презентацлек
-
Upload
studentkai -
Category
Education
-
view
180 -
download
0
description
Transcript of презентацлек
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №1
Теория систем и системный анализ – это научная дисциплина, разрабатывающая общие принципы исследования сложных объектов с учетом их системного характера, методология исследования объектов посредством представления их в качестве систем и анализа этих систем.
Теория иерархических систем – математическая теория, исследующая совместное поведение элементов многоуровневой иерархической структуры. Рассматривается «цепочка» из многих элементов, где на каждом уровне имеется только один элемент – «начальник» по отношению к элементам нижнего уровня, но «подчиненный» по отношению к верхним уровням. Каждый элемент имеет свои формализованные критерии, связанные с его местом в структуре и его интересами, причем выбор возможных действий, ограниченный некоторым числом заданных альтернатив, определяется «управляющей» информацией сверху и информацией, поступающей от следующих звеньев снизу.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №2
ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СИСТЕМ И СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА
В СОВРЕМЕННОЙ НАУКЕ
Категории систем по характеру иерархического расположения образующих систему элементов:
1. Одноуровневые одноцелевые системы.2. Одноуровневые многоцелевые системы.3. Многоуровневые многоцелевые системы.
Виды систем по количеству вариантов реализации:1. Однорежимные системы.2. Многорежимные системы.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №3
Классификация систем на основе их сложности:
1. Морфологические системы – такие, которые описываются при помощи сети структурных взаимосвязей.
2. Каскадные системы – показывают пути прохождения вещества и энергии (информации) в системе.
3. Системы типа действие-реакция объединяют указанные системы и показывают способ, которым структура привязана к процессу жизнедеятельности.
4. Управляющие системы – это системы, подобные указанным в п.3, в которых основные компоненты контролируются человеком.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №4
Классификация систем на основе взаимодействия с внешней средой:
1. Изолированные – это такие системы, границы которых закрыты для экспорта и импорта вещества и энергии (информации).
2. Закрытые – это такие системы, границы которых закрыты для экспорта и импорта вещества, но открыты для энергии (или информации).
3. Открытые – обмениваются и веществом, и энергией (информацией) с внешней средой.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №5
Классификация развивающихся экономических систем:
Экономико-демографические системы
Межотраслевыесистемы
Развивающиеся экономическиесистемы
Социально-экономическиесистемы
Технико-экономическиесистемы
Экономико-политические
системы
Природно –экологические
системы
Отраслевыесистемы
Региональныесистемы
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №6
Существенные характеристики, присущие всем иерархическим системам: последовательное вертикальное расположение подсистем, составляющих данную систему; приоритет действий или право вмешательства подсистем верхнего уровня; зависимость действий подсистем верхнего уровня от фактического исполнения нижними уровнями своих функций.
Полная система
Вход Выход Вмешательство Обратная связь Вход Выход Вмешательство Обратная cвязь Вход Выход
Подсистема уровня 1
Подсистема уровня n-1
Подсистема уровня n
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №7
Основные виды иерархий
Введем три понятия уровней: а) уровень описания или абстрагирования; б) уровень сложности принимаемого решения; в) организационный уровень.
Страты. Уровни описания или абстрагирования
Страта 2.Матеметические
операции
Страта 1.Физические
операции
Вход
Вход Выход
Выход
Страта 2.Обработка информации и
управление
Страта 1. Физические процессы
Страта 3. Экономические
факторы
Вмешательство
Обратнаясвязь
ОбратнаясвязьУправление
СырьеГотоваяпродукция
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №8
Некоторые общие характеристики стратифицированного описания системы:
1. Выбор страт, в терминах которых описывается данная система, зависит от наблюдателя, его знания и заинтересованности в работе системы.
2. Аспекты описания функционирования системы на различных стратах, в общем случае, не связаны между собой, поэтому принципы и законы, используемые для характеристики системы на любой страте, не могут быть выведены из принципов, используемых на других стратах.
3. Существует асимметричная зависимость между условиями функционирования системы на различных стратах.
4. На каждой страте имеется свой собственный набор терминов, концепций и принципов.
5. Понимание системы возрастает при последовательном переходе от одной страты к другой: чем ниже мы опускаемся по иерархии, тем более детальным становится раскрытие системы, чем выше мы поднимаемся, тем яснее становится смысл и значение всей системы.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №9
Многоэшелонные системы – организационные иерархии.
Процесс
Обратная связь
Обратная связь
Иерархия принятия решений
Решающий элемент
Координация
Управление
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №10
1. Планирование перевозок грузов – важнейшая задача, занимающая особое место среди других проблем планирования. Пусть используется транспорт нескольких типов, обслуживающий несколько маршрутов, причем перевозки по каждому из маршрутов заранее заданы. Известно, сколько груза может перевезти единица транспорта каждого типа на каждом из маршрутов и сколько единиц транспорта каждого типа имеется.
Пусть iju – количество транспорта i-го вида на j-м маршруте mjni ,1,,1 ; ijl –
количество груза, который может перевезти единица i-го транспорта на j-м маршруте; ia
– число единиц транспорта i-го вида; jb – количество груза, который необходимо
перевезти на j-м маршруте. Тогда условия полной перевозки груза будут иметь вид:
n
ijijij mjbul
1
.,1,
Условия использования лишь того транспорта, который имеется в наличии, имеют вид:
m
jiij niau
1
.,1,
Кроме того, имеется условие неотрицательности величин
.,1,,1,0 mjniuij
Цель при планировании перевозок грузов – обеспечить минимум затрат на перевозку, поэтому при выборе плановых решений за критерий оптимальности принимается следующий:
mn
jiijijucuJ
,
1,
min, (1.1)
где ijc – стоимость эксплуатации единицы i-го транспорта на j-м маршруте.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №11
2. Проблемы управления запасами возникают при рассмотрении разнообразных экономических объектов. При анализе розничной торговли рассматриваются оптимальные запасы некоторого товара в магазине. Управлять запасами приходится и на производстве, при планировании работы любой производственной единицы, т. к. чрезмерно большой запас приводит к нерациональному использованию оборотных средств, а нехватка сырья или инструмента – приводит к перебоям в производстве.
Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части.
Количество продукта на складе в момент времени t обозначим tu , при этом продукт расходуется с постоянно заданной интенсивностью . При управлении запасами обычно
принимается следующая стратегия: выбирается уровень запаса 1u такой, что при достижении этого уровня запаса посылается заказ на пополнение запаса в количестве
0u . Цель исследования систем хранения запасов состоит в выборе наилучшей стратегии управления запасами. В задачах управления запасами оптимальными вариантами управления являются те из них, на которых издержки достигают наименьшего значения. Следовательно, цель управления запасами – обеспечить минимальные издержки, поэтому критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией издержек, которая имеет вид:
min,1
0210
dttucucc
TuJ
T
(1.2)
где T – время производственного цикла; 0с – стоимость издержек, не зависящая от
объема заказа и возникающая в связи с самим фактом произведения заказа; 1с –
стоимость издержек, пропорциональная количеству заказанного товара; 2с – стоимость издержек, связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №12
3 . П р и ст р ат еги ч еск о м п л ан и р о в ан и и о р ган и зац и и в аж н о й за д ач ей я в л я ет ся р азв и т и е м ат ер и ал ь н о -т ех н и ч еск о й б азы ф и р м ы . П р и это м ц ел ь о п ти м ал ь н о ст и п р о ц есса р азв и т и я м ат ер и ал ь н о -т ех н и ч еск о й б азы ф и р м ы м о ж н о зад ать сл ед ую щ и м (к р и т ер и ем ) ф ун к ц и о н ал о м [5 ]:
T
TVdttVJ0
2н min, (1 .3 )
гд е , – в есо в ы е к о эф ф и ц и ен т ы ,0,0,1 VV ,н – н ео св о е н н ы е О П Ф (к ап и т ал ь н ы е в л о ж ен и я ) и о св о ен н ы е О П Ф со о т в ет ст в ен н о . Э к о н о м и ч еск и й см ы сл к р и т ер и я о п т и м ал ь н о сти зак л ю ч ает ся в сл ед у ю щ ем . М и н и м и зац и я п ер в о го сл агаем о го в в ы р аж ен и и ф ун к ц и о н ал а (1 .3 ) :
T
dttVJ0
2н1
о тр аж ает тр еб о в ан и е м ак си м ал ь н о й эк о н о м и и к ап и т ал ь н ы х в л о ж ен и й . В то р о е сл агаем о е в в ы р аж ен и и ф ун к ц и о н ал а (1 .3 )
TVJ 2
и е го м и н и м и зац и я р ав н о си л ь н о м ак си м и зац и и tV зн ач ен и я О П Ф с в есо в ы м
к о эф ф и ц и ен то м в к о н ц е п л ан о в о го п ер и о д а T,0 . Т ак и м о б р азо м , в ф ун к ц и о н ал е (1 .3 ) о т р аж ен ы д в а п р о т и в о п о л о ж н ы х т р еб о в ан и я к п р о ц ессу – эк о н о м и и к ап и т ал о в л о ж ен и й с о д н о й ст о р о н ы и ув ел и ч ен и ю О П Ф п р ед п р и я т и я – с д р уго й .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №13
4. Выход на потребность в продукции, обусловленной рыночным спросом, за минимальное время является одной из важных задач коммерческой организации. Пусть tPP – потребность в продукции предприятия, которая здесь считается известной функцией времени в рассматриваемом интервале времени.
Здесь в отличие от предыдущей задачи интервал T,0 заранее не задан. Но задана потребность в конечной продукции как функция времени, которой требуется достичь как можно быстрее. Следовательно, целью данной задачи является минимальное время достижения потребности в продукции, а критерий оптимизационной задачи примет вид:
.min0
T
dtJ (1.4)
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №14
5 . П р и с т р а т е г и ч е с к о м п л а н и р о в а н и и в а ж н о й з а д а ч е й я в л я е т с я р а с п р е д е л е н и е р е с у р с о в м е ж д у п р о и з в о д с т в е н н ы м и п о д р а з д е л е н и я м и . П у с т ь н е к о т о р а я ф у н к ц и я ii VЭ н о т р а ж а е т у в е л и ч е н и е в ы п у с к а п р о д у к ц и и н а i - м п р е д п р и я т и и з а с ч е т р е а л и з а ц и и н а н е м к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й в о б ъ е м е iV н . П о к а з а т е л ь ii VЭ н я в л я е т с я к р и т е р и е м э ф ф е к т и в н о с т и к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й [ 5 ] . П у с т ь к о л и ч е с т в о п р е д п р и я т и й д а н н о й о р г а н и з а ц и и n , а з а д а н н ы й ф о н д
к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й niAVA i ,1,0 н , п р и э т о м в о п т и м а л ь н о м п л а н е в е с ь ф о н д к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й д о л ж е н б ы т ь п о л н о с т ь ю р е а л и з о в а н . П р е д п о л о ж и м , ч т о в с е ф у н к ц и и ii VЭ н в о з р а с т а ю щ и е , т о е с т ь
nidVd Э ii ,1,0н , т о е с т ь э ф ф е к т и в н о с т ь р е а л и з а ц и и к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й в о з р а с т а е т с у в е л и ч е н и е м и х о б ъ е м а . М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь р а с п р е д е л е н и я к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й м е ж д у п р е д п р и я т и я м и и м е е т с л е д у ю щ и й в и д :
.,1,0,
max,
н1
н
1н
niVAV
VЭ
i
n
ii
n
iii
( 1 . 5 )
С л е д о в а т е л ь н о , ц е л ь р а с п р е д е л е н и я к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й м е ж д у п р е д п р и я т и я м и – д о б и т ь с я м а к с и м у м а с у м м а р н о й э ф ф е к т и в н о с т и п р и р а с п р е д е л е н и и с р е д с т в м е ж д у п о д р а з д е л е н и я м и о р г а н и з а ц и и .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №15
6 . К а к и з в е с т н о , п р о ц е с с к о н т р о л я с о с т о и т и з у с т а н о в к и с т а н д а р т о в ( у с т а н о в к и к о н к р е т н ы х ц е л е й ) , и з м е р е н и я ф а к т и ч е с к и д о с т и г н у т ы х р е з у л ь т а т о в и п р о в е д е н и я к о р р е к т и р о в к и в т о м с л у ч а е , е с л и д о с т и г н у т ы е р е з у л ь т а т ы с у щ е с т в е н н о о т л и ч а ю т с я о т у с т а н о в л е н н ы х с т а н д а р т о в .
О т к л о н е н и я о т р е ж и м а п л а н о в о г о р а з в и т и я , в ы з в а н н ы е и з м е н е н и я м и в н е ш н е й о к р у ж а ю щ е й с р е д ы о р г а н и з а ц и и , х а р а к т е р и з у ю т с я с л е д у ю щ и м и в е л и ч и н а м и :
,, ннн tVtVtVtVtVtV г д е с и м в о л ( * ) о з н а ч а е т р е ж и м п л а н о в о г о р а з в и т и я . Т о г д а ц е л ь ю п р о ц е с с а с т а б и л и з а ц и и п л а н о в о г о р а з в и т и я о р г а н и з а ц и и я в л я е т с я м и н и м и з а ц и я о т к л о н е н и я о т р е ж и м а п л а н о в о г о р а з в и т и я О П Ф о р г а н и з а ц и и п р и м и н и м а л ь н ы х з а т р а т а х и н в е с т и ц и й . К р и т е р и й п р о ц е с с а с т а б и л и з а ц и и в э т о м с л у ч а е п р и м е т в и д :
min,0
2н
2
dttVtVJ ( 1 .6 )
г д е , – в е с о в ы е к о э ф ф и ц и е н т ы 1,0,0 , T – б е с к о н е ч н ы й г о р и з о н т п л а н и р о в а н и я .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №16
7. Главная задача организации, занимающейся бизнесом – это получение определенной прибыли при ограниченных затратах. Эта ее задача отражается в таких целях, как рентабельность и производительность. Поэтому целевым критерием системы будет норма рентабельности организации, которая имеет вид [18]:
T
n dttVtWtUtCVW
R000
max,1 (1.7)
где dttWT
WT
0
01
– средняя стоимость ОбПФ, dttVT
VT
0
01
– средняя стоимость ОПФ, tC – цена единичной
продукции в момент времени t, tU – валовой выпуск в натуральном измерении, tV – стоимость ОПФ в момент времени t, tW – стоимость ОбПФ в момент времени t, T – интервал времени (например, один год), – коэффициент амортизации ОПФ.
8. Цель оптимального развития экономики однопродуктовой макроэкономической системы – удовлетворение потребности общества какого-либо региона в данном продукте. Поэтому целевым параметром (критерием) системы является критерий, предусматривающий рост потребления и возможность наращивать определенный экономический потенциал к конечному моменту времени, который может быть выражен функционалом следующего вида [5]:
.max,0
T
t TVdttPgeJ (1.8)
Здесь первое слагаемое представляет собой суммарное взвешенное потребление на промежутке [0,T], терминальный член имеет смысл накопления производственного потенциала в конечный момент времени. Весовые коэффициенты , говорят о приоритете, который имеет каждое из этих слагаемых. Если отдается предпочтение
потреблению, то , а если накоплению производственного потенциала, то . Подынтегральное выражение
tPge t , – дисконтированное потребление, tPg , – функция полезности, – коэффициент дисконтирования, TV –
стоимость ОПФ в момент времени T и непроизводственное потребление tP .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №17
Логистическая функция описывается уравнением вида [6]:
,exp1
max
bta
XtX
(2.1)
где tX – численность популяции в единице объема выпуска системы в мо-мент времени t; maxX – максимальная численность популяции; a, b – констан-ты. Из рис. 2.1 видно, что логи-
стическая кривая начинается в
точке aX 1max , симметрична
и имеет точку перегиба с коорди-
натами
.2,ln maxпп XXbat
Константа a определяет по-
ложение логистической кривой по
времени (сдвиг влево или вправо),
константа b – наклон кривой. Эти
константы очень легко вычисля-
ются по формулам:
0max
2
0
max 1,1
tt
dt
dX
aX
ab
tX
Xa . (2.2)
X maxX
2maxX
a
X
1max t
0 t1 ln a/b t2
Рис. 2.1
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №18
В м о д е л и Р и д е н у р а п р е д п о л а г а е т с я б е з о с о б о й с т р о г о с т и э к с п о н е н ц и а л ь н ы й з а к о н р о с т а , к а к о б щ и й з а к о н т е х н и к о - э к о н о м и ч е с к о г о р а з в и т и я . П р и э т о м с ч и т а е т с я , ч т о с т е п е н ь п р и з н а н и я к а к о г о - т о н о в о г о п р о д у к т а ( т е х н о л о г и и ) о б щ е с т в о м п р о п о р ц и о н а л ь н а ч и с л у п о т е н ц и а л ь н ы х п р о и з в о д и т е л е й , о з н а к о м и в ш и х с я с н и м :
,ALdt
dL ( 2 . 9 )
г д е A – к о э ф ф и ц и е н т п р о п о р ц и о н а л ь н о с т и . К о э ф ф и ц и е н т A о п р е д е л я е т с я к а к в е р о я т н о с т ь т о г о , ч т о ч е л о в е к , в п е р в ы е о з н а к о м и в ш и с ь с т е х н о л о г и е й , с т а н е т п о т е н ц и а л ь н ы м е е п о т р е б и т е л е м . Э т а в е р о я т н о с т ь а п п р о к с и м и р у е т с я с о о т н о ш е н и е м :
max
1L
LaA , ( 2 . 1 0 )
г д е a – к о н с т а н т а . П о д с т а в л я я в ы р а ж е н и е ( 2 . 1 0 ) в ф о р м у л у ( 2 . 9 ) , п о л у ч и м
.1max
L
LaL
dt
dL ( 2 . 1 1 )
Р е ш е н и е м у р а в н е н и я ( 2 . 1 1 ) я в л я е т с я л о г и с т и ч е с к а я ф у н к ц и я с л е д у ю щ е г о в и д а :
,
exp110
max
max
atL
L
LtL
( 2 . 1 2 )
г д е 00
ttLL – н а ч а л ь н о е з н а ч е н и е в е л и ч и н ы .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №19
С в о й с т в а П Ф . П р и в е д е м о б щ и е с в о й с т в а п р о и з в о д с т в е н н ы х ф у н к ц и й . П Ф в с е г д а н е о т р и ц а т е л ь н а : 0,, tLVF . П Ф н е п р е р ы в н а и о б р а щ а е м а в н у л ь . Б у д е м п о л а г а т ь , ч т о ф у н к ц и я
tLVF ,, н е п р е р ы в н а п о V и L и 0,0,,,0 tVFtLF . П Ф – м о н о т о н н о в о з р а с т а ю щ а я ф у н к ц и я п о к а ж д о м у и з а р г у м е н т о в :
.0,0 L
F
V
F
П Ф – д в а ж д ы д и ф ф е р е н ц и р у е м а я с у б ы в а ю щ и м и т е м п а м и р о с т а :
.0,02
2
2
2
L
F
V
F
П Ф о б л а д а е т с в о й с т в о м а д д и т и в н о с т и , т о е с т ь .,,, 22112121 LVFLVFLLVVF
О б ъ е д и н е н и е у с и л и й д в у х с и с т е м д а е т р е з у л ь т а т ы , п о к р а й н е й м е р е , н е х у д ш и е , ч е м р е з у л ь т а т ы к а ж д о й с и с т е м ы в о т д е л ь н о с т и . У с л о в и я а д д и т и в н о с т и о к а з ы в а ю т с я н е с п р а в е д л и в ы м и , е с л и и м е е т с я « д е ф и ц и т н о с т ь » ф а к т о р о в п р о и з в о д с т в а , к о т о р ы е н е у ч и т ы в а ю т с я в д а н н о й м о д е л и . П Ф о б л а д а ю т с в о й с т в о м м у л ь т и п л и к а т и в н о с т и , к о т о р о е д а е т в о з м о ж н о с т ь о т р а з и т ь э ф ф е к т м а с ш т а б а п р о и з в о д с т в а . П у с т ь э т и ф а к т о р ы и з м е н я ю т с я в n р а з , т о г д а
tLVFntnLnVF ,,,,
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №20
Характеристики ПФ. 1. Коэффициенты эластичности выхода системы по входным ресурсам:
L
F
L
F
V
F
V
F
, .
2. Предельная норма замещения ресурсов. Под предельной нормой замещения ресурсов понимают количество фондов, которое необходимо дополнительно ввести при уменьшении затрат труда на единицу, если выпуск продукции остается неизменным. Предельная норма замещения S определяется из уравнения изокванты (линия равного выпуска продукции):
.0 dLL
FdV
V
FdX
Отсюда
VF
LF
dL
dVS
.
Формула (2.25) показывает взаимосвязь между ресурсами V, L. Знак «–» означает, что с увеличением V, L должно убывать, чтобы обеспечить постоянный выпуск системы. 3. Эластичность замещения системы определяется следующим образом:
LV
S
dS
LVd .
Введем дополнительные обозначения: LVv – фондовооруженность труда; VX – фондоотдача; LXx – производительность труда. Тогда эластичность замещения системы определится так:
v
S
dS
dv .
Следовательно, эластичность замещения системы показывает, на сколько процентов надо изменить фондовооруженность системы при сохранении постоянства выпуска, чтобы предельная норма замещения изменилась на 1%.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №21
О б щ е е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е д л я о п р е д е л е н и я р а з л и ч н ы х п р о и з в о д с т в е н н ы х ф у н к ц и й .
,LL
FV
V
FX
г д е L
Fw
V
Fr
, – п р е д е л ь н а я п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь ф а к т о р о в
п р о и з в о д с т в а . В ы в е д е м ф о р м у л у д л я э л а с т и ч н о с т и з а м е щ е н и я :
,
1
1
2
2v
vv
v
vv
v
fvf
ffvf
f
fff
fv
f
vS
vS
.
v
vv
fvf
ffvf
Э т о о б щ е е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о е у р а в н е н и е д л я о п р е д е л е н и я П Ф . П е р е п и ш е м е г о в б о л е е у д о б н о й ф о р м е :
.02 fffvfvf vvv
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №22
П р о и з в о д с т в е н н а я ф у н к ц и я Л е о н т ь е в а .0,0 t И з у р а в н е н и я ( 2 . 3 0 ) п о л у ч и м :
02 fffv vv и , с л е д о в а т е л ь н о , и м е е м д в а р е ш е н и я :
а ) .const,0 0 aff v
б ) .,,0 1 vafv
dv
f
dfffv v
П е р е х о д я к п о л н ы м п е р е м е н н ы м , п о л у ч и м :
,)
;)
11
0
VaL
VLaLfXб
LaLfXa
т о е с т ь ., 10 aXVaXL Н а й д е м у р а в н е н и е и з о к в а н т ы П Ф Л е о н т ь е в а и з у с л о в и я X = c o n s t = X 0
и п о л у ч и м ., 1000 aXVaXL
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №23
П р о и з в о д с т в е н н а я ф у н к ц и я К о б б а – Д у г л а с а . Р а с с м о т р и м с н а ч а л а о б щ и й с л у ч а й , к о г д а .1,0
.0222 uu
uu
uuu
uu effefeffefe
С о к р а щ а я н а ue
, п о л у ч и м : .01 2 uuu fffff
С д е л а е м е щ е о д н у з а м е н у п е р е м е н н ы х
,,, Pdx
dP
du
dx
dx
dP
du
dP
du
xdtuxPx u
u
С д р у г о й с т о р о н ы , и з в е с т н о , ч т о uuuu fxfxfx ,, . С л е д о в а т е л ь н о , в ы р а ж е н и е м о ж н о п е р е п и с а т ь т а к :
,01 2 PPfdx
dPPf
.0,01 PPfdx
dPf
Т е п е р ь у р а в н е н и е ( 2 . 3 5 ) м о ж н о с в е с т и к п о л н о м у д и ф ф е р е н ц и а л у , в о с п о л ь з о в а в ш и с ь м е т о д о м и н т е г р и р у ю щ е г о м н о ж и т е л я , п р е д в а р и т е л ь н о з а п и с а в е г о в с л е д у ю щ е м в и д е :
.01 Pxdx
dPx
Р е ш е н и е у р а в н е н и я ( 2 . 3 6 ) б у д е м и с к а т ь в в и д е : 1CxxP .
П о д с т а в и в з н а ч е н и е P , б у д е м и м е т ь
.1 Cxxdu
dx
Р а с с м о т р и м о д и н и з в о з м о ж н ы х с л у ч а е в :
.,1,0,1 11
uCeCxCxdu
dxt
У ч и т ы в а я , ч т о vuvfx ln, , п о л у ч и м
,11
ln11
CvC vCeCvf CC
C
LVCL
VLCLfF
1
1
1
1
и л и , п о л а г а я C 1 , п о л у ч и м ф у н к ц и ю К о б б а – Д у г л а с а : 1
1 LVCX .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №24
О б о б щ е н и е п р о и з в о д с т в е н н о й ф у н к ц и и К о б б а – Д у г л а с а , ф у н к ц и я С о л о у :
, RSLAVX г д е ,,,,A – к о н с т а н т ы . Т е п е р ь р а с с м о т р и м б о л е е с л о ж н ы й с л у ч а й : ,t, 01
1Cxxdu
dx – э т о у р а в н е н и е Б е р н у л л и .
,,1
1
v
dv
Cxx
dxCxx
dv
dxv
а э т о у р а в н е н и е л е г к о и н т е г р и р у е т с я , и р е ш е н и е в н е я в н о м в и д е б у д е т : .1
110
11 avax
г д е 10 , aa – к о н с т а н т ы . Д л я п о л у ч е н и я П Ф п о д с т а в и м LXxLVv , в у р а в н е н и е ( 2 .4 1 ) , п о л у ч и м :
.111
11
011
11
aL
Va
L
X
О б о з н а ч и м . 11 Т о г д а п о л у ч и м :
.1
10 LaVaX
Э т о п р о и з в о д с т в е н н а я ф у н к ц и я с п о с т о я н н о й э л а с т и ч н о с т ь ю з а м е щ е н и я ( П Э З ) . О б о б щ е н и е м д л я П Ф П Э З н а с л у ч а й n п е р е м е н н ы х с л у ж и т п р о и з в о д с т в е н н а я ф у н к ц и я У д з а в ы :
,...1
2211
nn XXXAX
г д е n ,...,, 21 – к о н с т а н т ы ,
1
1 – э л а с т и ч н о с т ь з а м е щ е н и я с и с т е м ы .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №25
Э к з о г е н н а я м о д е л ь и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и
И н н о в а ц и о н н а я д е я т е л ь н о с т ь п р о я в л я е т с я в т о м , ч т о н а с м е н у с т а р о й т е х н о л о г и и п р и х о д и т н о в а я . Т е х н о л о г и я о п и с ы в а е т с я п р о и з в о д с т в е н н о й ф у н к ц и е й с и с т е м ы , с л е д о в а т е л ь н о , м о ж н о в ы р а з и т ь И Д с м е н о й п р о и з в о д с т в е н н ы х ф у н к ц и й . В п р о с т е й ш е м с л у ч а е э ф ф е к т о т И Д м о ж н о в ы р а з и т ь , в в е д я я в н у ю з а в и с и м о с т ь П Ф о т в р е м е н и :
.0,,, dtdXtLVFX З д е с ь у ч и т ы в а е т с я ф а к т и ч е с к и й т р е н д П Ф . У ч и т ы в а е м а я т а к и м
о б р а з о м и н н о в а ц и о н н а я д е я т е л ь н о с т ь н а з ы в а е т с я э к з о г е н н о й .
Н е й т р а л ь н а я э к з о г е н н а я м о д е л ь И Д . Н а р я д у с в о з д е й с т в и е м И Д н а с и с т е м у в ц е л о м , м о ж е т б ы т ь в ы д в и н у т р я д г и п о т е з о т н о с и т е л ь н о е е в о з д е й с т в и я н а п е р е м е н н ы е :
v
vv
fvf
ffvfv
dvdf
fS
dv
dfvfw
dv
dfr
,,, .
М о д е л ь И Д н а з ы в а е т с я - н е й т р а л ь н о й , е с л и с у щ е с т в у е т г л а д к а я ф у н к ц и я , у д о в л е т в о р я ю щ а я у р а в н е н и ю
.0,,,,, Swrvx
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №26
Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о Х и к с у . Г и п о т е з а : п р и ф и к с и р о в а н н о й ф о н д о в о о р у ж е н н о с т и co n st LVv п р е д е л ь н а я н о р м а з а м е щ е н и я co n stS .
vgtTtvf , и л и , п е р е х о д я о т о т н о с и т е л ь н ы х п е р е м е н н ы х к п о л н ы м , п о л у ч и м
LVGtTtLVF ,,, .
Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о Х а р р о д у . Г и п о т е з а : п р и ф и к с и р о в а н н о й ф о н д о о т д а ч е ( э ф ф е к т и в н о с т и к а п и т а л о в л о ж е н и й ) в е л и ч и н а п р е д е л ь н о й п р о и з в о д и т е л ь н о с т и о с н о в н ы х ф о н д о в ( ф о н д о е м к о с т ь ) о с т а е т с я п о с т о я н н о й .
П е р е х о д я к п о л н ы м п е р е м е н н ы м и о б о з н а ч а я 1q ч е р е з g , п о л у ч и м
VTLGFL
V
V
TLgf
L
V
V
TLqf ,,,1
.
Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о Х а р р о д у я в л я е т с я т р у д о с б е р е г а ю щ е й . Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о С о л о у . Г и п о т е з а : п р о и з в о д и т е л ь н о с т ь т р у д а п о с т о я н н а п р и п о с т о я н с т в е п р е д е л ь н о й п р о и з в о д и т е л ь н о с т и ж и в о й с и л ы :
,co n st,co n st, d L
d Fwf
L
Xtvx
и л и co n st,co n st, vfvfwf
О б о з н а ч а я 1q ч е р е з g , п о л у ч и м
.,, LtVTGFvTgvf Н е й т р а л ь н а я м о д е л ь И Д п о С о л о у я в л я е т с я к а п и т а л о с б е р е г а ю щ е й .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №27
Э н д о г е н н а я м о д е л ь и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и
.0
d
tttdt
dX XL
L
XV
V
X
У р а в н е н и е п о л у ч и л о н а з в а н и е п р о и з в о д с т в е н н ы й ф у н к ц и о н а л . З а д а ч а м о д е л и р о в а н и я э н д о г е н н о й И Д с в о д и т с я к в ы ч и с л е н и ю э т о г о п р о и з в о д с т в е н н о г о ф у н к ц и о н а л а .
Д л я в ы ч и с л е н и я и н т е г р а л а н е о б х о д и м о з а д а т ь с я т и п о м н е й т р а л ь н о с т и э н д о г е н н о й И Д , д е й с т в у ю щ е й н а с и с т е м у . Р а с с м о т р и м д в а с л у ч а я :
XX ; ( 2 . 5 8 )
.VV
XXX
( 2 . 5 9 )
Т и п н е й т р а л ь н о с т и ( 2 . 5 8 ) о п р е д е л я е т э н д о г е н н у ю И Д , н е й т р а л ь н у ю п о Х и к с у , а т и п ( 2 . 6 9 ) – И Д , н е й т р а л ь н у ю п о Х а р р о д у .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №28
Моделирование технико-экономических систем Моделирование простого производственного объекта
Рассмотрим производственный объект (ПО), производящий
однотипную продукцию, на вход которого поступают основные (ОПФ) и оборотные производственные фонды (ОбПФ), а выходом является готовая продукция в натуральном или денежном выражении.
Производственный объект, выпуск которого измеряется одной скалярной функцией, а вход двумя скалярными функциями, называется простым производственным объектом.
Vвн V Y
Wвн W X U
VTос
1
WTос
1
VD1
WD1
Vm
1
Wm
1 ОМ
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №29
В соответствии с функционально-структурной схемой движение в процессе производства ОПФ и ОбПФ и выпуск готовой продукции можно записать так:
,,
,,1
,,0,,1
00внос
00внос
tmtVtYtmtWtX
WtWtWT
tWdt
tdW
TtVtVtVT
tVdt
tdV
VW
tWW
tVV
,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
где WV, – коэффициенты выбытия ОПФ и ОбПФ;
WVTT осос, – время
освоения неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли; T – горизонт планирования.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №30
М о д е л и р о в а н и е с л о ж н о г о п р о и з в о д с т в е н н о г о о б ъ е к т а
V н I V в н
U Z P W в н W н Т
Б З V
Б З W
П р о и з в о д с т в о
R U
R Z
V н + V в н 1Y
1X 1U
U
nY
W н + W в н nX nU
Vb 1
Vnb
VD 1
1
VnD
1
1НЭ Wb 1
Wnb W
nD 1
1С
nC
WD 1
1
nНЭ
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №31
М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь о т р а с л и с у ч е т о м с т р у к т у р е е п о д р а з д е л е н и й :
,,1,,
,,0,,1,,
00внн
00внн
niXtXtWtWbtXdt
tdX
TtniYtYtVtVbtYdt
tdY
itiW
iiWi
i
itiV
iiVi
i
,1 tYtXtU iii
.1
n
iii tUCtU
М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь з а м к н у т о г о п р о и з в о д с т в е н н о г о о б ъ е к т а в м а т р и ч н о й ф о р м е :
,,
,,
00внн
00внн
XtXtWtWBtXdt
tdX
YtYtVtVBtYdt
tdY
t
WW
t
VV
,1 tYtXtU ,tCUtU ,н tUatW
,1н tUadtV
.11 tUadtP
Э т и у р а в н е н и я п о л у ч е н ы б е з у ч е т а з а п а з д ы в а н и я в о с в о е н и и О П Ф и О б П Ф , т . е . к о г д а tTtWtItV нн , .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №32
М о д е л и р о в а н и е з а п а з д ы в а н и я п р и о с в о е н и и к а п и т а л ь н ы х в л о ж е н и й и п р о и з в о д с т в е н н ы х з а т р а т
М а т е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь з а м к н у т о г о п р о и з в о д с т в е н н о г о о б ъ е к т а с
у ч е т о м и н е р ц и о н н о г о з а п а з д ы в а н и я в в о д а о с н о в н ы х ф о н д о в и п р о ц е с с а п р о и з в о д с т в а в с л е д у ю щ е м в и д е :
,,
,,
,,
,,
н00ннн
0н0ннн
00н
00н
WtWtWtTdt
tdW
VtVtVtIdt
tdV
XtXtWBtXdt
tdX
YtYtVBtYdt
tdY
t
t
tWW
tVV
,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
,tCUtU ,1
,
tUadtI
tUatT
,11 tUadtP г д е .1,1 инин
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №33
М о д е л и р о в а н и е м н о г о о т р а с л е в о й э к о н о м и к и
М а т е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь в м а т р и ч н о й ф о р м е з а м к н у т о й м н о г о о т р а с л е в о й э к о н о м и к и :
,,1,,
,,1,,
0внн
0внн
0
0
siXtXtWtWBtXdt
tdX
siYtYtVtVBtYdt
tdY
ittiiiWii
Wi
i
ittiiiVii
Vi
i
,tUCtU iii ,,1,1 sitYtXtU iii
,,1,1
н sitUatWs
jjiji
.,1,
,,1,
111
11н
sitUatUdtUatUtP
sitUatUdtV
s
lljlj
s
jij
s
jjijii
s
lljlj
s
jiji
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №34
Пример. Рассмотрим вышеизложенный подход к моделированию на примере двухпродуктовой модели народного хозяйства.
Э К О Н О М И К А
Vн21
Vн11 ОТРАСЛЬ 1
V1вн Y1 U1 Z1 V1
W1вн X1 P1 Wн1
Wн11
Wн12
Vн12 ОТРАСЛЬ 2 Vн22
V2вн
U2 Z2 V2 W2вн X2 P2 Wн2
Wн22 Wн21
ОПФ1
ОбПФ1
RU1 RZ1
RV1
RW1
ОПФ2
ОбПФ2
RU2
RZ2
RV2
RW2
ОМ1
ОМ2
Рис. 2.12
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №35
М а т е м а т и ч е с к а я м о д е л ь в м а т р и ч н о й ф о р м е з а м к н у т о й д в у х о т р а с л е в о й э к о н о м и к и :
,2,1,,
,2,1,,
0внн
0внн
0
0
iXtXtWtWBtXdt
tdX
iYtYtVtVBtYd t
tdY
ittiiiW
iiW
ii
ittiiiV
iiV
ii
,2,1,1 itYtXtU iii
,при0
,при1
tYtX
tYtX
ii
ii
,2,1, itUCtU iii ,
,
2221212н
2121111н
tUatUatW
tUatUatW
,11
,11
12 12 2112 121 22 12 22 22н
21 2112 21 212 11 211111н
tUadadtUadadtV
tUadadtUadadtV
.1111
,1111
1112 12 22 121 22 12 22 22
22 21 2111 212 11 211111
tUaddatUaddatP
tUaddatUaddatP
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №36
Д и н а м и ч е с к о е м о д е л и р о в а н и е э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м ы с у ч е т о м д е я т е л ь н о с т и и н н о в а ц и о н н о г о о б ъ е к т а
Р а с с м о т р и м п р о и з в о д с т в е н н ы й о б ъ е к т ( П О ) , п р о и з в о д я щ и й о д н о т и п н у ю п р о д у к ц и ю , н а в х о д к о т о р о г о п о с т у п а ю т о с н о в н ы е ( О П Ф ) и о б о р о т н ы е п р о и з в о д с т в е н н ы е ф о н д ы ( О б П Ф ) , а в ы х о д о м я в л я е т с я г о т о в а я п р о д у к ц и я в н а т у р а л ь н о м и л и д е н е ж н о м в ы р а ж е н и и . З а д а д и м м е х а н и з м в о з д е й с т в и я И Д н а п р о и з в о д с т в е н н ы й о б ъ е к т в в и д е о б р а т н о й с в я з и с п о м о щ ь ю с т р у к т у р н о - ф у н к ц и о н а л ь н о й б л о к - с х е м ы :
В е л и ч и н ы tV вн и tW вн я в л я ю т с я в н е ш н и м и п о с т у п л е н и я м и О П Ф и
О б П Ф в п р о и з в о д с т в е н н ы й о б ъ е к т , н а п р и м е р , з а с ч е т п о л у ч е н и я б а н к о в с к о г о к р е д и т а . В е л и ч и н а tU – в а л о в о й в ы п у с к ( г о т о в а я п р о д у к ц и я ) п о д р а з д е л е н и я о т р а с л и в с т о и м о с т н о м и л и н а т у р а л ь н о м в ы р а ж е н и и
.1 tYtXtU В е л и ч и н а tu – у п р а в л я ю щ е е в о з д е й с т в и е И Д н а П О , к о т о р о е я в л я е т с я
в ы х о д н о й в е л и ч и н о й С К Б ,tUttu
V в н W в н U ( t )
V ( t ) W ( t )
u ( t )
С К Б
П О
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №37
М о д е л ь П О с о б р а т н о й с в я з ь ю п о И Д : ,,
,,0,,
00
00
XtXtutXdt
tdX
TtYtYtutYdt
tdY
tWW
tVV
,, tXttutYttu WWVV ,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
и л и , и с к л ю ч а я у п р а в л е н и я , ,,
,,0,,
00
00
XtXtXtd t
tdX
TtYtYtYtd t
tdY
tWW
tVV
.1 tYtXtU
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №38
Инновационная деятельность увеличивает эффективность использования внешних поступлений как основных, так и оборотных производственных фондов:
,,
,,0,,
00вн
00вн
XtXtwtutXdt
tdX
TtYtYtvtutYdt
tdY
tWW
tVV
,1 tYtXtU
где WV TtWtwTtVtv освнвносвнвн , – потоки внешних поступлений ОПФ
и ОбПФ; twttwtvttv WVвнвнвнвн , ;
WV TT осос, – время освоения неосвоенных ОПФ и ОбПФ отрасли.
Vвн Y
Vu
U
Wu
Wвн X
VD 1
WD 1
t
1
V
V
T
t
ос
W
W
T
t
ос
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №39
В ч а с т н о м с л у ч а е , к о г д а в е л и ч и н ы в н е ш н и х п о с т у п л е н и й О П Ф и О б П Ф и о б о б щ е н н ы е п о к а з а т е л и и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и п о с т о я н н ы и
я в л я ю т с я и з в е с т н ы м и в е л и ч и н а м и ( constвн V и constвн W , constV и constW ) , с и с т е м а у р а в н е н и й п р и м е т в и д :
.,exp
,,0,,exp
00вн0ос
00вн0ос
XtXtWmT
ttX
dt
tdX
TtYtYtVmT
ttY
dt
tdY
tWW
WWW
tVV
VVV
,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
А н а л и т и ч е с к и е з а в и с и м о с т и м о щ н о с т и и в ы п у с к а П О с у ч е т о м И Д
С К Б :
,expexpexp
,,0,expexpexp
0ос
вн0
0ос
вн0
ttmT
WtXtX
TtttmT
VtYtY
WWWWWW
WW
VVVVVV
VV
,1 tYtXtU
,при0
,при1
tYtX
tYtX
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №40
С т р у к т у р н о - ф у н к ц и о н а л ь н а я д и н а м и ч е с к а я м о д е л ь м а к р о э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м ы с у ч е т о м и н н о в а ц и й
И с х о д я и з к л а с с и ч е с к и х п р е д с т а в л е н и й т е о р и и у п р а в л е н и я , п р е д л а г а е т с я н о в а я ф у н к ц и о н а л ь н о - д и н а м и ч е с к а я м о д е л ь , в к о т о р о й у п р а в л я ю щ а я р о л ь и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и в р а з в и т и и м а к р о э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м ы у ч и т ы в а е т с я с п о м о щ ь ю м е х а н и з м а о б р а т н ы х с в я з е й . П р и э т о м н о в а я ф у н к ц и о н а л ь н о - д и н а м и ч е с к а я м о д е л ь р а з в и т и я с и с т е м ы о п и с ы в а е т с я н е л и н е й н ы м и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и у р а в н е н и я м и э в о л ю ц и о н н о г о т и п а . А н а л и т и ч е с к о е о п и с а н и е с т р у к т у р н о - ф у н к ц и о н а л ь н о й д и н а м и ч е с к о й м о д е л и :
.,
,,
,,
0tWFttWF
tXtWt
ttWFtX
W 1
W 2 X ( t ) W m
t
,WF
WX ,
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №41
К А Ч Е С Т В Е Н Н Ы Й А Н А Л И З М О Д Е Л Е Й Р А З В И В А Ю Щ И Х С Я Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М
И с с л е д о в а н и е у с т о й ч и в о с т и р а з в и в а ю щ и х с я с и с т е м Р а с с м о т р и м р а з в и в а ю щ у ю с я э к о н о м и ч е с к у ю с и с т е м у , о п и с ы в а е м у ю д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы м и н е л и н е й н ы м и у р а в н е н и я м и в т о р о г о п о р я д к а с л е д у ю щ е г о в и д а [ 6 ] :
,2,1, iXfdt
dXi
i
г д е 2,1if i – н е п р е р ы в н ы е ф у н к ц и и , о п р е д е л я е м ы е в н е к о т о р о й о б л а с т и R д в у х м е р н о г о е в к л и д о в а п р о с т р а н с т в а и и м е ю щ и е в э т о й о б л а с т и п р о и з в о д н ы е п о р я д к а н е н и ж е п е р в о г о . С о с т о я н и е с и с т е м ы в к а ж д ы й м о м е н т
в р е м е н и о п р е д е л я е т с я п а р о й з н а ч е н и й н е и з в е с т н ы х 21 , XX . П о д у с т о й ч и в о с т ь ю с и с т е м ы п о н и м а е т с я с в о й с т в о с и с т е м ы
в о з в р а щ а т ь с я к с о с т о я н и ю у с т а н о в и в ш е г о с я р а в н о в е с и я п о с л е у с т р а н е н и я
в о з м у щ е н и я , н а р у ш и в ш е г о у к а з а н н о е р а в н о в е с и е .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №42
В вопросах суждения об устойчивости развивающихся систем имеют большое практическое значение общие теоремы устойчивости, сформулированные А.М. Ляпуновым:
1. Нелинейная система устойчива в «малом», то есть при малых начальных отклонениях, если отрицательны все вещественные части корней характеристического уравнения системы, составленного для ее линейного приближения.2. Нелинейная система неустойчива в «малом», если хотя бы одна вещественная часть корня характеристического уравнения ее линейного приближения положительна.При наличии чисто мнимых корней указанного уравнения вопрос об устойчивости системы требует в каждом случае дополнительного исследования.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №43
2 2
1 1
а б
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №44
Запишем теперь аналитические выражения для различных типов особых точек:
«фокус» ( 21, – комплексные величины) ,042 «центр» ( 21, – чисто мнимые величины) ,, 00
«седло» ( 21, – вещественные величины различных знаков) ,, 040 2
«узел» ( 21, – вещественные величины одного знака) ., 040 2 Если коэффициенты линейного оператора L зависят от некоторого параметра, то при изменении этого параметра будут соответственно изменяться и . При изменении соотношения между и происходит изменение фазового портрета системы.
2
1
v u
2Z
1Z
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №45
А н а л и з у с т о й ч и в о с т и м а к р о с и с т е м с у ч е т о м и н н о в а ц и о н н о й д е я т е л ь н о с т и
Р а с с м о т р и м д в у х м е р н у ю м а к р о с т р у к т у р у , к о т о р а я х о р о ш о м о д е л и р у е т в з а и м о д е й с т в и е д в у х с м е ж н ы х п о д о т р а с л е й ч е р е з И Д : р а з р а б о т к у и д о б ы ч у г а з а ( н е ф т и ) и т р а н с п о р т и р а с п р е д е л е н и е г а з а ( н е ф т и ) . У р а в н е н и я , о п и с ы в а ю щ и е т а к у ю м а к р о э к о н о м и ч е с к у ю с т р у к т у р у :
,
,
21212
222222
21122
111111
XXXXdt
dX
XXXXdt
dX
г д е
,
11,
11 211211
111121
211212
22122
211212
221212
211211
11111 aaC
FCa
aaC
FC
aaC
FCa
aaC
FC
,1
1,
1
,1
,1
1
21121222
211211
2121
211212
1212
21121111
aaCaaC
a
aaC
a
aaC
,2,1,21
iL
Lb
V
Vb
i
ii
i
iii
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №46
Н а й д е м с о с т о я н и я р а в н о в е с и я д в у х м е р н о й м а к р о с т р у к т у р ы и з у с л о в и я
р а в е н с т в а н у л ю л е в ы х ч а с т е й у р а в н е н и й , т о е с т ь ( 2,1,0
iX i ) : 1 ) ;0,0 2010 XX
2 ) ;,022
22010
XX
3 ) ;0, 2011
110 XX
4 ) .,21122211
11221120
21122211
22112210
XX
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №47
1 ) .0,0 2010 XX В э т о м с л у ч а е ,, 2121
42
1 22,1
о т к у д а ., 2211
Е с л и 0,0 21 , т о и м е е м к о р н и в е щ е с т в е н н ы е , о д н о г о з н а к а и , с л е д о в а т е л ь н о , э т о с о с т о я н и е р а в н о в е с и я п р е д с т а в л я е т с о б о й н е у с т о й ч и в ы й « у з е л » . Ф и з и ч е с к и э т о о з н а ч а е т , ч т о с и с т е м а н е м о ж е т н а х о д и т ь с я п р и н у л е в о м в ы п у с к е и п р и м а л е й ш и х и з м е н е н и я х п а р а м е т р о в о б я з а т е л ь н о н а б л ю д а е т с я и н т е н с и в н ы й р о с т в ы п у с к а к а к в п е р в о й , т а к и в о в т о р о й п о д о т р а с л и .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №48
2) .,022
22010
XX
Для этого случая
,,22
212122
22
2121
., 222212211
Здесь имеем критическую точку 01 при .22
2121
При
22
2121
система будет устойчива, а состояние равновесия представляет
собой устойчивый «узел». При 22
2121
состояние равновесия
представляет собой особую точку типа «седло», которое всегда неустойчиво.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №49
3 ) .0, 2011
110 XX
В э т о м с л у ч а е
,,11
121211
11
1212
., 121121121 З д е с ь и м е е м к р и т и ч е с к у ю т о ч к у 01 п р и 112112 и с и с т е м а в н е й н е й т р а л ь н о у с т о й ч и в а . П р и 112112 с и с т е м а б у д е т у с т о й ч и в а , а с о с т о я н и е р а в н о в е с и я п р е д с т а в л я е т с о б о й у с т о й ч и в ы й « у з е л » . П р и
112112 с о с т о я н и е р а в н о в е с и я п р е д с т а в л я е т с о б о й о с о б у ю т о ч к у т и п а « с е д л о » , к о т о р о е в с е г д а н е у с т о й ч и в о . К а к в о в т о р о м , т а к и в т р е т ь е м с л у ч а е к р и т и ч е с к а я т о ч к а я в л я е т с я т о ч к о й п е р е х о д а и з у с т о й ч и в о г о « у з л а » к н е у с т о й ч и в о м у « с е д л у » , и н а о б о р о т .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №50
4 ) .,21122211
11221120
21122211
22112210
XX
В э т о м с л у ч а е
,21122211
12221122111221
,.
21122211
122221112211
.
2
2
21122211
1222211122112
21122211
12221122111221
21122211
122211221112212,1
Е с л и п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е п о л о ж и т е л ь н о , т о с о с т о я н и е р а в н о в е с и я б у д е т п р е д с т а в л я т ь с о б о й у с т о й ч и в ы й « у з е л » , п р и и з м е н е н и и з н а к а п о д к о р е н н о г о в ы р а ж е н и я с о с т о я н и е р а в н о в е с и я п р е в р а щ а е т с я в у с т о й ч и в ы й « ф о к у с » . В к р и т и ч е с к о й т о ч к е , к о г д а п о д к о р е н н о е в ы р а ж е н и е р а в н о н у л ю , с и с т е м а п е р е с к а к и в а е т и з у с т о й ч и в о г о « ф о к у с а » в у с т о й ч и в ы й « у з е л » и л и н а о б о р о т .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №51
Д л я п р о в е д е н и я и с с л е д о в а н и й у с т о й ч и в о с т и м а к р о с т р у к т у р ы н е о б х о д и м о р а с с м о т р е т ь к о н к р е т н ы й в а р и а н т з а в и с и м о с т е й в ы п у с к о в м а к р о с и с т е м о т а г р е г и р о в а н н ы х р е с у р с о в и о б о б щ е н н о г о п о к а з а т е л я И Д . Р а с с м о т р и м м о д е л ь в з а и м о д е й с т в и я И Д и п р о и з в о д с т в а в в и д е м о д и ф и ц и р о в а н н о й ф у н к ц и и т и п а К о б б а – Д у г л а с а :
,2,1,exp0 itLVaX iiiiiii
г д е 2,1, iii – э л а с т и ч н о с т ь в ы п у с к а п о с о о т в е т с т в у ю щ е м у р е с у р с у i - й м а к р о с и с т е м ы
.2,1,,
iL
X
X
L
V
X
X
V
i
i
i
ii
i
i
i
ii
Д л я п е р в ы х т р е х с о с т о я н и й р а в н о в е с и я м а к р о с т р у к т у р ы л е г к о о п р е д е л и т ь в р е м я п о п а д а н и я с и с т е м ы в к р и т и ч е с к у ю т о ч к у . В п е р в о м с л у ч а е и з у с л о в и я р а в е н с т в а н у л ю о д н о г о и л и д в у х к о р н е й х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о у р а в н е н и я п о л у ч и м :
2121
12кр
1
a
at
и л и ,1
1212
21кр a
at
в о в т о р о м с л у ч а е
1212212121
212112кр
11
aaa
aaat
и л и ,1
1212
21кр a
at
в т р е т ь е м с л у ч а е
2121121212
121221кр
11
aaa
aaat
и л и ,1
2121
12кр a
at
и в ч е т в е р т о м с л у ч а е
1212212121
212112кр
11
aaa
aaat
и л и
,11
2121121212
121221кр aaa
aaat
п р и э т о м д о л ж н о в ы п о л н я т ь с я у с л о в и е .12112 aa
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №52
А н а л и з в л и я н и я и н н о в а ц и й и з с м е ж н ы х п о д о т р а с л е й н а у с т о й ч и в о с т ь и х в з а и м н о г о ф у н к ц и о н и р о в а н и я . Д л я п р о в е д е н и я и с с л е д о в а н и й у с т о й ч и в о с т и и п р о г н о з и р о в а н и я в о з н и к н о в е н и я к р и з и с н ы х с и т у а ц и й н е о б х о д и м а о п р е д е л е н н а я и н ф о р м а ц и я п о д в у м п о д о т р а с л я м – г а з о д о б ы в а ю щ е й и г а з о т р а н с п о р т н о й , к о т о р а я с в е д е н а в т а б л . 1 и 2 .
Т а б л и ц а 1 Г а з о д о б ы в а ю щ а я п о д о т р а с л ь
Г о д ы О с н о в н ы е ф о н д ы V 1 , м л н р у б .
Ч и с л е н н о с т ь р а б о т а ю щ и х L 1 , т ы с . ч е л .
В ы п у с к X 1 , м л р д м 3
1 9 9 0 2 9 4 3 9 2 4 , 5 7 3 7 8 5 1 9 9 5 3 5 9 2 9 2 6 , 9 7 4 9 5 3
Т а б л и ц а 2
Г а з о т р а н с п о р т н а я п о д о т р а с л ь Г о д ы О с н о в н ы е ф о н д ы
V 2 , м л н р у б . Ч и с л е н н о с т ь р а б о т а ю щ и х
L 2 , т ы с . ч е л . В ы п у с к
X 2 , м л р д м 3 к м 1 9 9 0 6 5 2 8 0 7 3 , 7 1 9 2 0 1 1 1 5 5 1 9 9 5 8 3 2 0 0 8 0 , 9 2 0 2 6 3 8 4 2 6
П р е д п о л а г а е м , ч т о к о э ф ф и ц и е н т ы 2,1,, jiiji м е д л е н н о
и з м е н я ю т с я в о в р е м е н и и м о г у т п р и в е с т и м а к р о э к о н о м и ч е с к у ю с т р у к т у р у к к р и т и ч е с к о й г р а н и ц е .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №53
Задавая экспертным путем ijb весовые коэффициенты, которые определяют значимость различных первичных показателей ИД:
,55,0,45,0,55,0,45,0 22211211 bbbb определим 2,1ii – средневзвешенные темпы роста ресурсов на входе i-й макросистемы по формулам:
,2,1,21
iL
Lb
V
Vb
i
ii
i
iii
Так как i – обобщенный показатель инновационной деятельности – в i-й макросистеме определяется по формуле
2
1
,2,1,j
ij
jiji iX
Xa
изменяя коэффициенты ija той доли выпуска соответствующей макросистемы, которая идет на формирование ИД в связанной с ней смежной макросистеме в диапазоне (0< ija<1) можно построить границу критической области.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №54
12a 1,0 21a
0,9 0,9 0,893 0,8 0,8 0,7 0,7 Область 0,6 устойчивости 0,6 Область 0,5 0,5 устойчивости 0,4 0,4 0,3 0,3 Область Область 0,2 неустойчивости 0,2 неустойчивости 0,1 0,1
крt крt
0 10 20 30 40 50 60 70 0 10 20 30 40 50 60 70
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №55
С б а л а н с и р о в а н н ы й р о с т в о д н о п р о д у к т о в о й м а к р о э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м е
Р а с с м о т р и м о д н о п р о д у к т о в у ю м о д е л ь р а з в и т и я р е г и о н а и л и о т р а с л и . В з а и м о с в я з ь п р о и з в о д с т в а и п о т р е б л е н и я , а т а к ж е д и н а м и к у т а к и х э к з о г е н н ы х ф а к т о р о в , к а к р а б о ч а я с и л а и о с н о в н ы е п р о и з в о д с т в е н н ы е ф о н д ы , м о ж н о о т р а з и т ь с п о м о щ ь ю м о д е л е й а г р е г и р о в а н н ы х с и с т е м . Н а и б о л е е п р о с т а я м о д е л ь в з а и м о д е й с т в и я м е ж д у п р о и з в о д с т в о м и п о т р е б л е н и е м п р е д л о ж е н а Ф . Р а м с е е м [ 6 ] . У р а в н е н и я м о д и ф и ц и р о в а н н о й м о д е л и м о ж н о з а п и с а т ь в с л е д у ю щ е м в и д е :
,0,
,exp,,,
,,
0н
0
н
VVtqVtVtV
tLtLtLVFtX
tPtVtZtZtaXtX
V
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №56
Другая форма уравнения модели:
.0,,1 0vvtvfaqdtvtv V
Под сбалансированным ростом понимается такой процесс экономического развития, при котором технико-экономические показатели растут с постоянным темпом. Оказывается, что темпы роста этих показателей не только постоянны, но и равны. Найдем стационарные (равновесные) точки системы из условия
,,1,0 vtvfaqdtv V
откуда получаем два искомых решения 0tv , vtv . Очевидно, точка v
существует не всегда. Действительно, при ,0v ,,1 vtvfaqd V ,0v ,,1 vtvfaqd V
точка v отсутствует.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №57
Рассмотрим случай, когда возможно нетривиальное решение. Из рис. 3.6 видно, что для всех точек
vv0 справедливо
неравенство ,,1 vtvfaqd V то есть
,0,1
vtvfaqdtv V следовательно, tv будет непрерывно расти во времени. В момент времени vtv этот рост прекратится.
При vtv выражение
,0,1
vtvfaqdtv V поэтому опять v будет уменьшаться до тех пор, пока не достигнет величины v. Причем малые случайные возмущения не приводят к существенным
отклонениям от v. Это означает, что равновесная точка vtv устойчива.
x vV
tvfaqd ,1
v
v Рис. 3.6
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №58
Таким образом, если vtv , то получаем: .exp,11
,exp,11
,exp,11
,exp,,
,exp
0
0н
0
0
0
tLtvfatXatZ
tLtvfadtPtXatV
tLtvfadtLtptP
tLtvftLtvftX
tLvtLtvtV
Такую ситуацию будем называть режимом сбалансированного роста. Режим сбалансированного роста обладает тем свойством, что к нему сходятся все траектории модели при постоянной доле капиталовложений d.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №59
А Н А Л И З О П Т И М А Л Ь Н О Г О Р А З В И Т И Я Э К О Н О М И Ч Е С К И Х С И С Т Е М
И с с л е д о в а н и е о п т и м а л ь н о г о р а з в и т и я о д н о п р о д у к т о в о й м а к р о м о д е л и э к о н о м и ч е с к о й с и с т е м ы
Р а с с м о т р и м э к о н о м и к у , м о д е л ь к о т о р о й о п и с ы в а е т с я с л е д у ю щ и м и у р а в н е н и я м и :
.0
,,11
0vv
tvfauqtvtv
О г р а н и ч е н и е н а у п р а в л е н и е du : ,u 10
а о г р а н и ч е н и я н а О П Ф з а м е н и м о г р а н и ч е н и я м и н а ф о н д о в о о р у ж е н н о с т ь : .з tvtv
З а д а ч а о п т и м и з а ц и и д а н н о й э к о н о м и к и с о с т о и т в т о м , ч т о б ы н а й т и т а к о е у п р а в л е н и е п р о ц е с с о м р а з в и т и я , к о т о р о е о б е с п е ч и л о б ы н а и б о л ь ш е е с р е д н е д у ш е в о е п о т р е б л е н и е н а р а с с м а т р и в а е м о м и н т е р в а л е в р е м е н и [ 0 , T ] с у ч е т о м д и с к о н т и р о в а н и я п о т р е б л е н и я , т о е с т ь
T
dtttL
tPJ
0
.exp
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №60
v
0v
0v
t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 u 1,0 0,8442 0,5 t 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №61
О д н о п р о д у к т о в а я м а к р о с и с т е м а . П у с т ь у п р а в л я е м а я с и с т е м а п р е д с т а в л я е т с о б о й э к о н о м и к у р е г и о н а и л и о т р а с л и , м о д е л и р у е м у ю с п о м о щ ь ю о д н о п р о д у к т о в о й м о д е л и , т о е с т ь п р о ц е с с э к о н о м и ч е с к о г о р а з в и т и я з а д а е т с я у р а в н е н и е м
,0
,,1
0vv
tptvfaqtvtv
г д е tp – у п р а в л я ю щ а я ф у н к ц и я . Д о п у с т и м ы м у п р а в л е н и е м н а з о в е м л ю б у ю к у с о ч н о - н е п р е р ы в н у ю ф у н к ц и ю tp , к о т о р а я у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю и г р а н и ч н о м у у с л о в и ю
.,0,,110 Tttvfadtp
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №62
Т е п е р ь н а д о у т о ч н и т ь п о н я т и е о п т и м а л ь н о с т и . О ч е в и д н о , к р и т е р и е в о п т и м а л ь н о с т и м о ж е т б ы т ь м н о ж е с т в о . Р а с с м о т р и м н а и б о л е е о б щ и й к р и т е р и й – ф у н к ц и о н а л б л а г о с о с т о я н и я с и с т е м ы в в и д е :
.exp0
dtttpgJT
З а д а ч а о п т и м и з а ц и и с о с т о и т в в ы б о р е т а к о г о у п р а в л е н и я tp в з а д а н н о м и н т е р в а л е в р е м е н и , ч т о б ы с о о т в е т с т в у ю щ е е е м у р е ш е н и е у р а в н е н и я д о с т а в л я л о м а к с и м у м ф у н к ц и о н а л у . В с л у ч а е к о н е ч н о г о г о р и з о н т а п л а н и р о в а н и я д о л ж н ы в ы п о л н я т ь с я у с л о в и я н а к о н ц е т р а е к т о р и и 1vTv . Д л я б е с к о н е ч н о г о г о р и з о н т а п л а н и р о в а н и я и н т е г р а л б л а г о с о с т о я н и я м о ж е т о к а з а т ь с я р а с х о д я щ и м с я , п о э т о м у н е о б х о д и м о з а д а в а т ь о г р а н и ч е н и я н а н а ч а л ь н ы е у с л о в и я
,0 0 vvv т о е с т ь н а ч а л ь н а я к а п и т а л о в о о р у ж е н н о с т ь д о л ж н а б ы т ь м е н ь ш е п р е д е л ь н о д о с т и ж и м о й .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №63
Д в у х п р о д у к т о в а я м а к р о с и с т е м а . Н а р я д у с о д н о п р о д у к т о в о й м о д е л ь ю м о ж н о п о с т р о и т ь и м н о г о п р о д у к т о в ы е . Р а с с м о т р и м д л я п р и м е р а д в у х п р о д у к т о в у ю м о д е л ь . П у с т ь и м е ю т с я р а з л и ч н ы е в и д ы о с н о в н ы х п р о и з в о д с т в е н н ы х ф о н д о в и о д н о р о д н ы й т р у д . Т о г д а м а к с и м а л ь н о в о з м о ж н о е п о т р е б л е н и е п о а н а л о г и и м о ж н о з а п и с а т ь в в и д е П Ф :
,,,,, 2121 нн VVVVLtP
г д е ,, 22221111 VVVqVVVq нн
11 нVq – ч а с т ь п о т о к а в ы п у с к а , к о т о р а я и д е т н а у в е л и ч е н и е О П Ф т и п а 1 , 22 нVq – ч а с т ь п о т о к а в ы п у с к а , к о т о р а я и д е т н а у в е л и ч е н и е О П Ф т и п а 2 . П р е д п о л а г а я , ч т о tP – о д н о р о д н а я ф у н к ц и я , и в з я в е е у д е л ь н о е з н а ч е н и е , п о л у ч и м
.,,, н2н121 vvvvtv М о д е л ь р а з в и т и я д в у х п р о д у к т о в о й э к о н о м и к и и м е е т в и д
,0,0
,,
202101
2н222
1н111
vvvv
vvqdt
dvvvq
dt
dv
г д е 2,1,нн jLVtv jj – у п р а в л я ю щ и е ф у н к ц и и .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №64
В в е д е м , к а к и р а н е е , к р и т е р и й – ф у н к ц и о н а л б л а г о с о с т о я н и я с и с т е м ы в в и д е :
.,exp,,, 210
н2н121 TvTvGdttvvvvgJT
Т о г д а з а д а ч у о п т и м и з а ц и и м о ж н о с ф о р м у л и р о в а т ь т а к : с р е д и д о п у с т и м ы х у п р а в л е н и й 2,1, jv jн , н а й т и т а к о е , ч т о б ы с о о т в е т с т в у ю щ е е е м у р е ш е н и е с и с т е м ы у р а в н е н и й д о с т а в л я л о м а к с и м у м ф у н к ц и о н а л у . Д л я р е ш е н и я п о с т а в л е н н о й з а д а ч и в о с п о л ь з у е м с я п р и н ц и п о м м а к с и м у м а . Ф у н к ц и я Г а м и л ь т о н а в э т о м с л у ч а е б у д е т
,,,,exp 2н2221н111н2н121 vvqbvvqbvvvvgtH
г д е .exp,exp 2211 ttbtttbt О п т и м а л ь н о е у п р а в л е н и е о п р е д е л и м т а к :
,0,0н2н1
v
H
v
H
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №65
В в о д я э л а с т и ч н о с т ь з а м е щ е н и я c ф у н к ц и и п о л е з н о с т и , п о л у ч и м :
.1
,1
2н
2н
2н
2
1н
1н
1н
1
2
1
tpdtdq
pdt
dp
tpdtdq
pdt
dp
v
v
v
v
v
v
v
v
С о п о с т а в л я я д в а у р а в н е н и я , в и д и м
.н2
н2
н2
2
н1
н1
н1
1 21
v
v
v
v
v
v
v
v dtdqdtdq
Э т о и е с т ь о с н о в н о е у с л о в и е э ф ф е к т и в н о с т и .
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №66
Оптимальное управление запасами товаров и сырья
Рассмотрим хранение единственного продукта, делимого на любые части. Количество продукта на складе в момент времени t обозначим tu , при этом продукт расходуется с постоянно заданной интенсивностью . При управлении запасами обычно принимается следующая стратегия: выбирается уровень запаса 1u такой, что при достижении этого уровня запаса посылается
заказ на пополнение запаса в количестве 0u . Пусть заказ выполняется через некоторый заранее известный промежуток времени 0 (рис. 4.2).
Тогда по истечении отрезка времени продолжительностью после выполнения заказа уровень запасов увеличится на величину
02 uuu . Запишем уравнение
для запаса tu , полагая, что в начальный момент времени запас был равен 2u :
tnututu 2 ,
где tn – полное число поставок за период t,0 .
tu
2u
1u
0u
T t
Рис. 4.2
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №67
Обозначим через 01 uuu потребление товара за период между моментом проведения заказа и моментом получения заказанного количества товаров. Поскольку интенсивность потребления постоянна и равна , то
u . Поэтому в момент получения заказанного товара его количество достигает на складе величины 2u , которая подсчитывается по формуле:
uuuu 12 . Будем для определенности считать, что в начальный момент времени уровень запаса равнялся 2u . Тогда уровень запаса товара достигнет
первый раз величины 1u в момент , определяемый соотношением
12 uu . В момент подается заказ, который удовлетворяется через промежуток времени , т. е. tu становится равным 2u и все повторяется сначала.
Число tn легко определить, исходя из количества полных циклов за период времени t,0 , т. е. Tttn , где обозначает целую часть числа. При этом время производственного цикла
.02 uuuT (4.53) Поэтому
. utTttn (4.54)
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗСлайд №68
Таким образом, получаем, что количество запасов в момент времени t описывается соотношением
.0 ututuutu (4.55)
Критерий оптимальности запаса товаров определяется функцией издержек, которая имеет вид:
,1
0210
dttucucc
TuJ
T
(4.56)
где 0с – стоимость издержек, не зависящая от объема заказа и возникающая в связи с самим фактом произведения заказа; 1с – стоимость издержек, пропорциональная количеству заказанного товара; 2с – стоимость издержек, связанная с хранением единицы товара в течение заданного времени.
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №69
4.4. Планирование оптимального развития основных фондов предприятия
Уравнение материального баланса ОПФ будет иметь вид [4]: .,0,н TttqVtV
dt
tdV V (4.82)
Начальное значение ОПФ будем считать заданным .0,00
tVVtVt
(4.83)
Следовательно, tV описывает состояние процесса развития ОПФ, а функцию tqVtu н будем считать управлением.
Критерий оптимальности:
T
TVdttuJ0
2 min, (4.84)
где , – весовые коэффициенты .0,0,1 Ставится следующая задача: среди всех допустимых управлений tu
найти такое, чтобы функционал (4.84) достигал наименьшего значения с учетом связей (4.82), (4.83).
Введем функцию Гамильтона ,2 tutVttuH V (4.85)
где t – множитель Лагранжа, который определяется из сопряженной системы
.,
Tt
V tttV
H
dt
td (4.86)
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №70
Так как на управление ограничения отсутствуют, оптимальное управление можно определить из условия
.2
1,0 ttqItu
u
H
(4.87)
Для получения уравнения оптимальной траектории развития ОПФ фирмы подставим в (4.82) оптимальное управление (4.87) и с учетом сопряженной системы (4.86) получим
,,0,,2
100
TtVtVttVdt
tdVt
V
Tt
V ttdt
td, (4.88)
Однако эту задачу можно разрешить аналитическим путем, так как второе уравнение системы (4.88) содержит только t и может быть проинтегрировано независимо от первого уравнения. Интегрируя его, получим
,exp1 tCt (4.89) где 1C – постоянная интегрирования, которая определяется из условия
,exp,exp 11 TCTC VV откуда получим
.exp Ttt V (4.90)
В.Н.Куршев ТЕОРИЯ СИСТЕМ И СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ Слайд №71
Теперь подставим решение (4.90) в уравнение (4.88), получим дифференциальное уравнение относительно tV :
,,0,,exp2 00
TtVtVTttVdt
tdVt
V
(4.91)