更上一层楼

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郑曌

郑曌bbsID: superzz

2009-2010(Rhodea) World Final Champion Ningbo, Champion Tokyo, 2nd

ALWAYS AN INTEGER

Always an integer [world final 2008]给定一个多项式 P(x), 给定一个整数 D, 判断

P(x) 是否恒为 D 的倍数．P(x) 的最高此项 ≤ 100 ．

SampleP(x) = x2 + x, D = 2 ．

ANS = Yes

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(x)

0 2 6 12 20 30 42 56 72

ALWAYS AN INTEGER

解法：不完全归纳法1. 随机取 x 的值2. 计算 P(x) 的值3. 如果 P(x) 不是 D 的倍数，则 ANS = No ，结束。 4. 继续执行上述 3 步，直到尝试了足够多的 x 取值。

思考： 1 ，对于给定的 x ，如何计算 P(x) 2, 如何定义取到足够多 x 值 3 ，算法效率如何

ALWAYS AN INTEGER

应该随机选取多少个 x 进行测试？ Sample P(x) = x2 + x, D = 2 ．

结论：设 P(x) 的最高项次数为 k, 那么经过 k 次相邻两个数相

减的操作后 , 序列变成了一个常数序列 , 只需要判断最后常数项 C 是否为 D 的倍数即可．列举序列中的 x = 0 .. k 的 k+1 项即可．

时间复杂度为 O(k2) ．

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(x) 0 2 6 12 20 30 42 56 72

2 4 6 8 10 12 14 16

2 2 2 2 2 2 2

ALWAYS AN INTEGER

本质：差分方程 http://en.wikipedia.org/wiki/

Difference_equation 简单的想法：

一个最高次项为 k 的多项式 f(x) ，则方程 f(x)=0 的根有 k 个。反过来说， k 个不同的值 (x1,x2,…xk) 可以唯一确定一个多项式

f(x) 。 f(x) = (x-x1)*(x-x2)*..(x-xk)

Any question?

STEAM ROLLER

Steam Roller [world final 2008]

有一个 r * c 的矩阵 , 对于相邻的两个点 , 从其中的一个点到达另一个点有一个权值．现在要求从 (r1, c1) 到达(r2, c2), 路线是由若干条水平和垂直的路径连接组成 , 每次可以从一个点往上下左右中的一个方向前进若干步 , 其中第一条边和最后一条边的权值要计算 2 次 , 中间的边的权值只计算一次．求 (r1, c1) 到 (r2, c2) 的最短路．

1 ≤ r, c ≤ 100 ．

STEAM ROLLER

Sample

STEAM ROLLER

Sample

紫色路径为权值需要双倍计算的路径。 Red Line = (9 * 2) * 6 = 118 Blue Line = (10 * 2) * 4 + (10 * 1) * 2 = 100

STEAM ROLLER

状态抽象：对于每个点 (i, j) 拆成 8 个点：分别表示上一步从上下左

右的哪个方向移动到这个点 . 以及移动到这个点的这条边的权值是否已加倍．

对于状态 (i, j, direction, double) 枚举下一步移动的方向 , 考虑当前的方向与上一步方向是否一致以及 k 来决定最后一条边是否需要加倍．

对这 r * c * 8 个点求最短路。

STEAM ROLLER

Trick:

一个点可能先往左移动若干步后又往右移动 , 因为权值加倍的限制 , 这样可能比直接往左移动到那个点的权值之和要小 , 上下方向也是类似的．

即使走到了终点 (r2, c2) 路线也不一定结束 , 可能走到(r2, c2) 再往前移动一格后回退一格 , 使得走到 (r2, c2)的那条边不用加倍而权值之和更小．

EYEBALL BENDERS

Eyeball Benders [world final 2005]给出由水平或垂直线段组成的两幅图，判断第

一幅是否由第二幅图局部放大得到。保证至少有一个端点同时出现在两幅图中。

EYEBALL BENDERS

EYEBALL BENDERS

思路枚举两个图中都出现的顶点，确立放缩比例，放缩之后

判断两个图形是否全等。

ESCAPE

Escape (from matrix67)给定一个不超过 2000*2000 的网格，你在

最左下角的位置（即 (0,0) 点），你的目的地在(x,y) 。

要求你的路线不得经过同一个交叉点两次，且不允许左转（题目背景让这个条件顺理成章：街道靠右行，左转不方便）

问合法的路线共有多少种。

ESCAPE

ESCAPE

思路：街道的选取唯一地决定了整个路线。假设计算转弯恰好 11 次的路线有多少条。这样

的路线一定含有三条向上走的路、三条向右走的路、三条向下走的路和三条向左走的路。

除去第一条路和最后一条路的位置都是确定的，其它的路选在哪一行或者哪一列唯一地决定了整个路线。

ESCAPE

排列组合？向上走的路是 C(5,2) ，向右走的路是

C(7,3) ，向下走的路是 C(4,3) ，向左走的路是C(3,2) 。把它们各自的选取方案数乘起来就得到了拐弯 11 次的合法路径。

计算所有的路线数只需要从小到大枚举拐弯的次数，每一次计算都是常数复杂度的。

SHORTEST PATH

Shortest path (from matrix67)给定一个非负有向图，你有 k 次机会将某条

边的权值减半，给定 s,t 。求 s 到 t 的最短路。

SHORTEST PATH K=0

求 s 到 t 的最短路。 (Dijkstra, Bellman-ford, Floyed)

K=1

求出任意两点间最短路。枚举一条边 (u,v) 。求 min_dist(s,u) + w(u,v) / 2 + min_dist(u, t)

SHORTEST PATH

K>1 把原图分成 k+1层，从 0 到 k 分别标号。

上面的层到下面的层有很多单向边，每条边都和原图上的某条边相对应，跨越了几层权值就打几次对折，表示我“走了一条权值减过的边”。

因此，你当前走在第几层，就表示你已经用掉了几次减半机会。在这个有 O(nk) 个顶点的图上做最短路，其结果就是我们所要求的。

SHORTEST PATH

K>1

EXERCISE

http://acmicpc-live-archive.uva.es/nuevoportal/data/problem.php?p=4787



http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3318












Thanks

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