สนามแม่เหล็กไฟฟ้า

ฟสกสราชมงคล http://www.rit.ac.th/homepage-sc/physics/

99

หนวยท 3 สนามแมเหลกไฟฟา

3.1 ความเปนมาเรองสนามแมเหลก มนษยรจกอานาจแมเหลกจากแมเหลกธรรมชาตซงเปนสารประกอบประเภทแมกเนไทต

(Fe3O4) นาไปใชประโยชนในการบอกทศ เพราะเมอใหแทงเหลกหมนไดอยางอสระ มนจะวางตวในแนวเหนอ

ใต แทงแมเหลกสามารถดดชนเหลกเลก ๆ ขวแมเหลกชนดเดยวกนจะผลกกน ขวแมเหลกตางชนดกนจะ

ดดกน การศกษาเรองอานาจแมเหลกเพงจะเรมจรงจงเมอตนครสตศตวรรษท 19 เออรสเตด พบวาเมอนา

เขมทศไปวางไวใกล ๆ ตวนาทมกระแสไฟฟาไหลผาน เขมทศจะเบยงเบนไปจากแนวปกต แสดงวา

กระแสไฟฟาในตวนาทาใหเกดสนามแมเหลกได ฟาราเดยไดศกษาเกยวกบกระแสไฟฟาทเกดจากขดลวดถก

เหนยวนาในสนามแมเหลก แมกซเวลล (Maxwell)ไดแสดงความสมพนธระหวางสนามแมเหลกและ

สนามไฟฟาซงเปนทฤษฎทสาคญอยางยงสาหรบอธบายปรากฏการณเกยวกบคลนแมเหลกไฟฟา

การศกษากฎเกณฑทางแมเหลกในระยะแรก ไดพยายามเลยนแบบการศกษาแรงทางไฟฟาคอ ม

การกาหนด "ขวแมเหลก" เชนเดยวกบ "ประจ" ในเรองแรงทางไฟฟา แตขวแมเหลกไมมขวเดยวอสระ แทง

แมเหลกจะมขวเปนค มขนาดเทากนและตางชนดกน การนยามขวแมเหลกจงไมเกดประโยชนอะไรทจะใช

อธบายอานาจแมเหลก ปจจบนไดเปลยนแนวมาศกษาในแงทวาการเคลอนทของประจทาใหเกดอานาจ

แมเหลกของสาร สมบตทางไฟฟาและทางแมเหลกของสารตาง ๆ เปนผลเนองจากประจในสารนน

แทงแมเหลกหรอตวนาทมกระแสไฟฟาไหลผานจะมอานาจแมเหลกรอบ ๆแทงแมเหลกหรอตวนาน

เรยกบรเวณทแทงแมเหลกหรอตวนาสามารถแสดงอานาจแมเหลกวาสนามแมเหลก (Magnetic Induction, vB ) สนามแมเหลกเปนปรมาณเวกเตอร สามารถใชเสนแรงแมเหลก (Line of Induction) บอกทศและขนาด

ของสนามแมเหลกได สนามแมเหลกมหนวยเปน 1 เวเบอรตอตารางเมตรหรอ เทสลา (Tesla) หนวยของ B ท

นยมใชแตเดมคอ เกาส (Gauss) โดยท 1 เวเบอรตอตารางเมตร เทากบ 104 เกาส สนามแมเหลกทมคาสงสด

ทสรางไดในหองปฏบตการประมาณ 10 เวเบอร/เมตร2 สนามแมเหลกโลกมคาประมาณ 10-5 เวเบอรตอ

ตารางเมตรเทานน ถาหากวาเรานาแมเหลกมาผกเชอกแขวนไว จะปรากฏวาแมเหลกจะชทศเหนอใตตามขว

ของสนามแมเหลกโลก โดยปลายทชทศเหนอ เรยกวาขวเหนอ สวนปลายทชทศใตเรยกวาขวใต โดยเปรยบ

โลกเปนแทงแมเหลก มขวใตอยทางขวโลกเหนอ และมขวเหนออยทางขวโลกใต

ถาเรานาแทงแมเหลกถาวรไปวางไวในสนามแมเหลก จะทาใหแมเหลกหมนไปอยในสนามแมเหลก

ดงรปท 3.1 ซงแสดงวามทอรกกระทากบแทงแมเหลก เปนการบอกวามสนามแมเหลก โดยสนามแมเหลกมทศ

อยในแนวเหนอใต

100

รป 3.1 การนาแทงแมเหลกมาวางในสนามแมเหลก

3.2 การคนพบของเออรสเตต ค.ศ. 1819 เออรสเตต พบวาเมอนาเขมทศมาวางขนานกบเสนลวดตวนาทมกระแสไหลผานจะทาให

เขมของเขมทศเบนไปจากเดม แสดงวาเมอนากระแสไฟฟาผานเสนลวดทาใหเกดสนามแมเหลก ตอมาเออร

สเตตไดทาการทดลองเพอหาลกษณะของสนามแมเหลกโดยนาเสนลวดทยาวมากมาขดเปนขดลวดโซ

เลนอยดแลวผานกระแสไฟฟาเขาไป ปรากฏวาเกดสนามแมเหลกขนภายในแกนของขดลวดโซเลนอยด ดงรป

ท 3.2

รป 3.2 การทดลองของเออรสเตต

สนามแมเหลกทเกดขนมลกษณะคลายแมเหลกถาวร คอมขวเหนอและขวใต ถานาแทงแมเหลกถาวร

เขามาใกล ๆ กจะเกดแรงกระทาตอแทงแมเหลกนน

3.3 แรงแมเหลกกระทาตอประจทเคลอนทในสนามแมเหลก สนามแมเหลกจะมทศพงจากขวเหนอไปยงขวใต ดงรป 3.3

รปท 3.3 ทศของของสนามแมเหลก

N

S

Bv

N

S

Fv

Fv

Bv

N S

N S


101

เมอวางประจไฟฟา q ทตาแหนงใด ๆ ในปรภม ถามแรง Fv

กระทากบประจนน กลาวไดวาบรเวณนน

มสนามไฟฟา Evแรงทสนาม E

vกระทากบประจ q คอ

EqF vv = ………………... (3.1)

ถาประจ q เคลอนทดวยความเรว vv ในบรเวณใด ๆ แลวมแรงภายนอกกระทากบประจ กลาวไดวา

บรเวณนนมสนามแมเหลก Bv

พบวาแรงทสนามแมเหลกกระทากบประจนนททศตงฉากกบความเรว และตง

ฉากกบทศของสนามแมเหลก มขนาดแปรตามขนาดของความเรว และขนาดของสนามแมเหลก แรงแมเหลก

ทกระทาบนประจเขยนไดเปน

BvqF vvv ×= หรอ θ= sinqvBFv ………………... (3.2)

F มหนวยเปน นวตน (N)

v มหนวยเปน เมตร/วนาท (m/s)

q มหนวยเปน คลอมบ ( C )

B มหนวยเปน นวตน/(คลอมบ-เมตร/วนาท) (N.s/C.m) หรอ กโลกรม/วนาท-คลอมบ

(kg/s.C ) หรอ เทสลา ( T )

θ คอมมระหวาง v และ B

รป 3.4 ทศของแรงทกระทากบประจในสนามแมเหลก

สนามแมเหลก 1 เทสลา หมายถงความเขมของสนามททาใหเกดแรง 1 นวตน บนประจ 1 คลอมบ ท

เคลอนทดวยความเรว 1 เมตร/วนาท ในทศทางตงฉากกบสนามแมเหลก

ถาประจเคลอนทผานบรเวณทมทงสนามไฟฟา และ สนามแมเหลก แรงทงหมดจะเปนผลรวมของแรง

ทกระทาโดยสนามไฟฟาและแรงทกระทาโดยสนามแมเหลก

)Bvq(EqF vvvv ×+= ………………... (3.3)

102

ตวอยาง 3.1 โปรตอน 1 ตวเคลอนทผานสนามแมเหลกโลกในแนวตงฉากกบทศของสนามดวยความเรว 107

เมตร/วนาท ความเขมของสนามแมเหลกโลกทเสนศนยสตรประมาณ 10-5 เทสลา จงหาแรงทกระทาบน

โปรตอนโดยสนามน และเปรยบเทยบกบขนาดของแรงโนมถวง

วธทา แรงแมเหลกทกระทาบนโปรตอน = q v B sin (π/2)

= (1.6 ×10-19)(107)(10-5)

= 1.6 × 10-17 นวตน

แรงโนมถวงบนโปรตอน = mg

= (1.6 × 10-27)(9.81)

= 1.6 × 10-26 นวตน

แรงแมเหลกมคาประมาณ 109 เทาของแรงโนมถวง

3.4 ทางเดนของประจในสนามแมเหลกทสมาเสมอ เมอประจเคลอนทเขาไปในสนามแมเหลกดวยความเรวตนตงฉากกบสนามแมเหลก พบวา ประจจะ

เคลอนทเปนวงกลมในระนาบทตงฉากกบสนามแมเหลก

รป 3.5 ประจบวกเคลอนทเปนวงกลมในสนามแมเหลก

ประจเคลอนทเปนวงกลม แรงแมเหลกทกระทาบนประจ จะตองเทากบแรงเขาสศนยกลาง

qvB = mv2 / R ………………... (3.4)

R = qBmv

………………... (3.5)


103

รศมเปนสดสวนโดยตรงกบโมเมนตม และเปนสดสวนผกผนกบสนามแมเหลก

ความถเชงมม (ω) = v / R = q B / m

คาบของการหมน T = 2πR / v = 2π / ω = 2π / q B

จากสมการ ความถเชงมม และ คาบไมขนอยกบอตราเรว และ รศมวงโคจร ความถ ω / 2π เรยกวา

ความถไซโคตรอน (cyclotron frequency)

3.5 เมออนภาคทมประจไฟฟาเคลอนททามม θ กบสนามแมเหลก เสนทางการเคลอนทของอนภาคจะเปนเกลยวดงรป

รป 3.6 ประจเคลอนทเปนเกลยวในสนามแม เหลก เมอความเรวของประจทามมใด ๆ

กบสนามแมเหลก

การเคลอนทเปนเกลยวในสนามแมเหลกจะเกดขนในกรณททศของความเรวทามม θ

ใด ๆ กบทศของสนามแมเหลก ความเรวจะถกแตกออกเปนสองสวน คอความเรวยอยในแนวตงฉากกบ

สนามแมเหลก ซงจะทาใหประจเคลอนทเปนวงกลม และความเรวยอยในแนวขนานกบสนามแมเหลก ซงจะ

ทาใหประจเคลอนทไปในทศขนานกบสนามแมเหลก ประจจงเคลอนทเปนเกลยว รศมของเกลยว R หาไดจาก

R = qBsinmv θ

………………... (3.6)

คาบของการเคลอนทเปนเกลยวครบ 1 รอบ หาไดจาก

T = v

Rπ2 = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qB

mv

v

θθ

π sin

sin

2

T = qB

mπ2 ………………... (3.7)

p เปนระยะหางระหวางเกลยวหาไดจาก

p = (v cos θ )T

p = qB

mv )2)(cos( πθ ………………... (3.8)

R

104

ตวอยาง 3.2 อเลกตรอนตวหนงวงดวยความเรว 106 m/s เขาไปในสนามแมเหลกคงท 10-3 เทสลา โดยทา

มม 53๐ ตอกน

ก) จงอธบายลกษณะการเคลอนทของอเลกตรอน

ข) หารศมการเคลอนท ค) หาระยะระหวางเกลยว

วธทา ก) เมออเลกตรอนวงเขาสสนามแมเหลกโดยทามม 53๐ ทางเดนจะเปนเกลยวดงรป

ข) R = qBsinmv θ

= 54

10106.110109

319

631×

××××

−−

−

= 4.5 ×10-3 เมตร

ค) p = (v cos θ )T

= v cos 530 ( )qBm2π

= 319

316

10106.1109

72225

310 −−

−

×××××××

= 2.12 × 10-2 เมตร

3.6 แรงทกระทาตอเสนลวดตวนาทมกระแสไหลผาน เมอวางอยในบรเวณทมสนามแมเหลก เมอมกระแสไฟฟาไหลผานลวดตวนายาว l ซงวางอยในสนามแมเหลก ทาใหเกดแรงแมเหลกกระทา

ตออเลกตรอนซงเคลอนทอยในลวดตวนานนแรงแมเหลกทเกดขนคอ

BvqF vvv ×= = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×B

tq vlv

= θsinBIl ………………... (3.9)

ทศของแรงแมเหลกทเกดขนสามารถหาไดจากกฎมอขวา

Bv

v

s


105

รปท 3.7 เสนลวดตวนาทมกระแสไหลผาน

ตวอยาง 3.3 เมอลวดตวนายาว 10 เซนตเมตร มวล 0.05 กโลกรม มาวางในแนวเหนอใต ซงบรเวณนนม

สนามแมเหลกสมาเสมอในแนวตะวนออกตะวนตก เมอผานกระแสไฟฟาขนาด 25 แอมแปร เขาไปในขดลวด

ตวนาจากทศใตไปทศเหนอ ปรากฏวาลวดตวนานสามารถลอยนงอยในสนามแมเหลก จงหาขนาดและทศทาง

ของสนามแมเหลกน

วธทา ∑ F = 0

FB = mg

Il B = mg

B = lI

mg = 1.02581.905.0

××

= 0.2 T

มทศจากตะวนออกไปตะวนตก

ตวอยาง 3.4 ลวดตวนารปตว U มกระแส I ไหลผาน วางในแนวทระนาบของลวดตงฉากกบสนามแมเหลก

คาสมาเสมอ B (ดงรป 3.4) สวนทเปนครงวงกลมมรศม R จงหาแรงแมเหลกทกระทาบนลวดตรงสวนทเปน

ครงวงกลม

วธทา สนามแมเหลกพงออกจากกระดาษตงฉากกบทศของกระแส (Idl) แรงบนสวนยอย ๆ ของขดลวดคอ

dF มทศพงออกในแนวรศม

F

Bw E

m

S

I

N

รป 3.8 ขดลวดรปตว U มกระแสไหลผาน I

d d

I

φ

106

dF = I dl B sin 90o = Ibdl แตกแรง dF ไปในแนวแกน x และ y จะได

dFx = d F cos φ = I B dl cos φ

dFy = d F sin φ = I B dl sin φ

หาแรงทงหมดบนขดลวดครงวงกลม φ แปรคาตงแต 0 ถง π สวนเลก ๆ dl = Rdφ จะได

Fx = IRB dcosφ φπ

0∫ = IRB (sin π - sin0)

= 0

Fy = I dRB sinφ φπ

0∫ = -IRB (cosπ - cos0)

= 2IRB

แรงแมเหลกทงหมดทกระทาบนลวดมขนาด = F Fx y2 2+ = 2 IRB มทศตามแนวแกน Y

3.7 ทอรกบนโครงลวดตวนาทมกระแสไฟฟาไหลผาน

รปท 3.12 กระแสไฟฟาทไหลผานโครงลวดตวนา

จากรป ขนาดของแรงแมเหลก F = IbB

ขนาดทอรกแมเหลก τ = F a sin α = I B (ab) sinα = I A B sin α

เวกเตอรของทอรกแมเหลก )BA(I vvv ×=τ ถาใชขดลวด N รอบ )BA(NI vvv ×=τ

a

b

y

I I

B

F

I B

F

α


107

ตวอยาง 3.5 ขดลวดรปสเหลยมผนผาขนาด a × b วางอยในสนามแมเหลกขนาด B จงหาแรง

แมเหลกทเกดขนบนเสนลวด

วธทา ขดลวดวางอยในสนามแมเหลก ใหแนว $n (ซงตงฉากกบระนาบของขดลวด) ทามม θ กบทศของ

สนามแมเหลก

หาแรง F2 และ F4 ดานทยาว b ทามม 90 - θ องศากบ B

F2 = F4 = IbB sin (90 - θ)0 = IbB cos θ

F2 และ F4 มทศตรงขามกนและอยในแนวเดยวกน จงไมมแรงบดเกดขนในแนวน

หาแรง F1 และ F3 ซงเปนแรงทกระทากบดานยาว a

F1 = F3 = IaB sin 90o = IaB

F1 และ F3 ทาใหเกดแรงคควบ ซงจะทาใหลวดเกดการบดโดยแขนของแรงคควบเทากบ b sin θ

แรงคควบ (torque, τ) = IB (ab) sin θ = IBA sin θ

เมอ A = (ab) = พนทหนาตดของขดลวด

แรงคควบบนขดลวดจะมคามากทสดเมอ θ = 90o (ระนาบของขดลวดขนานกบ B) และมคาเปน

ศนย เมอระนาบของขดลวดตงฉากกบ B (θ = 0) เขยนอยในรปเวกเตอรจะได vτ = IAn B$ ×

v

3.8 สนามแมเหลกทเกดจากกระแสไฟฟาไหลผานลวดตวนา จากการคนพบของเออรสเตต สามารถแยกพจารณาสนามแมเหลกทเกดขนไดตามลกษณะของ

ขดลวดตวนา ดงน

1. สนามแมเหลกทไหลผานลวดตรงยาว

สนามแมเหลกทเกดขนจะมทศวนรอบเสนลวด โดยสนามแมเหลก ณ จดใด ๆ จะอย ในแนวสมผสกบ

เสนแรงแมเหลก ทจดนน ๆ เสมอ สนามแมเหลกทเกดขนจะมความเขมแตกตางกนคานวณไดจาก

รป 3.13 ขดลวดรปสเหลยมผนผาในสนามแมเหลก

F4

F2 F1

a θ b

F3 nI

108

r

IB

πµ2

0=

เมอ µ0 คอ คา permeability ของตวกลางทลวดอย

I คอ กระแสไฟฟาทไหลผานเสนลวด

r คอ ระยะทางจากเสนลวดถงจดทพจารณา

2. สนามแมเหลกจากกระแสไฟฟาทไหลผานเสนลวดวงกลม

จากกฏมอขวา ทศของกระแสไฟฟาตาม

แนวเสนโคงของเสนลวดแทนดวยนวทงส

นวหวแมมอจะชแนวเสนแรงแมเหลกทเกด โดย

ความเขมสนามแมเหลกทเกดขนทจดศนยกลาง

ของขดลวดมคา r2IB 0

πµ

=

3.9 กฎของบโอต - ซาวารต หลงจากทเออรเสตดไดทดลองนาเขมทศไปวางไวใกล ๆ ตวนาทมกระแสไฟฟาไหลผานพบวา

สนามแมเหลกจากลวดตวนาทาใหเขมทศเบยงเบนไปจากแนวเหนอใต นกวทยาศาสตรอกหลายคนได

ทดลองแบบเดยวกน แตใชตวนาทมลกษณะแตกตางกนออกไป ผทสรปผลการทดลองนามาเขยนเปนสมการ

ทสามารถใชในการคานวณขนาดและทศทางของสนามแมเหลกทเกดจากวงจรรปใด ๆ คอ บโอต และซาวารต

รป 3.14 สนามแมเหลกทเกดจากตวนายาว dl กระแสไหล I

แบงเสนลวดออกเปนสวนเลก ๆ ขนาด dl dl เปนปรมาณเวกเตอรมทศเดยวกบทศการไหลของกระแสไฟฟา สนามแมเหลกทเกดจากกระแสไหลผานตวนา dl ทจด P มคานอย ๆ เทากบ dB ซงมทศตงได

ฉากกบ dlเสมอ ขนาดของ dB จะเปนสดสวนตรงกบขนาดของกระแส และแปรผกผนกบระยะหางระหวางจด

P กบ dl ในทนใหเปน r แปรผนตรงกบ sin θ เมอ θ คอมมระหวาง dl กบ ทศของ r เขยนเปนสมการได

ดงน

N S


109

dBv

= 20

rsinIdl

4θ

πµ

= 02

ˆ4

Idlr

r

µπ

×v

................ (3.11)

เมอ µ0 คอคาสภาพซาบซมไดทางแมเหลกของสญญากาศ (permeability constant for vacuum)

µ0/4π = 10-7 เทสลา.เมตร/แอมแปร

กฎของบโอต-ซาวารตมสวนคลายกบสตรการหาสนามไฟฟาคอขนาดของสนามแมเหลกจะแปรผน

กบ 1/r2 เชนกน กระแสไฟฟา Idlv

จะเปนตวใหกาเนดสนามแมเหลก ขณะท q เปนแหลงกาเนดสนามไฟฟา

สงทตางกนคอ dEv

จะมทศในแนว vr ขณะท dBv

จะมทศตงฉากกบระนาบทเกดจาก Idlv

และ $r ประจ

สามารถมประจอสระเปนบวกหรอลบได แตกระแสจะมการไหลจากปลายหนงไปยงอกปลายหนง การหา vB

ตองอนทเกรตไปตามเสนทางทกระแสไหลผาน ดงนน กฎของบโอต-ซาวารตของสนามแมเหลกทเกดจาก

กระแสไฟฟาในลวดตวนาทงเสน คอ

Bv = ∫ ×L

rr

lIdˆ

4 20

v

πµ

3.10 ตวอยางสนามแมเหลกทเกดจากตวนาแบบตาง ๆ ตวอยาง 3.6 จงหาขนาดของสนามแมเหลกทเกดจากเสนลวดตรงยาวอนนต ตรงตาแหนง y ใด ๆ เมอ y วด

จากเสนลวดตวนาในแนวตงฉาก

วธทา ใหเสนลวดตวนามกระแสไฟฟาไหลขนาด I วางอยในแนวแกน x ตาแหนงทตองการหาสนามอย

หางจากเสนลวดเปนระยะ y

รป 3.15 แสดงการหาสนามแมเหลกทเกดจากกระแส I ในเสนลวดตรงยาวอนนต

แบงเสนลวดตวนาออกเปนสวนเลก ๆ ขนาด dl ซงในตวอยางนคอ dl = dx นนเอง จด P อยหาง

จากชนสวนของตวนาเลก ๆ นเปนระยะ r มมระหวาง r กบ dx คอ θ ทศของ dB มทศพงออกจาก

หนากระดาษ ดงรป 3.15

จากกฎของบโอต-ซาวารต ความเขมของสนามแมเหลกยอยทเกดจากกระแสตวนาในชวง dx คอ

dB = 20 sin

4 r

Idx θπµ

แทนคา dx และ r ในเทอมของมม θ โดยอาศยจากความสมพนธตอไปน

110

- x = y cot θ จะได dx = y cosec2 θ

และ r = y cosec θ , แทนคา r และ dx จะได

เมอเสนลวดยาวมาก ๆ มม θ1 มคาเขาใกล ศนย และมม θ2 มคาเขาใกล 180 องศา

สนามแมเหลกเนองจากลวดตวนายาวอนนตจะกลายเปน

B = y2

I0 π

µ แอมแปร/เมตร .................... (3.12)

เมอนาเสนลวดตวนาสองเสนยาวเสนละ L วางหางกนเปนระยะ d มกระแสไฟฟาไหล I1 และ I2

ตามลาดบโดยใหกระแสไหลไปในทศเดยวกน ดงรป 3.16

รป 3.16 ตวนา 2 เสนยาวเสนละ L วางหางกนเปนระยะ d

แรงแมเหลกทเกดขนทตวนาเสนท 1(F1) อนเนองมาจากสนามแมเหลกของตวนาเสนท 2 (B2) หา

ไดจาก

F1 = IL B2 sin 90o

แทนคา B2 จากสมการ 3.12 จะได

F1 = d2

ILI 210

πµ

N


111

แรงแมเหลกตอหนงหนวยความยาว เขยนไดเปน

F1 / L = d2

II 210

πµ

N

ทศของ F1 จะมทศพงเขาหา ตวนาตวท 2 (หาไดโดยใชกฎมอขวา) ในทานองเดยวกนทศของ F2 จะ

มทศไปทางดานซายมอ หรอมทศตรงกนขามกบ F1 ดงนนแรงแมเหลกทเกดจากลวดตวนาทวางขนานกนม

กระแสไหลไปในทศเดยวกนจงเปนแรงดงดด

ถาใหตวนาทงสองมกระแสไฟฟาไหลในทศสวนทางกนทศของแรงแมเหลกจะเปนแรงผลกกน

ตวอยาง 3.7 ลวดตวนาขดเปนรปสเหลยมจตรสยาวดานละ a มกระแสไฟฟาไหลในทศทวนเขมนาฬกา จง

หาสนามแมเหลกทจดกงกลางของขดลวด

รป 3.17 ตวนารปสเหลยมจตรสยาวดานละ a

วธทา จด A เปนจดกงกลางของสเหลยมจตรส สนามแมเหลกทเกดจากเสนลวดตวนาแตละเสนหาไดจาก

สมการ

ในทน θ1 = 45 องศา θ2 = 135 องศา y = a / 2

ความเขมของสนามแมเหลกของแตละเสนทจด A จะมคาเทากนและมทศพงออกจากกระดาษ ดงนน

สนามแมเหลกทจด A จงมคาเปนสเทาของสนามแมเหลกทเกดจากลวดตวนาดานใดดานหนง

BA = )135cos45(cos)2/a(4

I4 000 −πµ

= a

I22 0

π

µ T

112

3.11 กฎของแอมแปร (Ampere’s circuital law) กฎแอมแปรเปนกฎทแสดงความสมพนธระหวางสนามแมเหลกทเกดขนกบกระแสไฟฟาทไหลผาน

ตวนาซงมใจความดงน

“อนทกรลเชงเสนของ B รอบเสนปดใด ๆ จะมคาเทากบกระแสไฟฟาตรงคาสทธทถกปดลอมโดย

เสนปดนน”

v vB d l⋅∫ = µ0I ....................(3.13)

ตวอยางเสนปดทปดลอมตวนาไดแสดงไวในรป 3.14 อนทกรลเชงเสนของ vB รอบเสนปด a มคา

เทากบ I1 - I2 อนทกรลเชงเสนของ vB รอบเสนปด b และ c มคาเทากบ I3 และ

อนทกรลเชงเสนของ vB รอบเสนปด d มคานอยกวา I4 เพราะเสนปดไมไดปดลอมตวนาทงหมด

รป 3.18 แสดงเสนปดทลอมรอบตวนาในลกษณะตาง

สงทจะตองคานงถงในการใชกฎของแอมแปร คอ

1. กฎของแอมแปรเทยบเทากบกฎของเกาสในเรองไฟฟาสถต มเงอนไขในการใชทคลายกนคอ

ตองรทศทางของ vB แตไมรขนาด

2. ผลลพธการอนทเกรตไมขนอยกบรปรางของเสนปด

3. สามารถเลอกรปรางของเสนปดไดตามใจชอบ แตควรเปนเสนปดทมลกษณะสมมาตร vB กบ

d lv ควรทามม 0o หรอ 90o เพอหลกเลยงความยงยากทางคณตศาสตร

4. ควรเลอกเสนปดทขนาดของ B บนเสนทางทมคาคงท

3.12 ตวอยาง การใชกฎของแอมแปรหาสนามแมเหลก ตวอยาง 3.8 จงใชกฎของแอมแปรหาสนามแมเหลกทเกดจากกระแสไฟฟา I ไหลผานตวนาเสนตรงยาว

อนนต

วธทา ตองการหาสนามทจด A ซงอยหางจากลวดตวนาเปนระยะ r เลอกเสนปดรปวงกลม รศม r เพราะ

ทราบวาขนาดของ B มคาคงทบนเสนรอบวงน ทศของ d lv และ vB มทศเดยวกน

(ค) (ก) (ข)


113

รป 3.19 การใชกฎของแอมแปรหา B ทเกดจากตวนาตรงยาวอนนต

∫φ

l.dBvv

= µ0I

มมระหวาง vB กบ d lv มคาเปนศนย

B dlφ∫ = µ0I

เพราะ dl = rdφ

B rd

0

φ

πφ

2∫ = µ0I

Bφ

= µπ0

I

2 r เทสลา

จะไดขนาดของสนามแมเหลกเหมอนกบวธของบโอต-ซาวารต ถากลบทศของกระแส I ในทน จะได

มมระหวาง vB กบ d lv เทากบ 180o จะไดขนาดของ B เปนคาลบ ซงหมายถงการอนทเกรตเชงเสนกระทาใน

ลกษณะทสวนทศกบสนามแมเหลก

ตวอยาง 3.9 ขดลวดโซลนอยดยาว L รศม a จานวนขดลวด N ขด มกระแสไฟฟาไหลผาน ขดลวดเทากบ I

ถา L >> a จงใชกฎของแอมแปรหาขนาดของ vB ภายในขดลวด

วธทา ขดลวดโซลนอยดยาวมาก ๆ จะมสนามแมเหลกเฉพาะภายในขดลวดเทานน ทศของสนามแมเหลก

ขนานกบแกนของขดลวด

รป 3.20 การสรางเสนปดปดลอมบางสวนของขดลวด

114

เสนปดทเหมาะสมสาหรบปญหานคอ เสนปดรปสเหลยมผนผา abcd กระแสไฟฟา

ทงหมดทผานพนทหนาตดของเสนปดคอ NhI/L

v vB d l⋅∫ = µ0

NhI

L

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫∫+∫+d

c

c

b

b

a = µ0

NhI

L

คาอนทกรลเทอมท 2 และเทอมท 4 มคาเปนศนยเพราะเสนทางการเคลอนทตงฉากกบทศของ vB

เทอมท 3 มคาเปนศนยเพราะสนามแมเหลกนอกขดลวดโซลนอยดมคาเปนศนย

v vB d la

b⋅∫ = µ0

NhI

L

B = µ0NI

L เทสลา

ให n เปนจานวนรอบของขดลวดตอหนงหนวยความยาว = N/L

B = µ0nI เทสลา

ตวอยาง 3.10 สนามแมเหลกทเกดจากขดลวดทอรอยด (Toriod) ทมจานวนขดลวด n รอบมกระแสไหลผาน

I

รป 3.21 แสดงเสนปดทระยะตาง ๆ ของขดลวดทอรอยด

วธทา

ก. หาสนามแมเหลกทระยะ r1

∫ ld.Bvv

= µ0I


115

กระแสไฟฟาสทธภายในวงกลมรศม r1 มคาเทากบ 0 ดงนน vB = 0

ข. หาสนามแมเหลกทระยะ r2

ถาขดลวดมจานวน n รอบ กระแสไฟฟา สทธในเสนปด คอ = nI

∫ ld.Bvv

= µ0nI

B = µπ

0

2

nI2 r

เทสลา

vB ในขดลวดทอรอยดจะไมคงทเพราะแปรผนตาม 1/r

ค. หาสนามแมเหลกทระยะ r3 ซงเปนระยะนอกขดลวดทอรอยด กระแสไฟฟาทไหลในขดลวด แตละ

รอบจะมขนาดเทากน ทศตรงขามกน กระแสไฟฟาสทธภายในวงกลมรศม r3 จงมคา เปนศนย นนคอ B = 0

3.10 การเหนยวนาไฟฟา ในหวขอทผานมาไดศกษาถงเรองราวของสนามแมเหลกและทาใหทราบวากระแสไฟฟาในตวนาทาให

เกดสนามแมเหลกได ในหวขอนเราจะศกษาในทางกลบกนกลาวคอสนามแมเหลกจะทาใหเกดกระแสไฟฟาใน

ตวนาไดหรอไม

3.10.1 แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา

การทดลองเพอแสดงใหเหนวาสนามแมเหลกทาใหเกดกระแสไฟฟาทาไดงายๆโดยนาแทงแมเหลก

เคลอนทเขาหาหรอเคลอนทออกจากขดลวดทตอเขากบกลวานอมเตอรตามรป 3..22

รป 3.22

N S

á¡¹äÁé

µÍÃì¡ÑÅÇÒ¹ÍÁÔà

N Sá¡¹äÁé

µÍÃì¡ÑÅÇÒ¹ÍÁÔà

116

เมอเคลอนแทงแมเหลกเขาหรอออกจากขดลวดจะเกดกระแสไฟฟาในขดลวด หรอถาใหแทงแมเหลก

อยนงแลวเคลอนขดลวดกจะไดผลการทดลองเชนเดยวกนแตทศทางของกระแสไฟฟาทเกดจะมทศตรงขามกน

เมอเคลอนแมเหลกเขาหรอออก โดยปกตจะเรยกกระแสไฟฟาทเกดในขดลวดนวา “กระแสไฟฟาเหนยวนา

(induced current)” และเรยกแรงเคลอนไฟฟาททาให เกดกระแสไฟฟาเหนยวนาในขดลวดวา

“แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา (induced electromotive force)”

3.10.2 กฎของฟาราเดย ไมเคล ฟาราเดย (Michael Faraday) ไดทดลองเพมเตมเกยวกบสนามแมเหลกททาใหเกด

กระแสไฟฟาและสรปวา “ขนาดของแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาเปนปฎภาคโดยตรงกบอตราการ

เปลยนแปลงฟลกซแมเหลกทผานวงจรตวนา” หรอ

)(dt

dBΦ=ε

เมอ BΦ เปนฟลกซแมเหลกทผานวงจร จากหวขอทผานมา

∫ ⋅=Φ AdBB

rr

หรอในกรณทสนามแมเหลกตงไดฉากกบพนทหนาตด

BAB =Φ

ตวอยางท3.11 จากรปแทงเหลก ab ซงมความยาว l เคลอนทบนรางเหลกยาวสมาเสมอทอยใน

สนามแมเหลก Brจงหาแรงเคลอนไฟฟาทเกดขน

รป3.23

วธทา เนองจาก )AB(dt

d

dt

d Brr

⋅=Φ

=ε ตามกฎฟาราเดย ถาพจารณาตามรปขนาดพนทหนาตด

Aจะมคาเทากบ xl และสนามแมเหลกมทศเดยวกบเวกเตอร Ar

(มทศพงออกจากหนากระดาษ)แทนคาจะได

))0cos(xB(dt

dl=ε

เนองจากขนาดสนามแมเหลกคงทและความยาวแทงเหลกคงทดงนน

dt

dxBl=ε

∴ขนาดของแรงเคลอนไฟฟามคาเทากบ vBl=ε

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

X

v

a

b

x

l


117

ตวอยางท 3.12 ขดลวดรปสเหลยมผนผาขนาด cmcmx 105 จานวน 10 รอบ หมนรอบแกนกลางดงรป ดวย

ความเรวเชงมม 100rad

s ความตานทานของขดลวด 5= Ω มสนามแมเหลกตงฉากกบแกนหมนมคา

22 10x −= เวเบอร/ตารางเมตร

รป 3.24

จงหา ก)กระแสไฟฟามากทสดในขดลวด

ข)มมของลวดเมอไดกระแสมากทสด

วธทา พนทขดของขดลวด 35 10A x −= ตารางเมตร ขณะใดๆ ให A

v ทามม θ กบ B

v ฟลกซ

ทผานพนท 1 ขด

∫ ⋅=Φ AdB'Brr

θ= cosBA

ฟลกซทผาน N รอบ คอ

θ=Φ cosNBAB ( BΦ nรอบ)

จาก dt

dsinNBA

dt

d B θθ=

Φ=ε θω= sinNBA เมอ 100

dt

d=

θ=ω จะไดกระแสในวงจร

R

sinNBA

Ri

θω=

ε=

ก) กระแสไฟฟามากทสดเมอ sinθ มคามากทสด = 1

∴กระแสมากทสด R

NBAω=

Ω

ω

=

−−

5

)s100)(m10x5)(m

10x2)(10(I

232

2

max

s/rad100=ωWb10x2B 2−=

118

maxI 0.02 20Anpese mA= =

ข) หาก R

sinNBAi

θω= จะเหนวา คา i จะมากทสดเมอ o90±=θ

คอเมอระนาบของขดลวดขนานกบ Bv

จากตวอยางขางตนจะเหนวาการหมนของขดลวดในสนามแมเหลก จะเกดแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา

ในลกษณะเปนฟงกชนของ θsin แรงเคลอนไฟฟาจงเขยนไดเปน

tsin0 ωε=ε

เมอ 0ε คอ แรงเคลอนไฟฟาสงสด NABω= ไฟฟาชนดทเปนไฟฟากระแสสลบ ซงเขยนเปน

กราฟไดดงน

ดงนนอาจสรปไดวาแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาจะเกดขนในวงจรตวนาเมอ

1.วงจรตวนาเคลอนทตดสนามแมเหลก

2. สนามแมเหลกเคลอนทตดวงจรตวนา

3.วงจรตวนาวงจรอยนงๆ ภายในสนามแมเหลก ซงขนาดฟลกซแมเหลกเปลยนแปลงตามเวลา

3.10.3 กฎของเลนซ ปญหาของแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาอกอยางหนงคอทศทางของแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาเปน

เชนใด โดยปกตทศทางของแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนากจะเปนไปตามกฎของเลนส (Lenz’s law) ทกลาววา

“ทศทางของแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาจะมทศเพอใหเกดกระแสไฟฟาเหนยวนาไหลไปในทศททาใหเกดผล

ตอตานการเปลยนแปลงของฟลกซแมเหลก” ดงนนเมอรวมกฎของฟาราเดยและกฎของเลนซเขาดวยกนจะได

)(dt

dBφ−=ε

เครองหมายลบทเพมเขามาแสดงใหเหนวาแรงเคลอนไฟฟาทเกดมทศทตอตานการเปลยนแปลง

ของฟลกซแมเหลก ในกรณทขดลวดประกอบไปดวยลวดทงหมด N รอบจะได

)(dt

dN Bφ−=ε

การพจารณาหาทศของแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาตามกฎของเลนซอาจพจารณาไดตามรปท ตามรป

ท 3.25 (1ก) มสนามแมเหลก Br

พงผานขดลวดทาใหเกดฟลกซแมเหลก BΦ เมอสนามแมเหลกลดลงตามรป

ท 3.25(1ข) จะเกดกระแสไฟฟาเหนยวนาในทศทวนเขมนาฬกาเพอใหเกดสนามแมเหลกจากกระแสไฟฟา

เหนยวนา(เสนประ) ทาใหฟลกซแมเหลกหรอจานวนเสนแรงแมเหลกทผานวงจรมคาคงเดม สวนความสมพนธ

t

ε

0ε

0ε−


119

ระหวางทศทางของกระแสไฟฟาเหนยวนาและสนามแมเหลกทเกดจากกระแสไฟฟาเหนยวนานนหาไดจากกฎ

มอขวาซงไดศกษามาแลวในหวขอทผานมา

ในทางตรงขามถามสนามแมเหลกเพมขนตามรปท3.25 (2ข) จะเกดกระแสไฟฟาเหนยวนาในทศตาม

เขมนาฬกาเพอใหเกดสนามแมเหลกจากกระแสไฟฟาเหนยวนา(เสนประ) เพอหกลางกบเสนแรงใหมทเพมเขา

มาทาใหฟลกซแมเหลกหรอจานวนเสนแรงแมเหลกทผานวงจรมคาคงเดม

รปท3.25

ฟลกซ BΦ อาจจะเปลยนแปลงไดจากสาเหตหลายอยางอาทเชน

1.พนทของวงจรเปลยนแปลง ( )Av

2.ขนาดของสนามแมเหลกเปลยน ( )Bv

3.ทศทางของ Bv

เปลยน

4.ทศทางของ Av

เปลยน

3.10.4 ความเหนยวนาตวเอง (Self inductance) เมอมกระแสไฟฟาไหลในวงจร จะมสนามแมเหลกเหนยวนา ( )B

v เกดขนรอบๆ ตวนาในวงจรนน

ขนาดของสนาม แมเหลกจะเปนสดสวนโดยตรงกบขนาดของกระแสไฟฟา ( )I ในวงจร ดงนนฟลกซ

แมเหลก BΦ ทงหมดทผานวงจรจงเปนปฏภาคตรงกบกระแสไฟฟาดวย นนคอ

LIB =Φ เมอ L คอ คาคงทซงขนกบลกษณะทางเรขาคณตของวงจร และเรยกคาคงทนวา “คาความเหนยว

ตวเอง” ในระบบ SI คา L มหนวยเปน เฮนร (Henry) ใชตวยอเปน H โดยท

1 1Webes

HA

=

เมอกระแสไฟฟา I ในวงจรเปลยนแปลงฟลกซแมเหลกเหนยวนากจะเปลยนแปลงดวย ทาใหเกด

แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาตวเองขนเรยกลกษณะเชนนของวงจรวาเกดการเหนยวนาตนเองแรงเคลอนไฟฟา

เหนยวนาตวเอง หาไดจาก

LI

LI

120

dt

d BΦ−=ε

หรอ

dt

dIL−=ε .................... (3.14)

เครองหมายลบแสดงวาแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนามทศตานกบทศการเปลยนแปลงของกระแส

เปนไปตามกฎของเลนซ แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาจะมทศตรงขามกบกระแส ถา dI/dt มคาเพมขน และจะม

ทศเดยวกบทศของกระแส ถา dI/dt มคาลดลง

จากสมการ (3.14) จะเหนวาหนวยของ L คอ โวลต-วนาท/แอมแปร หรอเวเบอร/แอมแปร เราเรยก

หนวยนใหมวา เฮนร (Henry)

ในวงจรทกระแสไฟฟาเปลยนแปลงขดเหนยวนาจะประพฤตตวเหมอนเครองกาเนดไฟฟาทม

แรงเคลอนไฟฟา เปน dt

dIL− และมความตานทานภายใน R ในวงจรทางไฟฟามกแทนขดเหนยวนาใน

วงจรเปนความเหนยวนาแทๆ (L) ตออนกรมกบความตานทาน R ดงรป 3.26

รปท 3.26

3.10.5 การคานวณหาคาการเหนยวนาตวเองของขดลวดเหนยวนา สมมตขอลวดโซลนอยดยาว l ม n รอบตอหนวยความยาวดงรปถาขดลวดแตละรอบอยชดกน

และความยาวของขดลวดมากกวาเสนผาศนยกลางมากๆ โดยคดวาโซลนอยดนนมความยาวมากเปนอนนต มความเหนยวนาเปน Lα ใหกระแสไฟฟา I ไหลผานขดโซลนอยดนและใหพนทหนาตดของขด =A

สนามแมเหลกภายในขด oB nIµ= ฟลกซทผานพนทหนาตดของขดลวด 1 ขด คอ nIA0B µ=Φ

จานวนขดลวดทงหมด = n ขด ดงนนฟลกซทผานชดลวดทกขด คอ

รปท3.27

Br

L R


121

AIn20B lµ=Φ

แต LIB =Φ

AnI

L 20

B lµ=Φ

= .................... (3.15)

ให N เปนจานวนรอบของโซลนอยด

lnN =

หรอ 2

22

e

nn = ดงนน

e

ANL 2

0µ=

หรอ

α= bLL αL เปนคาความเหนยวนาของขดเหนยวนาในอดมคต คอ เมอมความยาว คา b หาไดจากการ

คานวณชนสง ตวอยางคาของ b ดงแสดงในตาราง

เสนผาศนยกลาง

ความยาว

0 0.5 1 10

b 1 0.8 0.7 0.2

ความเหนยวนาตนเองทเกดขนในตวขดลวดเหมอนกบสมบตของมวลทเรยกวาความเฉอย(inertia)

เราจงเรยกคาความเหนยวนาทางตนเองนวาเปนความเฉอยทางไฟฟา ในวงจรไฟฟาจะแทนสญลกษณของ

ขดลวดเหนยวนาไดดวยเครองหมาย

ตวอยาง 3.13 ขดลวดพนเรยงเสนจานวน N รอบ มความยาว y มกระแสไหลผานเทากบ I สนามแมเหลกท

เกดจากกระแสไฟฟามคาเทากบ µ0NI/y จงหาความเหนยวนาของขดลวด (L)

วธทา φB = BA = µ0NIA

y

L = N

IBφ =

µ02AN

y เฮนร

ถาขดลวดมจานวน 1 รอบ

L = µ0A

y

จะเหนวาสตรนมลกษณะคลายคาความจไฟฟา

C = ε0A/d รป 3.28 ขดลวดพนเรยงเสน

จานวน N รอบ ยาว y

z

y

x

122

ตวอยาง 3.14 จงหาคาความเหนยวนาตวเองของวงจรทประกอบดวยทรงกระบอกโลหะกลวง 2 อน มแกน

รวมกน มรศมเปน a และ b ตามลาดบ แตละทรงกระบอกมกระแส I ผาน แตมทศทางตรงกนขาม ชองวาง

ระหวางทรงกระบอกมสารมสภาพซาบซมไดเปน µ

วธทา หาสนามแมเหลกระยะรศมใด ๆ โดย

อาศยกฎของแอมแปร

v vB d l⋅∫ = µI

B 2πr = µI

B = µπ

I2 r

ตองการหาความเหนยวนา ตองหาฟลกซแมเหลกทผานระหวางตวนาทรงกระบอกไดแกพนท

สเหลยมผนผา ABCD โดยแบงเปนพนทเลก ๆ ขนาด dr ยาว h พนทเลก ๆ ทสนามแมเหลกพงผานคอ hdr

ฟลกซแมเหลกทผานพนททงหมด φB = vB ds

ABCD⋅∫

= µπI

2a

bh

dr

r∫

= µ

π⋅ ⋅ ⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

I h

2ln

b

a

ความเหนยวนาตนเอง คอ L =φI =

µπh

2ln

b

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ความเหนยวนาตนเองตอหนวยความยาวคอ µπh

2ln

b

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3.10.6 ความเหนยวนาตางรวม (Mutual Inductance)

รปท3.28

I

รป 3.30 ความเหนยวนาตนเองจาก

ทรงกระบอกโลหะกลวง

B A

r D

C

h


123

จากรป 3.28 ขดลวด 2 ขด เมอมกระแสไฟฟา 1I ไหลในวงจรท 1 ทาใหเกดฟลกซ 2BΦ ขน ณ

ตาแหนงซงวงจรท 2 วางอย คา 2BΦ จะเปนปฏภาคตรงกบกระแสไฟฟา 1I นนคอ

1122B IM=Φ

เมอ 12M เปนคาคงทสาหรบวงจรทง 2 เรยกวา คาความเหนยวนาตางรวม (มลกษณะเหมอนกบ คา

L ในเรองความเหนยวนาตงเอง) และมหนวยเปน เฮนร (Henry,H)

ในทานองเดยวกนถามกระแสไฟฟา 2I ไหลในวงจรท 2 กจะทาใหเกดฟลกซ 2121B IM=Φ ทขด

ท 1 จะได

2121B IM=Φ

คา 12M และ 21M นมคาเทากบ M ถากระแสไฟฟาในวงจรท 1 เปลยนแปลงจะทาใหเกด

แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาขนทวงจรท 2 จะได

dt

d 22

Φ−=ε

หรอ dt

dIM 1

2 −=ε

ตวอยางท 3.15 ขดลวดวงนอกม 1n รอบ/หนวยความยาววงในม 2n รอบตอหนวยความยาว

มพนทหนาตด A และยาว l ดงรปท3.29

รปท3.29 วธทา สนามแมเหลกภายในขดนอก 0 1B n Iµ= ฟลกซทผานขดใน 1 ขด

1101 IAnnµ=Φ นาบขดลวดขดใน 2n= l∴ฟลกซทผานขดลวดในทกขด

l2110B nIAnnµ=Φ

จาก MIB =Φ

I

M BΦ=

∴ l2110 nIAnnM µ=

ถากระแสไฟฟา I เปลยนแปลงกจะทาใหเกดแรงเคลอนไฟฟา ε ขนทขดใน ซง

2n 1n

εI

124

dt

dIMB −=Φ

การเหนยวนารวมเปนปรากฏการณทแสดงใหเหนวาเมอกระแสทผานวงจรขดลวด

แปรเปลยนตามเวลา จะมการแลกเปลยนพลงงานระหวางวงจรทงสอง

ตวอยาง 3.16 โซลนอยดสองอนสวมทบกน โดยอนทหนงมจานวนขดลวด n1 รอบตอหนวยความยาว ม

กระแส i1 สวนโซลนอยดอนทสองมจานวนขดลวด n2 รอบตอหนวยความยาว จงหาความเหนยวนารวม

วธทา สนามแมเหลกของโซลนอยดมคาเปน B = µ0n1i1

ใหพนทหนาตดของโซลนอยด = A

φBn1

= BA = µ0n1i1A

ฟลกซแมเหลกทผานขดลวดชนนอกจะมคาเทากบ φB เชนกน แตขดลวดชนนอกม n2 รอบ

ดงนนฟลกซแมเหลกทขดลวดชนนอกดงรป 3.32 จงมคาเทากบ

φBn2

= n2φBn1

= µ0n1n2i1A

ความเหนยวนารวม M = φBn2

/ i1 = µ0n1n2A

ตวอยาง 3.17 จากรป 3.31 จงหาความสมพนธระหวางแรงเคลอนไฟฟากบจานวนรอบของขดลวดของหมอ

แปลงไฟฟา

วธทา หมอแปลงไฟฟาประกอบดวยขดลวดปฐมภม (Primary) จานวน np และขดลวดทตยภม

(Secondary) จานวน ns รอบพนอยบนแกน

หลกแกนเดยวกนดงรป

ใหแรงเคลอนไฟฟาแกขดลวดปฐมภม = Vp

ฟลกซแมเหลกผานขดลวดปฐมภม np รอบ

จะเปน

รป 3.30 ขดลวดโซลนอยด 2 ขดสวมทบกน

รป 3.31 หมอแปลงไฟฟา

VV


125

Vp = -np d

dt

φ

ฟลกซจานวนเดยวกนนจะผานขดลวดทตยภมจะเกดแรงเคลอนไฟฟาในขดลวดทตยภมเชนกน

Vs = −ns

d

dt

φ

ดงนน VsV

nsn

p p

=

แรงเคลอนไฟฟาทเกดขนบนขดลวดทตยภมขนอยกบแรงเคลอนไฟฟาทใสเขาไปในขดลวดปฐมภม

และเปนสดสวน np /ns

เมอมกระแสขนาด I ไหลผานขดลวดเหนยวนา การเปลยนแปลงของกระแสคอ dI/dt จะเกด

แรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาเทากบ LdI/dt กาลงไฟฟาทจายใหแกตวเหนยวนาคอ

P = ε I = LIdI

dt ....................(3.16)

งานทสงใหขดลวดในเวลา dt วนาทคอ dw = Pdt ในชวงกระแสเปลยนแปลงตงแตศนยถง I คอ

W = L IdI0

I∫ = 1

2LI2

....................(3.17)

ตวอยางเชนตอขดลวดทคาเหนยวนา 1 เฮนรกบแหลงจายไฟขนาด 12 โวลต ขดลวดมความ

ตานทาน 10 โอหม กระแสสงสดทไหลในวงจร คอ 12/10 = 1.2 A พลงงานศกยทสะสมไวในขดลวดคอ = 1 ×

(1.2)2/2 = 0.72 จล พลงงานนจะยงคงอยตลอดเวลาตราบเทาทยงมกระแส 1.2 A ไหลในขดลวด แตถาตด

วงจร กระแสจะลดคาจาก 1.2 A เปนศนยอยางรวดเรว จะเกดแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาสงมาก เพราะ∆t ม

ชวงสน ๆ พลงงานทสะสมไวจะเปลยนรปเปนคลนแมเหลกไฟฟา เชน คลนวทย หรอทาใหเกดประกายไฟท

หนาสมผสของสวตช

3.10.7 ขดลวดเหนยวนาในวงจรกระแสตรง เมอนาขดลวดเหนยวนาตอในวงจรกระแสตรง ซงมความตานทาน R รวมอยดวย ความตานทาน R

นเปนความตานทานรวมทงวงจรเปนความตานทานภายในของแบตเตอรและความตานของขดลวด L ดวย

R

รป 3.32 วงจร RL สาหรบกระแสตรง

ε

I L

S

126

L และ ε เปนคาความเหนยวนาของขดลวด และแรงเคลอนไฟฟาของแบตเตอรตามลาดบ เมอใช

กฎของเคอรชอฟเขยนสมการความตางศกยไฟฟาในวงจรจะไดเปน

LdI

dtIR+ = ε ....................(3.18)

จดรปสมการใหมโดยแยกตวแปร I และ t

dI

IRξ− =

dt

L

อนทเกรตทงสองขาง โดยเรมตงแต t = 0 ถง t ใด ๆ กระแสไฟฟาเรมตนจากศนยถงคา I(t) ใด ๆ

เชนกน

dI

IRξ−∫0I

= 1

0Ldt

t

∫

จะไดกระแสไฟฟาในวงจร

I = ξR

e Rt L( )/1− − .................(3.19)

เมอพลอตกราฟระหวาง I กบ t จะไดดงรป 3.35 คา e-Rt/L จะมคานอยลงถาเวลาเพมขน เมอเวลาไป

นาน (t → ∞) กระแสไฟฟาจะมคามากทสดคอเทากบ ξ/R = I0 กาหนดใหคาคงทของเวลา (time

constant, τL )ของวงจรคอ L/R เมอแทน τL ลงในสมการ (3.33) จะได

I (τL) = 0.632 ξ/R

คาคงทของเวลาของวงจรคอเวลาทกระแสไฟฟาเพมจากศนยจนถง 0.632 เทาของคากระแสสงสด

ถาคา τL ของวงจรมคามาก กระแสจะเพมขนอยางชา ๆ ถา τL มคานอย ๆ กระแสจะเพมขนอยางรวดเรว

รป 3.33 กราฟแสดงความสมพนธระหวาง I และ t

รป 3.34 การเปลยนคาของกระแสในวงจร RL มคาตางกน

I

τ1 ξ/R

τ2 > τ1 τ2

t


127

ถาไมใสขดลวดเหนยวนาในวงจร (L = 0) สมการทไดจะเหลอเพยง I = ξ/R ซงเปนสมการของ

วงจรไฟฟาทมเฉพาะตวตานทานนนเอง

ตวอยาง 3.18 ขดลวดมความตานทาน 200 โอหม มความเหนยวนาเทากบ 0.5 เฮนร เมอตอกบแหลงจายไฟ

ตรง 12 โวลต จงหา

ก. สมการแสดงการเปลยนแปลงของกระแสทเวลาใด ๆ

ข. กระแสไฟฟามคา 63.2% ของคาสงสด

ค. กระแสไฟฟาเมอเวลาผานไป 1 วนาท

วธทา ก. สมการการเปลยนแปลงของกระแสไฟฟา คอ

I (t) = ξR

(1 e )Rt/L− −

แทนคา ξ = 12 V, L = 0.5 H และ R = 200 โอหม

I (t) = 0.06 (1-e-400t)

ข. กระแสไฟฟาจะมคา 63.2% ของคาสงสดเมอเวลาผานไปเทากบคาคงทของเวลา

t = τL = L/R = 2.5 × 10-3 วนาท

ค. เมอเวลาผานไป 1 วนาท กระแสไฟฟาในวงจรมคาเทากบ

I = 0.06 (1 - e-400)

= 0.06 แอมแปร

= กระแสไฟฟาคาสงสดของวงจร

เมอยกสวตช S ออกจากวงจร ในขณะทยงมกระแสไหลในวงจรเทากบคาสงสดคอ I0 ถาไมม

ขดลวดเหนยวนา กระแสไฟฟาจะลดลงเปนศนยทนท แตถามขดลวดเหนยวนาตออยดวย กระแสจะคอย ๆ

ลดลง ดงน

LdI

dtIR+ = 0

dI

II

I

0

∫ = − ∫R

Ldt

0

t

I (t) = I0 e-Rt / L

กระแสไฟฟาจะคอย ๆ ลดลงจากคาสงสด I0 แบบเอกซโพเนนเชยล เพราะขดลวดเหนยวนาจะตาน

การลดของกระแส เมอ t เทากบคาคงทเวลา จะได I (τL) = 0.368 I0 เมอเวลาผานไปเทากบคาคงท

ของเวลา กระแสไฟฟาในวงจรจะลดลงเหลอเพยง 36.8% ของคาสงสด

128

3.10.7 ปรากฏการฮอลล

ฮอลล (Edwin Hall, 1879) คนพบวาตวนาทมกระแสไหลทถกวางในบรเวณทมสนามแมเหลกจะเกด

แรงดนไฟฟาขนในทศตงฉากกบกระแสและจะมสนามแไฟฟาทเกดจากความตางศกยนและเราจะเรยก

ปรากฎการณนวา “ปรากฏการณฮอลล (Hall effect)” ปรากฏการณฮอลลทาใหเราทราบวาพาหะประจทไหล

ในตวนาเปนบวก(โปรตอน) หรอลบ(อเลกตรอน) และยงสามารถหาคาความหนาแนนพาหะประจได

เราจะพบวาเมอปรากฏการณฮอลลเปนปรากฏการณทเกดขนชวขณะกลาวคอเมอถงจดหนงแรง

เนองจากสนามไฟฟาเนองจากปรากฏการณฮอลลจะมคาเทากบแรงแมเหลกทาใหพาหะประจเคลอนทเปน

เสนตรงผานไปไมโคงไปรวมกนอยขางบนหรอลงขางลางอกดงนนเมอสมดล

รปท3.31

แรงไฟฟา = แรงแมเหลก

หรอ BqvqE dH =

ดงนน BvE dH =

ถาความกวางของแถบตวนาเปน d จะได

BdvdEV dHH ==

แตความเรวลอยเลอน nqA

Iv d = แทนคาจะได

รป 3.35 ความสมพนธระหวางกระแสและเวลา เมอตดสวตชขณะทม

กระแสไหลคงทในวงจร


129

nqA

IBdVH =

สมมตแผนตวนามความหนาเปน t จะได tdA = ดงนน

nqtd

IBdVH =

ให nq

1RH = เปนสมประสทธของฮอลลดงนน

t

IBRV HH = .................... (3.20)

สมการท 3.14 เปนสมการทใชหาคาของปรมาณตางๆในปรากฏการณฮอลล จะพบวาหาก

สมประสทธของฮอลลมคาเปนบวกพาหะประจคอโปรตอนแตถาสมประสทธของฮอลลเปนลบพาหะประจจะ

เปนอเลกตรอน

130

แบบฝกหดหนวยท 3

3.1 แรงแมเหลกทกระทาบนประจจะทาใหพลงงานจลนของมนเปลยนไปหรอไม

3.2 ถาอเลกตรอนผานเขาไปในบรเวณหนงแลว ไมมการเบยงเบนไปจากแนวเดม สรปไดหรอไมวาบรเวณนน

ไมมสนามแมเหลก

3.3 อเลกตรอนในหลอดโทรทศนมพลงงาน 12 กโลอเลกตรอนโวลต เคลอนทจากทศใตไปทศเหนอ บรเวณ

นนมสนามแมเหลกโลกในแนวดง (พงลงดน) 5.5 × 10-5 เทสลา จงหา

ก. ทศทอเลกตรอนเบยงเบนไป (ทศตะวนออก)

ข. ความเรงของอเลกตรอน (6.28 × 104 เมตร/วนาท2)

ค. ระยะทเบยงเบนไป ถาอเลกตรอนเคลอนทในหลอดไดระยะทาง 20 เซนตเมตร (ประมาณ 3

มลลเมตร)

3.4 สนามแมเหลก B มคา 0.03 $k เทสลา โปรตอนวงผานสนามแมเหลกดวยความเรว

vv i j= + ×( $ $)5 7 105 เมตร/วนาท จงหา

ก. แรงทกระทาบนโปรตอน ( )[ ]336 2 4 10 15. $ . $i j N− × −

ข. ความเรงของโปรตอนทเวลาใด ๆ ( )[ ]2 01 144 10 122. $ . $i j m

s− × −

3.5 โปรตอนเคลอนทเปนเสนโคงดงรป เปนผลมาจากสนามแมเหลกและสนามไฟฟา ความเรวทจด C และ D

มคาเปน 6.7 × 105 $i เมตร/วนาท และ 7.5 ×105 ( )$ $i j− เมตร/วนาท ตามลาดบ

ก. จงหางานททาโดยสนามแมเหลกซงทาใหโปรตอนเคลอนทจาก C ไป D (0)

ข. จงหางานททาโดยสนามไฟฟา ทาใหโปรตอนเคลอนทจาก C ไป D (157 × 1012 J)

ค. ความตางศกย VP - VC (93.8 ×109 V)

3.6. อเลกตรอนและโปรตอนอยางละ 1 ตว เคลอนทผานสนามแมเหลกทมคาคงท จงเปรยบเทยบรศมและ

คาบของวงโคจร ถาเรมตนอนภาคทงสองมพลงงานจลนเทากน กาหนดใหมวลของอเลกตรอน

9.11 × 10-31 กโลกรม มวลของโปรตอน = 1.67 × 10-27 กโลกรม (Rp/Re = 42.8, Tp/Te = 1831)

2 45 5

รปสาหรบขอ 3.5

y

x

C

D


131

3.7 โปรตอนเคลอนทจากจด A จากซายไปขวาดวยความเรว v = 5 × 106 เมตร/วนาท

ก. จงหาขนาดสนามแมเหลกในทศทางตงฉากกบความเรว ทาใหโปรตอนกระทบจด P

(1.25 ×10-4 เทสลา พงออกจากกระดาษ)

ข. จงหาความเรวของโปรตอนขณะทกระทบจด P (5 × 106 เมตร/วนาท)

3.8 สนามแมเหลกโลกทเสนศนยสตรมคาประมาณ 7 × 10-5 เทสลา ในแนวขนานกบพนโลก ชไปทาง

ทศเหนอ

ก. โปรตอนตองมความเรวเทาใด จงจะทาใหโปรตอนโคจรรอบโลกไดพอด

(ไมตองคดแรงดงดดระหวางมวล) (0.999978 เทาของความเรวแสง)

ข. การตดแรงดงดดระหวางมวลทงเหมาะสมหรอไม

3.9 ลวดเสนหนงยาว 1.0 เมตร มกระแสไหลผาน 10 A และทามม 30o กบสนามแมเหลก ซงมขนาด

1.5 เวเบอร/เมตร2 จงหาขนาดและทศทางของแรงทเกดขนบนเสนลวด (7.5 N)

3.10 ลวดเสนหนงยาว 60 เซนตเมตร มมวล 10 กรม หอยอยบนตวนาทยดหยนไดมสนามแมเหลก

0.40 เวเบอร/เมตร2 ผานในทศดงรป จงหาขนาดและทศทางของกระแสทจะทาใหแรงตงในตวนาเปนศนย

3.11 จงแสดงวาสนามแมเหลกทจด P ซงเกดจากกระแสไฟฟา I ในลวดตวนา AB มคาเปน

B = µπ

α α φ01 24

I

r(sin sin ) $−

A



A

รปสาหรบขอ 3.11 B α1

r P α2

3 P 4

132

3.12 ลวดตวนาตรง 2 เสน มกระแสไหล 5 แอมแปร วางขนานกบแกน y ทตาแหนง x = 2 และ

z = -2 เมตร จงหาความเขมสนามแมเหลกทจดกาเนด ( 0 281

2

.($ $ ) /i k A m+ )

3.13 ขดลวดรปสเหลยมผนผากวาง a ยาว b วางอยในระนาบ z = 0 มกระแส I ไหลผาน จงหา

สนามแมเหลกทเกดจากขดลวดทจดใด ๆ บนแกน z

(Bab

za b z

az

b=

++⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

×+

++

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

µπ0

22 2

22

224

4

1

4

1

4

)

3.14 พนทหนาตดของขดลวดโซลนอยดเปนรปสเหลยมจตรส จานวน N รอบ ขดลวดมความ ยาว L มกระแส

ไหล I ถา L >> a จงหาสนามแมเหลกทจดศนยกลางของโซลนอยด

3.15 ทรงกระบอกตน รศม a มกระแสไฟฟา I ไหลผานพนทหนาตดอยางสมาเสมอ จงใชกฎของแอมแปร

แสดงวาสนามแมเหลกทจดใด ๆ คอ B = µπ0

22

Ir

a

3.16 ทรงกระบอกตน รศม a ถกเจาะใหเปนทอกลวง รศมของรมขนาด b จดศนยกลางของรทเจาะอยหาง

จากจดศนยกลางของทรงกระบอกเปนระยะ d โดย d + b < a มกระแสไหลผานพนทหนาตดทรงกระบอก

อยางสมาเสมอ

จงใชกฎของแอมแปรและหลกการของ Superposition หาขนาดสนามแมเหลกภายใน บรเวณรปกลวง

( Id

a bA m

2 2 2( )/

π π−)

z

b a

y รปสาหรบขอ 3.13

x

รปสาหรบขอ 3.16 a

d


133

3.17 แทงโลหะยาว 1 เซนตเมตร วางขนานในแนวแกน z หมนเปนวงกลมรศม 25 เซนตเมตร ดวย

ความเรวเชงมม 1,200 รอบ/นาท จงหาแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาทเกดขนบนแทงโลหะ ถามสนามแมเหลกท

มความหนาแนนฟลกซ vB r= 05. $ เทสลาในบรเวณน

( -5.0 × 10-2 π โวลต โดยทขวลางเปนบวกเมอเทยบกบขวบน)

3.18 ขดลวดรปสเหลยมผนผาเคลอนทเขาหาจดกาเนดดวยความเรว vv j= −250$ เมตร/วนาท ในสนาม vB e ky= −08 0 5. $. เทสลา จงหากระแสเหนยวนาทเกดขนในขดลวด เมอขดลวดอยทตาแหนง y = 0.5 เมตร.

และ y = 0.6 เมตร ดงภาพ ใหความตานทานของขดลวด = 2.5 โอหม

(3.04 แอมแปร ทศตามเขมนาฬกา)

3.19 ตวนาเคลอนทขนานกบแกน x บนรางขนานดงรป

ก. จงหาแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาทเกดขนบนแทงตวนา เมอวางอยนงทตาแหนง y =

0.05 เมตร และ vB t k= 0 3 104. sin $ เทสลา [-7.5 cos 104 t]

ข. ถาแทงตวนาเคลอนทดวยความเรว vv i= 150$ เมตร/วนาท จงหาแรงเคลอนไฟฟา

เหนยวนาทเกดขน [-7.5 cos 104 t - 2.25 sin 104 t]




z

B

z

v

z

x

2.5 0.6

1

0.5

x

B

y

134

3.20 ตวนาทรงกระบอกรศม 7 เซนตเมตร สง 15 เซนตเมตร หมนดวยความเรว 600 รอบ/นาท มสนาม vB r= 0 3. $ เทสลา จงหาแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาทเกดขนทปลายบนและปลายลางทรงกระบอก

(0.13 โวลต, ขวลางเปนบวก)

3.21 จานโลหะกลมของฟาราเดย รศม a วางอยในระนาบ xy หมนดวยความเรว ω เรเดยน/วนาท ใน

สนามแมเหลกทมความหนาแนนฟลกซ vB Bk= $ จงหาแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาทเกดขนทขอบจานโดยวด

เทยบกบจดศนยกลาง

3.22 ขดลวดรปสเหลยมผนผาเคลอนทไปทางขวามอดวยความเรว 2.5 เมตร/วนาท ดานซายมอ ของ

ขดลวดตดกบสนามแมเหลกในทศพงขน และตงฉากกบขดลวด B1 = 0.3 เทสลา ดานขวามอของขดลวดตด

กบสนามแมเหลก B2 มขนาดเทากบ B1 แตมทศพงลง จงหาขนาด และทศของกระแสทเกดขนในขดลวด

(15 mA, ทวนเขมนาฬกา)

3.23 ขดลวดโซลนอยด รศม 2.5 เซนตเมตร มจานวนรอบ 400 รอบ ยาว 20 เซนตเมตร

ก. จงหาความเหนยวนาของขดลวดโซลนอยด

ข. อตราการเปลยนแปลงของกระแสไฟฟาตองมคาเทาใด จงจะเกดแรงเคลอนไฟฟา

เหนยวนาบนขดลวดเทากบ 75 มลลโวลต

ค. ขณะทขดลวดมแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนา 75 มลลโวลต จงหาอตราการเปลยนแปลง

ของฟลกซผานพนทหนาตดของขดลวดโซลนอยด (1.88 × 10-4 เทสลา.เมตร2/วนาท)

3.24 วงจร RL ประกอบดวยแบตเตอรขนาด 6 โวลต ตออนกรมกบตวตานทานและขดลวด มคาคงทของเวลา

เทากบ 600 ไมโครวนาท กระแสสงสดในวงจรเทากบ 300 มลลแอมแปร

จงหาคาความเหนยวนาของขดลวด (12.0 mH)

3.25 ลวดตวนาเสนตรงยาวมาก 2 เสน วางอยในอากาศขนานกนหางกนเปนระยะ d ลวดแตละ เสนม

รศม a จงหาความเหนยวนาทเกดขน (µπ0I d aln( / ) เฮนร)


v

B1

B2

0.5 m


135

3.26 กระแสในวงจร RL วงจรหนงมคาเพมขนถง 1/3 ของคากระแสสงสดในเวลา 5 วนาท

จงหาคาคงทเวลาของวงจรน (12 s)

3.27 กาหนดให ξ = 10 โวลต, R1 = 10 โอหม , R2 = 5 โอหม , L = 5 เฮนร เมอสบสวตช S ใหเชอมวงจร

จงคานวณเมอตอนเรมตนเชอมตอสวตชและเมอสวตช B เชอมตอเปนเวลานาน ๆ

ก. I1 (2A, 2A)

ข. I2 (0, A)

ค. I (2A, 3A)

ง. ศกยไฟฟาตกครอม R1 (0, 10V)

จ. ศกยไฟฟาตกครอม L (10V, 0)

ฉ. การเปลยนแปลง dI2/dt (2, 0)

3.28 จงหาความตางศกยระหวางปลายกนชนรถยนต ยาว 1.5 เมตร วงไปทางเหนอดวยความเรว

10 กม./ชม. ในสนามแมเหลกโลก 4.3 x 10-5 เทสลา (T) ทามมเท 64o 9’ (ตอบ 1.6 mv)

3.29 ทอนตวนา AB วางบนรางตวนาในสนามแมเหลก 2500mVm

ดงรป

ก. จงหาขนาดและทศของแรงเคลอนไฟฟา ถา AB วงไปทางขวาดวยความเรว 4 m/s (ตอบ 1

โวลท จาก B ไป A)

ข. ถาความตานทานของวง ABCD คงท = 0.2 โอหม จงหาแรงทพอดทาใหทอน AB เคลอนท

ดวยความเรวคงท (ไมคดแรงเสยดทาน) (ตอบ 1.25 N)

3.30 หวงทองเหลองกลมรศม a ความตานทาน R วางใหระนาบของหวงตงฉากกบสนามแมเหลกซงมขนาด

เปลยนแปลงตามสมการ sinoB B tω= จงหากระแสไฟฟาเหนยวนาในขดลวด (2 cosoa D t

IR

ω ωΠ= )

A

B

cm50



136

3.31 AC เจเนอเรเตอรประกอบดวยขดลวด 20 รอบ แตละรอบมพนทเทากน 0.01 ตารางเมตร ถาขดลวด

ทงหมดมความตานทาน 120 โอหมและหมนอยในสนามแมเหลก 0.2 เทสลาดวยความถ 40 รอบ/วนาทจงหา

ก.emf เหนยวนาสงสด (90.4 V)

ข.กระแสเหนยวนาสงสด (0.75A)

ค.จงเขยนกราฟแรงเคลอนไฟฟาคลาวๆ

3.32 รางโลหะขนานและไมมความตานทานวางหางกน 10 เซนตเมตร ถาตอเขากบความตานทาน 10 โอหม

และนาแทงโลหะทมความตานทาน 10 และ 15 โอหมวางดงรป ถาสนามแมเหลกมขนาด 0.01 เทสลาพงออก

ตงฉากกบกระดาษจงหากระแสไฟฟาทไหลผานตวตานทาน 10 โอหมถาทาใหแทงโลหะเคลอนท (160 Aµ )

3.33 ขดลวดโซลนอยดมจานวนขอลวดตอความยาว =1n 100รอบ/เมตร มกระแสไฟฟาไหลผาน

)e1(100I t2−−= ถาภายในขดลวดโซลนอยดนมขดลวดโซลนอยดอกอนหนงทมรศมรวมแกนเดยวกนและ

มรศม 6 เซนตเมตรจงหาแรงเคลอนไฟฟาเหนยวนาทเกด


CA

B

cm5

D

Ω10

Ω10 Ω20

s/m2 s/m4

2n1n

εI


สนามแม่เหล็กไฟฟ้า

Documents

Transcript of สนามแม่เหล็กไฟฟ้า