אינדוקציה

אינדוקציה סדנה לבניית יחידות הוראה ממוחשבות

ר אורית צייכנר "ד: מרצה

-פיתוח יחידת הוראה במתמטיקה

ר צייכנר אורית"ד, אנדוקציה

אינדוקציה

עקרון

האינדוקציה

תרגילים /הוכחות

באינדוקציה

של

עם

שימוש

..ב

תכונות. 1

התחלקות

זהויות. 4

טריגונומטריות

נוסחאות. 2

נסיגה

של

של

הנחיות

למורההנחיות

לתלמיד

דף

משימה

אי . 3

שוויונות



אינדוקציה.ppt






דף משימה.doc

דף משימה.doc

עקרון האינדוקציה

? למה בכלל צריך אינדוקציה•

נניח שאנו רוצים לבדוק האם הטענה הבאה •

.טבעי nהוא מספר ראשוני לכל הביטוי:נכונה

נקבל את המספרים n=1,2,3,…,10 נשים לב שעבור •

.שכולם ראשוניים 11,13,17,23,31,41,53,67,83,101

תיתן מספר שאינו , למשל n=11, אך הצבה של •

ולכן על אף שהטענה נכונה )במקרה זה )ראשוני

.עבור עשרה מקרים היא אינה נכונה באופן כללי

2 11n n

211



עקרון האינדוקציה

. י בדיקת מספר מקרים"ראינו כי לא מספיק להוכיח טענה כללית ע• ?אז איך נוכיח טענה שכזו

!!!אינדוקציה היא התשובה

: שלבי האינדוקציה•

בסיס האינדוקציה . בסיס האינדוקציהבדיקת נכונות הטענה עבור ( א, כך. הוא המספר הטבעי הקטן ביותר שממנו והלאה הטענה נכונה

טבעי אז בסיס האינדוקציה הוא n אם הטענה נכונה לכל,למשל n=1.

נרשום את ) n=kנניח שהטענה נכונה עבור - הנחת האינדוקציה( ב (.kנציב nהטענה כשבמקום

.הנחת האינדוקציהבהסתמך על n=k+1מוכיחים את הטענה עבור ( ג



על אינדוקציה ודומינו

כדי . הוכחה באינדוקציה משתמשת באפקט הדומינו•שאבני דומינו שמסודרות אחת אחרי השנייה תיפולנה

:כולן חייבים להתקיים שני התנאים הבאים

נפילת האבן הראשונה שמקבילה לבדיקת נכונות בסיס 1) .האינדוקציה

נפילת אבן במקום כלשהו תגרור את נפילת האבן הבאה 2)היא n=kוזה מקביל לכך שאם הטענה נכונה עבור

.n=k+1תהיה גם נכונה עבור

.כאןלהדגמת אפקט הדומינו לחץ •



http://www.woot.co.il/2007/05/08/%D7%93%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%95-%D7%91%D7%A9%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%91-%D7%A1%D7%A0%D7%95%D7%A7%D7%A8

http://www.woot.co.il/2007/05/08/%D7%93%D7%95%D7%9E%D7%99%D7%A0%D7%95-%D7%91%D7%A9%D7%99%D7%9C%D7%95%D7%91-%D7%A1%D7%A0%D7%95%D7%A7%D7%A8

דוגמא .טבעי nזוגי לכל n(n+1)נראה כי•

הביטוי n=1 עבור : בדיקת בסיס האינדוקציה• .ולכן זוגי 2=(1+1)1

כלומר נניח ש n=kנניח נכונות הטענה עבור •

k(k+1) זוגי.

כלומר נוכיח ש n=k+1נוכיח נכונות הטענה עבור •

(k+1)((k+1)+1) זוגי.

: הוכחה(k+1)((k+1)+1)=(k+1)(k+2)=k(k+1)+2(k+1)

2זוגי ככפולה של י הנחת האינדוקציה"זוגי עפ

ל"מש• =זוגי זוגי זוגי +

למפת המושגים עבור לתכונות התחלקות

דף

משימה




דף%20משימה.doc


שוויונותאי

מצא את המספר הטבעי הקטן ביותר עבורו מתקיים אי •טבעי nוהוכח אותו באינדוקציה לכל השוויון

.ל"החל מהמספר הנ

:פתרון•

ל מתקיים רק "נקבל שאי השוויון הנ n=1,2,3,4אם נציב לכן בסיס האינדוקציה ( 49<81אז אנו מקבלים n=4 (עבור .n=4יהיה

) (: n=k הנחת האינדוקציה עבור •

:n=k+1ל שהטענה נכונה עבור "צ•

23 1 3n

n

= = =

= =

=

4k 23 1 3

k

k

2 1

3( 1) 1 3 3 3kk

k

...כמה מילים



שוויונותאי

מהנחת האינדוקציה נובע אי השוויון לכן אם •

נוכיח את אי השוויון אז בהכרח גם אי השוויון

.יתקיים

לאחר פתיחת סוגריים נקבל שמספיק להוכיח את אי •

השוויון

קל לראות כי אי שוויון זה מתקיים כש •

23(3 1) 3 3kk

2 23( 1) 1 3(3 1)k k

23( 1) 1 3 3kk

4k

26 6 1 0k k

למפת המושגים

דף

משימה






תכונות התחלקות .ללא שארית 6-טבעי הביטוי מתחלק ב nהוכח באינדוקציה שלכל •

. ללא שארית 6-מתחלק ב 0-נקבל ו: בסיס האינדוקציה : פתרון•

ונראה כי הטענה נכונה עבור . שלם ' מס: נניח נכונות עבור כלומר •

: נפתח את הביטוי ונקבל.שלם ' מס : ל"כלומר צ •

שלם לפי הנחת ' הוא מס( מבין שני השברים שהתקבלו) השבר השמאלי •נותר להוכיח : נפתח את השבר הימני בלבד ונקבל. האינדוקציה

תמיד ( k+1,k)מכפלת שני מספרים עוקבים, אכן. זוגי' שהשבר שקיבלנו הוא מס .ולכן השבר כולו הוא מספר שלם, יוצאת זוגית

פהנימוק נוסף להיותו של השבר הימני שלם ראינו •

3n n

( 1)n 31 1 0

n k3

6

k k

1n k 3

1 1

6

k k

3 3 2 3 21 1 3 3 1 1 3 3

6 6 6 6

k k k k k k k k k k

23 3 3 ( 1) ( 1)

6 6 2

k k k k k k

...כמה מילים למפת המושגים

דף

משימה






נוסחאות נסיגה

. , סדרה מוגדרת באמצעות כלל הנסיגה •

. הוכח שהאיבר הכללי הוא

נקבל וכן : בסיס האינדוקציה : פתרון•

:ל עבור "צ: נניח נכונות עבור

1 1a

1 6 2n na a n

23 1na n n

1n

1 1a

2

1 3 1 1 1 1a n k1n k 23 1ka k k

2

1 3( 1) ( 1) 1ka k k

2

1

2 2

2

6 2 3 1 6 2

3 6 3 1 1 3( 2 1) ( 1) 1

3( 1) ( 1) 1

k ka a k k k k

k k k k k k

k k

:י כלל הנסיגה והנחת האינדוקציה נקבל"עפ•

...כמה מילים למפת המושגים

דף

משימה






לפי האיבר : ניתן להגדיר סדרה בשני אופנים, להזכירך•

הכללי או לפי נוסחת נסיגה שמראה כיצד ניתן לקבל

.איבר מהאיבר הקודם לו

: בסדרה חשבונית נוסחת האיבר הכללי היא: לדוגמא•

כאשר : או לפי כלל נסיגה

בתרגילי אינדוקציה הבאים . האיבר הראשון נתון

נוכיח את נוסחת האיבר הכללי של סדרה המוגדרת

.י כלל נסיגה"עפ

1 ( 1)na a n d 1n na a d

חזור לנוסחאות נסיגה



באמצעות אינדוקציה אפשר להוכיח כי ביטוי מסוים מתחלק •

. במספר נתון ללא שארית

טבעי הביטוי nכך למשל נוכל להוכיח כי לכל

. ללא שארית 3-מתחלק ב

12 5n n

חזור לתכונות התחלקות



!!!אפשר להוכיח אי שוויונות באמצעות אינדוקציה•

חזור לאי שוויונות



זהויות טריגונומטריות

טבעי מתקיים nהוכח שלכל •

בשני האגפים מקבלים הנחת :בסיס האינדוקציה :פתרון• : האינדוקציה ל

:ל ל "צ •

: מספיק להוכיח בהסתמך על הנחת האינדוקציה ש

: n

...כמה מילים

sin sin 1sin 2 sin 4 sin6 ... sin 2

sin

n nn

( 1)n

n k

1n k

sin2

sin sin 1sin 2 sin 4 sin6 ... sin 2

sin

k kk

sin 1 sin 2

sin 2 sin 4 sin6 ... sin 2 sin 2 2sin

k kk k

sin sin 1 sin 1 sin 2sin 2 2

sin sin

k k k kk



המשך-זהויות טריגונומטריות

, נעזר בזהויות , נפתח את אגף שמאל•

:נקבל.

sin2 2sin cos

1

cos sin sin sin2

sin sin 1 sin sin 1 sin 2 2 sinsin 2 2

sin sin

sin sin 1 2sin( 1) cos( 1) sin

sin

sin 1 (sin 2cos( 1) sin )

sin

sin 1 (sin sin( 2) sin ) sin 1 sin 2

sin sin

k k k k kk

k k k k

k k k

k k k k k k

דף

משימה





באמצעות אינדוקציה אפשר להוכיח זהויות •

!!!טריגונומטריות

עליכם לדעת טוב את הזהויות הטריגונומטריות המתייחסות •

למקרה ששכחתם תוכלו למצוא את . לשתי זויות

כאןהזהויות הרלבנטיות

,

חזור לזהויות טריגונומטריות



זהויות.doc

דף הנחיות לתלמיד

. בפעילות זו נלמד על אינדוקציה ויישומיה השונים•

קראו על סוגי . קראו תחילה על עקרון האינדוקציה. העבודה תתבצע בזוגותהאינדוקציה השונים ולאחר שסיימתם כל אחד מהם גשו לדף המשימה ופתרו

.לאחר מכן חזור למצגת וקרא על הנושא הבא ורקאת הפעילות המתאימה

.הסוגים השונים ממוספרים בהתאמה לפעילויות שבדף המשימה: הערה

הזוג שיפתור את כל שאלות הבונוס יקבל . שימו בדף המשימה ישנן שאלות בונוס . ופר'צ

12.05.08עד לתאריך 5' נא להגיש את הפתרונות לתא מס

!לא לשכוח להוסיף את שמות המגישים

:לקריאה נוספת והעשרה

ויקיפדיה1.

אלף אפס2.

למפת המושגים

דף

משימה



http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%93%D7%95%D7%A7%D7%A6%D7%99%D7%94_%D7%9E%D7%AA%D7%9E%D7%98%D7%99%D7%AA

http://alefefes.macam.ac.il/article/article.asp?n=29




דף הנחיות למורה

אינדוקציה: נושא•

סוגי תרגילים בנושאים , האינדוקציה עקרון: תתי נושא•, אי שוויונות, נוסחאות נסיגה, תכונות התחלקות:הבאים

.זהויות טריגונומטריות

.ל מתמטיקה"יח 5ב "כיתה י :קהל היעד•

: מטרות•

.התלמיד יתנסה בלימוד בסביבה ממוחשבת1.

האינדוקציה ויכיר בעוצמתו של התלמיד יפנים את עקרון2. . כלי מתמטי זה להוכחת סוגי תרגילים שונים ומגוונים

למפת המושגיםדף

משימה






אינדוקציה

Education

Transcript of אינדוקציה