数字高程模型的内插方法与数据管理

《摄影测量学》（下）第四章

武汉大学武汉大学遥感信息工程学院 摄影测量教研室

武汉大学武汉大学遥感信息工程学院 摄影测量教研室

移动曲面内插方法多面函数内插方法有限元内插方法数字高程模型的精度及存储管理

主要内容

数字高程模型的内插方法

DEM 内插就是根据参考点上的高程求出其它待定点上的高程，

整体函数内插 局部函数内插

逐点内插法用一个整体函数拟合整个区域

逐点内插方法

以每一待定点为中心，定义一个局部函数去拟合周围的数据点。逐点内插法十分灵活，精度较高，计算方法简单又不需很大的计算机内存，但计算速度可能比其它方法慢

pii

pii

YYY

XXX

pii

pii

YYY

XXX

（ l ）建立局部坐标

移动曲面拟合法

对 DEM每一个格网点，将坐标原点 移 至 该 DEM 格 网 点P（ Xp， Yp）

（ 3 ）列出误差方程式

FEyDxCyBxyAxZ 22 FEyDxCyBxyAxZ 22

RYXd iii 22 RYXd iii 22

（ 2 ）选取邻近数据点

Px

y

d i

FEYDXCYBYXAXv iiiiiii 22 FEYDXCYBYXAXv iiiiiii 22

ZMXV ZMXV

误差方程式

由 n 个数据点列出的误差方程为

1

1

1

1

22

222

22222

112

11121

nnnnnn YXYYXX

YXYYXX

YXYYXX

M

F

C

B

A

X

nz

z

z

Z2

1

nv

v

v

V2

1

内插参数解算

（ 4 ）计算每一数据点的权

2

1

i

id

p 2

1

i

id

p 2)(i

ii

d

dRp

2)(i

ii

d

dRp

22

k

d

i

i

ep

22

k

d

i

i

ep

（ 5 ）法化求解

PZMPMMX TT 1)( PZMPMMX TT 1)(

系数 F 是待定点内插高程值ZP

•对点的选择除满足 n＞ 6 外，应保证各个象限都有数据点，•当地形起伏较大时，半径 R 不能取得很大。•当数据点较稀或分布不均匀时，利用二次曲面移动拟合可能产生很大的误差

移动曲面拟合法注意事项

n

ii

n

iii

p

p

ZpZ

1

1

n

ii

n

iii

p

p

ZpZ

1

1

采用了多个邻近点之加权平均水平面移动拟合法内插：

加权平均水平面移动拟合法

多面函数法 DEM内插

“ 任何一个圆滑的数学表面总是可以用一系列有规则的数学表面的总和，以任意的精度进行逼近。”也就是一个数学表面上某点（ X， Y）处高程 Z 的表达式为 :

),,,(),,,(),,,(

),,(),(

222111

,1

nnn

jj

n

jj

YXYXqaYXYXqaYXYXqa

YXYXqaYXfZ

),,,(),,,(),,,(

),,(),(

222111

,1

nnn

jj

n

jj

YXYXqaYXYXqaYXYXqa

YXYXqaYXfZ

2

122 ])()[(),,,( jjjj YYXXYXYXq 2

122 ])()[(),,,( jjjj YYXXYXYXq

nm

核函数

2

122 ])()[(),,,( jjjj YYXXYXYXq 2

122 ])()[(),,,( jjjj YYXXYXYXq

ij

n

jji qaZ

1

可任选其中 n 个为核函数的中心点 Pj(Xj,Yj)

各数据点应满足 i=1,2…m

误差方程

mnmnmm

n

n

m z

z

z

a

a

a

qqq

qqq

qqq

v

v

v

2

1

2

1

21

22221

11211

2

1

ZQaV

法化求解得ZQQQa TT 1)(

任意一点上的高程 Zk(K>n)

为 ZQQQQaQZ TTT

kTkk

1)(

][ 21 knkkTK qqqQ ][ 21 knkkTK qqqQ

),,,( jjkkkj YXYXqq ),,,( jjkkkj YXYXqq

其中

ZQa 1 ZQQZ TKK

1

m=n 全部数据点取为核函数的中心

nnnnn

n

knkkK

z

z

z

qqq

qqq

qqq

qqqZ

2

1

1

21

212221

11211

21 ][

多面函数法解算

有限元法 DEM 内插

为了解算一个函数，把它分成为许多适当大小的“单元”，在每一单元中用一个简单的函数，例如多项式来近似地代表它。

一次样条有限元 DEM 内播

1,11,

,1,

)1(

)1()1)(1(),(

jiji

jiji

yCxyCx

CyxCyxyx

1,11,

,1,

)1(

)1()1)(1(),(

jiji

jiji

yCxyCx

CyxCyxyx

x, y 是以格网边长为单位时点 A 相对于点 Pij 的坐标增量

A

x

y

若 A 点是已知高程点，作为观测值，以格网高程 Zi,j… 作为待定的未知数

jijiA ZYXZYXv ,1, )1()1)(1(

Ajiji ZYZXYZX 1,11,)1(

误差方程式

iiii

iA

iA

YYXXd

dYYY

dXXX

11

/)(

/)(

)10(

)10(

Y

X

虚拟观测值误差方程式

02),(

02),(

1,,1,

,1,,1

jijijiY

jijijiX

ZZZjiv

ZZZjiv

02),(

02),(

1,,1,

,1,,1

jijijiY

jijijiX

ZZZjiv

ZZZjiv

断裂线的处理

HIFI 内插过程中考虑计算单元中的断裂线的基本要点如下

（ l ）作线性内插，加密断裂线点，特别是断裂线与 DEM格网线交点之平面坐标与高程

（ 2 ）将计算单元按断裂线划分成子区，确定每个子区由哪几条断裂线与边界线组成

（ 4 ）分子区进行内插计算。

（ 3 ）分子区内插的原则是：不属于该子区的数据点不参加该子区的平差计算 , 判断的方法“跌落法” 和符号判断法 。

断裂线的处理

DEM的精度

DEM 精度与应用有密切关系，必须对 DEM 的精度进行估计

１．由地形功率谱与内插方法的传递函 数估计 DEM 精度

)2

cos()(0

kk

k L

kXCxZ

)2

cos()(0

kk

k L

kXCxZ

22

0

22

0

2

0

2 )](1[2

1)1(

2

1)(

2

1kk

m

kk

k

km

kk

m

kkz CuHC

C

CdXCC

采样间隔和地形的复杂程度

dXL

kXC

L

kXC

L

dXXZXZLL

kk

kkk

k

L

z

2

000

2

0

2

]})2

cos()2

cos([{1

)]()([(1

均方误差

利用检查点的 DEM 精度评定

在 DEM 内插时，预留一部分数据点不参加 DEM 内插，作为检查点，其高 程 为 Zk （ k=1 ， 2 ，…， n ）。在建立 DEM 之后，由DEM 内 插 出 这 些 点 的 高 程 为 ， 则 DEM 的精度为

n

kkkDEM ZZ

n 1

22 )(1

DEM 的存贮管理

1.DEM 数据文件的存贮：

文件头 + 各格网点的高程

2 地形数据库 ：将整个范围划分成若干地区，每一地区建立一个子库，将这些地区合并成一个高一层次的大区域构成整个范围的数据库

DEM 数据压缩中常用的方法有整型量存贮、差分映射及压缩编码等。

整型量存贮

5.010)( 0 mii ZZINTZ

DEM 数据的压缩

将高程数据减去一常数 Z0

nn Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

2

1

0

2

1

0

110

0110

0011

0001

00 ZZ ),,2,1(1 niZZZ iii

差分映射

相邻数据间的增量，数据范围较小，可以利用一个字节存贮一个数据，使数据压缩至原有存贮量的近四分之一

很高的压缩率，但其缺点是当游程较长时，数据的恢复需要较多的运算时间

当差分的绝对值大于 127 时，将该数据之前的数据作为一个游程，而从该项数据开始一新的游程

差分游程法 ( 增量游程法 )

-128---127

小模块差分法 ( 小模块增量法 )

将 DEM分成较大的格网——小模块，每一模块包含 5 X 5或 10 X 10 个 DEM格网

max/127 Z

优点是每一记录长度是固定的，每一记录与各个小模块联系是确定不变的。

压缩编码

k

n

kkn ppdddH 2

121 log)(

当根据各数出现的概率设计一定的编码，用位数（ bit ）最短的码表示出现概率最大的数，出现概率较小数用位数较长的码表示，则每一数据所占的平均位数比原来的固定位数（ 16 或 8 ）小

数据的平均最小位数可用信息论中熵的定义计算

DEM的管理

若 DEM 以图幅为单位存贮，每一存贮单位可能由多个模型拼接而成，因而要建立一套管理软件，以完成DEM 按图幅为单位的存贮、接边及更新工作

用户只能读取的，而不能写入 ，只有 DEM 维护管理人员才有权写入

对每一图幅可建立一管理数据文件，记录每一 DEM 格网或小模块的数据录入状况，使操作人员可清楚、直观地观察到该图幅 DEM 数据录入情况

DEM的管理 -- 存贮 and 接边

取其平均值，也可按距离进行加权平均

接边