 差 （n－1）（g－1） SS 总-SS 处理-SS 区组 SS

误差

误差

随机区组设计资料方差分析表

三、分析步骤

例 4-4 采用随机区组设计实验，比较三 种 抗 癌 药 物 对 小 白 鼠 肉 瘤 抑 瘤 效果， N=15, g=3, b=n=5, 以肉瘤的重量为实验效应测量指标。问三种不同的药物的抑瘤效果有无差别？

区组 A 药 B 药 C 药 1

g

iji

X

1 0.82 0.65 0.51 1.98

2 0.73 0.54 0.23 1.50

3 0.43 0.34 0.28 1.05

4 0.41 0.21 0.31 0.93

5 0.68 0.43 0.24 1.35

1

n

ijj

X 3.07 2.17 1.57 6.81 ( )ijX

iX 0.614 0.434 0.314 0.454 ( )X

2

1

n

ijj

X 2.0207 1.0587 0.5451 3.6245

2( )ijX

例 4-2 不同药物作用后小白鼠肉瘤重量（ g ）

1. 建立检验假设

H0 ：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总

体均数相等 H1 ：三种不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体

均数不全相等

2. 计算2 2

1 1

( ) / (6.81) /15 3.09g n

iji j

C X N

05.0

2

1 1

3.62 3.09=0.53g n

iji j

SS X C

总

2 2 2 2

1 1

1 1( ) (3.07 2.17 1.57 ) 3.09 0.2280

5

g n

iji j

SS X Cn

处理

2 2 2 2 2 2

1 1

1 1( ) (1.98 1.50 1.05 0.93 1.35 ) 3.09 0.2284

3

gn

ijj i

SS X Cg

区组

0.5328 0.2280 0.2284 0.0764SS 误差

总=15－1=14

3 1 2 处理

5 1 4 区组

(5 1)(3 1) 8 误差

方差分析表

变异来源 自由度 SS MS F P

总变异 14 0.5328

处理间 2 0.2280 0.1140 11.88 <0.01

区组间 4 0.2284 0.0571 5.95 <0.05

误 差 8 0.0764 0.0096

例 4-4

3. 列方差分析表

1=2 ， 2=8查 F 界值表，得 F0.05(2， 8)=4.46 ，

F0.01(2， 8)= 8.65 ， F＝ 11.88＞ F0.01(2， 8)

P＜ 0.01 。

按 0.05 水准，拒绝 H0 ，认为三种

不同药物作用后小白鼠肉瘤重量的总体均数不全相等，即不同药物的抑瘤效果有差别。

4. 下结论

方差分析的结果拒绝 H0，接受 H1，不能

说明各组总体均数间两两都有差别。如果要分析哪些两组间有差别，可进行多个均数间的多重比较。

当 g=2 时，随机区组设计方差分析与配对设计资料的 t 检验等价，有 。

t F

四、随机区组设计资料方差分析的特点

计算区组间离均差平方和，并将其从完全随机设计时的组内离均差平方和（误差）中分离出来，从而减小了组内平方和（误差平方和）， F 值增大，统计检验效率提高。

作业： P73

一、最佳选择题：全部

二、简答题： 1， 3

三、计算分析题： 2， 3