直観主義フレーム上の古典論理

東京工業大学 数理計算科学専攻岩波 克

iwanami.s.aa@m.titech.ac.jp

目次• 直観主義フレーム• 直観主義フレーム上の古典論理• 補足・今後の課題

直観主義論理• 古典論理から排中律を抜いた論理– A∨ ￢ A 、￢￢ A→A 、（ A→B)∨ （ B→A) は真

にならないことがある

• プログラムの型理論と相性がいい– カリー・ハワード対応

• クリプキモデルやハイティング代数の意味論が知られる

論理式• 命題論理を考える– 命題変数：可算個 p,q,r,……– A,B が論理式なら、 A B∧ 、 A B∨ 、￢

A 、 A→B も論理式

クリプキフレーム• 反射推移性を持つ順序集合（ W,R ）

付値• 直観主義のクリプキモデルは、クリプキ

フレーム（ W,R ）と付値 V の組（ W,R,V ）

• 各命題変数に対して、真となる世界の集合を遺伝性

w V(p) ( w’ wRw’ w’ V(p)) ∈ ⇒ ∀ ⇒ ∈を持つように定める。

遺伝性

p ：真p ：真

p ：真p ：真

p ：真p ：真

p ：真p ：真

q ：真 q ：真q ：真

q ：真

付値の拡張（∧、∨）• V(A B)∧ ＝ V （ A ）∩ V （ B ）• V(A B)∨ ＝ V （ A ）∪ V （ B ）

Ａ：真 Ｂ : 真　Ａ∧Ｂ : 真

Ａ∧Ｂ : 真 Ｃ : 偽　( Ａ∧Ｂ )∨ Ｃ : 真　

付値の拡張（→）• V （ A→B ）＝｛ a W; b ∈ ∀

aRb (b V(A) b V(B))⇒ ∈ ⇒ ∈ ｝

Ａ：偽　Ｂ：偽　Ａ→Ｂ：真

Ａ：偽　Ｂ：偽

Ａ：真　Ｂ：真

Ａ：真　Ｂ：真

Ａ：真　Ｂ：真Ａ：偽　

Ｂ：偽

Ａ：偽　Ｂ：真

Ａ：偽　Ｂ：真

Ａ→Ｂ：偽

Ａ：真　Ｂ：偽

付値の拡張（￢）• V( ￢ A) ＝｛ a∈ Ｗ ; b aRb b V∀ ⇒ ∉ （ A ）｝

Ａ：偽　

￢Ａ：真

Ａ：偽Ａ：偽

Ａ：偽Ａ：偽

付値の拡張• V(A B)∧ ＝ V （ A ）∩ V （ B ）• V(A B)∨ ＝ V （ A ）∪ V （ B ）• V （ A→B ）＝｛ a∈ Ｗ ; b ∀

aRb⇒ （ b V∈ （ A ）⇒ b V∈ （ B ）））｝• V （￢ A ）＝｛ a∈ Ｗ ; b aRb b V∀ ⇒ ∉ （ A ）｝

• このように定義すると、論理式に関する遺伝性w V(A) w’ (wRw’ w’ V(A))∈ ⇒∀ ⇒ ∈

が成り立つ。• ( (W,R,V) V(A)=W)∀ ⇔ 論理式 A は直観主義で真と定義する。

モデルの解釈の一例• クリプキモデル (W,R,V) の世界 w W∈ で論理

式 A が真ということを、「 w で得ている知識（＝命題変数）で A が判明する」と解釈する。– ￢ A は、「これ以後どのように知識が増えても、

A とは分からない」と解釈する。– 「時間が経てば知識は増える」というのが、命題

変数の遺伝性。「知識が増えれば分かることも増えていく」というのが論理式の遺伝性。

– 特に、一点からなるクリプキモデル（＝古典論理のモデル）は知識が増えないモデルになる。

p∨ ￢ p

p

p∨ ￢ p

P∨ ￢ p ？

p

p∨ ￢ p

P∨ ￢ p ？

p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p ￢ p

p∨ ￢ p

P∨ ￢ p ：偽

p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p ￢ p

直観主義フレーム上の古典論理• では、直観主義クリプキフレームの立場

から、古典論理を見るとどのように見えるだろうか？

• 直観主義フレームと命題変数に対する付値は同じにして、「 ( (W,R,V) V(A)=W) ∀ ⇔ Ａは古典論理で真」が成り立つようにＶの解釈を定めたい。

極大点を見る• 極大点では、これ以上知識が増えること

はないので、古典論理のモデルと変わらない。

• よって、 w W∈ の真偽を極大点（無限遠点）での真偽と一致するようにすれば、古典論理のモデルになる。– 直観主義の付値 V を用いて、

V’(A)={a W; b aRb c (bRc c V(A))}∈ ∀ ⇒∃ ∧ ∈とすればよい。

V’(p∨ ￢ p)=W

V’(A)={a W; b aRb c (bRc c V(A))}∈ ∀ ⇒∃ ∧ ∈

p

V’(p∨ ￢ p)=W

V’(A)={a W; b aRb c (bRc c V(A))}∈ ∀ ⇒∃ ∧ ∈

p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p ￢ p

V’(p∨ ￢ p)=W

V’(A)={a W; b aRb c (bRc c V(A))}∈ ∀ ⇒∃ ∧ ∈

P∨ ￢ p

P∨ ￢ pP∨ ￢ p

P∨ ￢ p￢ p

￢ pP∨ ￢ p

￢ p P∨ ￢ p

V’(p∨ ￢ p)=W

V’(A)={a W; b aRb c (bRc c V(A))}∈ ∀ ⇒∃ ∧ ∈

P∨ ￢ p

p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p ￢ p

V’ の意味• 極大元で成り立つ論理式の共通部分が全

体で成り立つ。

p: 真

P ：偽

V’ の意味• 極大元で成り立つ論理式の共通部分が全

体で成り立つ。

P が真な付値でも偽な付値でも真となる論理式

P が真の古典論理の付値で真となる論理式

P が偽の古典論理の付値で真となる論理式

V’ の意味• V’(A)=V( ￢￢ A) なので、

「 ( (W,R,V) V’(A)=W) A∀ ⇔ が古典論理で真」は、グリベンコの定理

「 ￢￢ A が直観主義で真⇔ A が古典論理で真」

を意味している。

直観主義フレーム上の古典論理２

• 次のように (W,R) 上の付値 V’’ を定める。– 命題変数については、 V と同様、遺伝性を持

つように定める。– 次のように論理式全体へ拡張する。

• V’’(A B)∧ ＝ V’’(A)∩V’’(B)• V’’( ￢ A) ＝ {a W; b aRb b V’’(A)}∈ ∀ ⇒ ∉• V’’(A B)∨ ＝ {a W; b aRb ( c bRc (c V’’(A)∈ ∀ ⇒ ∃ ∧ ∈ または

c V’’(B)))}∈• V’’ （ A→B ）＝ V’’( ￢ A B)∨

V’’(p∨ ￢ p)=W

P∨ ￢ p

p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p￢ p

￢ p ￢ p

補題　 V(A) V’’(A) V’(A)⊂ ⊂

• 任意の、フレーム (W,R) と命題変数の割り当て Vに対して、 V(A) V’’(A) V’(A)⊂ ⊂ が成り立つ。

• A の構成に関する帰納法で示せる。– V(B) V’’(B) V’(B)⊂ ⊂ 、 V(C) V’’(C) V’(C)⊂ ⊂ のとき、

V’’(A) は以下の通り。V’’(B) V’’( Ｃ ) V’’ （ A ）

A=B C∧ V V V

その他 不明（ V V’’ V’⊂ ⊂ ）

V’ V’ V’

A= ￢ B 全て 全て V=V’’=V’

A=B C∨ 全て 全て V’

V’’ は古典論理• ( (W,R,V) V’’(A)=W) A∀ ⇔ は古典論理で真を示す。– ⇒ は一点からなるクリプキモデルを考えれば

成立。 ⇐を示す。 A が古典論理で真のとき、• ∀(W,R,V) （ V’’(A)=W V’(A)=W⇐ ）

を言えば良い。– A の構成に関する帰納法• A が変数のときは条件を満たすものはない。• A=B C∨ 、￢ B のときは補題の証明より成立

• A=B C∧ のとき∀(W,R,V) V’(B C)=W∧ ⇔∀(W,R,V) (V’(B)=W かつ V’(C)=W) ⇔∀(W,R,V) (V’’(B)=W かつ V’’(C)=W)( ＩＨより ) ⇔∀(W,R,V) (V’’(B C)=W)∧

以上より示せた。

動機• ∧ と￢の断片では直観主義論理と古典論

理が一致することが、このモデルを使うと一目で分かる。– V ゜ (A B)∨ ＝ {a W; b aRb (b V’’(A)∈ ∃ ∧ ∈ または

b V’’(B))}∈では論理式の遺伝性が成り立たず、古典論理にならない。

(p ) (∨⊥ ∧ ￢ p )∨⊥

p

￢ P

ＭＰ• (W,R,V’’) では意味論より MP が成り立つこ

とがすぐには分からない。

A→B,A

B

BB

B

B

今後の課題• この性質を利用して面白い論理は作れない

か？– 例えば、

V’’’(A B)=V(A B)∨ ∨V’’’(A→B)=V’’(A→B)

とすると、 MP が成り立たないが、公理化できるか？

（この例ではできない模様）• 他の論理への拡張（直観主義二階命題論理な

ど）