Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων 

Διανύσματα  Ευθείες – Επίπεδα 

 Επιφάνειες 2ου βαθμού  

1. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,‐1,5) και Β(5,1,‐2) 2. Δίνονται τα διανύσματα Α=<1,4> και C=<‐2,6>. Να βρείτε και να σχεδιάσετε τα 

διανύσματα Α+C, C‐A, 2A+1/2C 3. Δίνονται τα διανύσματα Α=2i+6j και C=3i‐2j. Να βρείτε το μέτρο και την κατεύθυνση 

του A+C 4. Αναλύστε το διάνυσμα Α=<5,2> σε μία διάνυσμα κάθετο και ένα παράλληλο προς 

το διάνυσμα Β=<6,3> 5. Δείξτε ότι το διάνυσμα A=<a,b> είναι κάθετο στην ευθεία με εξίσωση: a x+b y+c=0  6. Χρησιμοποιώντας διανύσματα, βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από 

τα σημεία P(2,5) και Q(6,‐1). 7. Χρησιμοποιώντας διανύσματα αποδείξτε ότι η εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο γωνία 

είναι ορθή. 8. Βρείτε ένα διάνυσμα κάθετο στο διάνυσμα Α=<3,5> 9. Βρείτε τα δύο μοναδιαία διανύσματα στην κατεύθυνση του C=3i‐4j 10. Βρείτε τα παράλληλα και κάθετα μοναδιαία διανύσματα στο σημείο (1,π/4) της 

καμπύλης y=tan‐1x 11. Χρησιμοποιώντας διανύσματα αποδείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα, που ενώνει τα 

μέσα 2 πλευρών ενός τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της. 

12. Αποδείξτε την ανισότητα του Cauchy   , , 0A B A B A B

  

13. Αποδείξτε την τριγωνική ανισότητα  , , 0A B A B A B

. Πότε ισχύει η 

ισότητα; 

14. Αν  A B A C

 και  0A

μπορούμε να συμπεράνουμε ότι  B C ; 

Δικαιολογείστε την απάντησή σας. 15. Βρείτε την απόσταση του σημείου (4,7) από την ευθεία με εξίσωση 8x‐3y+4=0 16. Βρείτε την τιμή του k ώστε τα διανύσματα A=<3,k> και B=<4,2> να είναι α) 

παράλληλα και β) κάθετα μεταξύ τους 17. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F=<4,7> κατά την μετατόπιση PQ με P(2,1) και 

Q(5,3). 18. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων P(3,4,6) και Q(‐2,6,0). Επίσης υπολογίστε 

το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος PQ. 

19. Περιγράψτε το γράφημα της επιφάνειας με εξίσωση  2 2 24 8 5x x y z z   

20. Βρείτε την εξίσωση της σφαίρας με διάμετρο που ορίζεται από τα σημεία P(‐3,5,‐2) και Q(2,6,‐1) 

21. Δείξτε ότι τα σημεία P(1,2,3), Q(4,‐5,2) και R(0,0,0) είναι οι κορυφές ενός ορθογώνιου τριγώνου. 

22. Αν η ευθεία L διέρχεται από το σημείο (1,2,3) και είναι κάθετη στο επίπεδο xy, να βρεθούν οι συντεταγμένες των σημείων της L που απέχουν απόσταση 7 από το σημείο P(3,‐1,5) 

23. Δείξτε ότι τα σημεία P(2,‐1,5), Q(6,0,6), R(14,2,8) είναι συγγραμμικά. 

24. Βρείτε το σημείο του άξονα y που ισαπέχει από τα σημεία (2,5,‐3) και (‐3,6,1) 25. Βρείτε τα συνημίτονα κατεύθυνσης του Α=5i+24j‐2k 26. Βρείτε τη διανυσματική προβολή του A=<3,6,1> πάνω στο B=<‐2,7,‐4> 27. Βρείτε και σχεδιάστε την αριθμητική και διανυσματική προβολή του Α=<‐3,4> πάνω 

στο Β=<5,1> 28. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων Α=<9,2,1> και Β=<5,1,‐3> 29. Αναλύστε το διάνυσμα Α=<5,2,‐1> σε ένα διάνυσμα κάθετο και ένα παράλληλο 

προς στο διάνυσμα Β=<2,‐1,5>  30. Χρησιμοποιώντας τα διανύσματα A=<4,2,‐3> και B=<‐4,2,6>, δείξτε ότι το διάνυσμα 

ΑxB είναι κάθετο και με το διάνυσμα Α και με το διάνυσμα Β  31. Βρείτε ένα διάνυσμα N το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζεται από τα 

σημεία P(1,‐3,2), Q(3,4,‐1) και R(2,1,1). Επίσης υπολογίστε το εμβαδό του τριγώνου με κορυφές τα P,Q,R. 

32. Βρείτε τον όγκο του παραλληλεπιπέδου που καθορίζεται από τα τμήματα PQ, PR, PS όπου P(3,1,5), Q(‐2,‐1,0), R(4,1,0), S(1,1,‐3). 

33. Αποδείξτε την ταυτότητα  22 2 2A B A B A B

  

34. Δείξτε ότι ισχύει η σχέση: ΒxA=‐(AxB) 35. Δείξτε ότι AxA=0 36. Δείξτε ότι (A‐B)x(A+B)=2(AxB) 37. Αν το Α=<2,‐3,1> είναι κάθετο στο επίπεδο P1 και το B=<‐1,4,‐2> είναι κάθετο σε 

ένα άλλο επίπεδο P2, δείξτε ότι τα επίπεδα P1 και P2 τέμνονται και βρείτε ένα διάνυσμα παράλληλο προς την ευθεία τομής τους. 

38. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία P(1,‐2,4) και Q(4,5,2). Σε ποιο σημείο αυτή τέμνει τα επίπεδα xy και yz; 

39. Δείξτε ότι οι ευθείες L1: x=x0+at, y=y0+bt, z=z0+ct και L2: x=x0+At, y=y0+Bt, z=z0+Ct είναι κάθετες μεταξύ τους αν και μόνο αν ισχύει aA+bB+cC=0 

40. Βρείτε την εξίσωση του επιπέδου που περιέχει το σημείο P(3,4,‐1) και είναι κάθετο στο διάνυσμα <5,‐2,1> 

41. Βρείτε τη γωνία μεταξύ των επιπέδων 4x+8y‐3x=1 και 5x‐2y+z=‐3 42. Εκφράστε διανυσματικά την απόσταση από την αρχή των αξόνων έως την τομή 2 

επιπέδων. 43. Βρείτε την απόσταση D από το σημείο (4,‐1,5) έως το επίπεδο 4x‐2y+z=3 44. Δείξτε ότι το επίπεδο 2x‐4y+4z=5 είναι παράλληλο προς το επίπεδο x‐2y+2z=2 και 

υπολογίστε την μεταξύ τους απόσταση. 45. Να βρείτε το σημείο τομής των ευθειών x=2t+1, y=3t+2, z=4t+3 και x=s+2, y=2s+4, 

z=‐4s‐1. Στη συνέχεια να βρείτε το επίπεδο που ορίζουν οι ευθείες αυτές. 46. Βρείτε την τιμή του k ώστε τα επίπεδα 3x‐5y+3z‐1=0 και 5x+3y‐kz+3=0 να είναι 

κάθετα μεταξύ τους. 

47. Δείξτε ότι οι εξισώσεις 4 6 9

3 4 12

x y z

 και 

1 2 3

6 8 24

x y z

 εκφράζουν 

την ίδια ευθεία. 48. Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο P(3,4,‐1) και είναι 

κάθετη στο επίπεδο 4x+3y‐z=4 

49. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των ευθειών: 2 3 3

2 1 2

x y z

  και 

1 2

4 3 5

x y z

  

50. Αναγνωρίστε και σχεδιάστε πρόχειρα τις ακόλουθες επιφάνειες: 

2 2 2 2 2

2 2 22

2 2

1, 116 9 9 36 25

1 , 4 09 16 2

4 5 1, 116 9

x y x y z

x y zy z

y xx y z