T. IFTIMIE. Tuneluri. Partea I. Elemente Introductive. UTCB. 1997-2009 (2)
56270608-Tuneluri-si-metropolitane.pdf
description
Transcript of 56270608-Tuneluri-si-metropolitane.pdf
TUNELURI ŞI METROPOLITANE
I. Introducere
1. Definiţie
Tunelul este o construcţie subterană, destinată să asigure continuitatea unei căi de comunicaţie în condiţiile în care traseul trece pe sub nivelul terenului, prin straturile de roci şi pământuri din porţiunea superficială a litosferei.
Fig. 1Dezvoltarea căilor de comunicaţii, mai ales a căilor ferate a generat dezvoltarea construcţiei de tuneluri.
hd > hdcr ( pentru o rocă dată) ⇒TUNEL
De la ce adâncime de debleu se trece la execuţia tunelului rezultă dintr-un calcul tehnico-economic:Cd = cost debleuCT = cost tunel
Cd ≈ CT ⇒ hdcr
Cd > CT ⇒ TUNEL
Exista si alte elemente tehnice care pot decide executia tunelurilor.
2. Elementele unui tunel
Intersecţia obţinută cu un plan perpendicular pe axul tunelului, relevă elementele care alcătuiesc secţiunea transversală a unui tunel (fig.2)
1
hd
TUNEL
Fig 2Căptuşeala sau structura de rezistenta este destinată să preia încărcările date de masiv, fără deformaţii menţinând secţiunea liberă a tunelului.
Fundaţiile căptuşelii constitue elementul ce transmite la terenul de fundaţie încărcările şi împingerile preluate de căptuşeală sub presiunea masivului muntos.
Zidurile drepte (piciore drepte) sunt partea căptuşelii cuprinsă între patrea superioară a fundaţiilor şi naşterea bolţii.
Bolta alcătuieşte partea superioară a căptuşelii şi este cuprinsă între planurile naşterilor şi cheia bolţii.
Radierul alcătuieşte partea inferioară a căptuşelii şi este cuprins între cele două fundaţii ale zidurilor drepte.
Prin construcţia sub formă de boltă interioară, ea asigură preluarea presiunilor de jos în sus, precum si menţinerea distanţei dintre fundaţiile zidurilor drepte.
Secţiunea liberă interioară constitue secţiunea utilă şi este denumită gabaritul tunelului.
Gabaritul poate fi :
• de construcţie – adica conturul transversal limită în plan vertical perpendicular pe axa tunelului al secţiunii libere interioare.
• de circulaţie - adica conturul transversal limită în planul vertical perpendicular pe axa căii, în interiorul căruia in afară de mijlocele de transport nu trebuie să intre nici o parte a construcţiei sau a instalaţiilor fixe ale tunelului.
2
3. Clasificarea tunelurilor
a). După scopul (funcţiunea)• tuneluri pentru căi ferate• tuneluri rutiere• tuneluri în oraşe (metrouri)• tuneluri apeduct• tuneluri pentru navigaţie• tuneluri hidrotehniceb). După locul• tuneluri în munte• tuneluri urbane (metrouri)• tuneluri pe fundul apelorc). După forma axei• în plan orizontal - aliniament - curbă• în plan vertical (profil longitudinal) - palier - în declivitate d). După forma căptuşelii• clopot• potcoavă• ovoidal• circulare). După modul de execuţie• în subteran • în tranşee deschisă.
II. Determinarea presiunii rocilor
1. Generalităţi
În interiorul maselor de roci din scoarţă, echilibrul este asigurat ca urmare a trei categorii de forţe:
• forţe gravitaţionale • forţe endogene, de natură tectonică
• forţe endogene, generate de atracţia corpurilor extraterestre.
MASIV ÎN ECHILIBRU
ECHILIBRUL MASIVULUI PERTURBAT
Fig. 3
3
Executarea excavaţiilor subterane, produce perturbarea stării de tensiune preexistente, ducând la apariţia unor tensiuni ce pot depăşi limita de elasticitate, producând apariţia zonelor plastice. Ca urmare, zonele cu tensiuni mai mari se deplasează spre interiorul masivului, rezultând în jurul excavaţiei tensiuni mai mici ce pot provoca afânarea rocii, formând zona lui Trompeter (fig.4):
Fig. 4
Examinând cazul unei galerii orizontale, cu secţiunea circulară, excavată într-un semispaţiu continuu, omogen, izotrop, elastic şi liniar deformabil atunci când 0
1σ şi 02σ sunt eforturile
unitare principale, în situaţia iniţială naturală, KIRSCH utilizează funcţia biarmonică Airy de forma:
θρ
ρρρρ cos)(ln2
422 FE
DCBA +++++=Φ (1)
2
2
2
11
δ θφδ×
ρ+
δ ρδ φ×
ρ=σρ
2
2
δ ρφδ=σθ (2)
)1
(δ θδ φ×
δδδ−=τρ
δ θ
]FE3
D3C[2sin2
B2]1
E6D12C2[2cos1
A
]8C2F4E6
[2cosB2A
242
42
2
242
ρ−
ρ−ρ+θ=τ
+ρ
+ρ+θ+ρ
−=σ
−+ρ
−ρ
−θ++ρ
=σ
ρθ
θ
ρ
(3)
∞→ρ condiţii la limită
θσ−σ−=τ
σ+σ=σ+σ
∞→ρρ θ
∞→ρθ∞→ρρ
2sin2
)(
)()(
02
01
02
01
(4)
4
M(ρ ,θ )
θ−π2
θπ−2
θ
ρ
r=ρ 0)(
0)(
r
r
=σ
=σ
=ρθ
=ρρ (5)
Notăm ρ=α r
, dacă 1r =α⇒ρ=
Cu aceste notaţii:
θαασστ
θασσασσσ
θαασσασσσ
ρ θ
θ
ρ
2sin)231)((2
1
2cos)31)((2
1)1)((
2
1
2cos)431)((2
1)1)((
2
1
2402
01
402
01
202
01
2402
01
202
01
+−−=
+−+++=
−+−−−+=
(6)
presiunea litostatică hp ⋅= γ
constanta lui Poisson ϑµ 1=
La distanţa suficient de mare de la marginea galeriei 0r →ρ
θ−−−=τ
θ−−−
=σ
θ−+−
=σ
2sin1m
2m
2
p
]2cos)2m(m[)1m(2
p
]2cos)2m(m[)1m(2
p
t
r
(7)
Se observă că eforturile unitare în masivul din jurul excavaţiei nu depind de caracteristicile mediului ci de starea naturală de deformaţii şi de mărimea razei excavaţiei.Pentru m=5 şi r=ρEforturile unitare maxime de compresiune p75.2max =σ se găsesc la pereţi în timp ce la tavan eforturile unitare de întindere au valoarea .p25.0=σ
3. Estimarea presiunii verticale a rocii. Metode pratice de evaluare a incarcarilor
Metodele de estimare a presiunilor verticale sunt grupate în trei grupe:
3.1. Metode care ţin seama de grosimea straturilor de roci deasupra tunelurilor
2.1. a. Metoda Terzaghi
Initial teoria lui Terzaghi a fost stabilita pentru (pamanturi) roci necoezive insa ea poate fi extinsa si pentru roci coezive.Schema de calcul:
5
Fig. 6
Terzaghi a stabilit presiunea ce se exercită asupra unei căptuşeli de tunel pe baza observaţiilor rezultate în urma unor experienţe cu nisip.
vh K
mtgbB
σσ
ϕ
⋅=
−+= )2
45(2
, K =(1,…1.5) – relaţie experimentală
ϕσϕσϕστ tgKctgctgc vh ⋅⋅+=⋅+=⋅+=
Ecuaţia de echilibru (echilibrul elementului de grosime dz si de latime B):
dzdBBdzB vvv ⋅++=⋅+⋅⋅ τσσσγ 2)( (1)
dztgKcdBBBdzB vvvv )(2 ϕσσσσγ ⋅⋅++⋅+⋅=⋅+⋅⋅ dz
1÷
ϕσγσtgKcB
dz
dB v
v ⋅⋅−−⋅= 22 B
1÷
vv
B
tgK
B
c
dz
d σϕγσ ⋅−−= 22 (2)
condiţiile la limită: z=0 , qv =σSoluţia ecuaţiei diferenţiale (2):
ϕϕ
ϕ
γσ
tgB
Kztg
B
Kz
v eqeKtg
B
CB 22
)1(2
)2
( −−
⋅+−−
= (3)
În cazul rocilor necoezive C=0 şi fără suprasarcină q=0:
6
)1(2
2 ϕ
ϕγσ
tgB
Kz
v eKtg
B −
−⋅= (4)
]1[
]1[2
2
zv
zB
Ktg
v
e
eKtg
B
α
ϕ
αγσ
ϕγσ
−
−
−=
−⋅=
daca z=H vv p=σ⇒
)1(2
2 ϕ
ϕγ tg
B
KH
v eKtg
Bp
−
−⋅= presiunea verticală pe căptuşeală (5)
În cazul în care tunelul este amplasat la o adăncime H>2.5B TERZAGHI consideră că tasarea straturilor situate sub această adâncime, nu influenţează starea de tensiune din straturile superioare, prin urmare se distinge o înălţime H2, în care se manifestă efectul de boltă:
Fig. 2
ϕϕγ
ϕγ tg
B
KHtg
B
KH
v eHeKtg
Bp
22 2
1
2
)1(2
−−
⋅⋅+−⋅= (6)
Daca H2 devine mai mare ca H5
1 termenul al doilea se poate neglija.
La adancimi mari ϕγKtg
BP
2max
⋅=
Când )B10H(H4H 212 ≥≥ termenul exponenţial tinde către zero, iar presiunea se poate calcula cu expresia:
ϕγKtg
Bpv 2
⋅= (7)
7
În general teoria lui Terzaghi, dă rezultate suficient de precise în cazul rocilor necoezive, pentru adâncimi de amplasare .B5,2H ≤
2.1.b. Teoria lui Suquet
Schema de calcul:
2
b
2
b ,
245
ϕ−=α
Fig. 3
Teoria lui Suquet aplicabilă pentru metropolitane executate în apropierea suprafeţei terenului se bazează pe observaţiile efectuate la construcţiile metroului din Paris.
Deasupra excavaţiei se formează o boltă de pământ ce preia o parte din greutatea coloanei de pământ, de deasupra căptuşelii.
Diferenţa determină apariţia asupra căptuşelii a unei presiuni considerate uniform distribuită.
]2
)mh(
tg
)3
mh(
2
b
[h
2p
2++α
+γ= (8)
Pentru cazul când h are valori mari atunci înălţimea m a calotei se poate neglija:
]htg
b[]
2
h
tg2
b[2p +
αγ=+
αγ= (9)
2.1.c. Teoria lui Eszto
8
∫=
=
θ=
H
0
1
2
dpp
B
dGdp
yH
ctgx
]2
ln2
[ln)
21(
2
2 θθ
θθγ
tgH
b
b
tgH
H
ctgbctg
p⋅
−⋅⋅−
=
3.2. Metode care nu ţin seama de influenţa adâncimii de amplasare a tunelurilor
9
δhtg
θα
3.2.1.a. Metoda lui Protodiakonov
Bazat pe o serie de date practice Protodiakonov a ajuns la concluzia că deasupra tavanului excavaţiei se formează o boltă a cărei formă îi asigură echilibrul numai prin eforturi de compresiune, fără momente încovoietoare sub acţiunea presiunii geologice.
Bolta care apasă asupra galeriei se numeşte „boltă de năruire” (”boltă de prăbuşire”).
Fig.1
Bolta de prăbuşire care acţionează asupra galeriei se consideră că s-a desprins de restul masivului, masivul rămânând în echilibru în jurul unui gol de forma bolţii de echilibru.
Fig. 2
Dacă acest gol rămâne în echilibru (fără să se prăbuşească) înseamnă că greutatea care apasă asupra galeriei este egală cu greutatea bolţii de prăbuşire (G).
Pentru a calcula valoarea lui G trebuie să cunoaştem:
• ecuaţia conturului bolţii de prăbuşire
• înălţimea bolţii de prăbuşire (h)
Dacă roca se menţine în echilibru cu golul în el înseamnă că conturul acestei bolţi este o curbă de coincidenţă deci în orice secţiune a bolţii M=0.
Se consideră o boltă cu trei articulaţii:
10
volum ce incarca galeria
deplasare infinitezimala
Shema de calcul:
Fig. 3
Definirea coeficientului de duritate al rocilor:
σ+ϕσ=
στ
= Ctgf rr
−ϕ unghi de frecare interioarăC – coeziunea p –presiunea uniform repartizată dată de coloana de pământ până la suprafaţă pe lăţimea b
γγ ⋅=⋅⋅⋅= Hb
Hbp
1
−τ presiune orizontală uniform distribuită
0)( =⇒∀ xMA
022
2
=−=− xpTy
xpxTy
2
2xpTy = - ecuaţia bolţii de presiune (10)
rr fbpfVT
bpV
bbp
hhhTbVM
⋅⋅=⋅=⋅=
=⋅⋅−⋅⋅−⋅−⋅⇒=
'
'0 0
220 τ
11
τ
ττ
τ
⇒=⋅−⋅⋅⋅−⋅
=⋅−⋅−⋅⋅⋅−⋅
022
022
22
222
hfhbp
bp
bp
hhfbpbp
r
r
rfhbpb
ph ⋅⋅⋅−⋅=⋅
22
22
τ
h
pbf
h
pbpbhf
bp
hr
r
22)
2(
22
2
2−=−=τ
h
pbf
h
pb r22
2
−=τ
Bolta va avea stabilitate maximă dacă: maxτ→τ
0)(221
2)1
(2)2
(23
2
223
2 =−=−⋅=−−−=h
bf
h
pb
h
pb
hpbf
hpbf
hpb
dh
drrr
τ
0h
bfr =− ,
h
bfr =
rf
bh = - înălţimea bolţii de năruire (11)
Ecuaţia bolţii de prăbuşire: 2
2pxTy =
2)(
2pxyhpbfhpbfT
ThfV
rr
r
=+⇒+=
=⋅+⋅
ττ
τ
Greutatea bolţii de prăbuşire : 123
21 ⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅= γγ hbAG
rrr f
b
f
b
f
hbbhG
3
4
3
4
3
4
3
4 22 γγγγ ==== (12)
fr – coeficient de duritate (s-a determinat experimental)fr = 0.3…20 funcţie de natura rocilor.
METODE CARE ŢIN SEAMA DE GROSIMEA STRATURILOR DE ROCI DE DEASUPRA TUNELURILOR
Teoria lui Bierbaumer
12
P – forţa care acţionează asupra căptuşelii
BHP
TGP OPSR
⋅⋅⋅=−=
γα2
Htghb
tgtg
c
⋅−⋅+
−⋅−=
)2
45(22
)2
45(1
2
ϕ
ϕαα
Hhp ⋅=
=
1
1 3
4
α
αα
Teoria lui Terzaghi
13
OPSRG
ph
ch
245
ϕ+
245
ϕ+
dydBBdG yyy τσσσ 2)( ++=+
Teoria este valabilă pentru pământuri necoezive C=0.
py =σ , pentru y = H
]1[2
2 ϕλ
ϕλγ tg
B
H
etg
Bp
−−= K=λ
Teoria dă rezultate bune pentru H > 3B
ϕλγtg
Bp
⋅⋅=
2K=λ
METODE CARE NU ŢIN SEAMA DE INFLUENŢA ADÂNCIMII DE AMPLASARE A TUNELULUITeoria lui Kommerell
ABDrafatasupG ×γ=
14
yσ
δ
245
ϕ+
δδ
ah
δ⋅= 100
a – procent de afânare
nisipuri, pietrişuri a = 1-3%
argile uscate a = 3-5%
marne a = 5-8%
gresii, calcare a = 8-12%
roci compacte a= 10-15%.
Teoria lui Ritter
P – forţa care acţioneză asupra galeriei
dxcos
ydxdP t
ασ
−γ=
ecuaţia parabolei : )xb(4
y 22
t
−σγ=
2
t
b4
hσγ=
)12
b(b2P t
t
2
γσ
−σ
γγ=
32
bt
⋅< γσ - susţinerea excavaţiei este necesară
tσ - rezistenţa de rupere prin întindere a rocii.
Teoria lui Protodiakonov
15
dxcos
t
ασ
dxtσ
α
)3(2 2
bhfh
bprez −⋅=τ
frez – coeficient de duritate
rezf
bh =
rez
2
f3
b4G
γ= - forta concentrata care actioneaza asupra captuselii
4. Estimarea presiunilor laterale
3.a. Teoria lui Protodiakonov
Se consideră că în cazul terenurilor slabe se formează două bolţi de năruire iar greutatea cuprinsă între cele două bolţi constitue supraîncărcarea pentru cele două prisme de alunecare.
16
de prabusire
τ
rezf
bh = ,
rez
'
f
abh
+=
)2
45(mtgaϕ−=
ABCD.VolAMNB.Vol =
]ab2[f3
2hahbh
3
2h)ba(
3
2
rezee
' +=⇒=−+
)]2
45(mtgb2[f3
2h
reze
ϕ−+= (13)
Împingerea laterală
)2
1(2
1 2
m
hKmE e
a +⋅⋅= γ (14)
)h2m(Km2
1)
2
mh(KmE eaea
' +××γ=+××γ= (14’)
unde: Ka – coeficientul de împingere activă
)2
45(tgK 2a
ϕ−=
17
Dacă: frez >5 nu avem împingeri laterale
frez 5≤ avem împingeri laterale.
Diagrama de presiuni laterale:
aei
aes
Kmhq
Khq
)( +=⋅⋅=
γγ
5. Calculul presiunilor de jos în sus exercitate asupra tălpii excavaţiei tunelului
Fig. 1
p02
a01
Kxp
K)xH(p
γ=+λ=
p1= p2
18
0x
245 ϕ+
245
ϕ−
245
ϕ+
245 ϕ+
ap
a
pa
KK
HKx
KxKxH
−=
=+
0
00 )( γγ
p1-presiune activa, p2- presiune pasiva
x0 – adâncimea până când se manifestă refularea
Cu cât unghiul de frecare interior ϕ este mai mic cu atât x0 va fi mai mare.
a. Metoda Ţimbarevici
Fig. 2
ppp
aaa
Kc2Kxp
Kc2K)xp(p
+γ=
−γ+=
)KK(
KK(c2pKxpp
ap
paapa −γ
+−=⇒=
E = Ea - Ep
)2
45sin(ES
)2
45cos(ET
ϕ−=
ϕ−=
19
245 ϕ−
ϕ
ϕ−=
cos
)2
45(sinE2T
2
0
- presiunea exercitată de jos în sus.
b. Metoda Davîdov (în roci necoezive)
Fig. 3
ap
a
KK
KHx
−= ,
)2
45(tgK
)2
45(tgK
2p
2a
ϕ+=
ϕ−=
)2
45sin(T2T
cos
)2
45sin(ET
Kx2
1K)H2x(x
2
1EEE
0
p2
apa
ϕ−=
ϕ
ϕ−=
γ−+γ=−=
20pp
020aa
a2
a2
0a
xK2
1E
)Hx2x(K2
1E
KH2
1K)xH(
2
1E
γ=
+γ=
γ−+γ=
notand : D = Ea – Ep
20
Fig. 4
)2
45(DtgN)
245sin(
T
)90sin(
N
Dcos
)2
45sin(T
)90sin(
D
)2
45sin(
T
ϕ−=⇒ϕ+
=ϕ−
ϕ
ϕ−=⇒
ϕ+=
ϕ−
(15)
)2
45(tg]xK2
1)Hx2x(K
2
1[N 2
0p020a
ϕ−γ−+γ= (15’)
N trebuie echilibrată de greutatea radierului şi a umpluturii.
.5.13.1N
GG ur ÷≥+
=η
21
245
ϕ−
245
ϕ−
ϕ+90ϕ+90
245
ϕ−
III. Calculul structurilor de rezistenta utilizate la constructii subterane
Calculul bolţii dublu încastrate
Fig. 1
0d – grosimea bolţii la cheie(0)
nd - grosimea bolţii la naşteri (n)
00 Id → - moment de inerţie la cheienn Id → - moment de inerţie la naşteri
Boltă cu moment de inerţie variabil
ndd <0
Variaţiile momentului de inerţie după Ritter:
1
0 )1(1cos l
xn
I
I−−=
ϕ , unde : 21
ll =
11
0 1cos l
xn
l
x
I
I⋅+−=
ϕ , dacă : n = 1 ϕcos0II =⇒
la naştere 0
0
cosϕI
I n =
22
0ϕ ϕ
0ϕ
La lucrări subterane (tuneluri, metrouri) se utilizează bolta cu moment de inerţie variabil sau bolta cu moment de inerţie constant.
După forma axei bolţii la lucrările subterane întâlnim (fig 2-a,b,c,d)
1). boltă pleoştită sub formă de parabolă cu : – d, I variabil- d, I constant.-
2). boltă sub formă circulară cu : – d, I variabil - d, I constant.
3). boltă sub formă de potcoavă cu : - d,I variabil - d,I constant.
4). secţiuni inelare (circulare) cu moment de inerţie constant.
fig.2/c.Boltă dublu încastrată sub formă de potcoavă
fig.2/d. Secţiune ineleră
Fig. 2
23
2. Calculul bolţii dublu încastrate solicitată la încărcări verticale uniform repartizată
3.
Bolta dublu încastrată este de trei ori static nedeterminată.
Necunoscutele le vom nota: X1, X2, X3 (vezi fig. 3/a, b):
fig.3/a
Calculul coeficienţilor sistemului (1) se efectuează pe sistemul de bază, static determinat (fig.3/b).
Sistemul de bază (static determinat) :
fig. 3/b
Calculul se face cu metoda forţelor. Ecuaţiile metodei forţelor sunt următoarele:
=∆+++
=∆+++
=∆+++
0
0
0
333 323 213 1
232 322 212 1
131 321 211 1
p
p
p
XXX
XXX
XXX
δδδ
δδδ
δδδ
(1)
Ecuatiile din sistemul (1) reprezinta :
Rotirea în punctul B datorată acţiunii forţelor X1=1, X2=1, X3=1
24
Deplasarea pe orizontală în punctul B este egală cu zero.
Deplasarea pe verticală în punctul B este egală cu zero.Sistemul (1) poate fi scris sub forma:
∑=
=∆+3
1
0k
ipkik Xδ (2)
i= 1,2,3
ikδ - deplasarea generalizată (deplasare sau rotire) pe direcţia i, produsă de necunoscutele Xk=1 (deplasările se calculeză pe sistemul de bază static determinat).
Exemplificând :
11δ - rotirea în punctul B produsă de momentul încovoietor unitar X1=1 12δ -rotirea în punctul B produsă datorită forţei X2=1 13δ - rotirea în punctul B produsă datorită forţei X3=1 21δ - deplasarea pe orizontală în punctul B datorită momentului unitar X1=1
22δ - deplasarea pe orizontală în punctul B datorită forţei X2=1
23δ - deplasarea pe orizontală în punctul B datorită forţei X3=1 31δ -deplasare pe verticală în punctul B datorită momentului unitar X1=1
32δ - deplasarea pe verticală în punctul B datorită forţei X2=1
33δ - deplasarea pe verticală în punctul B datorită forţei X3=1
Vezi fig. 4/a,b,c:
fig.4/a
},,{kNm1x 3121111 δδδ⇒=fig.4/b
},,{kN1x 3222122 δδδ⇒=
25
21δ
31δ
1X1 =11δ
22δ
1X2 =
12δ
32δ
Fig.4/c
},,{1 3323133 δδδ⇒= kNx
Matricea coeficientilor )(δA
sistemului (1)
verticalaBdeplasari
orizontalaBdeplasari
punctBrotiri
A
−−→−−→
−→
=
333231
232221
131211
)(
δδδδδδδδδ
δ
ip∆ - deplasarea pe direcţia necunoscutei i, produsă de încărcarea exterioară pp1∆ - rotirea în punctul B produsă de încărcarea p (fig.5) p2∆ - deplasarea pe orizontală în punctul B produsă de încărcarea p (fig.5)p3∆ - deplasarea pe verticală în punctul B produsă de încărcarea p (fig.5)
26
1X3 =
23δ
33δ
13δ
fig.5
},,{]ml
kN[p p3p2p1 ∆∆∆⇒
După determinarea coeficienţilor (rotirilor, deplasărilor) ipik ,∆δ , prin rezolvarea
sistemului (1) se obţin necunoscutele X1, X2, X3.
Determinarea eforturilor în boltă {M,N} se determină pe sistemul de bază cunoscând
toate forţele exterioare p, X1, X2, X3 (fig.6):
fig.6
Sistemul de axe: in acest caz alegem originea in punctul B.
M(x) – momentul încovoietor in secţiunea X
N(x) – forţa axială în boltă în sectiunea X
ϕϕϕ sinsincos)(2
)(
32
321
pxxxxN
xpxxxyxxxM
−+=
−+−=
Pentru a simplifica calculele, la bolţi simetrice, pentru ca fiecare ecuaţie să conţină doar o
necunoscută vom folosi centrul elastic (c) (fig.7)
27
p2∆
p3∆
p1∆
3x
2x
1x
ϕ
Centrul elastic este centrul de greutate a elementelor
∆l
s la bolţile cu moment de inerţie
variabil.
fig. 7
La bolţi simetrice, încărcate simetric X3=0 .
Ordonata centrului elastic se determină din condiţia 02112 == δδ
∫
∫=
s
s
I
ds
I
dsy
c
0
0
(3)
Dacă necunoscutele vor fi mutate în centrul elastic (O’) atunci fiecare ecuaţie conţine o
singură necunoscută (4).
adica:
=∆+
=∆+
0
0
222 2
111 1
p
p
x
x
δ
δ (4)
Ecuatiile din sistemul (4) reprezinta:
- rotirea în centrul elastic este egală zero,
- deplasarea pe orizontală în centrul elastic este zero.
La arce cu moment de inerţie variabil (fig 8):
ii tI
I=
0
28
3x3x1x 2x
oI –moment de inerţie ales arbitrar.
∑
∑∆
∆
=
i
i
ii
i
t
s
yt
s
c (5)
fig.8
fig.8.1
mii III
=+ +
21 , mi
mi
WI
s =∆ ,
21++= ii
mi
yyy
∑∑ ×
=
imi
imimi
W
yWc (6)
Calculul aproximativ al centrului elasic (6) este conform figurii 7:
Sistemul de bază în acest caz fig. 7:
29
1iI +
iI
iy1iy +
is∆
s∆
iymiy
1iy +
Se calculează conform relaţiei (7):
22
22
11
11
δ
δ
p
p
x
x
∆−=
∆−=
(7)
Cu necunoscutele X1 şi X2 se calculează eforturile secţionale M,N, pentru un punct oarecare P(x,y).
Pentru determinarea necunoscutelor deplasările se calculează cu relaţiile (8), (9), (10), (11):
∑ ∑∫∫ += dsEA
Nds
EI
M2
1
2
111δ (8)
∑∫ ∑∫+= dsEA
Nds
EI
M2
2
2
222δ (9)
∑ ∫∑ ∫×
+×
=∆ dsEA
NNds
EI
MM ppp
111
(10)
∑ ∑∫∫×
+×
=∆ dsEA
NNds
EI
MM ppp
222 (11)
Pentru nevoile proiectării curente sunt suficiente din relaţiile (8), (9), (10), (11), doar primii termeni.
Diagramele de momente: pMMM ,, 21 sunt determinate pe sistemul de bază fig.9/b,c,d:
30
ϕ
fig.9/a11 =M
fig. 9/b
1)(2 ×−= cyM
dacă: 1)(
0
2
2
×−=⇒=
=⇒=
cfMfy
Mcy
fig.9/c
22
2xp
xpxM p ==
822
2lp
lM
lx =
⇒=
Eforturile secţionale:
ϕϕ sincos)(2
)(
2
21
pxxxN
xpxcxxxM
+−=
−+−= (12), (13)
În cazul bolţilor cu axa circulară se pot efectua calcule în coordonate polare, fig. 10:
31
1x1 =1M
2M
pM
ϕ
fig.10
)cos1(cos
sin
ϕϕϕ
−=−==
rrry
rx
Cu acestă expresie a coordonatelor, expresia lui Mp :
ϕϕ 22
222
sin2
sin2
1
2
prrp
xpM p ===
( ) 02
2
00 sin2
0)0(0
ϕϕϕϕ
ϕpr
M
M
=⇒=
=⇒=
dacă: 222
2
0
prM =
⇒= ππϕ
5.3. Calculul bolţii dublu încastrate considerând sistemul de bază nesimetric, fig.11:
fig.11
Notând: 0I
It ii =
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑∆
∆
=∆
∆
=
×∆
×∆
=∆
∆
=
i
i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
ii
i
i
i
ii
i
t
s
yt
s
t
s
I
yt
s
I
It
s
yIt
s
I
s
yI
s
y
0
0
0
00 1
1
(14)
Sistemul de ecuaţii a metodei forţelor:
32
ϕ
is∆3x
2x1x
0yiy
=∆+
=∆+
=∆+
0
0
0
333 3
222 2
111 1
p
p
p
x
x
x
δ
δ
δ
(15)
Coeficienţii (deplasările şi rotirile) se calculează cu următoarele relaţii:
∑∑
∑∑
∑∑
−∆
=∆−
=
∆=∆=
∆=∆=
n
ii
ii
i
i
n
ii
in
ii
i
n
i
in
ii
xl
t
s
EIs
EI
xl
yt
s
Eis
EI
y
t
s
EIs
EI
1
2
0
2
33
1
2
01
2
22
101
2
11
)2
(1)
2(
1
11
δ
δ
δ
(16)
Deplasările din încărcărcarea exterioară uniform repartizată (17):
0
)(22
)(
)(22
)(
3
1
2
01
2
2
1
2
10
2
1
=∆
−∆
−=∆−
−=∆
−∆
−=∆−
−=∆
∑∑
∑ ∑
p
n
iii
in
ii
iip
n n
ii
ii
i
ip
yxlt
s
EI
ps
EI
yxlp
xlt
s
EI
ps
EI
xlp
(17)
03 =∆ p - dacă structura este simetrică.Într-o secţiune oarecare eforturile secţionale M şi N se calculează cu relaţiile:
.cos222
212211
ϕXNNxNN
yxxMMxMxMM
pp
ipp
+=+=
++=++= (18), (19).
33
6. Calculul sectiunii dreptunghiulare
Fig. 1
Peretii AB si CD au moment de inertie I0
Peretii AD si BC au moment de inertie I
Centrul elastic O se afla la mijlocul cadrului
2,
2
baO
0I
I=σ - rapotul momentelor de inertie
dsiEI Mii ⋅= ∫ 21δ ds
EI MM ipip ⋅=∆ ∫1
+=⋅= ∫ bads
M σσδ 2
2
111
+=⋅= ∫ 32
22
222
babdsM σσ
δ
34
+=⋅= ∫ baads
M σσδ
32
22
333
+−==∆ ∫ bapads
MM pp 312
2
11 σσ
022 ==∆ ∫ σds
MM pp
033 ==∆ ∫ σds
MM pp
01111 =∆+ pXδ ⇒
+
+
=b
a
ba
paX
σ
σ
24
32
1
Momentul incovoietor in punctele A,B,C,D se calculeaza cu relatia:
1XMMMMM PDCBA +====
( )σσ
σba
pa
ba
ba
papa
M A +−=
+
+
+−=12
24
3
8
32
2
( )σba
paM A +
−=12
3
La mijlocul deschiderii pe grinzile transversale
( )σba
papaM A +
−=128
32
Pe peretii verticali momentul incovoietor va fi AM
Metoda analitica de descompunere a structurii de rezistenta in elemente componente
35
Q- greutatea proprie bolta
Q0-greutatea boltii de naruire
−∆G greutatea penelor de pamant
l
GQQp
∆++= 0
Bolta este dublu incastrata (3 ori static nedeterminata)
Sistem de baza
∫
∫=
2/
0
2/
0
s
s
I
dsI
dsy
C
0=∆+ ipkik Xδ i=1,2,3 k=1,2,3
dsEA
NNds
EI
MM ski
ski
ik ∫∫ +=2/
0
2/
0δ
dsEA
NNds
EI
MM s pis piip ∫∫ +=∆
2/
0
2/
0
−
=
==
2
2
lpV
p lH
p lM
H
M
αα
eforturi din incarcari uniform repartizate verticale
−
==
e lH
e lM
H
M
ββ 2
eforturi din incarcari orizontale
Coeficientii HMHM ββαα ;;; sunt dati in tabelul nr. 1 in functie de 0,, ϕrl
f
Eforturile sectionale sunt determinate in punctele 1,2,3
Tabel nr. 1
36
Daca calculul boltii dublu incastrate se efectueaza cu metoda fortelor conform celor aratate in paragraful anterior, eforturile sectionale M si N sunt determinate cu urmatoarele relatii conform figurii
Determinand M si N in incastrare rezulta { }bbb VHM ,,
( )cyXXMM p −−−= 12
ϕcos1XNN p +=
{ }bbb VHM ,,
La fel se calculeaza si radierul rezultand { }rrr VHM ,,
{ } { }{ }rrr
bbb
MVH
MVHMVH
,,
,,,, ∠
Cunoscand aceste elemente se trece la calculul zidului drept
Calculul zidului drept
( ) ϕϕϕ
tgEES
WtgS
PtgS
pa +===
2
1
Deplasarile infinitezimale
c
e p11 =δ ϕδ
tga
f 11 =
c
e p22 =δ ϕδ
tga
f 22 =
bc
W=δ ϕδtg
af =
In calculele practice se lucreaza ϕtgf =
Fortele care actioneaza asupra zidului drept se afla in echilibru daca:
0
0
0
0 =
=
=
∑∑∑
−
−
M
F
F
yy
xx
37
( )0
2
0
0
1
21
=+++−+−−−−−+
=−−+−++
=−+++−
PhftEtEWtGtvVhHMMhHvVa
P
VWfEEGVP
HWfEEHPf
ppaaWgrrrrrbbbbb
rapb
rapb
Considerand zidul un corp rigid, la rotirea lui avem relatia:
figura
h
ee
b
WW ppab 21 −=
−
2
2
b
tb
GW
b
WW
W
b
−
+=
2
2
b
tb
GW
b
WW
W
a
−
−=
3
21 212
b
tb
W
h
ee Wpp
−
=−
W
M
A
N ±=2,1σ
Wp tt ; - bratele fortelor WE p ;
21
212
3 pp
ppp ee
eeht
++
⋅=
ba
baW WW
WWbt
++
⋅=2
3
bba Wb
WWW →
+=
2
121
2 ppp
p ehee
E →+
=
bW si 1pe se inlocuiesc in pt respectiv Wt dupa care pt si Wt se inlocuiesc in ecuatia de momente.
38
( )
3
21
1
21
212
02
0
0
b
th
W
h
ee
PhftEtEWtGtvVhHMMhHvVa
P
VWfEEGVP
HWfEEHPf
Wpp
ppaaWgrrrrrbbbbb
rapb
rapb
−
=−
=+++−+−−−−−+
=−−+−++
=−+++−
ba WWb
W +=2ab W
b
WW −= 2
21
2pp
p eeh
E+= 21
2p
pp e
h
Ee −=
22
22
2
22
3pp
p
ppp
p
eeh
E
eeh
E
ht
+−
+
−
⋅=
b
Wb
WW
b
Wb
WW
Wb
WW
bt
a
aa
aa
W 2
2
32
22
3
+⋅=
−+
−+⋅=
Sistemul se rezolva, necunoscutele fiind pE , W , pt si Wt .
( )2, ppp eEft =
( )aW WWft ,=
Din ecuatiile 3, 4, ⇒ ap We ;2 care vor fi inlocuite in relatia bW si 1pe
In acest fel cele 4 necunoscute sunt determinate.
39