SWorld – 18-27 December 2012 http://www.sworld.com.ua/index.php/ru/conference/the-content-of-conferences/archives-of-individual-conferences/december-2012 MODERN PROBLEMS AND WAYS OF THEIR SOLUTION IN SCIENCE, TRANSPORT, PRODUCTION AND EDUCATION‘ 2012

УДК 519.863

Гафарова Р.Р., Канева О.Н.

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ ФИНАНСОВОГО

ПЛАНИРОВАНИЯ

Омский государственный технический университет,

Омск, пр-т Мира 11, 644050

UDC 519.863

Gafarova R.R., Kaneva О. N.

STOCHASTIC MODEL OF THE PROBLEM OF FINANCIAL PLANNING

Omsk State Technical University,

Omsk, pr. Mira 11, 644050

Для стохастической модели задачи финансового планирования в условиях

неопределенности, предложенной А. Успуриен и Л. Сакалаускаса, разработан

метод расчета градиента целевой функции, который успешно применен на

практике. Алгоритм решения реализован в пакете MatLab.

Ключевые слова: финансовое планирование, задача стохастического

программирования, двухэтапная задача, стохастический квазиградиент.

For a stochastic model of the problem of financial planning under uncertainty

proposed by A. Uspurien and L. Sakalauskas, developed a method of calculating the

gradient of the objective function, which has been successfully applied in practice.

Solution algorithm is implemented in the package MatLab.

Keywords: financial planning, the problem of stochastic programming, two-

stage problem, stochastic kvazigradient.

Введение

В рамках исследования методов краткосрочного финансового

планирования и их применимости в российской экономике [1], при изучении

моделей зарубежных специалистов была выбрана для анализа двухэтапная

модель стохастического программирования, предложенная Анной Успуриен и

Леонидасом Сакалаускасом [2].

В модели рассматривается ситуация финансового планирования

деятельности фирмы, когда решение должно быть принято в начале двух

плановых периодов (например, инвестиционный план для финансового года,

который анализируется и корректируется после первой половины года).

1. Стохастическая модель задачи финансового планирования в

условиях неопределенности

Переменная xit – обозначает величину денежной суммы, полученной из

источника i в периоде t, при t=1,2 [2].

Используются следующие финансовые альтернативы: кредитная линия x1t,

факторинг x2t, растягивание кредиторской задолженности x3t, ссуда в банке x4t,

инвестиции x5t.

Другие используемые в модели обозначения: ARj – дебиторская

задолженность; APj – кредиторская задолженность; LR – резерв ликвидности; L1

– вклад в резерв ликвидности из предоставленных кредитных линий; −+jj xx 66 , -

дефицит и профицит соответственно; r12, r12 - процентные ставки для взятых и

не взятых частей кредита; r2 - процентная ставка для залога по дебиторской

задолженности; r3 - процентная ставка для отложенных выплат по кредиту; r4 -

процентная ставка для банковской ссуды; r5 – процентная ставка для

инвестиций; rv – норма наличности, которая может быть инвестирована; β1 –

верхняя граница допустимой суммы кредитной линии; β3 – верхняя граница

задолженностей по выплатам; β4a, β4v – верхняя и нижняя граница для

банковской ссуды; β41 , β42 – верхняя граница для ограничений на финансовые

комбинации.

Ограничения первого этапа имеют вид:

.,,,8.0,,9.0,,7.0

,,

15144

051031

42421021

41411021

441111

LRLxxrvARxAPx

xxARxxxARx

xLx

a

v

≥+≥⋅≤⋅≤

≤+⋅≥≤+⋅≥

≤≤+

β

ββ

ββ

(1)

Ограничения второго этапа имеют вид:

,.,8.0

,,9.0,,7.0

,,0

33231

15251032

052022

4242221022

4141211112

β

ββ

≤+≤++⋅≤

⋅≤⋅≥≤++⋅≥≤++≤+

xxLRLxxAPx

rvARxARxxxxARx

xxxLx

(2)

Начальный баланс вычисляется перед первым этапом и включает в себя

доходы и расходы по используемым финансовым альтернативам. Он имеет

следующий вид:

.][ 06066060514312111 APxrxxxxxxx =⋅−−+−+++ −+− (3)

Баланс первого этапа вычисляется после первого этапа с учетом всех

доходов, расходов, обязательств и имеет вид:

.])2(

[

1616515443130212

11111126161606052322212

APxrxrxrxrARxrLrxrxxxxxxxx

=⋅+⋅−⋅+⋅+−⋅+

+⋅+⋅−−++−−++−

+−+−

(4)

Баланс второго этапа имеет вид:

.])()()2(

)()2()2()()([

22

627626525154432313122544

323131222021212111121112

626261615251432312212101211

ARAPxrxrxxrxrxxrARxrxr

xxrARxrARxrxLrxxrxxxxxxxxxxARxARxx

−==⋅+⋅++⋅−⋅++⋅+−⋅⋅−⋅+

++⋅+−⋅⋅+−⋅+−⋅++⋅−−+−+++−−−−+−+−−

+−

+−−+

(5)

Целью фирмы является минимизация в краткосрочной перспективе

финансовых затрат по финансовым альтернативам. Минимизируемая целевая

функция имеет следующий вид:

.min)(

)()2()2()()()2()(

6276265251544

323131222021212111121112

6165154431302121111112606

→⋅+⋅++⋅−⋅+

++⋅+−⋅⋅+−⋅⋅+−⋅++⋅++⋅+⋅−⋅+⋅+−⋅⋅+⋅+⋅+⋅=

+−

−−

xrxrxxrxrxxrARxrARxrxLrxxrxrxrxrxrARxrLrxrxrxF

(6)

Данная модель описывает случай, при котором факторинг применяется как

на первом, так и на втором этапе планирования. Аналогичным образом могут

быть получены другие модели с применением прочих финансовых альтернатив

на различных этапах планирования.

2. Алгоритм решения стохастической задачи

В [2] авторами двухэтапной модели математического программирования

для решения задачи финансового планирования был предложен подход,

основанный на использовании метода Монте-Карло. На рисунке 1 представлена

схема алгоритма решения двухэтапной задачи стохастического

программирования. В статье не конкретизируют процесс решения задачи

оптимизации, отчего поиск решения на отдельных этапах предлагаемого

алгоритма (поиск начального детерминированного решения, расчет значения

вектора градиента) становится проблематичным. В связи с этим предлагаемый

алгоритм был доработан и проведен ряд экспериментов с помощью средств

Optimization Toolbox среды MatLab 7.0.

Рис. 1. Схема алгоритма решения двухэтапной задачи стохастического

программирования

Начало

Решение детерминиро-

ванной задачи и получение x0

Решение пары задач ЛП для xt и xt+∆ - получение

yj(xt,hj) и yj(xt+∆,hj)

Генерация случайной выборки объема N:

Njmdh jj ,1, =+⋅= ξ

Расчет оценки целевой функции:

∑=

=N

j

jhxfN

xF1

~),(1)(

j = 1, N

Расчет дисперсии выборки:

∑=

−=N

j

j xFhxfN

xD1

2~~

2 .))(),((1)(

Вычисление производной целевой функции:

∆−∆+

=),(),('

jtx

jtx

jhxyhxy

y

Вычисление градиента

целевой функции: ,(),( ' hxyqchxg jt

jjt ⋅+=

Вычисление стохастического квазиградиента:

∑=

=N

j

jt hxgN

xG1

~),(1)(

Вычисление очередного приближения:

),(~ ~1 tttt xGxx ⋅−=+ ρ

Проектирование полученного

приближения xt на ОДР

Конец

Попадает ли 1~ +tx в ОДР

Подбор характеристик случайных величин;

задание шагового множителя ρ и ∆

Определение объема выборки N

Удовлетворяет ли 1~ +tx условиям

оптимальности

1

1

Да

Да

Нет

Нет

Изучаемая модель позволяет использовать различные целевые функции.

Выше, рассмотрена целевая функция для случая, когда факторинг применяется

и в первом, и во втором плановом периоде (назовем эту модель условно FDD).

Однако так же может быть рассмотрен вариант, когда в первом плановом

периоде используются кредитная линия и факторинг, а во втором периоде –

факторинг (модель TDD). Для тестирования двух вариантов моделей – FDD и

TDD были использованы три набора исходных данных из [2], представленные в

таблицах 1-3 ниже.

Таблица 1

Процентные ставки по финансовым альтернативам

r11 r12 r2 r3 r4 r5 r6 r7 rv 0.01 0.09 0.08 0.12 0.10 0.06 0.22 0.02 0.80

Таблица 2

Резерв ликвидности и лимиты предоставляемых сумм

Набор

данных LR β1 β3 β4a β4v β41 β42

I 200 1500 2500 500 3000 4200 3500

II 700 1500 2500 500 3000 4200 3500

III 1200 1000 2000 500 2500 3000 3200

Таблица 3

Данные по дебиторской и кредиторской задолженности

Набор

данных AR0 AR1 AR2 AP0 AP1 AP2 dAR1 dAR2 dAP1 AR0

I 1085 758 2046 2048 5042 3047 100 100 100 100

II 543 2890 1597 3548 7531 2384 120 140 150 110

III 1835 1254 1085 3729 7989 2753 115 120 135 105

В решаемой двухэтапной задаче случайными величинами являются такие

параметры модели, как дебиторская задолженность ARj и кредиторская

задолженность APj. В таблице заданы математические ожидания для данных

величин с индексами 1 и 2. Значения AR0 и AP0 используются на первом этапе

решения задачи и являются детерминированными. Также в таблице заданы

значения дисперсий dARj и dAPj для указанных параметров.

Ниже в таблице 4 приведены результаты работы модели FDD для трех

наборов исходных данных. Следует отметить, что при выполнении

оптимизационного процесса был использован начальный объем выборки

случайной величины в размере 1500, как рекомендуемый авторами.

Впоследствии объем выборки брался обратно пропорциональным квадрату

нормы оценки градиента.

Таблица 4

Результаты работы первого и второго этапа модели FDD

ПЕРВЫЙ ЭТАП

Набор

данных x11 x21 x31 x4 x51 L1 −

60x +60x

I 223.47 795.53 154.71 875.79 0.00 199.99 1.15 0.00

II 568.88 435.43 1024.31 1519.40 0.00 700.00 0.00 0.00

III 0.00 1414 1361.21 1153.55 200.00 989.78 0.00 0.00

ВТОРОЙ ЭТАП

Набор

данных x12 x22 x32 x52 −

61x +61x −

62x +62x

I 200.21 703.11 2345.32 0.00 2547.50 0.00 8595.40 0.00

II 700.00 1545.00 1476.00 0.00 5536.10 0.00 13061.00 0.00

III 899.90 1404.00 1052.00 28.00 9195.15 1835 19435.00 4048

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

Набор

данных

Начальное значение

целевой функции

Конечное значение

целевой функции

Количество итераций

I 3178.3 3132.5± 38.8 500

II 4798.2 4571.6± 46.2 500

III 6981.3 6800.8± 28.5 500

На рисунке 2 представлен график изменения значений целевой функции

при выполнении процесса оптимизации для модели FDD. По данному графику

можно отследить убывание значения целевой функции, которое также зависит

от выбора шагового множителя при переходе в новую точку после подсчета

оценки градиента. В таблице 5 приведены результаты работы модели TDD для

трех наборов исходных данных.

Рис. 2. График изменения значений целевой функции для модели FDD

Сравнив результаты работы моделей на трех наборах исходных данных, а

именно – значения целевых функций – можно сделать вывод, что наиболее

выгодный вариант предлагается моделью TDD с наименьшим значением

целевой функции на всех трех наборах данных.

Заключение

Из результатов экспериментов следует, что модель позволяет производить

сравнение различных финансовых решений, использующих доступные

финансовые альтернативы. Модель решает задачу финансирования и

инвестирования, учитывает стохастическую природу экономических

показателей, т.е. представляет собой мощное средство поиска оптимального

плана, учитывающее важные особенности экономических процессов. Модель

может быть адаптирована для российской экономики за счет изучение

процессов растягивания кредиторской и дебиторской задолженности. Это

позволит выбрать необходимые значения математического ожидания и

дисперсии для параметров dARj и dAPj и использовать модель на практике.

Таблица 5

Результаты работы первого и второго этапа модели TDD

ПЕРВЫЙ ЭТАП

Набор

данных x11 x21 x31 x4 x51 L1 −

60x +60x

I 975.12 524.88 759.50 1001.45 2611.92 0.00 0.00 0.00

II 800.00 700 380.10 0.50 2367.40 0.00 0.00 0.00

III 0.00 1000 1284.50 794.91 1912.59 200 0.00 0.00

ВТОРОЙ ЭТАП

Набор

данных x12 x22 x32 x52 −

61x +61x −

62x +62x

I 198.12 601.43 1265.5 0.00 122.42 0.00 0.00 659.93

II 0.00 2100 1301 0.00 5645.00 0.00 12985.14 0.00

III 0.00 989.01 314.12 0.00 9128.34 0.00 16765.12 0.00

ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ

Набор

данных

Начальное значение

целевой функции

Конечное значение

целевой функции

Количество итераций

I 1485.46 1178.11± 10.10 500

II 5594.54 5301.33± 35.20 400

III 6917.27 6354.12± 41.32 251

Литература:

1. Гафарова Р.Р., Канева О.Н. Линейная модель краткосрочного

финансового планирования // Сб. науч. тр. SWorld. Материалы междунар.

науч.-практ. конф. «Современные проблемы и пути их решения в науке,

транспорте, производстве и образовании '2011». – Выпуск 4. Том 11. – Одесса:

Черноморье, 2011. − С. 9-14.

2. Ana Ušpurien1, Leonidas Sakalauskas. Two-stage continuous stochastic

programming model for financial planning // Business and Management. – 2010. – С.

263-269

References:

1. Gafarova R.R., Kaneva О. N. The linear model of short-term financial

planning // Proceedings SWorld. International scientific-practical conference

«Modern Problems and ways of their solutions in science, transport, production and

education '2011». - Issue 4. Volume 11. - Odessa: Black Sea, 2011. P. 9-14.

2. Ana Ušpurien1, Leonidas Sakalauskas. Two-stage continuous stochastic

programming model for financial planning // Business and Management. – 2010. –

P. 263-269.