５．いろいろな確率分布

• χ ２乗分布（ chi-square distribution ）• ｔ - 分布（ t distribution ）• F 分布（ F distribution ）• 2 項分布（ binominal distribution ）• ポアソン分布（ Poisson distribution

χ ２　分布 (chi-square)

• 確率変数Ｘ１，Ｘ２，・・・・ Ｘｎ が互いに独立で同一の正規分布 N(μ, σ) に従うとき、統計量

の分布は、自由度 n － 1 の χ ２　分布に従う。

• χ ２　分布は母集団の分散の推定・検定に用いる。

2

222

212 )(........)()(

XXXXXX n

nXVnXE 2)(,)(

χ ２　分布 )0(

22

1)( 2

12

2

xexn

xfxn

n

nXVnXE 2)(,)(

ｔ – 分布 (t distribution)

• 確率変数Ｘ１，Ｘ２，・・・・ Ｘｎ が互いに独立で同一の正規分布 N(μ, σ) に従うとき、

とおくとき、統計量

の分布は自由度 n – 1 の t 分布に従う。

n

sX

t

n

XXXXXXs n

1

)(......)()( 222

21

2

12

12

21

)(

2,2

)(,0)(

n

nxn

n

n

xf

nn

nXVXE

t 分布は　母集団の平均の推定・検定に用いる。

自由度ｎが大きいと正規分布に近くなる

ｔ – 分布（別の表現）• 確率変数Ｘが N(0, σ) に従い、確率変数Ｙが自

由度 n-1 の χ ２分布に従うとき、統計量

の分布は自由度 n – 1 の t 分布に従う。

1

nY

Xt

Ｆ分布 (F distribution ）

• 確率変数Ｘ , Y が独立で、各々自由度 n1, n2 のχ ２分布に従うとき、統計量

は、自由度（ n1, n2 ）のＦ分布に従う。

• Ｆ分布は２つの母集団の分散比の推定・検定のときに利用される。

)4()2(

)2(2)(,

2)(,

22

21

2221

2

2

2

1

nnn

nnnXV

n

nXE

nYnX

F

ガンマ関数（ Gamma function ）

0

1)(

1)2(,2

1

2

3,1)1(,

2

1

2

1..........

2

4

2

2

2:

!.......)()1(integer:

dttex

nnnoddn

mmmmm

functionGamma

xt

2 項分布（ binominal distribution ）• 確率ｐで存在する当たりくじから、復元抽

出でｎ個とりだしたとき、ｘ個当たる確率。B(n,p)Ｘ =0, 1, 2, …….,n

f(x)=nCx px (1-p) n-x

• E(X)=np, V(X)=np(1-p)

• B(n,p) は、 n∞ で、 N(np, np(1-p)) となる。

ポアソン分布 (Poisson) ： rare probability

• 2 項分布において、 np を一定値 λ に固定して、ｎ→∞ としたものが ポアソン分布めったに起こらない事象が起こる確率分布λ ＝１だと、　　　　　　　　Ｐ (X=x) = 0.36788/x!

例：馬に蹴られて死ぬ人数、交通事故死亡者数

)(,)(!

)()(

XVXE

ex

xXPxfx

６．統計的推定（ statistical estimation ）

• 不偏推定値（ unbiased estimate ）E(f(X1,X2,…….,Xn))=θとなる f(X1, X2,…..Xn) を不偏推定量という。

母集団Population

母数Parameterθ例：平均 μ

標本Sample

推定値Estimateθ*例： Xbar

ランダム抽出

推定

＊母平均（ mean) μ の不偏推定値 (unbiased estimate ）

＊母分散 σ ２の不偏推定値（ μ 既知）

＊母分散 σ ２の不偏推定値（ μ未知）

221

221

21

)(.......)(1

1

)(.......)(1

......

xxxxN

xxN

N

xxxx

n

n

N

不偏推定値（ unbiased estimate ）

区間推定母分散（ σ ２）が未知で平均を推定

..2

,

..

)(.......)(1

1,

22

1

221

2

11

EStxthen

N

sES

xxxxN

shere

N

stx

N

stx

N

N

NN

標準誤差（ standard error ）

もし、データ数が 21 だったら、自由度は20 。両側で５％危険率で推定するとする。

t(α ）＝２．０８６

標準誤差 (SE)を計算して、　誤差範囲は、

t(α) ・ＳＥ

• 自由度 10 、 95 ％信頼区間なら　　Ｘ　＋－　 2.228 S.E.

• 自由度 60 、 95 ％信頼区間なら　　Ｘ　＋－　 2.000 S.E.

無限大なら　 1.96 S.E.

21

)1(

2

)1(

21

22

21

2

NN

sNsN

母平均が未知な場合の母分散の推定

７．統計的検定（ statistical testing ）

７．１　考え方（ method ）

• 　帰無仮説 H0 　　検定統計量　 　棄却（裏に対立仮説） nil hypothesis statistical variable reject

　　ランダムである。　＝　　確率は小さい∴　ランダムではない！　　有意水準 　　　　　　　　　　　　　　　　　５％、１％の　　　　　　　　　　　　　　　　　危険率　　

７．２　母平均の検定• 正規母集団 N(μ ， σ) とする。

母分散が既知（ σ2 ）、平均 μ0 （既知）

• 帰無仮説 H0 ：母集団の平均 μ は μ0 である。対立仮説 H1 ：母集団の平均 μ は μ0 でない。　　　　　　　　（本当は対立仮説を示したい）

• 検定統計量　

)1,0()(

..,)( 00

NobeysxT

givenis

N

xxT

７．２　母平均の検定• 正規母集団 N(μ ， σ) とする。

母分散が未知、平均 μ0 （既知）

• 帰無仮説 H0 ：母集団の平均 μ は μ0 である。対立仮説 H1 ：母集団の平均 μ は μ0 でない。　　　　　　　　（本当は対立仮説を示したい）

• 検定統計量　

ondistributitobeyssxT

givenis

N

sx

xT

N 12

00

),(

..,)(

７．３　平均の差の検定

• ２つの正規母集団とする。N(μ1,σ1), N(μ2,σ2)μ1 と μ2 が違うことを示したい。

• σ1,σ2 既知

• σ1,σ2 未知だが等しい。2

21

222

2112

2

21

21221

2

22

1

21

2121

21

,2

)1()1(,

11),,(

)1,0(),(

NNtobeysT

NN

sNsNswhere

sNN

xxsxxT

Nobeys

NN

xxxxT

)1()1(

,

,....1

,

),,,(

222

42

121

41

2

2

22

1

21

1

2

1,121

2

22

1

21

2122

2121

NN

s

NN

s

Ns

Ns

m

tobeysT

N

xxswhere

Ns

Ns

xxssxxT

m

i

７．４　母相関係数の検定　－ t 分布　ー

無相関が帰無仮説大きさＮの標本の相関係数が ｒ のとき

221

2)0,(

Ntobeys

r

NrrT

自由度 α ＝ 0.05 α ＝ 0.01

１０ 0.5760 0.7079

２０ 0.4227 0.5368

５０ 0.2732 0.3541

１００

0.1946 0.2540

影が 90, 95, 99 ％で有意な差。ｔ検定

QBOの西風シアの 5年と東風シアの 5年の 1月の帯状平均オゾン混合比の差（実線）。単位は ppmv。有意性で差が有意な領域を影で示す。

図２ 1 月の 50 hPa におけるオゾン混合比。等値線の単位はppmv 。（ a ） QBO の西風シアの 5 年平均。（ b ） QBO の東風シアの 5 年平均。（ c）差（西風－東風）。　影は有意性を表し図１と同じ。

7.5 ノンパラメトリック検定non-parametric test

• 母集団の分布の型に関する情報を仮定せずに検定する手法。これまで述べた検定は母集団が正規分布をすると仮定したが、その仮定を行わない。

• それぞれの検定の名前がある。Wilcoxen’s rank sum test

ウィルコクスン検定 Wilcoxen’s rank sum test

• ２つの分布型は同じだが、位置がずれている。

これを検定する順位和検定。

グループ G１

Ｘ１

１

Ｘ１２ Ｘ１３ …… X1N1

グループG2

X21 X22 X23 …….. X2N2

２つのグループの標本を１つにまとめて、 Xij の小さいほうから順位を付けたときの順位を rij とする。

帰無仮説：２つのグループの分布の中央値は同じである。

• 検定量 W は

1

1

11211

11

........ N

N

ii

rrr

rW

（グループ G1 の順位の総和）

（ N1,N2) が小さいときは、ウィルコクスン検定の数表で決める。

大きいときは、 W は以下の正規分布に近似されることを使う。

12

1,

2

1 2121211 NNNNNNNN

• ウィルコクスン検定（中央値の差）Wilcoxen’s test

• アンサリー・ブラッドレィ検定（分布の広がり）Ansari-Bradley test

• ラページ検定（上記を同時に検定）Lepage test

• モンテカルロ法（いろいろ場合によって統計量を考える。サンプルを乱数で発生させ、確率を求める。コンピュータ向き）

８．重回帰分析（ Multiple Regression Analysis ）

• P 個の説明変数 x1, x2,….,xp から目的変数y を予測する。

y = f( x1, x2, … , xp) + e

• 線形重回帰モデル

Y = a0 + a1x1 + a2X2 + ….. + apxp + e

データ番号

目的変数

説明変数 誤差

y x1, x2, …………, xp e

１ y1 x11, x21, ………, xp1 e1

２ y2 x12, x22, ………, xp2 e2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Ｎ yn x1n, x2n, …………, xpn en

データ

Ｘ３５

変数番号 データ番号

• データのｎ組（ｎ＞＝ｐ＋１）から最小２乗法により係数の最良不偏推定値を求める。ai : y の xi に関する偏回帰係数。

以下の仮定をおく

• eα の期待値はゼロ： E[eα]=0: 不偏性

• eα と eα’ は互いに独立： E[eαeα’]=0: 独立性

• eα の分散はすべて等しい： E[eα2]=σ2: 等分散性

• Eα は N(0, σ2) に従う。：　正規性

予測誤差の平方和を最小にするように、係数を求める。係数に関する連立方程式を正規方程式という。

分散・共分散行列

py

y

y

ppppp

p

p

y

n

ijjiiyj

n

ikkijjikj

pppp

p

p

S

S

S

a

a

a

sss

sss

sss

SaS

xxyyn

S

pkjxxxxn

s

here

sss

sss

sss

S

,

2,

1,

2

1

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

1

1,

,2,1,

,22,21,2

,12,11,1

......

.....

.................

.....

.....

1

),.......2,1,(1

,

.....

.................

.....

.....

pp xaxaya .....110

８．３　分散分析　－回帰の有意性

ReT

ii

iiiii

iiiiyy

SSS

YYe

YYeYYYy

YYYyyyS

0

222

22

22

全変動（分散）＝残差変動　＋　回帰による変動

変動 自由度 平方和 分散 分散比 F

全体 n-1 Syy VT=Syy/(n-1)

回帰 P SR VR=SR/p VR/Ve

残差 n-p-1 Se Ve=Se/(n-p-1)

重回帰の分散分析表

F は a1=a2=….=0 の帰無仮説のもとで、自由度 (p, n-p-1) の F 分布となる。（全体として回帰式が意味があるかどうかの検定となる）

８．４　重相関係数と決定係数

yy

R

i

i

ii

i

i

iii

iiiiii

ii

ii

S

S

yy

YY

YYyy

YYR

YY

YYYYe

YYYYYyYYyy

YYyy

YYyyR

2

2

22

22

2

2

2

22

0

)(

11

1,

1

22

2

22

2

RF

pnRpR

V

VF

SRSSRS

S

S

S

SR

e

R

yyeyyR

yy

e

yy

R

Ｒ 2 を寄与率または決定係数という回帰で全分散が説明できる割合。

Ｆ検定が　Ｒ 2 の有意性検定と一致。

重回帰の注意点

(1) ai の値そのもので寄与は決まらない。

(2) Xi と Xj に相関があるとき、注意。単回帰と符号さえ変わる。