533.управление в технических системах основы цифровых...

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧЕРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ имени академика С.П. КОРОЛЁВА»

М.С. ГАСПАРОВ, А.А. ИГОНИН, А.Н. КРЮЧКОВ

УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ: ОСНОВЫ ЦИФРОВЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

САМАРА Издательство СГАУ

2007

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

УДК 62-82:681.518.5 ББК 34.447-08 Г225

Инновационная образовательная программа "Развитие центра компетенции и подготовка специалистов мирового уровня в области аэро-космических и геоинформационных технологий”

ПРИО

РИТЕТНЫЕ

Н

АЦИ ОНА Л ЬНЫ

Е ПРОЕКТЫ

Рецензент: д-р. техн. наук, проф. Быстров Н. Д.

Г225 Гаспаров М.С. Управление в технических системах: Основы цифровых систем

управления: учеб. пособие / М.С. Гаспаров, А.А. Игонин, А.Н. Крючков – Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. – 80 с.

ISBN 978-5-7883-0645-2

Изложены теоретические основы построения цифровых систем управ-

ления: разностные уравнения, Z-преобразование, моделирование PID-регулятора. Рассмотрены вопросы устойчивости дискретных систем. Приве-дены примеры решенных задач для закрепления изученного материала, а также даны задачи для самостоятельного решения.

Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по спе-циальности «Гидравлические машины, гидроприводы и пневмогидроавтома-тика».

УДК 62-82:681.518.5

ББК 34.447-08

ISBN 978-5-7883-0645-2 © Гаспаров М.С., Игонин А.А., Крючков А.Н., 2007

© Самарский государственный аэрокосмический университет, 2007

2


3

Содержание Список сокращений ..................................................................... 5 1.

.................................................................................... 6 Общие сведения о дискретных системах автоматического

управления1.1. .................................................... 6 Основные определения и понятия1.2. ................................................ 10 Преимущества дискретных систем1.3. ................................... 11 Примеры импульсных и цифровых систем

1.3.1. Автопилот ..........................................................................................11 1.3.2. Цифровая система управления прокатным станом ........................13 1.3.3. ................................13 Цифровой контроллер турбины и генератора

1.4. .............. 14 Общее представление о микропроцессорных системах1.5. ........................................... 16 Примеры микропроцессорных систем

1.5.1. ................................................................16 Персональный компьютер1.5.2. ..................................17 Программируемый логический контроллер.

2. .................................................... 19 Преобразование сигналов2.1.

............................................................... 19 Необходимость аналого-цифрового и цифроаналогового

преобразования в САУ с ЭВМ2.2. ................................................. 20 Цифровые сигналы и кодирование

2.2.1. ..............21 Представление числа в форме с фиксированной точкой.2.2.2.

............................................................................................21 Представление чисел с фиксированной точкой, представление

чисел со знаком.2.2.3. ......................24 Представление числа в форме с плавающей точкой

2.3. ......................................... 27 Преобразование данных и квантование3. .......................................................... 31 Разностные уравнения

3.1. .................... 31 Понятие разностного уравнения, конечная разность3.2. ................................... 32 Решение линейных разностных уравнений

3.2.1. Метод рекуррентных вычислений ...................................................33 3.2.2. Классический метод решения разностных уравнений ...................35

4. ..................................................... 44 Теория Z-преобразования4.1. ..................................................... 44 Определение Z-преобразования4.2. ............................................................. 46 Теоремы Z-преобразования

4.2.1. ...................................................................................46 Суммирование4.2.2. .................................................................46 Умножение на константу4.2.3. Сдвиг на целое число тактов ............................................................47 4.2.4. Начальное значение ..........................................................................48 4.2.5. ............................................................................49 Конечное значение

4.3. ....................................................... 50 Вычисление Z-преобразований4.4. ...................................... 51 Соответствие между S- и Z-плоскостями4.5. ......................................... 54 Ограничения метода Z-преобразования

5. ....................................... 57 Устойчивость дискретных систем5.1. .................................................. 58 Устойчивость дискретных систем

6. ............................................. 63 Метод переменных состояния


4

6.1. ................................................... 63 Модели в переменных состояния6.2. ...................................... 63 Моделирование в переменных состояния6.3. ........................................................ 70 Решение уравнений состояния

7. .................................... 71 Расчет цифрового ПИД-регулятора8. .............................................................................. 74 Практикум

8.1. ............ 74 АЦП и ЦАП. Оценка погрешности, подбор АЦП и ЦАП8.2. ..................................................................... 75 Разностные уравнения8.3. ............................................................. 75 Z-преобразование, техника8.4. ........... 76 Оценка устойчивости ДС с помощью Z-преобразования

Библиографический список ...................................................... 78


5

Список сокращений АЦП – аналого-цифровой преобразователь; АЦПе – аналого-цифровое преобразование; ДУ – дифференциальное уравнение; ЗУ – запоминающее устройство; ЛНДУ – линейное неоднородное дифференциальное уравнение; ЛОДУ – линейное однородное дифференциальное уравнение; МБ – младший бит; МЗЧ – максимальное значение числа; ОЗУ – оперативное запоминающее устройство; ОРУ – однородное разностное уравнение; ПЗУ – постоянное запоминающее устройство; ПЛИС – программируемая логическая интегральная схема; ПЛК – программируемый логический контроллер; РУ – разностное уравнение; САУ – система автоматического управления; СБ – старший бит; УВВ – устройство ввода-вывода; УВХ – устройство выборки и хранения; ЦАП – цифроаналоговый преобразователь; ЦАПе – цифроаналоговое преобразование; ШИМ – широтно-импульсная модуляция; ЭВМ – электронная вычислительная машина.


6

1. Общие сведения о дискретных системах автоматического управления

1.1. Основные определения и понятия В последнее время дискретные системы автоматического управления

(САУ) переживают бурное развитие. Оно осуществляется в основном за счет применения в САУ микропроцессорной техники, но также известны дискрет-ные САУ без применения микропроцессоров. Популярность дискретных сис-тем во всех отраслях промышленности объясняется как развитием цифровых (в том числе микропроцессорных) вычислительных машин, так и преимуще-ствами работы с цифровыми сигналами.

Слова “дискретный”, “импульсный” и “цифровой” в настоящее время в литературе используются довольно свободно, тем не менее существуют оп-ределенные терминологические рамки, ограничивающие применение того или иного слова.

Термин “дискретные САР” применяется для обозначения всех САР, для описания процессов, в которых рассматривают состояния системы в фик-сированные промежутки времени, и в данном случае неважны принцип функционирования САР и способ представления сигналов, будь то физиче-ская величина или конечное множество разрядов числа в вычислительной машине. У некоторых авторов для обозначения дискретных систем также применяется термин “системы с дискретным временем”.

Термин “импульсные САР” предполагает систему, в которой значения рабочих сигналов задаются значениями физических величин (например, электрического напряжения) в рассматриваемые моменты времени.

Наконец, термин “цифровые САР” предполагает систему, в которой значения рабочих сигналов представлены числами конечной разрядности, например двоичными числами. Это могут быть не только микропроцессор-ные системы, но и в настоящее время активно применяемые системы с ис-пользованием программируемых логических интегральных схем (ПЛИС), где основным вычислительным устройством является не универсальный вычис-литель (микропроцессор), а специализированный, созданный программистом внутри ПЛИС. Такие системы, хотя и недостаточно гибки, отличаются более высоким быстродействием и менее подвержены сбоям, чем микропроцессор-ные. В любом случае значения сигналов представлены в таких системах в виде двоичных чисел конечной разрядности. В микропроцессорных системах управление осуществляется посредством выполнения микропроцессором определенной программы, в случае с ПЛИС управление осуществляется в соответствии с внутренней схемотехнической организацией программируе-мой логической схемы.

На рис. 1 показана типичная импульсная система управления с обрат-ной связью. Квантователь представляет собой устройство, преобразующее


непрерывный сигнал, поступающий к нему на вход, в дискретный, снимае-мый с его выхода. В определенные равноотстоящие моменты времени вели-чина дискретного выходного сигнала равна величине входного непрерывного сигнала, а всё остальное время значение сигнала на выходе квантователя рав-но нулю, таким образом, на выходе квантователя получается сигнал, который можно определить, как дискретный (говоря более точно - “дискретный по времени”) [2].

Рис. 1. Импульсная система управления с обратной связью

Рис. 2 иллюстрирует принцип работы квантователя. Непрерывный входной сигнал квантуется по времени, при этом выходной сигнал квантователя представляет собой последовательность импульсов. Предпола-гается, что в рассматриваемом случае частота квантования постоянна, а ам-плитуда импульса в момент замыкания определяется соответствующим зна-чением входного сигнала e .

)(te

)(t

Рис. 2. Непрерывный входной (а) и дискретный выходной (б) сигналы кван-

тователя

7


Существуют и другие способы квантования сигналов, например, кван-тование с циклически изменяющимся периодом, многократное, со случайным периодом, с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ). На практике наиболее распространенными являются квантование с постоянным периодом (как в рассмотренном случае) и многократное квантование. Различные способы квантования и их особенности будут рассмотрены ниже.

Расположенный между квантователем и управляемым процессом фильтр выполняет функцию сглаживания, так как большинство управляемых процессов рассчитано на прием аналоговых сигналов.

В цифровой системе управления сигналы в одной или нескольких точ-ках представляются цифровыми кодами, с которыми оперирует цифровое устройство, например цифровая электронная вычислительная машина (ЭВМ). Структура типичной цифровой системы управления показана на рис. 3. На-личие в некоторых точках системы сигналов в виде цифрового кода, напри-мер двоичного, обусловливает использование цифроаналогового (ЦАП) и аналого-цифрового (АЦП) преобразователей. Несмотря на то, что между принципом работы импульсной и цифровой систем имеются существенные различия, математические описания этих систем достаточно близки и могут быть исследованы одинаковыми аналитическими методами.

Рис. 3. Типичная цифровая система управления.

Квантование по времени в системах управления применялось, по крайней мере, 70 лет назад. В этих ранних разработках импульсная модуля-ция использовалась для улучшения эксплуатационных характеристик систем управления. Например, в гальванометре с падающей дужкой, описанном Ольденбургом и Сарториусом, с помощью квантования достигается высокая чувствительность системы к маломощному входному сигналу.

Как показано на рис. 4, к катушке гальванометра прикладывается ма-лый сигнал. На стрелку гальванометра периодически опускается падающая дужка, заставляя вал нагрузки поворачиваться на угол, пропорциональный входному сигналу. Таким образом, поворот вала нагрузки определяется не вращающим моментом гальванометра, а перемещением падающей дужки.

8


Рис. 4. Гальванометр с падающей дужкой: 1 – падающая дужка; 2 – гальва-

нометр; 3 – кулачок

Другим известным примером применения квантования по времени в системах управления является система стабилизации температуры в духовом шкафу [4]. Система схематически показана на рис. 5. Когда контактный стержень погружен в ртуть, ток проходит по обмотке реле, при этом контак-ты реле разомкнуты, что вызывает прерывание тока в обмотке нагревателя. Так как стержень погружается в ртуть периодически, ток в обмотке нагрева-теля представляет собой последовательность импульсов. Более того, по-скольку время погружения зависит от уровня ртути, который, в свою очередь, определяется температурой в духовом шкафу, то длительность импульсов тока в нагревателе будет изменяться в соответствии с температурой, но ам-плитуда импульсов будет постоянна. Типичная форма сигналов в такой сис-теме показана на рис. 6. Длительность импульсов тока в нагревателе пропор-циональна амплитуде при )(th nTt = . В отличие от процедуры квантова-ния на рис. 2, в которой амплитуда импульсов определяется амплитудой входного сигнала, при модуляции, показанной на рис. 6, амплитуда импуль-сов остается постоянной, а информационным параметром является длитель-ность импульсов. Такая модуляция получила название широтно-импульсной (ШИМ). На практике используются различные методы модуляции сигналов [4] или, точнее, представления сигналов в дискретной форме.

9


Рис. 5. Дискретная система стабилизации температуры в духовом шкафу: 1 – ртутный термометр; 2 – контактный стрежень; 3 – колесо, вращаемое электродвигателем; 4 – обмотка реле; 5 – размыкающие контакты реле; 6 –

духовой шкаф; 7 – нагреватель

Рис. 6. Входной (а) и выходной (б) сигналы широтно – импульсного модуля-тора: h – температура духового шкафа; – ток нагревателя )(t )(* thd

1.2. Преимущества дискретных систем Для полного понимания достоинств и преимуществ дискретных сис-

тем мы должны уяснить, почему используются дискретные сигналы. Други-ми словами, какие преимущества и характеристики дискретных систем опре-

10


11

деляют повышенный к ним интерес в современной технике управления? От-вечая на эти вопросы, первым делом необходимо отметить, что многие физи-ческие системы дискретны, т.е. их поведение может быть описано дискрет-ными или цифровыми моделями. Например, в радарных системах передавае-мые и принимаемые сигналы являются импульсными. Существуют много-численные явления, социальные, экономические и биологические системы, динамика которых описывается дискретными моделями.

Во многих современных системах управления используются дискрет-ные элементы и цифровые процессоры. Некоторые из преимуществ импульс-ных и цифровых систем заключаются в следующем: повышенная чувстви-тельность, большая надежность, отсутствие дрейфа, более высокая устойчи-вость к шумам и возмущениям, меньшие габаритные размеры и масса, мень-шая стоимость, удобства в программировании.

Система с падающей дужкой, описанная выше, является примером по-вышения чувствительности в дискретной системе. В этом случае малые сиг-налы усиливаются благодаря операции квантования.

Одним из существенных преимуществ цифровых регуляторов является их большая гибкость по сравнению с аналоговыми регуляторами. Программа цифрового регулятора может быть изменена в соответствии с требованиями проектировщиков или приспособлена к характеристикам объекта без каких-либо изменений в аппаратном обеспечении. Эти и другие преимущества дис-кретных систем склоняют проектировщиков к их выбору.

1.3. Примеры импульсных и цифровых систем Рассмотрим типичные примеры импульсных и цифровых систем

управления, обратив внимание на их основные элементы, хотя этот обзор и не будет исчерпывающим.

1.3.1. Автопилот

На рис. 7 показана упрощенная структурная схема аналогового авто-пилота для одного управляемого параметра (угол тангажа, рыскания или кре-на) летательного аппарата. Это типичная аналоговая, или непрерывная, сис-тема, в которой сигналы могут быть представлены как функции от непрерыв-ного времени t. Целью управления является слежение устройства, регули-рующего угол ориентации аппарата, за командным сигналом. Для улучшения устойчивости системы введена обратная связь по скорости. Аналоговый ре-гулятор в системе можно заменить цифровым, но при этом дополнительно требуются аналого-цифровой и цифроаналоговой преобразователи. Заметим, что поскольку кроме цифрового управляющего устройства (цифровой кон-троллер) все остальные элементы системы остались аналоговыми, использо-вание этих преобразователей в ней обязательно.


Рис. 7. Упрощенная схема аналогового автопилота для одного управляемого

параметра

Рис. 8. Упрощенная схема цифрового автопилота для одного управляемого

параметра

Рис. 9. Упрощенная схема аналогового автопилота с многократным кван-

тованием

На рис. 8 показана схема цифрового автопилота, в котором сигналы, несущие информацию о положении и скорости летательного аппарата, по-ступают от цифровых устройств; на схеме они представлены в виде кванто-вателей и фиксаторов. Квантователь преобразует аналоговый сигнал в им-пульсный в каждый тактовый момент времени, а фиксатор удерживает его уровень неизменно до следующего тактового момента. На рис. 9 проиллюст-рирована ситуация, при которой два квантователя обладают различными пе-риодами квантования (T и ). Вообще говоря, если скорость изменения сигнала в одном контуре системы намного меньше, чем в другом, то период квантования в “медленном” контуре может быть больше. Показанная

1 2T

12


на рис. 9 система двумя квантованиями с различными периодами квантова-ния называется системой с многократным квантованием.

Одним из преимуществ систем с квантованием является возможность использования дорогостоящего оборудования в режиме разделения времени.

1.3.2. Цифровая система управления прокатным станом

Многие производственные процессы контролируются и управляются с помощью ЭВМ. Практически все современные прокатные станы на сего-дняшний день управляются таким образом. На рис. 10 показаны основные элементы аналогичной системы, а на рис. 11 изображена ее часть, предназна-ченная для управления толщиной прокатываемой стальной полосой.

Рис. 10. Цифровая система управления прокатным станом

Рис. 11. Система управления толщиной стальной полосы

1.3.3. Цифровой контроллер турбины и генератора

На рис. 12 показана структурная схема и основные элементы компью-терной системы управления скоростью и напряжением блока турбина-генератор с подсистемой получения цифровых данных. Цифроаналоговые преобразователи образуют интерфейс между ЭВМ и регуляторами. Подсис-тема получения цифровых данных обеспечивает измерение и ввод в ЭВМ таких параметров, как угловая скорость генератора, выходное напряжение, ток возбуждения и ток якоря, активная и реактивная мощности. Некоторые из этих параметров могут быть измерены цифровыми преобразователями и че-рез цифровой мультиплексор введены в ЭВМ (рис. 13). Сигналы, измеренные аналоговыми преобразователями, поступают на аналоговый мультиплексор,

13


где на обработку каждого сигнала затрачивается определенное время. Уст-ройства, включенные после мультиплексора, используются в режиме разде-ления времени. Такая подсистема получения данных показана на рис. 14. Вы-ход аналогового мультиплексора соединен с входом квантователя. Фиксатор сохраняет значение сигнала на выходе до окончания преобразования этого сигнала аналого-цифровым преобразователем в цифровой код.

Рис. 12. Цифровое управление блоком турбина – генератор: ЭГП – элек-

трогидравлический преобразователь

Рис. 13. Подсистема получения цифровых данных

Рис. 14. Подсистема получения данных с аналоговыми преобразователями

1.4. Общее представление о микропроцессорных системах Микропроцессорная система – совокупность микропроцессора (мик-

ропроцессоров), запоминающих устройств и устройств ввода-вывода, соеди-ненных общей шиной (системной магистралью), предназначенной для обме-на данными. Структурная схема микропроцессорной системы показана на рис. 15.

14


Рис. 15. Структурная схема микропроцессорной системы

Микропроцессор можно определить двумя разными способами: как программируемое устройство, производящее некоторые действия над ин-формацией, закодированной в виде групп двоичных разрядов согласно ко-мандам, представленным кодами в виде групп двоичных разрядов – чисел в двоичном представлении, и как электронное устройство, выполняющее дей-ствия, описанные в виде программы, хранимой в запоминающем устройстве в виде целых чисел в двоичной системе счисления, над информацией в виде целых чисел в двоичной системе счисления, хранимой в запоминающем уст-ройстве либо взятой с устройств ввода, или впоследствии отправляемой на устройства вывода.

Современные микропроцессоры – это в основном однокорпусные ма-логабаритные устройства, выполненные в виде микросхем. Ранее микропро-цессоры собирались на основе нескольких микросхем, которые назывались микропроцессорным комплектом.

Запоминающее устройство (ЗУ) – устройство временного или посто-янного хранения информации, подключающееся непосредственно к систем-ной магистрали микропроцессорной системы. Для временного хранения ин-формации используется оперативное запоминающее устройство (ОЗУ), для постоянного хранения информации используется постоянное запоминающее устройство (ПЗУ). Память в микропроцессорных системах используется для хранения программ и данных, представляемых в виде групп двоичных разря-дов. ЗУ представляет собой множество нумерованных ячеек, в каждой из ко-торых хранится фиксированное число двоичных разрядов (битов). Номер каждой ячейки постоянен и называется адресом ячейки. Обращение к ячейке памяти для чтения или записи данных осуществляется именно по адресу. Число двоичных разрядов, хранимых в ячейке, обычно кратно 8, чаще всего это 8 (байт) или 16 (слово). Множество всех адресов ячеек памяти образует адресное пространство микропроцессорной системы.

15


16

Устройства ввода-вывода (УВВ) – устройства, подключающиеся не-посредственно к системной магистрали микропроцессорной системы и пред-назначенные для связи микропроцессорной системы с внешней средой или вспомогательными устройствами. Обращение к устройству ввода-вывода осуществляется также посредством адреса. По определенным адресам адрес-ного пространства находятся ячейки памяти, связанные с устройствами вво-да-вывода. Такие ячейки памяти называются регистрами внешних устройств.

Как видно из рис. 15, микропроцессор, запоминающее устройство и устройства ввода-вывода соединены так называемой системной магистра-лью (системной шиной). По ней передаются группы двоичных разрядов (би-тов) данных, также отдельной группой двоичных разрядов передается номер (адрес) ячейки памяти, к которому относятся передаваемые данные. Для пе-редачи каждого двоичного разряда группы в системной магистрали выделена отдельная линия (фактически электрический проводник), количество линий для передачи данных в системной магистрали может определять разрядность микропроцессора.

Внутри микропроцессора находятся несколько служебных ячеек памя-ти, в которых хранятся группы двоичных разрядов, над которыми непосред-ственно процессор производит заданные операции. Количество разрядов та-ких ячеек памяти внутри процессора также определяет разрядность микро-процессора.

В настоящее время широко распространены восьми-, шестнадцати- и тридцатидвухразрядные микропроцессоры. В последнее время началось про-изводство 64-разрядных микропроцессоров.

В качестве примеров микропроцессорных систем приведем персо-нальный компьютер и программируемый логический контроллер, который является достаточно распространенной основой для построения цифровых регуляторов. Рассмотрим их устройство с точки зрения структурной схемы микропроцессорной системы.

1.5. Примеры микропроцессорных систем 1.5.1. Персональный компьютер

В современных компьютерах используются процессоры Pentium-D, или Celeron, которые выпускает компания Intel, либо Turion, или Sempron компании AMD. Разрядность этих процессоров (как внутренних регистров, так и шин данных) составляет 32, в последнее время появились процессоры Athlon, Turion и Pentium с разрядностью 64. У всех 32-разрядных из вышепе-речисленных процессоров разрядность шины адреса составляет также 32, в то же время адресация ячеек памяти у них побайтная. Таким образом, коли-чество адресуемых с помощью 32-битной адресной шины ячеек ограничено числом 232, т. е. объем адресного пространства в байтах будет составлять 232=4294967296 байт, или 4 Гбайта (гигабайта).


17

Запоминающие устройства в персональном компьютере представлены в виде микросхем памяти, часто располагаемых на отдельных модулях. Под-робнее см. [1]. Объем памяти в большинстве современных персональных компьютеров составляет от 128 до 2048 Мбайт. К обычному процессору Ath-lon или Pentium-IV с разрядностью 32 можно подключить по известным при-чинам не более 4 Гбайт памяти. В ПЗУ персональных компьютеров хранится так называемый BIOS (basic input-output system) – базовая система ввода-вывода, содержащая в себе основные процедуры работы с устройствами вво-да-вывода, программу старта компьютера, его самотестирования и загрузки программного обеспечения с накопителей информации.

Устройства ввода-вывода персонального компьютера – это в первую очередь клавиатура и монитор с формирователем изображения (видеокат-рой), и то и другое имеет свои адреса в адресном пространстве, а что касаемо отображения информации, то в адресном пространстве есть массив специ-альных ячеек памяти – видеопамять, в которой хранится информация, непо-средственно отображаемая на мониторе. Также к устройствам ввода-вывода можно отнести дисковые накопители как на гибких, так и на жестких дисках и CD. Объем жесткого диска никак не отображается на адресное пространст-во компьютера и поэтому называть жесткий диск “памятью” ошибочно. Об-ращение к дисковым накопителям осуществляется так же, как ко внешним устройствам. Также к устройствам ввода-вывода можно отнести принтеры, сканеры, камеры, модемы и, конечно же, универсальные интерфейсы. Под-робнее о них можно узнать из курсов информатики и электроавтоматики.

Системная шина представлена в компьютерах в нескольких видах. Для её организации в современных компьютерах применяется специальная управляющая микросхема, на которой строится чипсет – современный прото-тип микропроцессорного комплекта (от англ. сhipset – набор микросхем). Во-первых, по определению, к системной шине должны подключаться запоми-нающие устройства, значит, выводы системной шины присутствуют в разъе-мах для установки модулей памяти. Во-вторых, системная шина существует в нескольких видах для подключения таких устройств, как память, видеокарты, модемы, сетевые адаптеры и т. д. Для современных персональных компьюте-ров характерен стандартный набор устройств ввода-вывода: в него входят устройства ручного ввода и визуального отображения информации (клавиа-тура, мышь и монитор), устройства хранения информации (накопители на гибких и жестких магнитных дисках), устройства связи (модемы, сетевые адаптеры Ethernet, беспроводная связь), программируемые многофункцио-нальные интерфейсы.

1.5.2. Программируемый логический контроллер.

В программируемых логических контроллерах используются самые различные процессоры: от простых восьмиразрядных до мощных 32-разрядных, поддерживающих многозадачный режим. Для решения производ-


18

ственных задач с помощью стандартных средств ПЛК не требуется, чтобы все ПЛК были совместимы между собой на уровне машинного кода процес-сора, поэтому нельзя выделить преобладающий тип процессора, который используется в ПЛК.

Объем ЗУ в ПЛК также варьируется в широких пределах, в зависимо-сти от его производительности и вида задач, решаемых с его помощью - от несколько килобайт у маломощных ПЛК до десятков мегабайт у мощных. Также ПЛК особенны тем, что зачастую объем постоянного запоминающего устройства (ПЗУ) составляет большую долю общего объема его ЗУ. Это объ-ясняется высокими требованиями к ограничению габаритов устройства и со-хранности программного обеспечения, а также низкими требованиями к за-меняемости программного обеспечения. Не существует единого стандарта на модули расширения памяти для ПЛК.

Устройства ввода-вывода в ПЛК особенны тем, что они должны слу-жить сопряжением как между объектом управления и ПЛК, так и между ПЛК и пользователем (формирователем управляющего воздействия). Фактически они предназначены в первую очередь для обмена сигналами контроллера с преобразовательным и исполнительным устройствами объекта управления, во вторую очередь – для программирования устройства, в третью – для под-ключения устройства к АСУТП, и только затем для обеспечения человеко-машинного интерфейса (дисплея, клавиатуры и т. п.). Такая расстановка при-оритетов обоснована тем, что человеко-машинный интерфейс может быть подключаемым или вообще отсутствовать, ПЛК может очень сложно пере-программироваться или работать только самостоятельно без интеграции в АСУТП, но в любом случае ПЛК должен соединяться с объектом управле-ния. В ПЛК можно выделить следующие устройства ввода-вывода:

• дискретные и аналоговые входы и выходы для соединения с преобразовательными и исполнительными устройствами объек-та управления, специальные устройства для подключения к объ-екту управления (счетчики, частотомеры, блоки управления двигателями и т. д.)

• универсальные интерфейсы передачи данных, предназначены для связи ПЛК с другими вычислительными устройствами АСУТП, интеллектуальными устройствами ввода-вывода, или для подключения программаторов ПЛК, или панелей человеко-машинного интерфейса.

• интерфейсы подключения запоминающих устройств. Применя-ются в основном на мощных ПЛК для расширения объема памя-ти и для подключения внешних накопителей данных.


19

2. Преобразование сигналов 2.1. Необходимость аналого-цифрового

и цифроаналогового преобразования в САУ с ЭВМ Специалисты по системам управления применяют ЭВМ в двух основ-

ных случаях. В первом случае ЭВМ используется для моделирования и рас-чета динамики систем. Большинство реальных систем описываются уравне-ниями высокого порядка и содержат нелинейные элементы, что затрудняет использование аналитических методов. Поэтому часто инженеры по управ-лению проводят анализ и синтез сложных систем управления на ЭВМ. К мо-делированию на ЭВМ обращаются также для проверки результатов, полу-ченных аналитическими методами.

Во втором случае ЭВМ используются в системах управления в качест-ве контроллеров или процессоров. Так как управляемые процессы в основ-ном имеют аналоговый характер, то в большинстве цифровых систем управ-ления присутствуют как аналоговые, так и цифровые сигналы. Следователь-но, необходимо такое преобразование сигналов, которое обеспечивало бы взаимодействие цифровых и аналоговых элементов. Например, выходные сигналы аналоговых устройств должны быть подвергнуты аналого-цифровому преобразованию перед дальнейшей их обработкой в цифровом контроллере. Аналого-цифровое преобразование может быть описано как операция кодирования. Подобным образом цифровой код контроллера или ЭВМ может быть послан на аналоговые устройства только после цифроана-логового преобразования. В гл. 1 было показано, что для операции разделе-ния времени требуется специальное оборудование: мультиплексор, квантова-тель, фиксатор и др. Поскольку эти компоненты чрезвычайно важны для об-работки сигналов, кратко рассмотрим их назначение. Рассмотрение АЦП, ЦАП, мультиплексоров, квантователей и фиксаторов в пособии определяется возможностью использования их для обработки сигналов в дискретных и цифровых системах и ставит целью создание их моделей и математического описания для анализа и проектирования.

Цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) осуществляет операцию декодирования над цифровыми входными данными. На выходе ЦАП полу-чают аналоговый сигнал, обычно в виде тока или напряжения. ЦАП необхо-дим как интерфейсное средство между цифровым каналом или ЭВМ и анало-говым устройством. ЦАП называют также декодером.

Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует аналоговый сигнал в цифровой код. АЦП является необходимым интерфейсным устрой-ством аналоговой подсистемы, выходные сигналы которой предполагается обрабатывать в ЭВМ.

Устройство выборки и хранения (УВХ) широко применяется в дис-кретных и цифровых системах. Оно осуществляет выборку аналогового сиг-нала и затем сохраняет его уровень постоянным до следующей выборки. В


дальнейшем мы будем рассматривать это устройство как составную часть АЦП.

Мультиплексор. Когда сигналы от нескольких устройств должны быть обработаны одним и тем же процессором или информационным каналом, то для представления этих сигналов в виде некоторой заданной последователь-ности используется мультиплексор. Эта последовательность сигналов затем обрабатывается процессором в режиме разделения времени. Например, если сигналы нескольких цифровых устройств должны быть обработаны цен-тральным процессором, то эти устройства обычно связываются с процессо-ром через мультиплексор и общий канал параллельных линий.

2.2. Цифровые сигналы и кодирование Как указывалось выше, цифровые сигналы в ЭВМ и цифровых систе-

мах управления обычно передаются в виде слов или кодов. В слове информа-ция обычно представляется в форме дискретных битов (логический импульс "0" или "1"), образующих последовательный или параллельный код. Числен-ное значение слова и есть значение переменной, которое это слово представ-ляет.

Все современные ЭВМ построены на основе двоичной системы счис-ления. Цифровой сигнал в ЭВМ может быть представлен как последователь-ность нулей и единиц. Каждый разряд двоичного числа (0 или 1) называется битом. Бит является носителем небольшого количества информации, поэтому обычно 8 бит объединяют и называют байтом. Несколько байтов могут быть объединены в слово. Слова могут быть практически любой длины от 4 до 128 бит и более. Различие между битом и байтом схоже с различием между бук-вой алфавита и словом. Можно сказать, что буква является наименьшей еди-ницей информации, но обычно не несет смысла до тех пор, пока не объеди-няется с другими буквами в форме слова. Рис. 16 иллюстрирует связь между словом, байтом и битом. В этом случае длина слова равняется 2 байтам или 16 битам.

Рис. 16. Связь между словом, байтом и битом

Точность ЭВМ определяется длиной слов, которые ЭВМ может запо-минать и с которыми может оперировать. Например, ЭВМ с длиной слова 8

20


бит может запоминать числа только с восемью разрядами. Так как регистры и аккумулятор такой ЭВМ также оперируют с 8-разрядным словом, то увели-чение точности обработки возможно только при использовании слов двойной длины и соответствующих алгоритмов обработки.

Цифровые сигналы в ЭВМ могут быть представлены в формах с фик-сированной точкой1 и с плавающей точкой.

2.2.1. Представление числа в форме с фиксированной точкой.

Если для представления числа мы используем все 16 бит слова, пока-занного на рис. 17, где каждый бит может принимать значение 0 или 1, то мы имеем дело с представлением числа в форме с фиксированной точкой. Вооб-ще говоря, n-разрядное двоичное слово, представляющее целое число N в форме с фиксированной точкой, может быть записано как

21

00

11

22 222 aa ++

1,1,0,

, (1) 11 ...2 aaN n

n ++= −−

−где коэффициенты = niai K

00

11

22 222 aa ++

0a 1a

2a

равны 0 или 1. Двоичная форма числа определяется значением коэффициентов соотношения (1) слева направо, со старшим битом (СБ) слева и младшим битом (МБ) справа.

В качестве простого примера рассмотрим трехразрядное двоичное слово

. (2) aN =

Присваивая различные комбинации 0 и 1 коэффициентам , и

, можно получить восемь различных значений слова N или восемь чисел. Соотношение между двоичной и десятичной формами представления целых чисел для слова длиной 3 бита показано в таблице 1.

2.2.2. Представление чисел с фиксированной точкой, представление чисел со знаком.

Для представления дробных чисел можно также использовать форму с фиксированной точкой. Используя фиктивную “двоичную точку” в слове, можно часть слова отвести для представления целой части числа, а другую часть – для дробной части числа. Напримep, в 8-разрядном слове на рис. 17

1 В разных стандартах записи десятичных дробей отделение целой части числа от дроб-

ной обозначается либо точкой, либо запятой. В России стандартным разделителем является запя-тая. Вычислительная техника, преимущественно западного образца, использует в качестве раз-делителя точку, что также допускается. Термины “числа с плавающей (или фиксированной) запятой” и “числа с плавающей (или фиксированной) точкой” эквивалентны.


первые пять разрядов представляют целую часть числа, а последние три – дробную. Заметим, что “двоичная точка” не требует для представления от-дельного разряда и является фиктивной.

Таблица 1

Двоичный код целого числа Десятичное Двоичное число Число

22

СБ

(“четве-

ки”)

“двойки”

МБ

(“единицы

”)

0 000 0 0 0 1 001 0 0 1 2 010 0 1 0 3 011 0 1 1 4 100 1 0 0 5 101 1 0 1 6 110 1 1 0 7 111 1 1 1

Рис. 17. Представление 8-разрядного дробного числа в форме с фиксиро-

ванной точкой

В соответствии с рисунком число N может быть записано как

(3) 22

221

10

0

34

4−

−++

+=

aa

aaN

.22

223

32

2

11

22

3

−−

−− ++

+++

aa

aa


2Следовательно, двоичное число 01011.101(2) эквивалентно десятичному

23

.625

2021 2101234 +×+× −−

nna −

−− ++ 2...2 2

2

ni

.1181

2112821

2121202120

3 =++++=×+

+×++×+×+×+×=

−

N (4)

Вообще, n-разрядная дробь может быть представлена как

, (5) aaN −−

− += 2 11

ai − − −гдe коэффициенты = K,2,1,

1−a na−

принимают значение 0 или 1. Пер-

вый коэффициент представляет собой старший бит в коде числа, – младший.

Простая иллюстрация такoгo представления показана в таблице 2. Если первый бит 3-разрядного слова используется как бит знака, то

наибольшее целое число, которое может быть представлено этим словом, eсть 22−1=3, а наименьшее есть −(22−1)=−3. Любое n-разрядное слово с битом знака может представлять любое число в интервале между 2n−1−1 и −(2n−1−1), включая нуль. Числа, которые можно представить 3-разрядным словом с битом знака, приведены в таблице 3. Заметим, что в этом случае нуль представляется дважды: +0 и −0. Однако трехразрядное слово определя-ет восемь различных состояний, как и в случае, показанном в таблице 1.

Таблица 2

Двоичный код дроби Правильная Двоичная дробь Дробь СБ (“поло-

вины”) “четверти” МБ (“вось-

мые”) 0 0,000 0 0 0

1/8 0,001 0 0 1 1/4 0,010 0 1 0 3/8 0,011 0 1 1 1/2 0,100 1 0 0 5/8 0,101 1 0 1 3/4 0,110 1 1 0 7/8 0,111 1 1 1

2 Индекс в скобках справа от числа обозначает модуль системы счисления: для десятич-

ной – 10, для двоичной – 2, для шестнадцатеричной – 16.


Таблица 3

24

Двоичный код целого числа Десятичное Двоичное целое число Число Бит знака СБ (“двой-

ки”) МБ (“еди-ницы”)

−3 111 1 1 1 −2 110 1 1 0 −1 101 1 0 1 −0 100 1 0 0 +0 000 0 0 0 +1 001 0 0 1 +2 010 0 1 0 +3 011 0 1 1 Подобным образом бит знака может быть использован для представ-

ления дробного числа или дроби. Числа, которые могут быть представлены n-разрядным словом с битом знака и m разрядами для дробной части (m бит после “двоичной точки”), лежат в интервале между (2n−1−1)2−m и −(2n−1−1)2−m.

Представление чисел в форме с фиксированной точкой имеет серьез-ные недостатки, вызванные ограниченным диапазоном представляемых чи-сел и жестким расположением “двоичной точки”. Обычно, когда перемно-жаются два больших числа, результат не укладывается в длину слова; в этом случае происходит переполнение, вызывающее потерю точности вычисле-ний.

2.2.3. Представление числа в форме с плавающей точкой

Более удобным в практическом применении, охватывающим к тому же больший диапазон чисел, является представление чисел в форме с плаваю-щей точкой. Этот метод известен также как правило, согласно которому пер-вая часть слова используется для записи числа, называемого мантиссой, а вторая для записи порядка. Например, в десятичной системе число 5 может быть записано как , , и т.д. В ЭВМ двоичное пред-ставление чисел в форме с плавающей точкой обычно определяется как

11050 −⋅ 21005.0 ⋅

EMN 2⋅=

1105.0 ⋅

, (6)

где M – мантисса, E – порядок числа N. Кроме того, обычно М мас-штабируется таким образом, чтобы соответствующее десятичное значение лежало в пределах 0.5 < М < 1.

На рис. 18 показано представление 8-разрядного числа в форме с пла-вающей точкой: пять разрядов отведено под мантиссу и три под порядок. Так как и мантисса, и порядок могут быть положительными и отрицательными, первые разряды мантиссы и порядка отведены под биты знака. (Можно ис-


пользовать первые два разряда целого слова для битов знака мантиссы и по-рядка соответственно). В микропроцессорах, рассчитанных на малую длину слова, для представления числа в форме с плавающей точкой могут исполь-зоваться два последовательных слова (рис. 19).

Рис. 18. Пример представления 8 - разрядного числа в форме с плавающей

точкой

Рис. 19. Представление числа в форме с плавающей точкой двумя машин-

ными словами

Так как мантисса нормализуется и является дробью между 1/2 и 1, первый разряд после бита знака всегда должен содержать 1, а “двоичная точ-ка” вceгдa должна следовать за битом знака.

Порядок Е указывает, на сколько разрядов “двоичная точка” должна быть смещена вправо (для Е>0) или влево (для Е<0). В качестве примера на рис. 20 показано представление десятичного числа 6.5 в форме с плавающей точкой. В этом случае мантисса содержит четыре разряда для дроби 0.1101, а порядок записывается в двух разрядах целым числом 11, которое соответст-вует десятичному числу 3. Таким образом, число представляется как

25

2121101.0 11

)2()2(

⎢⎣⎡=⋅=N 5.62

161

41 3 =⎥⎦

⎤++ .


Если передвинуть “двоичную точку” вправо на три разряда, где 3 - де-сятичный порядок, то получим двоичное число 110.1(2) в форме с фиксиро-ванной точкой, которое соответствует десятичному числу 6.5.

Для n-разрядного слова, содержащего m разрядов для мантиссы, l раз-рядов для порядка и два разряда для знака, наибольшее представляемое чис-ло Nmax показано на рис. 21а. В этом случае все незнаковые разряды заполне-ны единицами и Nmax выражается как

26

)12(1 1

2)21( −+− −

−lm . (7) max =N

Рис. 20. Представление десятичного числа 6.5 восьмиразрядным словом

Рис. 21. Представление максимального и минимального чисел в форме с пла-

вающей точкой

Для 8-разрядного слова, показанного на рис. 20, с m = 5 и l = 3 наи-большее представляемое число

. (8) 2)21( )12(4max

2

=− −−N 5.72)16/11( 3 =−


Для того же 8-разрядного слова с четырьмя битами, отведенными под мантиссу и столькими же для порядка, получим

27

1122)8/11( 7 =−

)12(min

1

25.0 −− −

⋅=l

. (9) 2)21( )12(3max

3

=− −−N

На рис. 21б показан состав наименьшего положительного числа Nmin, которое может быть представлено n-разрядным словом с m разрядами для мантиссы и l для порядка. В этом случае первый разряд после бита знака мантиссы содержит единицу, а все остальные биты мантиссы равны нулю. Разряды порядка заполнены единицами. Следовательно, Nmin запишем как

. (10) N

2.3. Преобразование данных и квантование Обычно цифровые системы управления содержат как аналоговые, так

и цифровые элементы, поэтому необходимо преобразовывать аналоговые сигналы в цифровые (АЦП) и цифровые в аналоговые (ЦАП).

При изучении аналого-цифрового и цифроаналогового преобразований (АЦПе и ЦАПе) важно правильно понимать вес каждого разряда машинного слова. На практике схемы AЦП и ЦAП базируются на двоичном представле-нии чисел с использованием двоичного кода дробного числа. Как показано в таблице 2, старший бит 3-разрядного двоичного слова имеет вес 1/2 от мак-симального значения числа (МЗЧ), второй бит имеет вес 1/4 МЗЧ и младший бит 1/8 МЗЧ. Для n-разрядного двоичного кода дробного числа старший бит имеет вес 1/2 МЗЧ, а младший 2−n МЗЧ.

Независимо от того, используется ли код целого числа или дробного, n-разрядное слово определяет 2−n различных состояний, с разрешением 1/2−n. Например, на рис. 22 разрешение 3-разрядного двоичного кода дробного числа есть 2−3 = 1/8. Вес младшего бита в этом случае 1/8, а максимальное значение числа равно 1. Разрешение может быть улучшено при увеличении разрядности слова. Например, 4-разрядное двоичное машинное слово при МЗЧ = 1 имеет вес младшего бита 2-4, или 1/16, разрешение, соответственно, увеличивается до 1/16. В этом случае график, показанный на рис. 22, будет иметь 16 уровней. Заметим, что цифровой код не соответствует своему ана-логовому сигналу, и наоборот. Это же правило справедливо при представле-нии целых чисел. Необходимо помнить, что при увеличении разрядов в ма-шинном слове с целью увеличения разрешения максимальное значение ана-логового или цифрового сигнала должно быть сохранено тем же.


Рис. 22. Представление дробного десятичного числа двоичным кодом

Если количество разрядов в машинном слове конечное, что имеет ме-сто на практике, то АЦПе может обеспечить только конечное разрешение. Одной из главных операций при аналого-цифровом преобразовании является процедура квантования. Так как цифровой выход может иметь конечное чис-ло состояний, то аналоговое число должно быть квантовано (округлено) до ближайшего возможного значения. На рис. 22 показано соотношение между аналоговым входным сигналом и двоичным кодом целого числа (3-разрядное слово для положительных и отрицательных чисел)

Как следует из рис. 22, точное преобразование аналогового сигнала имеет место только при его значениях 0.5q, 1.5q, 2.5q, ..., 6.5q. Соотношение между аналоговым сигналом и цифровым кодом D пpи трехразрядном анало-го-цифровом преобразовании показано в таблице 4.

Следует отметить, что аналого-цифровое преобразование, показанное на рис. 22, не обеспечивает взаимно однозначного соответствия. Параметр q, значение которого равно младшему биту (МБ) слова, называется шагом кван-тования.

Как показано в таблице 4, для трехразрядного слова МБ равен

МЗЧ81

. Разница между аналоговым сигналом и цифровым выходом преоб-

разователя называется ошибкой квантования. Ошибка квантования зависит от числа уровней квантования или разрешения квантователя. На рис. 22 вид-но, что в рабочем диапазоне ошибка квантования равна нулю, когда величина

28


аналогового сигнала кратна q. До достижения насыщения максимальная ошибка квантования составляет q/2.

Важно, что рабочий диапазон квантователя (см. рис. 23) соответствует

двоичному числу 111(2), или МЗЧ87⋅ , а не МЗЧ. Это обстоятельство не будет

сказываться на точности преобразования, пока аналоговый сигнал не превы-

сит 2

МЗЧ q+

87⋅ ; при этом условии максимальная ошибка квантования равна

−q/2. Например, если максимальное напряжение входного аналогового сиг-нала 10 В, то МЗЧ = 10 В, а q = 1/8 МЗЧ = 1.25 В.

Следовательно, максимальное значение аналогового сигнала, которое может быть преобразовано с ошибкой, не превышающей −0,625 В, равно

29

375.92

МЗЧ87

=+⋅q В.

Таблица 4 Двоичный цифровой сигнал D

Двоичное число Аналоговый сигнал А Значение числа СБ(“чет-

верки”) МБ (“еди-ницы”) “двойки”

qA 5.0< 0 0 0 0

qAq 5.15.0 <≤ qМЗЧ =

0 0 1 8/1 ⋅

qAq 5.25.1 <≤ qМЗЧ 24/1 =⋅0 1 0

qAq 5.35.2 <≤ qМЗЧ 38/3 =⋅0 1 1

qAq 5.45.3 <≤ qМЗЧ 42/1 =⋅1 0 0

qAq 5.55.4 <≤ qМЗЧ 58/5 =

1 0 1 ⋅

qAq 5.65.5 <≤ qМЗЧ 64/3 =⋅1 1 0

+∞<≤ Aq5.6 qМЗЧ 78/7 =⋅ 1 1 1

Хотя натуральный двоичный код наиболее широко применяется на практике, что определяется его простотой и легкостью реализации в цифро-


Рис. 23. Характеристика “вход-выход” трехразрядного

аналого-цифрового квантователя

вых устройствах, разработан и применяется ряд других кодов. Это двоично-десятичный код, код Грея, код с избытком 3, код "один из десяти" и прочие.

30


3. Разностные уравнения 3.1. Понятие разностного уравнения, конечная разность

Основным инструментом для математического описания непрерывных процессов во всевозможных физических, технических, экономических, управляющих и т. д. системах является аппарат дифференциальных уравне-ний (ДУ), в частности широко применяются линейные однородные и линейные неоднородные уравнения (ЛОДУ и ЛНДУ). Если с помощью дифференциаль-ных уравнений описывать процессы в дискретных системах, то получатся большие и сложно разрешимые нелинейные ДУ, практическая ценность кото-рых была бы минимальной, и информация, заключенная в них, была бы в значительной степени избыточной.

Для описания дискретных систем создан аппарат разностных уравне-

ний (РУ). Разностные уравнения описывают динамику процессов в дискрет-ных системах точно так же, как дифференциальные уравнения описывают динамику процессов в непрерывных системах. Если основой дифференци-альных уравнений является производная функции, взятая для бесконечно малого участка, то основой разностного уравнения является конечная раз-ность – разность значений между соседними отсчетами функции, опреде-ленной на множестве целых чисел (так называемая решетчатая функция). Конечная разность, так же как и производная, может быть разного порядка. Конечная разность первого порядка вычисляется следующим образом:

( ) ( ) ( )1−Δ kf kfkf= − .

( ) ( )kf=kg ΔЕсли обозначить , то конечная разность этой функции будет иметь вид

31

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )21 −− kf+k212 −−Δ−ΔΔΔ fkf=kfkf=kf=kg ,

что будет представлять собой конечную разность второго порядка. Для ко-нечных разностей третьего и четверного порядка можно, пользуясь анало-гичным принципом, написать следующие выражения:

( ) ( ) ( )( ) );3(2

12

−−−−Δ

kfk=kf

( ) ( ) 313

23

−−=−ΔΔf+kfkf

kf=kf


( ) ( ) ( )).4()3

1334

−+−−

kfk=k

νν ν−+k kifC )()1

порядок й-0порядок й-1порядок й-2порядок й-3порядок й-4порядок й-51

( ) ( ) ( ) (42614 −−−−Δ−ΔΔ

fkf+kfkffkf=kf

Общая формула для вычисления конечной разности k-ого порядка вы-глядит так:

∑=ν

−=Δk

if0

2 ()(

Коэффициенты, стоящие перед значениями отсчетов функции для ка-ждого порядка вычисляются согласно так называемого треугольника Паска-ля:

111

1211331

146415101051

Принцип формирования треугольника прост: в каждой строке каждая цифра складывается из двух других, стоящих левее и правее строкой ниже: если одной из цифр нет, то вместо нее подставляется ноль. Далее, в выражении перед каждой цифрой, стоящей у отсчета с четным смещением относительно k, ставится знак “+”, перед каждой цифрой, стоящей у отсчета с нечетным смещением относительно k ставится знак “−”. Таким образом, можно распи-сать коэффициенты для всех составляющих конечной разности любого по-рядка.

3.2. Решение линейных разностных уравнений Метод решения линейных однородных и линейных неоднородных

разностных уравнений во многом напоминает метод решения ЛОДУ и ЛНДУ. Результатом решения разностных уравнений является так называемая решетчатая функция – функция с целочисленным аргументом и с вещест-венным значением. Она описывает процесс, протекающий в системе в дис-кретном времени, т. е. на множестве отсчетов. Так же, как и в дифференци-альных уравнениях, в разностных уравнениях существует общее и частное

32


33

решения. Общим решением называется выражение для вычисления отсчетов решетчатой функции, в котором не заданы коэффициенты, зависящие от на-чальных условий. Частным решением называется выражение для вычисления отсчетов решетчатой функции, в котором учтены конкретные начальные ус-ловия – подставлены коэффициенты.

Начальные условия в разностных уравнениях используются несколько иначе, чем в ДУ. Решетчатая функция, являющаяся решением разностного уравнения, обычно определена на множестве отсчетов, начинающемся с ну-левого отсчета, то есть только для неотрицательного аргумента. Разность первого порядка в нулевой точке захватывает также аргумент со значением, равным −1, а для численного решения разностных уравнений посредством рекуррентных вычислений (будет описано ниже) обычно задаются значения для точек с аргументами −1, −2… −n. Такие начальные условия необходимы для рекуррентного расчета значений частного решения разностного уравне-ния в точках с k=1…n. Эти точки в общем случае и следует использовать как начальные условия для нахождения частного решения.

3.2.1. Метод рекуррентных вычислений

С помощью этого метода можно просто получить численное решение разностного уравнения в виде множества значений решетчатой функции, фактически являющейся его решением. Метод реализуется приведенными ниже двумя действиями.

Во-первых, разностное уравнение переписывается так, что в левой части оказывается искомая функция, взятая от текущего значения аргумента. В правой – всё остальное: предыдущие отсчеты функции, части функции, зависящие от начальных условий, и т. д., но не искомая функция, взятая от текущего значения аргумента

Во-вторых, описанная уравнением решетчатая функция табулируется, при этом должны соблюдаться следующие правила: табулирование делается с шагом 1, последовательно в порядке возрастания аргумента и для значений аргумента, начинающихся с заданных в начальных условиях.

Преимуществами данного метода являются его простота, краткость и быстрота реализации с помощью вычислительных устройств. К недостаткам можно отнести неизвестность в результате такого решения аналитического выражения решетчатой функции и, как следствие этого, невозможность най-ти значение функции для любого значения целочисленного аргумента без вычисления всех отсчетов с меньшим аргументом.

Данный метод решения разностных уравнений широко применяется при численных расчетах и в устройствах обработки сигналов. Более того, синтез цифровых фильтров по заданным частотным характеристикам осно-ван на получении аналогичных выражений для вычисления отсчетов искомо-го в реальном времени. В данном пособии метод рекуррентных вычислений


мы будем применять для решения задач с разностными уравнениями для проверки правильности полученного аналитически частного решения.

Приведем пример использования метода рекуррентных вычислений. Пример 3.1. Решить методом рекуррентных вычислений разностное

уравнение

34

)1()(9.0)( += −kyky

)(ky )(kx

;0)1(;1)0( =

kx ,

при этом – искомая функция, а – функция Хевисайда (единичная ступень, см. рис. 24) в дискретном её представлении, заданная в виде входно-го воздействия на систему, описанную приведенным разностным уравнени-ем, и обозначенная также начальными условиями: x x= − да-

лее )( 0 =>∀kkx 1.

Рис. 24. Дискретная функция Хевисайда

Вынесем искомую функцию в левую часть разностного уравнения, по-лучаем

9.0

)1()( − −)( =kykx

)(ky

ky . (11)

Теперь можно, последовательно подставляя k=0, 1, 2, … и т. д., полу-чить таблицу значений решетчатой функции (табл. 5), являющейся частным решением данного уравнения (рис. 25)

Таблица 5

k x(k) y(k) −1 0 0 0 1 1.11 1 1 −0.12 2 1 1.25


3 1 −0.28 4 1 1.42 5 1 −0.46 6 1 1.63 7 1 −0.7 8 1 1.88 9 1 −0.98

10 1 2.2 11 1 −1.34

Рис. 25. Графическое представление частного решения

разностного уравнения (26).

3.2.2. Классический метод решения разностных уравнений

Решение линейных РУ классическим методом во многом напоминает решение линейных дифференциальных уравнений. В данном случае можно получить как частное, так и общее решение разностного уравнения, которое можно записать в аналитическом виде и использовать для вычисления отсче-тов решетчатой функции.

Линейное разностное уравнение можно представить в общем виде сле-дующим образом:

35


36

)()( kyky ВСВ)(ky = + . (12)

Здесь – так называемая свободная составляющая, обусловленная непосредственно разностным уравнением и не зависящая от начальных усло-вий; с точки зрения теории управления это означает, что свободная часть РУ определяется непосредственно свойствами системы, которую оно описывает. Другое слагаемое, обозначенное как , есть вынужденная составляю-щая, определяющаяся начальными условиями и (или) некоторой не завися-щей от отсчетов искомого сигнала функцией, а говоря техническим языком, вынужденная составляющая определяется входным сигналом, подаваемым в систему с начальными условиями, с которых система начинает функциони-ровать. В дальнейшем такой сигнал будем обозначать .

)(kyСВ

)(kyВ

)(kxРешение разностных уравнений классическим методом состоит из

большего числа действий, чем нахождение их частных решений рекуррент-ными вычислениями. Действия состоят в следующем.

1. Привести разностное уравнение посредством алгебраических пре-образований к виду (12).

2. Переписать уравнение, заменяя все функции с запозданием или опережением аргумента на их запись с оператором смещения, данная замена имеет вид

( ) ( )kyz=i+ky i ⋅

4342143

аясоставляющсвободная

аясоставляющявынужденна

)()()() kyzHkx

. (13)

3. После подстановки записи функции с оператором смещения вме-сто функции со смещением нужно разделить правую часть на сомножители таким образом, чтобы один из сомножителей содержал только аргумент z, а другой – только аргумент k. Особенно просто это получается в случае явно заданного входного сигнала, при этом допустимо, чтобы в правой части была сумма таких произведений, при этом в одном слагаемом в качестве сомножи-теля присутствовал бы выходной, а в другом входной сигнал:

421()( zGky += .

4. После приведения уравнения к такому виду станет возможным

найти отношение )(

)()()(

kyky

kxky

СВ

= :


37

)(1

)()()(

zHzG

kxky

−=

0)(1

. (14)

5. Из выражения (14) запишем характеристическое уравнение для разностного уравнения:

=zH , −

то есть найдем множество полюсов данного отношения )(

)()()(

kyky

kxky

СВ

=

01

)() CkykN

ii +=∑

=

)(kyi

0;0; >

.

6. Исходя из вида корней характеристического уравнения, запишем общее решение линейного разностного уравнения, которое имеет вид

, (15) (y

где C0 – смещение решения дифференциального уравнения по оси ординат, а функции – слагаемые решения разностного уравнения, определенные корнями характеристического уравнения.

Правило определения вида слагаемых по корням характеристического уравнения можно сформулировать следующим образом. Корни характери-стического уравнения могут быть либо вещественными положительными, либо вещественными отрицательными, либо комплексно-сопряженными. Для вещественных положительных корней α= + j

kiii zCky =)(

0;0; <α=β

zi β β = α слагаемое

имеет вид . Для вещественных отрицательных корней

+α=zi jβ слагаемое имеет тот же вид, только по причине отрицательности корня более ясное представление о внешнем виде решетча-

той функции создается, если записать ее так: )cos( kzC kii π⋅=

0;0; ≠α≠ββ± j)(kyi . Па-

ра комплексно-сопряженных корней даёт одно

слагаемое вида

1, α=+z ii

))cos(arg( ii kz ϕ+⋅

iϕ

)( kiii zCky ⋅= . Для всех трех случаев

и определяются начальными условиями. iC7. Записав решение уравнения в виде суммы (15), методом рекур-

рентных вычислений (см. 3.2.1) рассчитаем n первых отсчетов частного ре-шения исходя из заданных начальных условий, при этом число n – количест-во коэффициентов, зависящих от начальных условий, которые требуется рас-


считать. Далее подставляем значение функции, корни характеристического уравнения и значение аргумента в полученное аналитическое выражение, в результате чего получаем систему линейных или тригонометрических урав-нений, которую требуется решить относительно переменных – коэффициен-тов, зависящих от начальных условий. Решение этой системы (множество коэффициентов), подставленное в соответствующие места общего решения системы, даст аналитическую запись частного решения данного разностного уравнения. Приведем примеры.

Пример 3.2. Найти частное решение разностного уравнения числен-ным и аналитическим способом, сверить ответы:

( ) ( ) ( )10,4 ⋅ ky+kx=ky − .

Решение разностного уравнения есть реакция дискретной системы, описанной им, на воздействие, описанное на оси времени с помощью функ-ции Хевисайда. В анализе дискретных систем более широко используется реакция на воздействие, описанное по оси времени функцией Кронекера – дискретной разновидностью дельта-функции, имеющей нулевой отсчет вели-чиной 1, все остальные – нулевые.

Итак, найдем первые несколько отсчетов реакций системы на воздей-ствия функциями Хевисайда и Кронекера (табл. 6).

Таблица 6

38

k x (ф-ция Кронекера) y x y (ф-ция Хевисайда) -1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0.4 1 1.4 2 0 0.16 1 1.56 3 0 0.064 1 1.624 4 0 0.0256 1 1.6496 5 0 0.01024 1 1.65984

Общий вид решения неоднородного разностного уравнения

( ) ( ) ( ),ky+ky= ВСВky

( )kyСВгде – свободная составляющая, которая является решением одно-

родного разностного уравнения, а ( )kyВ – вынужденная составляющая, за-данная, например, начальными условиями и (или) функцией воздействия на систему. В данном случае


( ) ( )( ) ( ).

10,4

kx=k

;ky=k

y

y

В

СВ ⋅ −

Уравнение изначально записано в стандартной форме, иначе его нуж-но к ней преобразовать. Далее запишем его, обозначив смещение по оси абс-цисс с помощью оператора запаздывания ( ) ( )i+ky=kyi ⋅z :

( ) ( )

39

( )kyz

+k ⋅⋅10,4x=ky .

Далее преобразуем уравнение таким образом, чтобы в левой части ос-

талось отношение ( )( )kxky

:

( )( ) 0,41

1

⎜⎝⎛− z

=

z

=kxky

.0,40,4

1−

⎟⎠⎞− z

z=

z

Найдем, при каких значениях z значение данного отношения не опре-делено:

0,400,4 =z= ⇒z − .

Согласно правилу определения общего решения однородного разност-ного уравнения, описанному в данной главе, общее решение данного уравне-ния имеет вид

( ) k10 C+C= 0,4⋅ky .

Напомним начальные условия:

1.0

01

=y=k

;=y=k

⇒

⇒−


Получаем систему линейных алгебраических уравнений, которую ре-шаем, ниже приведена система, затем ее решение:

,0,4

,0,40

0

1

01

01

C+C=

C+C=

⋅

⋅ −

1

40

.32

35

10 −=C;=C

Наконец, выражение, являющееся частным решением данного разно-стного уравнения, имеет вид

( ) 350,4

32 += k⋅−ky .

Проверим, правильно ли получена запись аналитического решения – просчитаем первые пять отсчетов (табл. 7)

Таблица 7 k x (ф-ция

Хевисайда) y

0 1 1 1 1 1.4 2 1 1.56 3 1 1.624 4 1 1.6496 5 1 1.65984

Отсюда видно, что частное решение разностного уравнения является

реакцией системы, им описанной, на воздействие, имеющее форму функции Хевисайда. Получить значения для воздействия Кронекера можно, вычтя из каждого отсчета его предыдущий отсчет (табл.8):

Таблица 8 k y -1 0 0 1 1 1.4-1=0.4 2 1.56-1.4=0.16 3 1.624-1.56=0.064 4 1.6496-1.624=0.0256 5 1.65984-1.6496=0.01024


Отсюда видно, что численное решение разностного уравнения и мас-

сив отсчетов, рассчитанный по найденному частному решению, повторяют друг друга. Общее и частное решения найдены правильно.

Пример 3.3. Найти частное решение разностного уравнения числен-

ным и аналитическим способом, сверить ответы:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )10,35210,8 ⋅−−⋅ y=ky+ky+kx ky+k − .

Этот пример отличается от предыдущего порядком уравнения – он здесь второй. Поэтому и начальных условий больше – заданы отсчеты до

2−=k . Как и в предыдущем примере построим таблицу значений отсчетов функции для воздействий в виде Кронекера и Хевисайда (табл. 9):

Таблица 9

41

k x (ф-ция Кронекера)

y x y(ф-ция Хевисайда)

-2 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0.45 1 1.45 2 0 1.36 1 2.81 3 0 1.54 1 4.35 4 0 2.59 1 6.94 5 0 3.61 1 10.55

Преобразуем уравнение к типовому виду, в котором хорошо различи-

мы вынужденная и свободная составляющие:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )210,810,35 −⋅−⋅− +kxkx=ky ky+ky − .

Запишем его, обозначив смещение по оси абсцисс с помощью опера-тора запаздывания ( ) ( )i+ky=kyi ⋅z :

( ) ( ) ( )z

+kxz

kx=ky ⋅⋅⋅−10,810,35 ( ) ( )ky

z+ky ⋅⋅ 2

1.

Находим передаточную функцию, для этого перегруппируем слагае-мые относительно ( )kx и ( )ky :


( ) ( ) ( ) ( )

42

( )

( ) ( ) .10,351

10,35

⎟⎠⎞⋅−

⋅⋅−

z

;kxz

110,81

110,8

2

2

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅−

⋅−⋅⋅−

kx=zz

ky

kx=kyz

kyz

ky

( )( ) 10,81

0,351

2−−

−

zz

z=kxky ( )

Итак, 10,8

0,352 −⋅−−

zzzz= – передаточная функ-

ция. Отсюда можно взять характеристическое уравнение и, решив его, опре-делить вид общего решения разностного уравнения. Характеристическое уравнение 010,82 =zz −⋅− , его корни:

0,67703.4,64

−=2

0,81,47703

24,640,8

21−

=z;=+

=z

Согласно правилу определения общего решения однородного разност-ного уравнения, описанному в данной главе, общее решение данного уравне-ния имеет вид

( ) | | | | πkzC+ k2 cos2 ⋅⋅zC+C=ky k

10 1⋅ .

Исходя из начальных условий, найдем частное решение разностного уравнения. Так как полученным выражением описывается процесс начиная с нулевого шага, используем начальные условия, заданные на шагах с номера-ми не менее −1:

( )( )( ) .11

0,6770310

1,4770301

210

0

0

C+C+C==ky;=k

+C==ky;=k

+C==ky;=k

⋅ ;1,47703

;0,67703

21

21

CC

CC

⋅−

−⋅− ⋅

Полученная система уравнений решается относительно

21,0, CCC . В результате получаем следующие значения коэффициен-тов:


0,127.2,123

1,25

2

1

0

=С;=С;=С −

Частное решение разностного уравнения:

( ) | | | | πkz k cos0,127 2 ⋅⋅+z+=ky k2,1231,25 1⋅− .

Проверим решение построением таблицы для нескольких первых от-счетов, начиная с нулевого (табл. 10). Таблица должна совпадать с построен-ной в начале решения; так как в начальные условия подставляли отсчеты ре-акции на функцию Хевисайда, то результат вычислений должен совпадать именно с этой таблицей.

Таблица 10

43

k ( )ky -1 0

0 1

1 1,45

2 2,81

3 4,35

4 6,94

5 10,55

Как видно, результат совпадает, следовательно, частное решение най-

дено правильно.


4. Теория Z-преобразования 4.1. Определение Z-преобразования

Рассмотренное ниже преобразование, наряду с дискретным преобразо-ванием Фурье и преобразованием Лапласа, применяется для упрощения про-цесса анализа и проектирования дискретных систем. Аппарат Z-преобразования играет для цифровых систем ту же роль, что и преобразо-вание Лапласа для непрерывных систем [1, 3]. В последние годы при иссле-довании дискретных систем существенную роль стал играть метод простран-ства состояний благодаря его многосторонности и общему подходу к задачам анализа и проектирования. Однако важность метода Z-преобразования не следует недооценивать, так как классические методы анализа и проектирования систем управления всегда будут представлять ин-терес для практического применения.

44

)(* tf )()(* kTftf =)(* tf

kTs

kekTf −

∞

=∑=

0)()

)(* sFTse−

Tse−

)(* sF )(* zF

Ts

z

Мотивировку использования Z-преобразования для изучения дискрет-ных систем можно пояснить на примере преобразования Лапласа квантован-ного сигнала. Пусть выходной сигнал идеального квантователя обозначен через и определен как дискретный, т. е. . Преобразо-

вание Лапласа для определяется так:

. (16) { } sFtfL = ** ()(

Выражение для не является рациональной функцией, посколь-

ку оно содержит множитель , не свойственный большинству передаточ-ных функций непрерывных систем. Когда в передаточной функции появляет-ся множитель , могут возникнуть трудности в вычислении обратного преобразования Лапласа. Следовательно, желательно сначала преобразовать иррациональную функцию в рациональную, обозначаемую , посредством замены комплексной переменной s на другую комплексную пе-ременную z. Выбор такой замены очевиден: , хотя и замена

отвечает тем же требованиям. Решая такое уравнение относительно s, получим

ez =Tse−=

zT

s ln1= , (17)


где T – период квантования; z – комплексная переменная, действительная и мнимая части которой определяются как

45

=

=

zz)

cos) , здесь

⎪⎭

⎪⎬⎫

ω

ωσ

σ

TeTe

T

T

sinIm(Re(

s ωj= +σ .

Связь между s и z в уравнении (17) может быть определена как Z-отображение. Подставляя (17) в выражение (16), получим

∑∞

=

−=0

)()k

kzkTfz

)(zF

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ =* (ln1 Fz

TsF , (18)

что при представлении в компактной форме является рациональной функци-ей относительно z. Следовательно, можно определить как

Z-преобразование функции : { })()( tfZzF)(tf = , где Z – оператор Z-преобразования. Согласно выражениям (16) и (18) можно записать:

zT

ssFz

ln1* )()(

==

)(tf) Tsez =

)(tf

)(* tf)(tf

)(* tf

∑∞

=

−=0

)(k

kTsekTf

z = )(* sF

F .

Поскольку Z-преобразование получается из преобразования Ла-

пласа для функции заменой , в общем случае для любой функции , имеющей преобразование Лапласа, существует также Z-преобразование.

(* tf

Процедура нахождения Z-преобразования непрерывной функции включает следующие три этапа:

• определение как выходного сигнала идеального кванто-вателя для входной функции ;

• определение преобразования Лaпласа :

; { }= ** )()( tfLsF

• замена в выражении для , чтобы получить Tse


46

∑∞

=

−=0

)()k

kzkTfz

)(tf

. (19) * (F

Выражение (19) используется при нахождении Z-преобразования функции . Однако неудобство этого выражения состоит в том, что оно является бесконечным рядом, а не эквивалентной функцией в компактной форме.

4.2. Теоремы Z-преобразования Так же, как и у преобразования Лапласа при рассмотрении непрерыв-

ных систем, у Z-преобразования существует набор вспомогательных теорем, обозначающих основные его свойства. Ниже приводятся такие теоремы с доказательствами.

4.2.1. Суммирование Теорема: Z-преобразование суммы числовых последовательностей

равно сумме Z-преобразований этих последовательностей, то есть

( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ).21 zE+zE=2121 keZ+keZ=ke+keZ (20)

Доказательство. Согласно определению Z-преобразования,

( ) ( )( )[ ]

( ) ( )0

20

1

0121

zke+zke

e=ke+keZ

=k

k

=k

=k

−∞

−∞

∞

∑∑

∑

=

( ) ( )[ ]

( ) ( ).21

2

zE+zE=

=zke+k

k

k−

4.2.2. Умножение на константу

Теорема: Z-преобразование числовой последовательности, умножен-ной на константу, равно произведению этой константы и Z-преобразованию числовой последовательности, то есть

( )[ ] [ ( )] ( ).zEA=keZA=keAZ ⋅⋅⋅ (21)



( )[ ] ( )00

A=zkeA=keAZ=k=k

k ⋅⋅⋅∞∞

− ∑∑ ( ) ( ).zEA=zke k ⋅−

4.2.3. Сдвиг на целое число тактов

47

Теорема: пусть n – целое положительное число и ( ) 0=ke при 0<k .

Пусть также ( )ke имеет преобразование ( )zE . Тогда

( )[ ] ( )zEz=nk n−−eZ и ( )[ ] ( ) ( ) .1

0⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡− −

−− ∑ k

n

=k

n zkezEz=n+keZ


( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ),zE=+ze+

n

+n

−

− ...1 1

( ) ( ) ( )[ ] z=+ze+ze+ez=ze++z+ne+ne=nkeZ

n

n

−−

−−

−

−−−

...21100...1

2

1

поскольку ( ) 0=ke при 0<k . Это условие необходимо по той же причине,

что и условие ( ) 00, <t=te для теоремы запаздывания в преобразовании Лапласа. В противном случае формулировка теоремы не была бы такой про-стой. Для доказательства второго утверждения запишем:

( )[ ] ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )0...110[

0...

1

1

1

n

n

n

e+z+ze+e+ze++

−−

−

−−

−

⋅( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ],1...1

1...21

1

11

1

21

+n

n+n

+n+n

zneze+ne+zne+znez=+ze+zez+ne+ne=nkeZ

−−

−−

−−−

−−−−

−+

+

−−−

т. е. мы добавили и вычли первые n членов последовательности ( )ke . Тогда

( )[ ] ⎢⎣

⎡−n Ez=n+keZ ( ) ( ) .1

0⎥⎦

⎤− −

−

∑ kn

=kzkez

Как видим, эта теорема доказывается не так просто, как первая. Еще раз заметим, что в этой теореме n должно быть положительным целым чис-лом.


Чтобы проиллюстрировать этот пример, рассмотрим образец числовой последовательности, приведенной в табл. 11.

Таблица 11

48

k (ke ) ( )2−ke ( )2+ke 0 1 0 0.3 1 0.5 0 0.2 2 0.3 1 0.15 3 0.2 0.5 - 4 0.15 0.3 -

( )2ke − – это последовательность Заметим, что последовательность

( )ke , сдвинутая назад на два периода. В результате запаздывания никакие

значения ( )ke ( )2ke −не теряются, поэтому Z-преобразование для может

быть представлено в виде функции только ( )zE . Последовательность

( 2+ke ) ( )keобразована сдвигом в сторону опережения на те же два перио-

да. Здесь первые два члена ( )ke теряются, поэтому Z-преобразование для

( 2+ke ) не может быть представлено в виде простой функции ( )zE . Пример.

Выше было показано, что [ ] aTakT

ezz=e −

−Z . −

( ) ( )( )[ ]Tka

ezzz=TkueZ −

−−− ⎜⎝⎛

−− 33 3Поэтому ( )aTaT ezz

= −−⎟⎠⎞

2

1, где

( )ku – дискретная единичная ступенчатая функция, определяющаяся как

( )⎩⎨⎧ ≥

00,01,

<kk

=ku .

Также ( ) ( )( )[ ] ⎟⎠⎞−− −−

−11 ze aT

aT⎜⎝⎛

−−− 22 3

ezzz=TkueZ T+ka .

4.2.4. Начальное значение

Теорема: если Z-преобразование для ( )ke равно ( )zE , то


( ) ( ).lim0 zE=ez ∞→

( ) ( ) ( ) ( ) ...210 21 +ze+ze+e=zE −−Доказательство. Поскольку , то данное утверждение очевидно.

4.2.5. Конечное значение

49

Теорема: Если Z-преобразование для ( )ke равно ( )zE , то

( ) ( ) ( )zEz=n

1limnenlim −

∞→∞→

при условии, что предел в левой части существует. Доказательство. Рассмотрим преобразование

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )( )( )( ) ( )1...

2110[lim

1lim1

1

1

0

n+nn

n

=kn

+ne+zzne+

e+ze+e=

z+ke=ke+keZ

−−

−

∞→

∞→

−+

−−

⎜⎝

⎛− ∑ ( )

( )( )].

21

0

n

n

=k

kk

z

zz

=zke

−

−−

−−

+−

⎟⎠

⎞−∑

Тогда

[ ] [ ],)0()1(lim ene)()1(lim1

kekeZz

+=−+→

−

при условии, что предел в правой части существует. Кроме того, по теореме о сдвиге,

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )01 ze=zEz01 =zEezEz=ke+keZ −−−⋅− .

Полагая в этом выражении 1→z и приравнивая его предыдущему, получим

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]01 zezEzlim01lim1

=e+nezn

−−→∞→

−

или ( ) ( ) ( )zEz=ne

z1limlim

1n− ,

→∞→


при условии, что предел в левой части существует. Как и в случае теоремы о конечном значении в преобразовании Лапласа, предел в правой части может дать неверное значение, если предел в левой части не существует.

4.3. Вычисление Z-преобразований

50

)(tf )(kTf

)(sFF

)(tus

∑∞

=

−=0

)()k

KTtt δ

∑∞

=

−=Δ=0

)(k

kTsT es

Выражения (19)…(21) можно использовать для вычисления Z-преобразований; выражение (19) применяют, если задано или . Строго говоря, на временные функции или ряды никакие ограничения не на-кладываются, хотя для того. чтобы можно было выразить в компакт-ной форме, бесконечный ряд в выражении (19) должен сходиться. Выраже-ния (20) и (21) определяют Z-преобразования функций, заданных в виде пре-образований Лапласа . Выражение (20) используется для функции

, которая имеет только простые полюсы, а (21) – для функции, которая имеет, по крайней мере, один кратный полюс.

)(zF

)(s

Следующие примеры иллюстрируют нахождение Z-преобразований для некоторых часто встречающихся функций. В инженерной практике по-лезно использовать таблицы Z-преобразований, которые можно найти в справочниках и учебниках.

Пример 4.1. Найдем Z-преобразование единичной ступенчатой функ-

ции . Следуя процедуре нахождения Z-преобразования, изложенной в предыдущем параграфе, получим следующее:

1. Единичная ступенчатая функция квантуется идеальным квантовате-

лем, при этом его выходным сигналом является последовательность единич-ных импульсов, описываемая как

. (22) =* ()( Ts tu δ

2. Применение преобразования Лапласа к обеим частям (22) дает

, (23) * )(s su

1где ряд сходится для <−Tse )(* sus

Tse−

, а чтобы выразить в компактной фор-

ме, умножим обе части выражения (23) на и вычтем результат из (23), тогда


51

TsT es −−=Δ=

11)(s su )(* , (24)

1<−TseTs−

. где

3. Замена e на z−1 в выражении (24) даёт для 11 <−z , или 1>z

{ }

:

11

11 −=)()(

−= − z

zz

atetf −=)(

)(tf

∑∞

=

−−− =0 0k k

kakTk zez z

= tuZzu ss . (25)

Пример 4.2. Найдем Z-преобразование экспоненциальной функции , где a - действительное постоянное число.

Не рассматривая процедуру решения детально, как в примере 4.1, под-ставим в выражение (19) и получим

. (26) ∑∞

=

= )()( kTfzF

Бесконечный ряд сходится для всех значений z, которые удовлетворя-ют условию

.1<−− zaT ze

1−− ze aT

(27)

Чтобы получить выражение (21) в компактной форме, умножим обе части уравнения на и вычтем результат из этого же уравнения. По-сле преобразований получим

( ) aTaT ezz

e z −−− −=1

1zF−

=1

(28)

для 1<1−− ze aT aTez <−1 или .

4.4. Соответствие между S- и Z- плоскостями Изучение соответствия между S- и Z- плоскостями при Z-преобразовании

является весьма важным. Проектирование непрерывных систем управления часто основывается на анализе распределения нулей и полюсов передаточной


52

Tsez =

функции системы на S-плоскости. Аналогично полюсы и нули Z-преобразования передаточной функции определяют реакцию системы в моменты замыкания. В этом параграфе рассмотрим отображение на Z-плоскости заменой некоторых часто используемых на S-плоскости кривых, таких как линии по-стоянных коэффициента затухания и частоты и других.

Как показано на рис. 26, S-плоскость делится на бесконечное число периодических полос. Основная полоса расположена в диапазоне частот

2...

2ss ωω

−=ω .

Дополнительные полосы расположены в диапазонах 2

...2

3 ss ω−

ω−=ω ,

23

...2

5 ss ω−

ω−=ω и т.д. для отрицательных частот, а

23

...2

ss ωω=ω ,

25

...2

3 ss ωω=ω и т.д. для положительных частот. Если

Рис. 26. Периодическое деление S-плоскости

рассматривать только основную полосу (рис. 27а), то контур (1) – (2) – (3) – (4) – (5) – (1), расположенный в левой половине S-плоскости, отображается


53

Tsez =преобразованием в единичную окружность на Z- плоскости с цен-тром в начале координат, как показано на рис. 27б.

Рис. 27. Отображение основной полосы левой половины S- плоскости на Z-

плоскость

Так как для целых n, то все другие до-полнительные полосы в левой половине S-плоскости отображаются в тот же самый единичный круг на Z-плоскости. Все точки левой половины S-плоскости отображаются внутрь единичного круга на Z-плоскости. Точки правой половины S-плоскости отображаются в область вне единичного круга на Z-плоскости.

zeee TsnjTs == π2

Tez 1σ=

e Tjns sω+ )(

Ниже рассматривается отображение на Z-плоскость для цифровых систем линий постоянных затухания, частоты и коэффициента затухания.

Линии постоянного затухания. Для постоянного затухания σ1 на S-плоскости соответствующая кривая на Z-плоскости представляет собой ок-ружность с радиусом и с центром в начале координат (рис. 28).


54

1ω=ωЛинии постоянной частоты. Для любой фиксированной частоты

на S-плоскости существует соответствующая линия на Z-плоскости (рис. 29).

Рис. 28. Отображение на Z-плоскости линий постоянного затухания

Рис. 29. Отображение на Z-плоскости линий постоянной частоты

4.5. Ограничения метода Z-преобразования В предыдущих параграфах было показано, что метод Z-преобразования

является удобным средством анализа линейных цифровых систем. Однако методу Z-преобразования присущи ограничения, и в некоторых случаях не-обходимо проявлять осторожность при его применении и интерпретации по-лученных результатов.


При применении Z-преобразования надо учитывать следующие сооб-ражения.

1. Преобразование базируется на предположении, что квантованный сигнал представляет собой последовательности импульсов, площадь которых равна амплитуде входного сигнала квантователя в дискретные моменты вре-мени. Это предположение справедливо только в том случае, если время кван-тования намного меньше определяющей постоянной времени системы.

55

)(zC )(tc)(zC )(tc

)(zC)kT

t

)(sG

)(sG0=t

2. Результат Z-преобразования выходного сигнала линейной системы определяет значения временной функции только в моменты

квантования; не содержит информации о значениях между мо-ментами квантования. Следовательно, для заданной функции ее обрат-ное Z-преобразование описывает только в моменты квантования

. (c )(tc

kT=3. При анализе линейной системы методами Z-преобразования пере-

даточная функция непрерывной системы должна иметь полюсов, по крайней мере, на один больше, чем нулей; эквивалентным требованием явля-ется отсутствие разрыва импульсной переходной функции для при

. В противном случае процессы в системе, полученные с помощью ме-тода Z-преобразования, могут быть ошибочными.

При полном описании любой системы почти всегда требуется знать характер процессов между моментами квантования. На основе Z-преобразования разработано несколько методов, позволяющих определять значения переход-ных процессов в цифровых системах между моментами квантования. Из них наиболее известны методы модифицированного Z-преобразования и дробно-го квантования.

Пример 4.3. Найдем Z-преобразование для функции времени:

( )=tf 2210 ta+ta+a ⋅⋅ .

Функция определена для 0≥t c=T 0,10. Период дискретности . Значения

коэффициентов 410 ;=a 2 21 =a;=a . В соответствии с таблицей Z-изображений стандартных функций и

свойствами Z-преобразования имеем

( ) ( )( )

( )

.1

11 3

202

2 −z+zzTa+z

1010

−− zTa+

zza=zF

Подстановка числовых значений дает


( ) ( )( )

56

( )

.1

10,041 32 −z

+zz+z

( ){ } ( )

0,21 −− z

+z

z=zF

Пример 4.4. Найдем Z-преобразование для функции времени, изобра-

жение Лапласа которой pT+p

K=tf11

L .

Раскладываем изображение на простые дроби

( ) pT+KT

pK=

p 1

1

1 1−

T+pK

1.

В соответствии с таблицей Z-изображений стандартных функций и свойствами Z-преобразования имеем

( ) ( )( )( ) .

11

dzzzdK=

d −−1 zKz+

zKz=zF −

−−

Здесь 1

0

TT

e=d−

, а 0T – период дискретизации.


5. Устойчивость дискретных систем Дискретные системы автоматического регулирования также должны

обеспечивать устойчивость и заданную точность регулирования. При этом могут налагаться ограничения на значения отдельных параметров системы (управляющие воздействия или производные управляющих воздействий). Задача обеспечения устойчивости является важной при проектировании циф-ровых регуляторов.

Движение системы на конечном интервале времени считается устой-чивым, если на этом интервале при заданных начальных условиях и дейст-вующих возмущениях его параметры не превышают заданных ограничений – такая устойчивость называется технической устойчивостью. Если система содержит существенные нелинейности, то для устойчивости при заданных начальных условиях и действующих возмущениях необходимо, чтобы при начальной амплитуде периодической составляющей, превышающей её уста-новившееся значение, с течением времени эта амплитуда стремилась к сво-ему установившемуся значению, а параметры установившегося движения не превышали заданных ограничений.

Для анализа устойчивости линейной или линеаризованной системы используется понятие асимптотической устойчивости, при этом обычно ис-пользуются стационарные математические модели. Система является асим-птотически устойчивой, если корни характеристического полинома лежат внутри окружности единичного радиуса.

Устойчивость дискретных систем может исследоваться с помощью как некоторых известных частотных критериев, переформулированных для дис-кретных систем (Михайлова, Найквиста), так и с помощью специальных ал-гебраических критериев (Кларка и Шур-Кона). Основным недостатком при-менения последних следует считать невозможность получения при этом оце-нок качества и точности. Пользуясь ими для систем высокой размерности, проектировщик не может дать рекомендаций по выбору параметров, не толь-ко обеспечивающих запасы устойчивости, но и удовлетворяющих требовани-ям к качеству и точности процессов регулирования. Следует отметить, что на устойчивость дискретных нелинейных систем большое влияние оказывает выбор такта квантования.

57

ω

Частотные критерии устойчивости предполагают использование пере-даточных функций для описания системы регулирования и справедливы при её полной наблюдаемости и управляемости. Тогда критерий устойчиво-сти по Ляпунову аналогичен критериям Михайлова, Михайлова-Найквиста и D-разбиениям Неймарка. В применении к дискретным системам данные критерии базируются на Z-преобразовании. Положив j=s

0Tjez ω= или

, строятся частотные характеристики, по которым определяются устойчивости систем регулирования по фазам и модулям и с помощью спе-


циальных номограмм оценивают показатели качества и характеристики точ-ности. Большим преимуществом частотных критериев устойчивости является возможность их распространения и на многие типы нелинейных систем.

5.1. Устойчивость дискретных систем Перед тем как рассматривать проблему устойчивости дискретных сис-

тем, рассмотрим импульсную систему, изображенную на рис. 30.

Рис. 30. Структурная схема дискретной системы.

Для этой системы

58

),()(

)(

1

1 zRpz

zzn

ii

m

ii

∏

∏

=

=

−

−

ip iz

)()(1

)()( zRzGH

zGzC =+

= (29)

где и есть соответственно полюсы и нули передаточной функции замкнутой системы. Используя разложение на простые дроби, мы можем за-писать C(z) в виде

)(zCpzzk

Rn

n +−

+

)(zCR )(zC)(zR

...)(2

2

1

1

pzzk

pzzkzC +

−+

−= , (30)

где содержит те полюсы , которые обусловлены полюсами . Первые n членов выражения (30) определяют собственное (свобод-

ное) движение системы. Если обратное z-преобразование для этих членов с течением времени стремится к нулю, то система является устойчивой в смысле «ограниченный вход - ограниченный выход». Это понятие было вве-


дено в разделе 5.2. Обратное Z-преобразование для i-го члена (30) при t=nT имеет вид

59

.)( kii

i

i pkpzk

=⎥⎦

⎤−

1

z⎢⎣

⎡−ξ (31)

1<ip

ip

ipz

Следовательно, если , то эта составляющая стремится к нулю при

. Тогда система, для которой C(z) определяется выражением (29), будет устойчива, если абсолютное значение каждого полюса меньше еди-

ницы. Сомножители вида

∞→k

)](1[ zGH+− входят в выражение в (29). Поэтому система на рисунке имеет характеристическое уравнение:

0)(1+ zGH

Tse

= .

Система является устойчивой, если все корни характеристического уравнения расположены внутри окружности единичного радиуса на Z-плоскости. Но поскольку преобразование со звездочкой является функцией

, то корни уравнения в общем случае найти очень трудно. По аналогии с непрерывными системами характер собственного дви-

жения системы определяется значениями действительных частей корней ее характеристического уравнения, которые равны полюсам Z-передаточной функции.

Продемонстрируем это на примере САУ, которая имеет Z-функцию первого порядка. В соответствии с Z-преобразованием

11

0

1)()(

−+=

zab

zUzY

0]1[] 1

)( =zW .

Полагая U(z)=0, получим разностное уравнение, описывающее сво-бодное движение:

[ − kyaky − = ;

при нулевом начальном условии y[0]=y0 имеем


60

01

,021

01

][

]2[

,]1[

yaky

yay

yay

k=

=

=

K.

Переходный процесс соответствует устойчивой системе, если с течением времени он стремится к нулю. Это будет при 1,1 <λλ=a .

Обобщая полученный результат, можно сказать, что достаточным ус-ловием устойчивости дискретных САУ, описываемых Z-передаточными функциями произвольного порядка, являются неравенства

,,...,2,1,1 nii =<

iλ

λ

где – корни характеристического уравнения (полюсы замкнутой Z-передаточной функции).

Далее в таблице приведены данные, отражающие качественную связь переходных процессов с расположением корней в комплексной плоскости (табл. 12).

Таблица 12

Расположение полюсов Составляющие переходного плоскости z Процесса


61

Пример 5.1. Определим z-передаточную функцию и проведем анализ устойчивости замкнутой дискретной САУ частоты вращения одновального ГТД, структурная схема приведена на рис. 31. Указанные в схеме квантова-тели работают синхронно с шагом квантования Т0=0,027с; z-передаточная функция БЦВМ равна R(z)=K, где К=5.

Рис. 31. Схема САУ частоты вращения одновального ГТД

Для замкнутой дискретной САУ z-передаточная функция равна


62

975151.091556

1090,17 44

+⋅+ −−

zz

09751510 =+ .z

05809860 ,, j±=

.11005,18

)()(1)()(

)()()( 20 −

⋅=

+==

zzWpzRzWpzR

zXzXzФ

n

n .

Характеристическое уравнение имеет вид

, 97155612 − .λ

его корни . Следовательно, анализируемая дискрет-ная САУ устойчива, ее переходный процесс имеет монотонный характер. Статистический коэффициент передачи равен

21,λ

.1975151.0

1090,17 4

=+

⋅+ −

91556.111005,18)(lim

4

1 −⋅=Φ=

−

→zK

z


63

6. Метод переменных состояния 6.1. Модели в переменных состояния

Рассмотрим еще один тип математической модели дискретной САР – модель в переменных состояния. Она также имеет вид дифференциальных уравнений, но они записаны в специальной форме, как система уравнений первого порядка. Обычно модель в переменных состояния представляют в векторно-матричной форме.

Смысл модели в переменных состояния (или модели в пространстве состояний) заключается в том, что она сохраняет соотношение между входом и выходом системы (т.е. передаточную функцию), но в то же время позволяет перейти от одного дифференциального уравнения n-го порядка к системе n дифференциальных уравнений первого порядка. Преимущество такого пред-ставления в том, что кроме двух внешних переменных (входной и выходной), в модели отражаются и все внутренние переменные системы. Дополнитель-ными аргументами в пользу моделирования системы в переменных состоя-ния являются следующие.

1. Модель в переменных состояния для системы высокого порядка по-зволяет легко решать задачи анализа и синтеза с помощью цифрового ком-пьютера, тогда как использование для тех же целей передаточной функции может оказаться безуспешным из-за трудностей вычислительного характера.

2. Имея модель в переменных состояния, мы получаем больше инфор-мации об объекте управления (о его внутренних переменных); следовательно, процедура проектирования системы управления может быть выполнена более эффективно, нежели при использовании передаточной функции.

3. Почти все методы проектирования систем управления, дающие «наилучшее» решение, основаны на использовании моделей в переменных состояния. Под «наилучшей» системой мы подразумеваем такую систему, в которой минимизируется ( или максимизируется) значение некоторой функ-ции, принятой за критерий качества.

4. Если даже мы и не используем современный метод проектирования, работающий с моделью в переменных состояния (иногда это бывает нецеле-сообразно), мы все же можем достичь «наилучшего» решения путем приме-нения классических методов, описанных в главах 7 и 9.

5. При имитационном моделировании (решение дифференциальных уравнений на цифровом компьютере) система должна быть представлена в виде своей модели в переменных состояния.

6.2. Моделирование в переменных состояния Мы начнем этот раздел с примера, иллюстрирующего моделирование

систем в переменных состояния. Рассмотрим механическую систему с ли-


нейным перемещением, изображенную на рис. 32. Дифференциальное урав-нение, описывающее движение системы, имеет вид

( ) ( ) ( )2

2

tfdt

tydM =

64

( ),tKydt

tdyB −− (32)

а передаточная функция равна

( ) ( )( )sFsYsG = .1

2 KBsMs ++= (33)

Рис. 32. Механическая система с линейным перемещением

( Это выражение определяет зависимость положения )ty( )tf

от дейст-

вующей силы . Допустим, что нам нужна также информация о скорости. Тогда, используя метод переменных состояния, мы введем следующие пере-менные:

( ) ( ),1 tytx = (34)

( ) ( )( ) ( )txdt

tdxtdy1

1 ==

( )tx1

dttx2 = , (35)

(где есть положение массы, а )tx2 - ее скорость. На основании (31), (34) и (35) мы можем записать:


( ) ( ) ( ) ( )

65

( ) ( ).11 tf

Mtx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

( ) ( ),21

.txtx =

22

.2

2

2

MKtx

MBtx

dttdx

dttyd

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=== (36)

Уравнения (34), (35) и (36) представляют собой модель системы в пе-ременных состояния. Однако эта модель обычно представляется в несколько иной форме:

( ) ( )12 MBtx

MKtx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−= ( ) ( ),1

2 xfM

tx ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

( ) ( ).1 txty =

Обычно уравнения состояния записывают в векторно-матричной фор-ме, что значительно облегчает работу с ними. В этой форме предыдущие уравнения принимают вид

( )( )

( )( ) ( ),1

0

2

1 tfM

txtx

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡+⎥

⎦

⎤

( ) [ ]

10

2

1

MB

MKtx

tx⎢⎣

⎡⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡&

&

( )( )⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡=

txtx

t2

101

0tt ≥

⎭⎬⎫

+=+=

)()()()(tDutCxtButAx

y

Теперь ответим на вопрос, что же понимается под состоянием систе-мы. Состояние системы в любой момент времени t0 – это количество инфор-мации, которое вместе со всеми входными переменными однозначно опреде-ляет поведение системы при всех .

Ниже будет показано, что вектор состояния, полученный на основании дифференциальных уравнений системы, удовлетворяет этому определению.

Стандартная форма уравнений состояния линейной стационарной не-прерывной системы имеет вид

, (37) )()(

tytx&


66

)(tx& )(tx)(tx

где вектор – производная по времени от вектора . В этих уравне-

ниях – вектор состояния размерности ( )1×n

(n×

, компонентами которого являются переменные состояния системы n-го порядка; А – матрица коэффи-циентов системы ; В - матрица входа )n ( )rn× ; – вектор входа

размерности , компонентами которого являются входные переменные

системы; – вектор выхода размерности

)(tu( )1×r)(ty ( )1×p , компонентами которо-

го являются выходные переменные системы; С – матрица выхода ( )np×

.

)(

)()(

)( ; 2

1

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

ty

tyty

ty

p

M

)(tx

)(ty)(tu )(t

)(tx

)(ty

)(tu

; D – матрица обхода, определяющая прямую зависимость выхода от входа.

Все векторы (сигналы) можно представить в развернутом виде:

)(

)()(

)( ;

)(

)()(

)( ;

)(

)()(

)( 2

1

2

1

2

1

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

tu

tutu

tu

tx

txtx

tx

tx

txtx

tx

rnn

MM

&

M

&

&

&

Вернемся к уравнениям (37). Первое из них есть матричное дифферен-циальное уравнение первого порядка. Оно называется уравнением «вход-состояние», а решением его является вектор состояния . Второе уравне-ние называется уравнением «вход-состояние-выход»; смысл такого названия в том, что оно позволяет определить выход по известным вектору входа

и вектору состояния . Матрица D обычно равна нулю, т.к. в физи-ческих системах во всех каналах между входами и выходами, как правило, присутствуют динамические звенья. Если матрица D отлична от нуля, это указывает на то, что, по крайней мере, один прямой путь от входов к выхо-дам представлен обычным коэффициентом передачи.

x

Левая часть дифференциальных уравнений относительно всегда представлена только первыми производными переменных состояния, правая же часть не должна содержать никаких производных. В уравнении относи-тельно выхода также не должно быть никаких производных. Разумеет-ся, систему можно описать уравнениями, в которых эти правила не соблюда-ются, но эти уравнения уже не будут иметь стандартную форму.

Уравнения состояния (37) записаны в предположении, что у системы имеется несколько входных и выходных переменных. Такие системы приня-то называть многомерными. Если у системы имеется только один вход, то матрица В имеет вид столбца, а вектор превращается в скалярную пе-ременную. Если у системы только один выход, то вектор у(t) превращается в


скалярную переменную, а матрица С принимает вид строки. Ниже приводит-ся пример составления уравнений состояния для многомерной системы.

Пример 5.2. Рассмотрим систему, описываемую дифференциальными уравнениями:

67

,1615

23112

⎭⎬⎫

=+=ukyk

ukuyk&

1u 2u 1y 2y

.; 2312 yxyx

242

111

++++

ykyyky

&

&&&

где и — входные переменные, и — выходные переменные. Зависимость переменных от времени для удобства опущена. За переменные состояния мы можем принять выходы системы и, если понадобится, их про-изводные:

;11 yx == = &

.ukxk,ukuxk

1634

23121

+

Тогда исходную систему уравнений можно представить в виде

xkxxkx

253

122

−−=+−−=

&

& +

Окончательно уравнения принимают вид

253

122

21 ,

xkxxkx

xx

−=−=

=

&

&

&

.1634

23121 ,ukxk

ukuxk+−

++−

К ним добавляются уравнения для выходных переменных:

., 3211 xyxy ==

Эти уравнения можно записать в векторно-матричной форме:

.100001

xy ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1y 2y

12 yx &

,0

100

00010

6

3

45

12 uk

kxkk

kkx⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−=&

Представьте себе, что уравнения, приведенные в рассмотренном при-мере, представляют собой модель механической системы с линейным пере-мещением. Допустим, далее, что и - это текущее положение некото-

рых элементов системы. Тогда = есть скорость движения системы.


68

1x 3x 2x

),2()2(264.0)

−

Следовательно, все переменные состояния соответствуют реальным физиче-ским переменным системы: и - это перемещения, а - скорость. Во-обще говоря, желательно (но не обязательно), чтобы в качестве переменных состояния выступали реальные физические переменные, а сейчас мы рас-смотрим метод получения уравнений состояния непосредственно по переда-точной функции системы. В общем случае переменные состояния, получае-мые таким способом, могут не соответствовать реальным физическим пере-менным.

Понятие о моделях дискретных систем в переменных состояния мы введем на конкретном примере. Пусть дискретная система описывается раз-ностным уравнением второго порядка:

368.0)1(368.11(368.0)(

−−++−=

kykuky

kyku

)k(y

− + (38)

где u(k) — вход системы, а — ее выход. Применив к этому уравнению z -преобразование, мы получим передаточную функцию:

.368.0368.1

264.0368.0264.0368.0))

221

21

+−+=

+−+= −−

−−

zzz

zzzz

368.0368.1((zUzY

(39) 1

Этой передаточной функции можно поставить в соответствие различ-ные виды схемы моделирования, например, схема непосредственного про-граммирования цифровых фильтров [1]. Применительно к дискретным сис-темам эта структура называется канонической формой программирования цифровых фильтров.

Модель в переменных состояния для системы, описываемой уравне-нием (38), можно получить, приняв выход каждого элемента задержки в схе-ме моделирования за переменную состояния. Эти переменные обозначены через ( )11 +κx ( )kx1 ( и и )kx2

( )1 Тогда входы элементов задержки будут

соответственно равны ( )121 κx + κ + и x , а уравнения состояния запи-шутся в виде

( )11 (κ +x = )kx2

( )1+κx,

( ) ( ),368.1)(368.0 21 kukxkx =−( )

+ + 2

( ) ( )kxkxky 21 368.0264.0 += .

Эти уравнения можно представить в векторно-матричной форме:


69

( ) ( ),10)(

2

1 kukxkx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

[ ]

( )( ) 368.1 368.0

1 0 11

2

1

kxkx

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

(( ) )( ) .368.0

2

1⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡kxkx

264.0=ky

Используя стандартный вид векторов и матриц, можно также записать:

( ) ( ) ( )( ).

,kCx

kBukAx( )

1kykx

==+ +

Описанным выше способом можно построить модель дискретной сис-темы в переменных состояния, если заданы либо ее разностное уравнение, либо передаточная функция. Сначала необходимо изобразить схему модели-рования системы. Затем выход каждого элемента задержки принять за пере-менную состояния. И, наконец, составить уравнения для входов каждого элемента задержки и для каждого из выходов системы в зависимости от вы-ходов элементов задержки и входов системы.

Общий вид уравнений состояния для многомерной линейной дискрет-ной системы с постоянными параметрами выглядит как

),()(),()(

kDukCxkBukAx

+)()1(

kykx

==+ +

(40)

( )1где вектор состояния имеет размерность )(kx ×n( ×r ( )1×p

, вектор входа

- размерность , а вектор выхода - размерность . Следовательно, матрица коэффициентов системы А, матрица входа В и мат-рица выхода С имеют размерности соответственно

)1)(ku )(ky

( )nn× , и

. Матрица D, характеризующая непосредственную связь между вхо-

дом и выходом системы, имеет размерность

( )rn×( np× )

( )rp× .

Модель системы в виде (40) является линейной и стационарной. Если матрицы в этих уравнениях зависят от k, то система является линейной, но нестационарной. Для такой линейной дискретной системы с переменными параметрами модель в переменных состояния имеет вид


70

).()()),()()()

kukDkkukBkx

+()()(()1(xkCkykAkx

=+=+

(41)

6.3. Решение уравнений состояния Группа разностных уравнений первого порядка, описывающих модель

в переменных состояния для линейной стационарной дискретной системы, имеет вид

)1(kx )()( kBukAx=+ + . (42)

Считая, что и известны, можно вычислить (42) для , затем для , затем для

)0(x )(ku 0=k1 2k = =k

)2()]1(

)1(

=+

=

BuBu

.)(1

0

1∑−

=

−−+n

k

kn kBuA

).(...)),..(...) 1

kubkkub

rnr

rr

++

и т.д.:

).1()2(...)1()0()0()(

),..2()1()0()0()0()0([)2()2()3(

),1()0()0()]0()0([)1()1()2(

),0()0()1(

2

1

23

2

2

−+−+++

++=

+++=

++=+=

++=

++=+=+=

−

−

nBunABuBuABuAxAnx

BuABuBuAxAABuxAABuAxx

BuABuxABuBuAxABuAxx

BuAxx

n

nn

Следовательно, решение уравнений (42) можно выразить в общем виде:

)0()( = n xAnx

Общее решение уравнений (42) можно получить также с использова-нием преобразования, для этого представим (42) в развернутом виде:

()(...)()1(()(...)()1(

1111

11111111

ubkxakxakxkubkxakxakx

nnnnnn

nn

+++=+++++=+ +


7. Расчет цифрового ПИД-регулятора ПИД-регулятором называется регулятор, состоящий из параллельно

соединенных интегратора, дифференциатора и усилителя, параметры кото-рых можно менять в зависимости от реализуемого закона регулирования. Если е(t) и m(t) есть, соответственно, входной и выходной сигналы ПИД-регулятора, то он описывается следующим уравнением:

71

.)()( +dt

tdeKdtte D

)(te Tkt )1(

)()( ∫+= KteKtm Ip (43)

Синтез регулятора заключается в определении коэффициентов Кp, КI и КD. Цифровые ПИД-регуляторы также описываются уравнением (43), с той лишь разницей, что операции умножения, интегрирования и дифференциро-вания выполняются численно с помощью компьютера. Если численное ин-тегрирование и дифференцирование производится с высокой точностью, то характеристики систем с аналоговым регулятором и с цифровым регулято-ром очень мало будут отличаться друг от друга. Ниже мы рассмотрим неко-торые методы численного интегрирования и дифференцирования.

Из множества методов численного интегрирования мы рассмотрим только простейший так называемый метод Эйлера, или правило прямоуголь-ников. Площадь каждого сегмента под кривой е(t) аппроксимируется площа-дью заштрихованного прямоугольника. Если m(t) должно быть равно инте-гралу от , то значение интеграла в момент += равно его зна-чению при плюс площадь под кривой в интервале между и

. Таким образом, по правилу Эйлера kTt = (te kT

Tk )1( +

])1[() TkTekT

)

(])1[( mTkm +=+ + . (44)

Применив к этому разностному уравнению z-преобразование, получим

)()]0()([ zMmzMz )]0()([ ezETz+=− − . (45)

Полагая начальные условия нулевыми, можно описать данный инте-гратор с помощью передаточной функции:

)(1

)( zEzTzzM−

= . (46)


Другим методам численного интегрирования соответствуют иные вы-ражения для передаточной функции [2].

72

Tkt )1(Выполним численное дифференцирование. Здесь предполагается, что

значение производной в момент )(te = + определяется наклоном прямой линии, проведенной через точки и (e )kT ])1[( Tke + . Таким обра-зом, процедура численного дифференцирования описывается разностным уравнением

TkTeTk )(])1[(eTkm ])1[( +

=+−

.

Применив к этому уравнению Z-преобразование, получим

)(1)( zETz

zzM −=

pK 1K DK

)(zD

,

откуда видно, что передаточная функция обратна соответствующей переда-точной функции интегратора, реализующего алгоритм Эйлера. Можно пока-зать, что выражения, обратные передаточным функциям иных методов чис-ленного интегрирования, будут соответствовать различным методам числен-ного дифференцирования.

Существуют два подхода к синтезу цифрового ПИД-регулятора. В од-ном случае период квантования Т, являющийся одновременно шагом числен-ного интегрирования и дифференцирования, может быть выбран настолько малым, что все операции будут выполняться с очень высокой точностью. Тогда для определения , и можно воспользоваться процедурами применительно к аналоговым регуляторам.

Другой подход предполагает, что для образования передаточной функции регулятора используются передаточные функции операций численного интегрирования и дифференцирования:

` 1

)()()( 1

zTKKzEzDzM z

p⎢⎣⎡

−+== )()1( zE

TzzK D

⎥⎦⎤−

+ . (47)

Передаточную функцию регулятора можно записать в зависимости от переменной w, и тогда для определения коэффициентов Кp, КI и КD могут быть применены частотные методы, разработанные в главе 9 для непрерыв-ных систем. Данная процедура применяется в тех случаях, когда период квантования Т достаточно велик и численное интегрирование и дифференци-рование выполняются с большими погрешностями.


Напомним, что существует множество алгоритмов численного интег-рирования и дифференцирования. Поэтому уравнение (47) не является един-ственным для цифрового ПИД-регулятора. Однако в большинстве промыш-ленных ПИД-регуляторов реализуется именно уравнение (47).

Мы будем считать, что период квантования Т выбран достаточно ма-лым, так что численное интегрирование и дифференцирование выполняются с высокой точностью.

Независимо от выбранного метода синтеза, мы будем считать, что ПИД-регулятор дает в итоге:

73

TkekeD )]()1([KkmKkeKkm iIp )1()1()1( +

++++=+−

,

где

)1( )1()(=+ + kTekmkmi + .


74

8. Практикум Ниже приведены типовые задачи по данному курсу, предназначенные

для закрепления пройденного материала. При решении задач следует также обращать внимание на примеры, приведенные в тексте пособия. Помимо вы-числительных задач здесь приведены также качественные задачи.

8.1. АЦП и ЦАП. Оценка погрешности, подбор АЦП и ЦАП Задача 1.

Можно ли с помощью 10-разрядного АЦП осуществлять преобразова-ние с относительной погрешностью не более 0.005? 0.0005?

Решение: 10-разрядное АЦП делит диапазон измеряемых напряжений на 1024

равных промежутка, поэтому относительная погрешность преобразования напряжения составляет 1/210=1/1024, что приблизительно равно 0.001.

0.001<0.005; в данном случае погрешность, вносимая АЦП, меньше погрешности, которую нужно обеспечить, следовательно такое преобразова-ние возможно.

0.001>0.0005; здесь погрешность, вносимая АЦП, больше требуемой, таким образом, заданную погрешность обеспечить нельзя.

Задача 2.

Датчик давления с пределами измерения от 0 до 5 кГ/см2 измеряет давление в трубе, к которой подключен компрессор, создающий пульсации давления с минимальным значением 3.5 кГ/см2 и максимальным 3.7 кГ/см2. АЦП какой разрядности достаточно, чтобы оценить значение дав-ления в трубе без влияния погрешности АЦП? АЦП какой разрядности дос-таточно, чтобы измерить пульсации с погрешностью 0.005 относительно раз-маха пульсаций?

Задача 3.

Датчик давления с пределами измерения от 0 до 5 кГ/см2 измеряет давление в трубе, к которой подключен компрессор, создающий пульсации давления с минимальным значением 3.5 кГ/см2 и максимальным 3.7 кГ/см2. С какой частотой нужно осуществлять дискретизацию сигнала, чтобы пульсации на 10-разрядном АЦП воспроизводить с относительной по-грешностью 0.0003 процента?

Задача 4.

Оценить погрешность системы автоматического регулирования, если АЦП системы имеет разрядность 10, ЦАП системы имеет разрядность 8, а внутри системы сигнал с АЦП используется с общим коэффициентом 0.7?


8.2. Разностные уравнения

Задача 5. Даны три уравнения: y(i)=y(i+1)−0.5x(i); y(i)=20x(i+1)−15.5x(i);

x(i)=0.2x(i+20)+0.2y(i+20). Решения каких из этих уравнений будут иметь не-нулевые значения на двадцатом временном отсчете и почему?

Решение: Во-первых, если дана система, описываемая рекурсивным разностным

уравнением (с бесконечной импульсной характеристикой – БИХ), то, естест-венно, на двадцатом отсчете у нее будет ненулевое значение, вероятность нулевого значения ничтожно мала. Таким уравнением является первое в спи-ске, так как в таких уравнениях искомая функция (реакция системы) упоми-нается несколько раз с разными смещениями.

Во-вторых, если уравнение трансверсальное и описывает систему с конечной импульсной характеристикой (КИХ), то в этом уравнении должно быть слагаемое, которое содержит функцию, аргумент которой смещен влево на 20 отсчетов, таким уравнением является третье в списке уравнение.

Второе уравнение трансверсальное, но отсчета со смещением равным 20 не содержит, так что двадцатый отсчет частного решения уравнения будет нулевым.

Ответ: первое и третье уравнения.

Задача 6. Каким разностным уравнением можно описать дискретную модель ли-

нии задержки (устройство на выходе повторяет входной сигнал с задержкой на некоторое время)? Рекурсивным, или трансверсальным? Почему? Можно ли описать рекурсивным разностным уравнением дискретную модель изме-нения частоты оборотов ГТД от изменения расхода горючего? Почему?

Задача 7.

Получить общее решение разностного уравнения y(i)=x(i)−0.2y(i−2); x(i)=sin(πfi/10). Задача 8.

Получить частное решение разностного уравнения y(i)=x(i)−0.2y(i−1); x(i)=2, если i≥0, x(i)=0, если i<0. Начальные условия нулевые.

8.3. Z-преобразование, техника Задача 9.

Дано Z-преобразование дискретной функции времени

75

5.05,12 +−=

zzz)(zF . Найти исходную решетчатую функцию времени

разложением на простые дроби.


76

05,05,12 =+− zzРешение: Находим корни уравнения . Значение корней z1=1

и z2=0,5. Далее представляем F(z) в виде суммы простых дробей

).5,01

(2−

−− z

zz

z

0Ted α−=

)5,01(2)2nnz −=

)5,0)(1()( =

−−=

zzzzF

Первое слагаемое в правой части уравнения соответствует оригиналу 1(nT0), а второе – , причем . Поэтому можно записать для оригинала:

0nTe α−

. (2)(1[2)( 1000 nnT zenTnTf −=−= α−

Задача 10.

То же, что и в № 9, но знаменатель Z-преобразования z2 + 0.04 (корни комплексно-сопряженные).

Задача 11.

То же, что и в № 9, для знаменателя z2 + 1.2z + 0.35 (корни отрица-тельные). Задача 12.

То же, что и в № 9, для знаменателя z2 – 1 (граница устойчивости).

8.4. Оценка устойчивости ДС с помощью Z-преобразования

Задача 13. Оценить устойчивость системы, описываемой разностным уравнением

y(i)=−2.85714x(i+1)−2.85714y(i+2)+3.42857y(i+1) с помощью Z-преобразования. Задача 14. Оценить устойчивость системы, описываемой разностным уравнением

y(i)=−2.85714x(i−1)−2.85714y(i−2)+3.42857y(i−1) с помощью Z-преобразования. Задача 15.


77

Оценить устойчивость системы, описываемой разностным уравнением

1.05y(i)=x(i)−y(i+2)+2.2y(i+1) с помощью Z-преобразования. Задача 16. Оценить устойчивость системы, описываемой разностным уравнением

1.05y(i)=x(i)−y(i−2)+2.2y(i−1) с помощью Z-преобразования.


78

Библиографический список 1. Черкасов, В. А. Автоматика и регулирование воздушно-

реактивных двигателей: учебник для вузов, 3-е изд., перераб. и доп. / В. А. Черкасов – М.: Машиностроение, 1988.-360с.:ил.

2. Куо, Б. Теория и проектирование цифровых систем управления: пер. с англ. / Б. Куо – М.: Машиностроение, 1986. – 446с.:ил.

3. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления – 4-е изд., перераб. и доп. / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. – СПб.: Изд-во «Про-фессия», 2003. – 752с. – (серия «Специалист»).

4. Филипс, Ч. Системы управления с обратной связью. / Ч. Филипс, Р. Харбор – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.-616с.:ил.

5. Сиберт, У.М. Цепи, сигналы, системы. В 2 ч. Ч.1: пер. с англ. / У.М. Сиберт – М.: Мир, 1988.-336с.:ил.

6. Топчеев, Ю.И. Задачник по теории автоматического регулирова-ния: учеб. пособие / Ю.И. Топчеев, А.П. Цыплаков. – М.: Машиностроение, 1977. – 592с.:ил.


79

Учебное издание

Гаспаров Маркар Сергеевич, Игонин Андрей Александрович, Крючков Александр Николаевич

Управление в технических системах: основы цифрового управления

Учебное пособие Редакторская обработка Т. К. Кретинина

Подписано в печать _______ г. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать офсетная.

Печ. л. 5,0. Тираж 120 экз. Заказ ИП-

Самарский государственный аэрокосмический университет.

Самара 443086, Московское шоссе, 34.

Изд-во Самарского государственного аэрокосмического университета.

Самара 443086, Московское шоссе, 34.


80


533.управление в технических системах основы цифровых...

Documents

Transcript of 533.управление в технических системах основы цифровых...