授業展開＃４授業展開＃４

２進数世界の数値と文字２進数世界の数値と文字

表現のレベル表現のレベル 論理表現：０か１論理表現：０か１ 実装表現：スイッチのオン・オフ実装表現：スイッチのオン・オフ リレー、真空管、トランジスタ リレー、真空管、トランジスタ

自然数の表現自然数の表現 自然数：ここでは０以上の整数。自然数：ここでは０以上の整数。 自然数を０と１で表すために２進記法の自然数を０と１で表すために２進記法の

表現を使う表現を使うたとえば、８ビット固定長で整数を表すとする。たとえば、８ビット固定長で整数を表すとする。

　　 1010 進　進　 5959 　＝　３２　＝　３２ ++ １６１６ ++ ８８ ++ ２２ ++ １ ＝ ２進　１ ＝ ２進　0011101100111011 　　

　　２進　１０１１１０１０ ＝ １２進　１０１１１０１０ ＝ １ ×× ２２７７＋０＋０ ×× ２２６６＋１＋１ ××２２５５＋１＋１ ×× ２２４４＋１＋１ ×× ２２３３＋０＋０ ×× ２２２２＋１＋１ ×× ２２１１＋０＋０ ×× ２２００

＝１２８＋３２＋１６＋８＋２＝１０進　１８６＝１２８＋３２＋１６＋８＋２＝１０進　１８６最大値　２進　１１１１１１１１＝１２８＋６４＋３２最大値　２進　１１１１１１１１＝１２８＋６４＋３２＋１６＋８＋４＋２＋１＋１６＋８＋４＋２＋１＝１０進　２５５（２＝１０進　２５５（２８８－１）－１）

２進数の桁の扱い２進数の桁の扱いMSBMSB （（ Most Significant BitMost Significant Bit ）２進表現のとき最上位の桁）２進表現のとき最上位の桁LSBLSB （（ Least Significant BitLeast Significant Bit ）２進表現のとき最下位の桁）２進表現のとき最下位の桁

　　　　　　　　　　　　 MSBMSB 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　LSBLSB

BitBit 番号　　７　　６　　　５　　　４　　　３　　 ２　　　１　番号　　７　　６　　　５　　　４　　　３　　 ２　　　１　　 ０　 ０

８８ bitbit 列　　ｘ列　　ｘ７７　　 ｘ　　 ｘ６６　　 ｘ　　 ｘ５５　　 ｘ　　 ｘ４４　　 ｘ　　 ｘ３３　　ｘ　　ｘ２２　　 ｘ　　 ｘ１１

　 ｘ　 ｘ００

ｘｘ ii ＝＝ 0,10,1

自然数の加算 自然数の加算

xx yy ss cc

00 00 00 00

00 11 11 00

11 00 11 00

11 11 00 11

上記関数表を真理値表ともいう

１桁めの２つの数ｘ１桁めの２つの数ｘ１１、ｙ、ｙ１１の和を求め、下からの繰りの和を求め、下からの繰り上がりｃ上がりｃ ii を考慮して、を考慮して、 ii 桁めの数ｘ桁めの数ｘ ii 、、ｙｙ ii の和の和を求めを求める。る。 xx yy ccii ssii cci+1i+1

00 00 00 00 00

00 00 11 11 00

00 11 00 11 00

00 11 11 00 11

11 00 00 11 00

11 00 11 00 11

11 11 00 00 11

11 11 11 11 11

整数の表現と計算整数の表現と計算 正負の符号正負の符号ととを、を、 00 とと 11 に対応させる必要に対応させる必要 最も左端のビット（最も左端のビット（ MSBMSB ）で正負の符号を表す。）で正負の符号を表す。　　 　　 MSB MSB がが 0 0 のときのときとととととととととととととと　　　→ 　　　→ 127127 ～ ～ 127127 の範囲の数字が表せる。の範囲の数字が表せる。

計算が複雑計算が複雑 加える２つの数が同符号→絶対値の和にその符号をつける加える２つの数が同符号→絶対値の和にその符号をつける 加える２つの数が異符号→絶対値の差に絶対値の大きいほう加える２つの数が異符号→絶対値の差に絶対値の大きいほう

の符号をつけるの符号をつける　　　　　　　　

バイアス表現バイアス表現 バイアス表現：数値の並ぶ順序と大きさの順序バイアス表現：数値の並ぶ順序と大きさの順序

を一致させる。ｘを一致させる。ｘ +127+127 をｘとする表現。をｘとする表現。 127127 ～ ～ 128128 の範囲の数字が表せる。の範囲の数字が表せる。 加法では、バイアス分を減じる必要。加法では、バイアス分を減じる必要。

1010 進進 さっきの表現さっきの表現 x+127x+127 バイアス表現バイアス表現

-127-127 1111111111111111 00 0000000000000000

-2-2 1000001010000010 125125 0111110101111101

-1-1 1000000110000001 126126 0111111001111110

00 00000000 or 1000000000000000 or 10000000 127127 0111111101111111

11 0000000100000001 128128 1000000010000000

22 0000001100000011 129129 1000000110000001

127127 0111111101111111 254254 1111111011111110

128128 -- 255255 1111111111111111

補数表現補数表現 １の補数表現：正の数と０は通常の２進数表現、負の数は、１の補数表現：正の数と０は通常の２進数表現、負の数は、

その絶対値の同じ正の数の０と１を書き換えたもの。その絶対値の同じ正の数の０と１を書き換えたもの。　１０進 　１０進 56 = 256 = 2 進 進 0011100000111000　１０進 　１０進 -56 = 2-56 = 2 進 進 1100011111000111　　　正の領域、負の領域で数の順序は保存　　　正の領域、負の領域で数の順序は保存　　　加算も桁あふれを考慮すると簡単　　　加算も桁あふれを考慮すると簡単 ２の補数表現：負の数を表す１の補数表現に１を加えたも２の補数表現：負の数を表す１の補数表現に１を加えたも

の。の。　 　 　 　 128128 ～ ～ 127127 の範囲の数字が表せる。の範囲の数字が表せる。　　加算も簡単　　加算も簡単

　　　　

22 進進 自然数自然数 最初の表現最初の表現 バイアス表現バイアス表現 １の補数表現１の補数表現 ２の補数表現２の補数表現

000000 00 00 -3-3 00 00

001001 11 11 -2-2 11 11

010010 22 22 -1-1 22 22

011011 33 33 00 33 33

100100 44 -0-0 11 -3-3 -4-4101101 55 -1-1 22 -2-2 -3-3110110 66 -2-2 33 -1-1 -2-2111111 77 -3-3 44 -0-0 -1-1

　　　　 整数の表現（３ビット）整数の表現（３ビット）

情報の表現とデータ型情報の表現とデータ型実数表現：数字で表したとき小数点を含むよ実数表現：数字で表したとき小数点を含むよ

うな数値を実数という。うな数値を実数という。１０進１０進 7.3757.375 　＝　２進　＝　２進 111.011111.011

２進２進 101.1101101.1101

＝１＝１ ×× ２２２２＋０＋０ ×× ２２１１＋１＋１ ×× ２２００＋１＋１ ×× ２２－１－１

＋１＋１ ×× ２２－２－２＋０＋０ ×× ２２－３－３＋１＋１ ×× ２２－４－４

　＝４＋１＋　＝４＋１＋ 0.50.5 ＋＋ 0.250.25 ＋＋ 0.06250.0625　＝１０進　＝１０進 5.81255.8125

情報の表現とデータ型情報の表現とデータ型必ずしも完全対応ではなく、近似値にしかならな必ずしも完全対応ではなく、近似値にしかならな

いこともある。いこともある。１０進１０進 6.66.6 ＝２進＝２進 110.100100100110.100100100 ・・・・・・・・１０進１０進 15.33315.333 ・・・＝３進・・・＝３進 120.1120.1

固定小数点表現：固定小数点表現： 5.0255.025浮動小数点表現：浮動小数点表現： 1.025×101.025×10 －５－５

ここで「ここで「 1.0251.025 」：仮数、「」：仮数、「 1010 」：基数、」：基数、「－５」：指数「－５」：指数

コード（符号）コード（符号） あるデータ、あるいは情報を基準となるあるデータ、あるいは情報を基準となる

記号の列、記号列で表したものを、その記号の列、記号列で表したものを、そのデータの符号またはコードといい、符号データの符号またはコードといい、符号に変換することを符号化、に変換することを符号化、エンコードエンコード（（ encodeencode ））という。逆に、符号を元のという。逆に、符号を元の記号に戻すことを復号（化）または記号に戻すことを復号（化）またはデコデコードード (decode)(decode) という。という。

コンピュータ：すべての情報を０、１のコンピュータ：すべての情報を０、１のビット列からなる符号で表す。ビット列からなる符号で表す。

文字コード文字コード文字コード：文字列を符号化したもの。文字コード：文字列を符号化したもの。

英字のコード：アスキーと呼ばれる８ビット＝１バイト英字のコード：アスキーと呼ばれる８ビット＝１バイトコード。コード。

日本語文字は１バイトでは２５６字種しか使用できない日本語文字は１バイトでは２５６字種しか使用できないので、ので、 JISJIS （（ Japanese Industrial StandardJapanese Industrial Standard 、日本工、日本工業規格）では、１バイトコードとしては、カタカナ、数業規格）では、１バイトコードとしては、カタカナ、数字と英字の大文字を割り当てている。字と英字の大文字を割り当てている。

通常の日本語文字としては、かな文字や漢字も使えるよ通常の日本語文字としては、かな文字や漢字も使えるようにするため、うにするため、 JISJIS では２バイト＝１６ビットコードをでは２バイト＝１６ビットコードを設定して定義している。設定して定義している。

１バイトコードと２バイトコードの混在の問題や、日本１バイトコードと２バイトコードの混在の問題や、日本語コードの規格の乱立などいろいろと問題がある。（旧語コードの規格の乱立などいろいろと問題がある。（旧JISJIS 、新、新 JISJIS 、、 EUCEUC 、、 DECDEC ））

ＪＩＳコード表現ＪＩＳコード表現　 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ

０ NUL DLE (SP) ０ ＠ Ｐ ｀ ｐ 　 　 　 ー タ ミ 　 　

１ SOH DC1 ！ １ Ａ Ｑ ａ ｑ 　 　 。 ア チ ム 　 　

２ STX DC2 ” ２ Ｂ Ｒ ｂ ｒ 　 　 「 イ ツ メ 　 　

３ ETX DC3 ＃ ３ Ｃ Ｓ ｃ ｓ 　 　 」 ウ テ モ 　 　

４ EOT DC4 ＄ ４ Ｄ Ｔ ｓ ｔ 　 　 　 エ ト ヤ 　 　

５ ENQ NAK ％ ５ Ｅ Ｕ ｅ ｕ 　 　 ・ オ ナ ユ 　 　

６ ACK SYN ＆ ６ Ｆ Ｖ ｆ ｖ 　 　 ヲ カ ニ ヨ 　 　

７ BEL ETB ’ ７ Ｇ Ｗ ｇ ｗ 　 　 ァ キ ヌ ラ 　 　

８ BS CAN （ ８ Ｈ Ｘ ｈ ｘ 　 　 ィ ク ネ リ 　 　

９ HT EM ） ９ Ｉ Ｙ ｉ ｙ 　 　 ゥ ケ ノ ル 　 　

Ａ LF SUB ＊ ： Ｊ Ｚ ｊ ｚ 　 　 ェ コ ハ レ 　 　

Ｂ VT ESC ＋ ； Ｋ ［ ｋ ｛ 　 　 ォ サ ヒ ロ 　 　

Ｃ FF FS ， ＜ Ｌ ￥ ｌ ｜ 　 　 ャ シ フ ワ 　 　

Ｄ CR GS － ＝ Ｍ ］ ｍ ｝ 　 　 ュ ス ヘ ン 　 　

Ｅ SO RS ． ＞ Ｎ ＾ ｎ ￣ 　 　 ョ セ ホ ゛ 　 　

Ｆ SI US ／ ？ Ｏ ＿ ｏ DEL 　 　 ッ ソ マ ゜ 　 　

上位ビット

下位ビッ

ト

数字「５」＝上位３＋下位５→００１１＋０１０１→００１１０１０１文字「ア」＝上位Ｂ＋下位１→１０１１＋０００１→１０１１０００１

１６進数表現１６進数表現 ０～９まで進んだ後、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，０～９まで進んだ後、Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，

Ｅ，Ｆとして繰り上がる記数法。Ｅ，Ｆとして繰り上がる記数法。 １６進数表現１つで２進数４ビットと対１６進数表現１つで２進数４ビットと対

応できる。応できる。

（１）（１） 1010 ＝（０００１）＝（０００１）２２＝（１）＝（１）１６１６

（（ 11 ５）５） 1010 ＝（１１１１）＝（１１１１）２２＝（Ｆ）＝（Ｆ）１６１６

ＪＩＳ漢字コード表ＪＩＳ漢字コード表

　 第２バイト　 21 22 23 24 25 26 27 28 29 2A 2B 2C 2D

第 21 　 、 。 ， ． ・ ： ； ？ ！ ゛ ゜ ´１ 22 ◆ □ ■ △ ▲ ▽ ▼ ※ 〒 → ← ↑ ↓ バ 23 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　イ 24 ぁ あ ぃ い ぅ う ぇ え ぉ お か が き ト 25 ァ ア ィ イ ゥ ウ ェ エ ォ オ カ ガ キ

　 30 亜 唖 娃 阿 哀 愛 挨 姶 逢 葵 茜 穐 悪 　 31 院 陰 隠 韻 吋 右 宇 烏 羽 迂 雨 卯 鵜 　 32 押 旺 横 欧 殴 王 翁 襖 鴬 鴎 黄 岡 沖

０と１の世界の構成０と１の世界の構成 電気での表現電気での表現 ０：オフ、１：オン０：オフ、１：オン （正理論の対応、逆は負理論の対応）（正理論の対応、逆は負理論の対応）

基本基本• ＯＲ（論理和、選言）ＯＲ（論理和、選言）• ＡＮＤ（論理積、連言）ＡＮＤ（論理積、連言）• ＮＯＴ（補、否定）ＮＯＴ（補、否定）

ＯＲ，ＡＮＤ、ＮＯＴの真理値ＯＲ，ＡＮＤ、ＮＯＴの真理値表 表

xx yy x OR x OR yy

x AND x AND yy

00001111

00110011

00111111

00000011

xx NOT xNOT x

0011

1100

ブール代数：０、１からなる世界で論理演算を対象に系統的に数学的に組み上げた体系

論理演算回路論理演算回路

Ｘ

Ｙ

１

０

１

０

ＯＲ

Ｘ Ｙ１

０

１

０

ＡＮＤ

Ｘ

１

０

ＮＯＴ

ＯＲ ＡＮＤ ＮＯＴ

基本論理演算回路

ＭＩＬ (Military Standard) 記号表現

ＸＹ

ＸＹ Ｘ

回路の合成回路の合成

((x AND y) OR (NOT z))

ＯＲ

ＡＮＤ

ＮＯＴ

xy

z

x y z ((x AND y) OR (NOT z))

00 00 00

00 00 11

00 11 00

00 11 11

11 00 00

11 00 11

11 11 00

11 11 11

11

00

11

00

11

00

11

11

演習演習

①① 以下の２進数を１０進数に、１０進数を以下の２進数を１０進数に、１０進数を２進数に変換せよ。２進数に変換せよ。

　　（１０１０１０１）　　（１０１０１０１）２２＝＝　　（１００）　　（１００）１０＝＝

② 次の真理値表を完成せよ。x y z x and (y or

z)x or (not y)

0011

0101

1100

真理値表 1

x y z y or z

x and (y or z)

0011

0101

1100

1101

0001

真理値表 2

x y not y x or (not y)

0011

0101

1010

1011

ＰＣ演習ＰＣ演習

BASICBASIC のインストールと動作確認のインストールと動作確認Mac で動く Basic　 Chipmunk Basic　 http://www.nicholson.com/rhn/basic/

次週（１０／３０）小テスト次週（１０／３０）小テスト　電卓、筆記用具、直筆ノート　電卓、筆記用具、直筆ノート

BasicBasic 演習演習１．テキストエディターで新規ファイルを作成１．テキストエディターで新規ファイルを作成２．１行目に　２．１行目に　 INPUT A,BINPUT A,B　　２行目に　　　２行目に　 C=A*BC=A*B　　３行目に　　　３行目に　 PRINT CPRINT C　　４行目に　　　４行目に　 ENDEND　　を入力　　を入力３．ファイルを３．ファイルを input.txtinput.txt のファイル名で保存のファイル名で保存４．４． ChipmunChipmun ｋ　ｋ　 BasicBasic 　を起動　を起動５．５． File Open File Open でで input.txtinput.txt を読み込む。を読み込む。６．６． ControlControl 　　 run run でソフトを走らせる。でソフトを走らせる。７．？に好きな数字２つを入力すると、積が出力される。７．？に好きな数字２つを入力すると、積が出力される。