ใบความรู้ที่ 5.4 หน่วยการเรียน ... · 2019-04-30 · ใบความรู้ที่ 5.4 หน่วยการเรียนที่
5.4 Verteilungsfunktion Verteilungsfunktion · 5.4 Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion F(x)...
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5.4 Verteilungsfunktion
Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, wie groß die die Wahrscheinlichkeit
ist, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich x
ist:
F(x) = P(X x).
Bei diskreten Zufallsvariablen erhält man sie durch Aufsummieren von
Wahrscheinlichkeiten, bei stetigen Zufallsvariablen durch Integration.
Die Verteilungsfunktion gibt an welche Wahrscheinlichkeit sich bis zu einem be-
stimmten Wert x der Zufallsvarialben X kumuliert
Abbildung: Form der Verteilungsfunktion bei diskreten und stetigen Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion
diskrete Zufallsvariable stetige Zufallsvariable
"Treppenfunktion" monoton steigende Funktion
Es sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann ist ihre Verteilungsfunktion F(x) durch
(5.9)
gegeben. Die Summation erstreckt sich über alle Ausprägungen xj, die kleiner
oder gleich x sind.
Diskrete Zufallsvariablen
xx xx
jj
j j
p)x(f)xX(P)x(F
Bei einer endlichen Zufallsvariablen X mit m möglichen Realisationen x1, x2, …, xm
lässt sich die Verteilungsfunktion formal in der Form
m
3221
211
1
x xfür1
xx xfürpp
xx xfürp
x xfür0
xF
darstellen.
Tabellarische Darstellung:
xj F(xj)
x1 p1
x2 p1 + p2
xm 1
Grafische Darstellung: Treppenfunktion
Erläuterung Treppenfunktion
Der fette Punkt bei der Sprung-
stelle gibt an, dass der x-Wert
jeweils den Funktionswert (=
kumulierte Wahrscheinlichkeit)
der oberen Sprunggrenze an-
nimmt. An jeder Sprungstelle
nimmt die Verteilungsfunktion
F(x) um die Wahrscheinlichkeit pj
zu.
xF
1x 2x3x x
1ppp 321
1p
21 pp
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer diskreten Zufallsvariablen X
aFaXP
)aX(PaFaXP
)aX(PaF1aXP
aF1aXP1aXP
Wahrscheinlichkeit für… Formaler Ausdruck
höchstens a
weniger als a
mindestens a
mehr als a
Beispiel 5.8:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion im Beispiel des Produktionsprozesses, bei dem
zwei Teile entnommen werden, ist gegeben durch
sonst0
2xfür p
1xfür p1p2
0xfür p1
xf2
2
Für die Verteilungsfunktion ergibt sich daraus wegen (5.9) für ausgewählte x-Werte
z.B.
1pp-1pp)-2p(1p)-(12)P(X1)P(X0)P(X2)P(XF(2)
p-12p-2pp2p-1 p)-2p(1p)-(11)P(X0)P(X1)P(XF(1)
p)-(10)P(X0,2)P(XF(0,2)
p)-(10)P(X0)P(XF(0)
0-1)P(XF(-1)
2222
2222
2
2
Die Verteilungsfunktion lässt sich damit kompakt schreiben als
2xfür1
2x1fürp1
1x0fürp1
0xfür0
xXPxF2
2
Sie hat Sprungstellen in den Punkten x=0, x=1 und x=2. Die Höhe der Sprünge
addiert sich insgesamt zu 1. ♦
Stetige Zufallsvariablen
Die Verteilungsfunktion F(x) entspricht bei einer stetigen Zufallsvariablen X
der Fläche unterhalb der Dichtefunktion f(u), die sich bis zum Wert x kumuliert
hat. Man erhält sie durch Integration:
(5.10) .
Die Größe u wird hierbei als Integrationsvariable verwendet.
xduufxF
Mit der Verteilungsfunktion F(x) lassen sich ebenso wie mit der Dichtefunktion
f(x) Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Bei stetigen Zufallsvariablen ist dabei uner-
heblich, ob die Intervallgrenze zum Intervall gezählt wird oder nicht, weil Punkt-
wahrscheinlichkeiten gleich null sind.
aFaXP
aFaXP
aF1aXP1aXP
Wahrscheinlichkeit für… Formaler Ausdruck
höchstens a
weniger als a
mindestens a
mehr als a
Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer stetigen Zufallsvariablen X
aF1aXP1aXP
Abbildung: Intervallwahrscheinlichkeiten
xf
xb
bXP
xf
x
bF1
bXP
bF
xf
xa b
bXaP
F(b)F(a)
Wahrscheinlichkeiten für geschlossene und offene Intervalle bei einer
stetigen Zufallsvariablen X
aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP (5.11)
F(b)
Beispiel 5.9:
Wir betrachten die in Beispiel 5.7 verwendete Dichtefunktion
2xfür0
2x0fürx21
0xfür0
xf .
a) Welche Verteilungsfunktion hat die Zufallsvariable X?
1. Schritt: Bildung des Integrals im Intervall 0x2
2. Schritt: Ausweisen der Verteilungsfunkton
2 xfür1
2x0 fürx4
1
0 xfür0
xF 2
2x
0
22x
0
2x
x4
10
4
1x
4
1u
4
1duu
2
1duuf
(1/2)x für
Dichtefunktion Verteilungsfunktion
Grafische Darstelllung der Dichte- und Verteilungsfunktion:
1/2
1
f(x)
x-1 20 1
1/2
1
F(x)
x-1 20 1
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte annimmt,
die kleiner oder gleich 1,6 sind?
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
1/2
1
f(x)
x-1 20 1
0,64
64,056,24
1
6,14
16,1F6,1XP 2
1/2
1
F(x)
x-1 20 1
F(1,6) =0,64
Der Punkt x=1,6 heißt 0,64-Quantil der Wahrscheinlichkeitsverteilung.
64,0
04
16,1
4
1x
4
1
dxx2
1dxxf1,6XP
221,6
0
2
1,6
0
1,6
c) Welchen Wert nimmt die Wahrscheinlichkeit für 0,6< X<1,2 an?
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
1/2
1
f(x)
x-1 20 1
0,27
270,0
09,036,0
6,04
12,1
4
1
6,0F2,1F2,1X6,0P
22
1
F(x)
x-1 20 1
F(1,2) =0,36
F(0,6) =0,090,36-0,09=0,27
270,0
6,04
12,1
4
1
x4
1
dxx2
1dxxf2,1X6,0P
22
2,1
6,0
2
2,1
6,0
2,1
6,0
d) Schließlich fragen wir noch nach der Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 1,3 ist.
● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)
● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)
♦
1/2
1
f(x)
x-1 20 1
0,577
577,0
423,013,14
11
3,1F13,1XP
2
1
F(x)
x-1 20 1
F(1,3) =0,423
1-0,423
=0,577
0,577
1,34
12
4
1x
4
1
dxx2
1dxxf1,3XP
222
1,3
2
2
1,31,3
5.5 Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen sind Maßzahlen (Kenngrö-
ßen), mit denen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen genauer
beschrieben werden kann.
Übersicht: Wichtige Maßzahlen einer Zufallsvariablen
Maßzahlen einer Zufallsvariablen
Erwartungswert
Durchschnittswert aus einer Viel-
zahl von Zufallsexperimenten
Varianz
Durchschnittliche quadratische
Abweichung vom Erwartungswert
● Erwartungswert einer Zufallsvariablen
Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X gibt an, welchen Wert sie
bei einer unbegrenzten Wiederholung im Durchschnitt annehmen wird.
Praktisch lässt er sich als Durchschnittswert bei einer großen Anzahl von
Wiederholungen des Zufallsvorgangs interpretieren.
Der Erwartungswert von X, E(X), wird auch als arithmetisches Mittel der
Grundgesamtheit, , bezeichnet.
Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen:
(5.12)
(5.13)
Erwartungswert bei stetigen Zufallsvariablen:
m
1jjj
m
1jjj xfxpxXE (bei m möglichen Realisationen)
dxxfxXE
Beispiel 5.10:
Bei einem Würfelwurf gewinnt man das Fünffache der gewürfelten ungeraden Au-
genzahl und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Ver-
lustbeträge werden in Euro gemessen.
Von welchem Erwartungswert des Gewinns können Sie ausgehen, wenn Sie an
diesem Glücksspiel teilnehmen?
Mit Hilfe der Angaben in der Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsva-
riable X
sonst0
25xfür6
1
15xfür6
1
5xfür6
1
8xfür6
1
16xfür6
1
24xfür6
1
xf
lässt sich der Erwartungswert unter Verwendung von (5.12) bestimmen:
.2
1
6
3
6
125
6
115
6
15
6
18
6
116
6
124
pxXE6
1jjj
Sie müssen also im Schnitt mit einem Verlust pro Spiel von ½ Euro rechnen.
Beispiel 5.11:
Wir betrachten die bereits bekannte Dichtefunktion
2xfür0
2x0fürx21
0xfür0
xf
Wie groß ist sein Erwartungswert der Zufallsvariablen X?
Da die Zufallsvariable X stetig ist, ziehen wir zur Berechnung des Erwartungs-
werts die Formel (5.13) heran. Wir integrieren hier über das Intervall zwischen 0
und 2, da die Dichte nur in diesem Bereich ungleich 0 ist:
♦
(1/2)x für
.3
40
6
8
6
1
21
21
2
0
3
2
0
22
0
x
dxxdxxxdxxfxXE dx2x2
1dxx
2
1xdxf(x)xE(X)μ
2
0
2
0
● Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen
Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen X sind Streuungs-
maße, die angeben, wie stark ihre Realisationen um den Erwartungswert
streuen.
Die Varianz V(X) gibt die durchschnittliche quadrierte Abweichung wieder.
Sie wird auch durch das Symbol ² gekennzeichnet.
Varianz bei diskreten Zufallsvariablen (bei m möglichen Realisationen):
Varianz bei stetigen Zufallsvariablen:
m
1jj
2jj
m
1j
2j
22 xfxpxXE)X(V(5.14)
(5.15)
dxxfxXE)X(V 222
Die Standardabweichung gibt als Wurzel aus der Varianz an, wie stark die
Werte der Zufallsvariablen X durchschnittlich von ihrem Erwartungswert E(X)
abweichen.
Standardabweichung:
(5.16)2)X(V
Beispiel 5.12:
Wie groß sind Varianz und Standardabweichung beim einmaligen Werfen mit
einem fairen Würfel? Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion
sonst0
6,...,2,1xfür6/1)x(f
ergibt sich der Erwartungswert
.5,3216
1654321
6
1
6
16
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11pxXE
6
1jjj
Für die Varianz erhält man mit (5.14)
.917,25,176
125,625,225,025,025,225,6
6
1
6
15,36
6
15,35
6
15,34
6
15,33
6
15,32
6
15,31
px
22
2222
6
1jj
2j
2
Die Augenzahlen beim Würfelwurf weichen damit durchschnittlich um
708,16
5,172
vom Erwartungswert 3,5 ab.
Beispiel 5.13:
Für die Dichtefunktion,
2xfür0
2x0fürx21
0xfür0
xf
hatten wir bereits den Erwartungswert von 4/3 in Beispiel 5.11 bestimmt. Damit
lassen sich Varianz
und Standardabweichung
471,09
2
berechnen. Die Werte, die die Zufallsvariable X annehmen kann, weichen also im
Mittel um 0,471 vom Erwartungswert ab.
222,09
2
9
16
9
322x
9
4x
9
4
8
x
dxx9
8x
3
4
2
xdxx
2
1
9
16x
3
8x
dxx2
1
3
4xdxxfx
2
0
234
2
0
232
0
2
2
0
222
(1/2)x für
● Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz
Es werden nun die allgemeinen Eigenschaften von Erwartungswert und
Varianz einer Zufallsvariablen diskutiert.
Übersicht: Diskutierte Eigenschaften
Diskutierte Eigenschaften
Varianzverschiebungssatz Lineartransformation Standardisierung
● Varianzverschiebungssatz
Zur Varianzermittlung gibt es eine vereinfachte Berechnungsformel, den Varianz-
verschiebungssatz. Hier werden nur der Erwartungswert der quadrierten Zu-
fallsvariablen sowie der einfache Erwartungswert benötigt:
222 XEXE
m
1jj
2j
m
1jj
2j
2 xfxpxXE dxxfxXE 22
(5.17)
diskreter Fall stetiger Fall
(5.18) (5.19)
Beweis von (5.17):
Nach (5.14) und (5.15) ist die Varianz von X durch
2 = E{[X – E(X)]2}
gegeben. Die Formel lässt sich durch einfache algebraische Umformung zeigen:
.XE)X(EXEXE2)X(E
XEXEXE2)X(E
XEXEX2XE
XEXXEXEXEXE
22222
22
22
22
⃞
Beispiel 5.14:
Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einmaligen Würfelwurf ermitteln wir zu-
nächst den Erwartungswert von X2:
.167,156
91362516941
6
1
6
16
6
15
6
14
6
13
6
12
6
11
pxXE
222222
6
1jj
2j
2
Mit dem Varianzverschiebungssatz (5.17) erhält man das mit der originären Va-
rianzformel (5.14) berechnete Ergebnis:
.917,225,12167,155,3167,15XEXE 2222 ♦
Beispiel 5.15:
Bei der Dichtefunktion
2xfür0
2x0fürx21
0xfür0
xf
nimmt der Erwartungswert von X2 den Wert
an. Unter Verwendung des bereits ermittelten Erwartungswerts von X, 4/3, erhält
man denselben Wert für die Varianz der Zufallsvariablen X:
.222,09
2
9
16
9
18
3
42XEXE
2222
♦
208
16
x8
1dxx
21dxx
21xdxxfxXE
2
0
42
0
32
0
22
0
22
(1/2)x für
● Lineartransformation
In verschiedenen Anwendungen wird von einer Lineartransformation Gebrauch
gemacht, indem X um einen konstanten Betrag a und einen multiplikativen Faktor
b verändert wird::
(5.20) XbaY
Man erhält den neuen Erwartungswert E(Y), indem man die Lineartransformation
(5.20) in gleicher Form auf den ursprünglichen Erwartungswert E(X) anwendet:
(5.21)
Beweis von (5.21):
Wir beschränken uns hier darauf, (5.21) für den Fall einer stetigen Zufallsvariablen
zu beweisen. Es gilt
.dxxfxbdxxfa
dxxfxbdxxfadxxfxba)Y(E
Wegen
XEdxxfxund1dxxf
folgt .XEbaYE ⃞
XEbaXbaEYE
Wie sich gezeigt hat, lässt sich der neue Erwartungswert durch eine lineare
Transformation,
E(Y) = E(a+b·X) = a + b·E(X),
aus dem ursprünglichen Erwartungswert E(X) erhalten. Aufgrund der in dieser
Gleichung wiedergegebenen Transformationseigenschaften bezeichnet man
den Erwartungswert auch als linearen Operator.
Folgerung:
Speziell folgt aus (5.21), dass der Erwartungswert einer Konstanten gleich der
Konstanten ist:
(5.22) E(a) = a
Beispiel 5.16:
In Bespiel 5.10 hatten wir die Zufallsvariable Gewinn (in €) bei einem Würfelwurf be-
trachtet. Der Spieler gewinnt das Fünffache der gewürfelten ungeraden Augen-zahl
und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Verlustbe-träge
werden in Euro gemessen.
Angenommen, der Glücksspieler möchte seinen Gewinn, der in Euro ausgezahlt
wird, in Dollar [$] umtauschen. Für einen Euro erhält er 1,30 Dollar. Zusätzlich fallen
Umtauschgebühren unabhängig von der Höhe des Gewinns von 2 Dollar an. Alle
Gewinne werden also um 2 Dollar vermindert. Wie hoch ist der erwartete Gewinn in
Dollar?
Die Formel für die Lineartransformation lautet:
.€inX€
$30,1$2$inY
Wir berechnen den erwarteten Dollar-Gewinn durch
a) Anwendung der Lineartransformation (5.20) auf die in Euro ausgezahlten Ein-
zelgewinne,
b) Anwendung der Lineartransformation (5.21) auf den Erwartungswert des Ge-
winns in Euro.
Ad a) Berechnung des Erwartungswerts (in $) aus den Einzelgewinnen
Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gewinne (in $):
Gewinne in Dollar:
y1 = -2 + 1,30·(-x1=24) = -33,20; y2 = -2 + 1,30·(x2=-16) = -22,80;
y3 = -2 + 1,30·(x3=-8) = -12,40; y4 = -2 + 1,30·(x4=5) = 4,50;
y5 = -2 + 1,30·(x5=15) = 17,50; y6 = -2 + 1,30·(x6=25) = 30,5;
Erwarteter Dollar-Gewinn:
.$65,2
6
150,30
6
150,17
6
150,4
6
140,12
6
180,22
6
120,33
pyYE6
1jjj
sonst0
50,30yfür6
1
50,17yfür6
1
50,4yfür6
1
40,12yfür6
1
80,22yfür6
1
20,33yfür6
1
yf
Ad b) Berechnung des Erwartungswerts (in $) aus dem erwartetem Euro-Gewinn
€2
1XE
Erwartungswert in Euro (aus Beispiel 5.10):
Erwartungswert in Dollar (mit Lineartransformation 5.21):
$65,2
5,030,12
XEbaYE
♦
Im Falle einer linearen Transformation der Zufallsvariablen X werden bei der
Varianzbildung multiplikative Konstanten quadriert. Die Varianz ändert sich dagegen
nicht, wenn zu der Zufallsvariablen eine Konstante addiert wird. Daraus folgt, dass
die Varianz einer Konstanten stets gleich 0 ist.
Man erhält damit die neue Varianz V(Y) aus der ursprünglichen Varianz V(X) aus
(5.23) ).X(VbbXaV)Y(V 2
Beweis von (5.23):
Die Varianz ist definiert als quadrierte Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem
Erwartungswert:
Mit (5.21),
.XbaEXbaE
XbaEXbaEYEYE)Y(V
2
22
erhält man
22 XEbXbEXEbaXbaE)Y(V
und daraus schließlich
).X(VbXEXEbXEXbE)Y(V 2222 ♦
,XEba)Xba(EYE
Beispiel 5.17:
Wie hoch ist die Varianz des Spielergewinns in Dollar? Wir berechnen die Lösung
wiederum auf zwei Wegen: Durch
a) Anwendung der Lineartransformation (5.20) auf die in Euro ausgezahlten Ein-
zelgewinne,
b) Anwendung der Transformation (5.23) auf die Varianz des Gewinns in Euro.
Ad a) Berechnung der Varianz (in $) aus den Einzelgewinnen
Unter Verwendung der in Beispiel 5.16 ermittelten Wahrscheinlichkeitsfunktion f(y)
der Gewinne in Dollar,
,
sonst0
50,30yfür6
1
50,17yfür6
1
50,4yfür6
1
40,12yfür6
1
80,22yfür6
1
20,33yfür6
1
yf
und dem dort berechneten Erwartungswert der Gewinne in Dollar,
,$65,2YE
erhält man die Varianz der Gewinne in Dollar
.$408,498
83,1541,67067,5208,84415670,67550,155
6165,25,306165,25,17
6165,25,46165,24,12
6165,28,226165,22,33
p)65,2(yp)Y(Ey)Y(V
2
22
22
22
6
1jj
2j
6
1jj
2j
Ad b) Berechnung der Varianz in Dollar aus der Varianz in Euro
In Anwendungen ist die alte Varianz in der Regel bekannt. In unserem Fall ist sie
unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der Gewinne in Euro,
sonst0
25xfür6
1
15xfür6
1
5xfür6
1
8xfür6
1
16xfür6
1
24xfür6
1
xf ,
und dem Erwartungswert der Gewinne in Euro,
,€5,0XE
zu erst noch berechnen:
294,917.
108,37540,0425,0429,37540,04292,042
615,025615,015
615,05615,08
615,016615,024
p)5,0(xp)X(Ex)X(V
22
22
22
6
1jj
2j
6
1jj
2j
Mit Hilfe der Transformationsformel (5.23) erhalten wir für die Varianz der Gewinne
in Dollar den Wert
,$410,498
294,9173,1
XVbYV
2
2
2
der bis auf eine Rundungsungenauigkeit mit dem in Teil a) errechneten Wert über-
einstimmt. ♦