ระบบจำ��นวนจำรง

แผนผ งแสดงคว�มส มพั นธ์�ของจำ��นวน

จำ��นวนเชิงซ้�อน

จำ��นวนจำรง จำ��นวนจำนตภ�พั

จำ��นวนอตรรกยะ จำ��นวนตรรกยะ

เศษส"วน จำ��นวนเต#ม

จำ��นวนเต#มลบ ศ%นย�จำ��นวนเต#มบวก

1. จำ��นวนจำรง

ก�รบวกและก�รค%ณจำ��นวนจำรง

สมบ ต ก�รบวก ก�รค%ณ ปิ�ด 1. a+b R 6. a.b R

สลั�บที่� 2. a+b = b+a 7. ab = ba

เปิลั�ยนกลั��ม

3. (a+b)+c = a+(b+c)

8. (ab)c = a(bc)

เอกลั�กษณ์�

4. a+0 = 0+a = a

9. ax1 = 1xa = a

ตั�วผกผ�น

5. a+(-a) = (-a)+a = 0

10. a.a-1 = a-1.a = 1

แจกแจง

11. a(b+c) = ab + ac

เม��อ a , b , c เปิ�นจ� นวนจริ"ง

2. สมบ ตของระบบจำ��นวนจำรง

ทฤษฎี*บทท*+ 1 (กฏก ริตั�ดออกส� หริ�บก ริบวก)

เม��อ a , b แลัะ c เปิ�นจ� นวนจริ"งใดๆ ถ้) a+c = b+c แลั)ว a = b

พัส%จำน� 1. a+c = b+c ( ก� หนดให) )

2 . (a+c)+(-c) = (b+c)+(-c) (บวกค้)วยจ� นวนเดยวก�น)

3 . a+(c+(-c)) = b+(c+(-c)) (เปิลั�ยนกลั��มก ริบวก)

4 . a+0 = b+0 (ตั�วผกผ�นของก ริบวก)

5 . a = b (เอกลั�กษณ์�ของก ริบวก)

ทฤษฎี*บทท*+ 2 (กฏก ริตั�ดออกส� หริ�บก ริค้,ณ์)

เม��อ a , b แลัะ c เปิ�นจ� นวนจริ"งใดๆ ถ้) a.c = b.c แลัะ c แลั)ว a = b

0

ทฤษฎี*บทท*+ 3 เม��อ a เปิ�นจ� นวนจริ"งใดๆ a.0 = 0

ทฤษฎี*บทท*+ 4 เม��อ a เปิ�นจ� นวนจริ"งใดๆ (-1)a = -a

ทฤษฎี*บทท*+ 5 เม��อ a แลัะ b เปิ�นจ� นวนจริ"งใดๆ

ถ้) ab = 0 แลั)ว a = 0 หริ�อ b = 0

ทฤษฎี*บทท*+ 6 เม��อ a , b เปิ�นจ� นวนจริ"งใดๆ

1. a(-b) = -ab

2. (-a)b = -ab

3. (-a)(-b) = ab

พัส%จำน� 1. a(-b) = a[(-1)b]

= [a(-1)]b

ก�รลบและก�รห�รจำ��นวนจำรง บทนย�ม เม��อ a แลัะ b เปิ�นจ� นวนจริ"งใดๆ a – b = a + (-b)

บทนย�ม เม��อ a แลัะ b เปิ�นจ� นวนจริ"งใดๆ ที่� ,0b )( 1 ba

b

a

ทฤษฎี*บทท*+ 1 ถ้) a , b แลัะ c เปิ�นจ� นวนจริ"ง แลั)ว

1. a(b-c) = ab – ac

2. (a-b)c = ac – bc

3. (-a)(b-c) = -ab + ac

ทฤษฎี*บทท*+ 2 ถ้) จะได)0a 01 a

ทฤษฎี*บทท*+ 3 1. เม��อbc

a

cba

)(

2. เม��อbc

ac

b

a

0, cb

0, cb

3. เม��อbd

bcad

d

c

b

a 0, db

4. เม��อbd

ac

d

c

b

a))(( 0, db

5. เม��อb

c

c

b 1)( 0, cb

6. เม��อb

aca

cb

)(

0, cb

7. เม��อbc

ad

dc

ba

)(

)( 0,, dcb

3. ก�รแก�สมก�รพัห-น�มต วแปรเด*ยว ต วอย"�ง จงห เซตัค้� ตัอบของสมก ริ x3-3x2-4x+12 = 0

วธ์*ท�� x3-3x2-4x+12 = 0

(x3-3x2) - (4x-12) = 0

x2(x-3) – 4(x-3) = 0

(x-3)(x2-4) = 0

(x-3)(x-2)x+2) = 0

จะได) x-3 = 0 หริ�อ x-2 = 0 หริ�อ x+2 = 0

x = 3 หริ�อ x = 2 หริ�อ x = -2

ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของสมก ริค้�อ {-2 , 2 , 3}

ทฤษฎี*บทเศษเหล/อ (remainder theorem)

เม��อ p(x) ค้�อ พห�น ม anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+ … +a1x+a0 โดยที่� n เปิ�นจ� นวนเตั2มบวก

an,an-1,an-2,…,a0 เปิ�นจ� นวนจริ"ง ซ3�ง ถ้) ห ริพห�น ม p(x) ด)วยพห�น ม x-c เม��อ c

เปิ�นจ� นวนจริ"งแลั)ว เศษเหลั�อจะเที่� ก�บ p(c)

0na

ต วอย"�ง จงห เศษจ กก ริห ริ x3-3x2+2x-15 ด)วย x-4 วธ์*ท�� ให) p(x) = x3-3x2+2x-15

x-c = x-4

c = 4

จำะได�เศษเหล/อ ค/อ p(4) = 43-3(4)2 +2(4)-15

= 9

ด งน 1น x3-3x2+2x-15 ห�รด�วย x- 4 จำะเหล/อเศษเท"�ก บ 9

ทฤษฎี*บทต วประกอบ (factor theorem)

เม��อ p(x) ค้�อ พห�น ม anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+ … +a1x+a0 โดยที่� n เปิ�นจ� นวนเตั2มบวก

an,an-1,an-2,…,a0 เปิ�นจ� นวนจริ"ง ซ3�ง พห�น ม p(x) จะม x-c เปิ�นตั�วปิริะกอบ

ก2ตั�อเม��อ p(c) = 0

0na

ต วอย"�ง จงแยกตั�วปิริะกอบของ x3-5x2+2x+8

วธ์*ท�� ให) p(x) = x3-5x2+2x+8

เลั�อกค้� c = 2

จะได) p(2) = 23-5(2)2+2(2)+8

= 0

ด�งน�/น x-2 เปิ�นตั�วปิริะกอบของ x3-5x2+2x+8

น� x-2 ไปิห ริ x3-5x2+2x+8 โดยว"ธีตั�/งห ริ ได)ผลัลั�พธี�เปิ�น x2-3x-4

ด�งน�/น x3-5x2+2x+8 = (x-2)(x2-3x-4)

= (x-2)(x-4)(x+1)

ก�รห�รส งเคร�ะห� ต วอย"�ง จงห เศษจ กก ริห ริ x3-3x2+2x-15 ด)วย x-4

วธ์*ท�� - -4 1 3 2 15

4 4 24

1 1 6 9

ด�งน�/น x3-3x2+2x-15 ห ริด)วย x- 4 จะเหลั�อเศษเที่� ก�บ 9

ต วอย"�ง จงแยกตั�วปิริะกอบของ x3-5x2+2x+8

วธ์*ท�� เลั�อก c = 2 เปิ�นตั�วห ริ

- 2 1 5 2 8

2 -6 -8

1 -3 -4 0 ด�งน�/น x3-5x2+2x+8 = (x-2)(x2-3x-4)

= (x-2)(x-4)(x+1)

ทฤษฎี*บทจำ��นวนตรรกยะ เม��อ p(x) ค้�อ พห�น ม anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+ … +a1x+a0 โดยที่� n เปิ�นจ� นวนเตั2มบวก

an,an-1,an-2,…,a0 เปิ�นจ� นวนเตั2ม ซ3�ง ถ้) เปิ�นตั�วปิริะกอบของ p(x) โดยที่� m,

k เปิ�นจ� นวนเตั2ม ซ3�ง (m,k) = 1 แลั)ว m จะเปิ�นตั�วห ริของ an แลัะ k จะเปิ�นตั�วห ริของ a0

0na mkx

ต วอย"�ง จงแยกตั�วปิริะกอบของ 12x3+16x2-5x-3

วธ์*ท�� เลั�อก เปิ�นตั�วห ริ2

1

m

k

12 16 -5 -3

6 11 3

12 22 6 0

2

1

ด�งน�/น 12x3+16x2-5x-3 = ( )(12x2+22x+6)

21x

= ( )(2)(6x2+11x+3)21x

= (2x-1)(2x+3)(3x+1)

ต วอย"�ง จงแก)สมก ริ 6x3-11x2+6x-1 = 0

วธ์*ท��

4. สมบ ตของก�รไม"เท"�ก น สมบ ตไตรวภ�ค (trichotomy property)

ถ้) a แลัะ b เปิ�นจ� นวนจริ"ง แลั)ว a = b , a < b แลัะ a > b จะเปิ�นจริ"งเพยงอย� งใดอย� งหน3�ง

บทนย�ม หม ยถ้3ง น)อยกว� หริ�อเที่� ก�บ

หม ยถ้3ง ม กกว� หริ�อเที่� ก�บ

หม ยถ้3ง แลัะ

หม ยถ้3ง แลัะ

หม ยถ้3ง แลัะ

หม ยถ้3ง แลัะ cba

cba

cba

cba

ba

ba

ba

ba

ba

ba

cb

cb

cb

cb

a

a

b

b

5. ชิ"วงและก�รแก�อสมก�ร บทนย�ม เม��อเอกภพส�มพ�ที่ธี�เปิ�นเซตัของจ� นวนจริ"ง แลัะ a < b

1. ช่�วงเปิ�ด (a,b) หม ยถ้3ง {x / a < x < b}

2. ช่�วงปิ�ด [a,b] หม ยถ้3ง

}/{ bxax

3. ช่�วงค้ริ3�งเปิ�ด (a,b] หม ยถ้3ง}/{ bxax

4. ช่�วงค้ริ3�งเปิ�ด [a,b) หม ยถ้3ง}/{ bxax

5. ช่�วง (a, ) หม ยถ้3ง {x / x > a}

6. ช่�วง [a, ) หม ยถ้3ง }/{ axx

7 . ช่�วง (- ,a) หม ยถ้3ง {x / x < a}

8. ช่�วง (- ,a] หม ยถ้3ง }/{ axx

9. ช่�วง (- , ) หม ยถ้3ง เซตัของจ� นวนจริ"ง หริ�อ R

อสมก�ร อสมก ริใน x เปิ�นปิริะโยค้เปิ�ดที่�ม x เปิ�นตั�วแปิริ แลัะกลั� วถ้3งก ริไม�เที่� ก�น เช่�น

เซตัค้� ตัอบของอสมก ริใน x หม ยถ้3ง เซตัของจ� นวนจริ"ง โดยที่�จ� นวนจริ"งเหลั� น/

2

1

2x < 5 , x2+2 > 0 , 3x-4 0

เม��อน� ม แที่น x แลั)วที่� ให)อสมก ริเปิ�นจริ"ง ก ริแก)อสมก ริ ค้�อ ก ริห เซตัค้� ตัอบของอสมก ริ โดยใช่)สมบ�ตั"ของก ริไม�เที่� ก�น

ต วอย"�ง จงแก)อสมก ริ 3x+5 < 5x-9

วธ์*ท�� จ ก 3x+5 < 5x-9

- 5 บวก 3x < 5x-14

-5x บวก -2x < -14

ค้,ณ์ x > 7),7( ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของอสมก ริ ค้�อ {x / x > 7 } หริ�อ

ต วอย"�ง จงแก)อสมก ริ x2-5x-6 > 0

วธ์*ท�� จ ก x2-5x-6 > 0

จะได) (x+1)(x-6) > 0

กรณ*ท*+ 1 x+1 > 0 แลัะ x-6 > 0

น��นค้�อ x > -1 แลัะ x > 6 - 1 6

ค้� ตัอบ ค้�อ x > 6

กรณ*ท*+ 2 x+1 < 0 แลัะ x-6 < 0

น��นค้�อ x < -1 แลัะ x < 6

ค้� ตัอบ ค้�อ x < -1

ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของอสมก ริค้�อ

),6()1,(

ต วอย"�ง จงห ค้� ตัอบของอสมก ริ x2-5x-6 > 0

วธ์*ท�� จ ก x2-5x-6 > 0

จะได) (x+1)(x-6) > 0

ถ้) (x+1)(x-6) = 0

x = -1 , 6

+ -1 - 6 + เน��องจ ก ผลัค้,ณ์มค้� ม กกว� ศ,นย�

ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของอสมก ริค้�อ),6()1,(

ต วอย"�ง จงแก)อสมก ริ1

1

8

xx

x

6. ค้� ส�มบ,ริณ์�

บทนย�ม ให) a เปิ�นจ� นวนจริ"ง

0,

0,0

0,

aa

a

aa

a

ทฤษฎี*บท เม��อ x แลัะ y เปิ�นจ� นวนจริ"ง

yxyx

xx

xyyx

y

yxxy

xx

y

x

yx

.6

.5

.4

0,.3

.2

.1

22

7. ก�รแก�สมก�รและอสมก�รในร%ปค"�ส มบ%รณ� ทฤษฎี*บท เม��อ a เปิ�นจ� นวนจริ"งบวก

ถ้) = a แลั)ว x = a หริ�อ x = -ax

ต วอย"�ง จงห เซตัค้� ตัอบของสมก ริ 932 x

วธ์*ท�� จ ก 932 x

จะได) 2x-3 = 9 หริ�อ 2x-3 = -9

2x = 12 หริ�อ 2x = -6

x = 6 หริ�อ x = -3

ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของอสมก ริ ค้�อ {-3 , 6}

ต วอย"�ง จงห เซตัค้� ตัอบของสมก ริ 713 xx

วธ์*ท�� 1) จ ก 713 xx

จะได) 3x+1 = x+7 หริ�อ 3x+1 = -(x+7)

2) จ ก 713 xx

ยกก� ลั�งสอง (3x+1 )2 = (x+7)2

2x = 6 หริ�อ 4 x = -8 x = 3 หริ�อ x = -2

9x2+6x+1 = x2+14x+49 8x2-8x-48 = 0

x2-x-6 = 0 (x-3)(x+2) = 0

x = 3 , -2 ตัริวจค้� ตัอบ แที่น x ด)วย 3 แลัะ – 2 ได)สมก ริเปิ�น

จริ"ง ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของสมก ริ ค้�อ {-2 , 3}

ต วอย"�ง จงห เซตัค้� ตัอบของสมก ริ 2372 xx

วธ์*ท�� จ ก จะได) 2x-7 = 3x+2 หริ�อ 2x-7 = -(3x+2)

-x = 9 หริ�อ 5x = 5

x = -9 หริ�อ x = 1

ตัริวจค้� ตัอบ แที่น x ด)วย – 9 ที่� ให)สมก ริเปิ�นเที่2จ

ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของสมก ริ ค้�อ {1 }

2372 xx

ก�รแก�อสมก�รในร%ปค"�ส มบ%รณ� ทฤษฎี*บท ให) a เปิ�นจ� นวนจริ"งบวก

1. หม ยถ้3งax axa

2. หม ยถ้3งax axa

3. หม ยถ้3ง หริ�อax ax ax

4. หม ยถ้3ง หริ�อax ax ax

ต วอย"�ง จงห เซตัค้� ตัอบของอสมก ริ952 x

วธ์*ท�� จ ก 952 x

จะได) -9 < 2x-5 < 9 5 บวก , -4 < 2x < 14 2 ห ริ , -2 < x < 7 ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของอสมก ริ ค้�อ {x / -2 < x < 7}

ต วอย"�ง จงห เซตัค้� ตัอบของอสมก ริ512 xx

วธ์*ท�� จ ก 512 xx

จะได) หริ�อ )5(12 xx 512 xx

63 x 4x

2x

ด�งน�/น เซตัค้� ตัอบของอสมก ริ ค้�อ ),4[]2,(

ต วอย"�ง จงห เซตัค้� ตัอบของอสมก ริ2312 xx

วธ์*ท�� จ ก 2312 xx

ยกก� ลั�งสอง 4x2-4x+1 < 9(x2+4x+4)

4x2-4x+1 < 9x2+36x+36

-5x2 -40x-35 < 0

x2+8x+7 > 0

(x+7)(x+1) > 0ถ้) (x+7)(x+1) = 0

x = -7 , -1+ - +

-7 -1ด�งน�/น ค้� ตัอบของอสมก ริค้�อ ),1()7,(