5. Stručný prehľad dejín logiky
Transcript of 5. Stručný prehľad dejín logiky
65
5. Stručný prehľad dejín logiky
5.1 Antická logika
Vývoj logiky trvá už približne 2500 rokov a jeho korene siahajú až do starovekého
Grécka, o čom svedčí aj pôvod slova „logika“ – z gréckeho „logos“ znamenajúceho
v najširšom význame slovo, reč, výpoveď, počet a pod. Vo formálnejších významových
odtieňoch však tento výraz môže označovať aj definíciu, dôkaz, argument, príčinu, dôvod
atď.62
V rámci dejín logiky sa najčastejšie rozlišujú štyri obdobia, medzi ktoré patria obdobie
antickej logiky, obdobie stredovekej logiky, obdobie novovekej logiky a obdobie
modernej resp. súčasnej logiky. V tejto kapitole sa budeme osobitne zaoberať spomínanými
obdobiami a pokúsime sa v stručnosti charakterizovať najdôležitejšie momenty, ktoré sa
v konkrétnych obdobiach v rámci logického skúmania objavili.
Logika sa prvýkrát vo svojej formálnej podobe objavuje v starovekom Grécku
(približne 5. stor. pr. Kr.) ako reakcia na argumentačnú prax sofistov, ktorá sa týkala
predovšetkým vyučovania rétoriky, písania súdnych rečí a pod. Išlo o snahu hľadania riešení
jazykových paradoxov, ktoré sofisti vo svojej argumentácii často účelne využívali. Jedným
z najznámejších paradoxov je tzv. paradox klamára, ktorého autorstvo býva pripisované
predstaviteľovi tzv. megarskej sókratovskej školy - Eubúlidovi z Milétu63
(4. stor. pr. Kr.).
Poznáme viacero zachovaných verzií tohto paradoxu a logici sa mu venujú až dodnes.64
Tento paradox spočíva v ťažkosti vyriešenia problému, či ten, kto vyslovuje tvrdenie
„Klamem“, vyslovuje pravdivé, alebo nepravdivé tvrdenie.
Paradox klamára však nebol prvým dôležitým paradoxom, ktorému antickí myslitelia
venovali značnú pozornosť. Už približne v šesťdesiatych rokoch 5. stor. pr. Kr. Zénón
z Eley (490 – 430 pr. Kr.) formuloval svoje apórie65
, pri ktorých je možné preukázateľne
identifikovať používanie dôkazu sporom (Sochor 2011, 299) a niektorých zákonov známych
aj v modernej logike (napr. pravidlo hypotetického sylogizmu). Medzi tieto apórie patria
apórie proti uznávaniu pohybu, mnohosti, priestoru a vnímania (Dragúň 1999, 8-11).
Objavujú sa v nich známe argumenty o Achillovi a korytnačke, letiacom šípe atď. Hľadaním
odpovede na tieto otázky sa mohol zaoberať pravdepodobne už Sókratés (približne 469 –
399 pr. Kr.), ak skutočne vzniesol požiadavku definície toho, čím nejaká vec je, resp.
definície jej pojmu. Jeho žiak Platón (427 – 347 pr. Kr.) sa síce logike nevenoval účelovo
a systematicky, ale v reakcii na dobové diskusie týkajúce sa problému definície ho však
zaujímala predovšetkým pravdivosť a platnosť vyplývania. V jeho dialógoch sa dokonca
objavuje aj odvodzovacie pravidlo modus tollens a tiež tzv. princíp typu (Sochor 2011, 299).
Niet pochýb, že o rozvoj logiky sa v istej miere pričinili aj spomínaní predstavitelia
sofistiky, ale o najvýraznejší prínos a systematizáciu logiky sa zaslúžil práve Platónov žiak
Aristotelés zo Stageiry (384 – 322 pr. Kr.), ktorý býva zvyčajne považovaný za jej
zakladateľa. Keďže je logika rozvíjaná Aristotelom veľmi bohatá a predurčuje istú podobu 62
Por.: Panczová, H. (2012): Grécko-slovenský slovník (od Homéra po kresťanských autorov). Bratislava:
Lingea, s. 779. 63
Okrem paradoxu klamára je Eubúlidovi pripisované aj autorstvo iných paradoxov, konkrétne paradoxu
skrytého, Elektry, zahaleného, hromady (známy aj pod označením „sorites“, z gréckeho „soros“ označujúceho
kopu či hromadu), rohatého a holohlavého. Por.: Kurzová, H. ed. (2007): Megarikové: zlomky. Praha:
OIKOYMENH, s. 258-260. 64
Stoický logik Chrýsippos zo Soloi o tomto paradoxe napísal údajne až 29 kníh (Gahér 1998, 23). Okrem neho
môžeme spomenúť i Aristotelovho žiaka Theofrasta, ktorý sa ním tiež preukázateľne zaoberal. 65
Z gréckeho „aporía“ znamenajúceho ťažkosť či bezradnosť, spájajúce sa aj s problematickými filozofickými
otázkami. Por.: Svoboda, L. ed. (1973): Encyklopedie Antiky. Praha: Academia, s. 61.
66
súčasnej formálnej logiky (hlavne predikátovej logiky), osobitne sme sa jej venovali už
v druhej kapitole.
67
5.2 Megarsko-stoická škola
Súčasne s Aristotelovým skúmaním sylogizmov sa megarsko-stoická škola začína
venovať podrobnému skúmaniu výrokov (Sochor 2011, 301). Medzi záujmy zakladajúcich
predstaviteľov tejto školy patrilo už od konca 5. stor. pr. Kr. skúmanie persuazívneho
používania jazyka,66
paradoxov, apórií a argumentačných techník, pri ktorých najviac
využívali reductio ad absurdum67
protivníkových tvrdení a údajne napádali závery jeho
úsudkov odhliadajúc od pravdivosti premís (Vandyshev, Słomski 2011, 13-14).
Zakladateľom tejto školy bol pravdepodobne Sókratov žiak a učiteľ spomínaného Eubúlida –
Eukleidés z Megary (približne 400 až 360 pr. Kr.). Na rozdiel od Aristotela a jeho žiakov
táto škola chápala výroky vyskytujúce sa v sylogizmoch ako potenciálne zložené z iných
výrokov (Sousedík 2008, 66). Megarsko-stoickej škole sa pripisuje aj problematizácia úlohy
logických spojok, hlavne spojok spájajúcich v úsudkoch celé výroky. Výroky v rámci
takýchto argumentov bolo potom možné vo všetkých ich výskytoch voľne nahradiť bez toho,
aby sa zmenila logická platnosť celého úsudku. Megarsko-stoická škola sa teda obišla bez
Aristotelovej teórie usudzovania rozlišujúcej všeobecné a čiastočné tvrdenia, v ktorých môžu
v úlohe premennej vystupovať všeobecné termíny, dnes označované za predikáty. Určujúcou
pre nich nebola vnútorná štruktúra jednoduchých výrokov a za stavebnú jednotku sylogizmu
nepovažovali pojem, ale celý výrok. Výsledná forma sylogizmu potom závisela od spôsobu
spojenia viet pomocou výrokových spojok a výsledný druh sylogizmu sa nazýval
hypotetickým. Príkladom tohto druhu hypotetického sylogizmu je:
Ak je deň, tak slnko svieti.
Je deň.
Slnko svieti.
Tento druh sylogizmu sa skladá z dvoch premís a záveru, pričom prvou premisou je
nejednoduchý výrok (teda výrok zložený), pretože sa skladá z dvoch jednoduchých výrokov -
„Je deň“ a „Slnko svieti“. Platnosť celého sylogizmu závisí na spôsobe spojenia týchto
výrokov pomocou spojok. Forma prvej premisy je v príklade určená spojkou „ak..., tak---“.
Funkciu rozlišovania kvantity a kvality súdov aristotelovského kategorického sylogizmu
zastávajú v hypotetickom sylogizme vzájomné vzťahy medzi jednotlivými výrokmi (Tamže,
66 -67).
Časť megarsko-stoickej školy (približne z obdobia 4.-3. storočia pr. Kr.) bola
označovaná aj ako dialektická škola (Svoboda 2008, 28). Mladší megarici Diodóros Kronos
(zomrel 307 pr. Kr.) a Filón z Megary (okolo r. 300 pr. K.), ktorý bol Diodórovým žiakom a
priateľom Zénóna z Kitia, vypracovali prostredníctvom analýzy implikácie základy antickej
výrokovej logiky, pričom zastávali navzájom odlišné chápanie vzťahu vyplývania medzi
antecedentom a konzekventom (Berka 1994, 22). Tento spor sa neskôr objavil aj v diskusii
medzi stoikmi, ktorá dokonca mohla zaujať aj širšiu verejnosť (Berka 1959, 17). K skúmaniu
problémov spojených s implikáciou ich zrejme viedli systematické úvahy o chápaní
podmienkových tvrdení vo výrokovej logike. Filón chápal ako pravdivé zrejme také
podmienkové tvrdenia, pri ktorých aktuálne nenastáva to, že ich podmienka (teda antecedent)
je pravdivá a dôsledok (teda konzekvent) nepravdivý. Na rozdiel od neho, Diodóros Kronos,
označovaný za hlavného predstaviteľa dialektickej školy, považoval za pravdivé len také
podmienkové tvrdenia, pri ktorých sa nikdy nemôže stať, že by podmienka bola pravdivá a
66
t. j. používania jazyka za účelom presvedčovania v argumentácii. 67
Argumentačná technika vyvodzujúca absurdné závery zo zjavne neabsurdných tvrdení oponenta.
68
dôsledok nepravdivý. Filón na rozdiel od Diodóra vychádzal z aktuálnych pravdivostných
hodnôt výrokov v podmienkových tvrdeniach, zatiaľ čo Diodórovi to k určeniu pravdivostnej
hodnoty celého podmienkového tvrdenia nepostačovalo (Svoboda 2008, 28). Formulácia
implikácie, ktorá sa stala základným výrokovým spojením celej antickej výrokovej logiky a
viedla až k vypracovaniu tabuľky jej pravdivostných hodnôt stoikmi, býva pripisovaná práve
Filónovi, no aj u Diodóra Krona je možné identifikovať podobnú formuláciu s určitými
obmedzeniami (Sochor 2011, 301). Filónovo chápanie implikácie s veľkou
pravdepodobnosťou anticipovalo moderné chápanie materiálnej implikácie (Berka 1959, 16).
Megarská škola zanikla okolo roku 300 pr. Kr. Jej dedičom sa však stala stoická
škola, ktorej zakladajúci predstavitelia Zénón z Kitia (333 – 261 pr. Kr.) a Chrýsippos zo
Soloi (282 – 206 pr. Kr.) sa zoznámili s logikou zrejme práve vďaka Filónovi z Megary a
Diodórovi Kronovi. Približne od 2. stor. sa už hovorí iba o stoickej škole, pretože megarský
vplyv a stoické povedomie o ňom postupne zanikajú (Sousedík 2008, 65). Stoickú školu v jej
počiatkoch ešte okrem spomínaných dvoch predstaviteľov spoluutvárali aj Diogenés zo
Seleukie, Antipatros z Tarzu a ďalší, pričom nenadväzovali len na učenia megarikov, ale aj
sofistov a starších peripatetikov (Aristotela a jeho žiakov). Inšpirovali sa tiež gramatikou,
medicínou a deduktívnou systematizáciou dobovej geometrie (Berka 1994, 23). Podobne ako
megarici sa aj oni pokúšali o systematizáciu výrokovej logiky. Keďže sa sami venovali
medicíne, učenie o príznakoch chorôb (semiotika,68
prvá veda zisťujúca vzájomné súvislosti
javov, vychádzajúca z hippokratovskej tradície) malo dokonca vplyv na ich chápanie
výrokovej logiky (Berka 1959, 9). Zénón z Kitia spolu s Chrýsippom a ich stoickými
súčasníkmi, na rozdiel od Aristotela, nepovažovali logiku za nástroj vedy, ale spoločne s
fyzikou a etikou za neodmysliteľnú súčasť filozofie. Náuku „logiké“ pritom rozdeľovali na
rétoriku a dialektiku. Dialektická časť („dialektiké téchne“ – umenie dialektiky) obsahovala
tri zložky – teóriu poznania, sémantiku spolu s gramatikou (syntaxou) a logiku. Vidíme teda,
že logika bola pre nich len jednou zo súčastí dialektiky, ktorej úlohou bolo skúmať tie časti
reči, ktoré sa týkali usudzovania a argumentov, ako aj ich foriem. (Algra – Barnes – Mansfeld
– Schofield 2002, 66)
V dialektike, ktorá sa mala zaoberať skúmaním pravdivosti či nepravdivosti výrokov,
obhajovali stoici pod vplyvom silného determinizmu princíp dvojhodnotovosti všetkých
výrokov. V sémantike sa zaoberali vzájomným vzťahom jazyka, myslenia a skutočnosti
medzi „označujúcim“ - „semainon“ (chápal sa pod ním zvuk „foné“) a „označovaným“ -
„semainomenon“ (zvukom označeným predmetom, ktorý bol významom výrazu v jazyku) a
skutočným predmetom - „tynchanon“ (materiálnou zvukom označenou vecou). Význam ako
celok - „lekton“ (výpoveď alebo obsah myšlienok vyjadrený v jazyku) považovali za
nehmotný (Berka 1959, 23). Disponovali dokonca niečím, čo by sa dalo označiť za antickú
teóriu rečových aktov (Döring - Ebert 1993, 27-32). Tým, na čom podľa Chrýsippa závisela
platnosť alebo neplatnosť argumentu, boli zrejme logické častice (Sousedík 2008, 68). Zo
syntaktického hľadiska rozlišovali stoici podobne ako megarici medzi jednoduchým a
zloženým výrokom. Zložený výrok sa skladal z jednoduchých, ktoré boli spojené špeciálnym
typom logickej častice – vetnou spojkou. Na základe nej bolo možné v rámci argumentu
rozlíšiť rôzne typy zložených výrokov - od implikácií po negácie (Tamže, 68-69). Zo
sémantického hľadiska sa stoici pomocou definícií snažili stanoviť podmienky, za ktorých je
výrok určitého typu pravdivý (Tamže, 70). Už podľa megarika Filóna je implikácia pravdivá
vtedy, keď nenastáva prípad, že je prvá veta pravdivá a druhá nepravdivá.
Chrýsippovo riešenie problému podmienkových viet sa však mohlo líšiť od Filónovho
aj Diodórovho a okrem toho, že mohlo byť presnejšie, mohlo mať aj bližšie k chápaniu
implikácie v prirodzenom jazyku. Podľa neho bolo totiž podmienkové tvrdenie pravdivé len
68
Semiotika mala v tomto období značne odlišný význam než má dnes.
69
vtedy, keď výrok, ktorý priamo popiera výrok v konzekvente, je nezlúčiteľný s výrokom v
antecedente (Sochor 2011, 301). Napr. veta „Ak je deň, tak svieti slnko“ je pravdivou
implikáciou, pretože veta „Nesvieti slnko“ je nezlúčiteľná s vetou „Je deň“. Táto definícia
implikácie má tiež svoje nedostatky a môže viesť k paradoxným záverom, ak si uvedomíme,
že ten istý výrok môže byť niekedy pravdivý a niekedy nie (Sousedík 2008, 73).
Gahér (2000, 166-168) však nevylučuje možnosť, že by Chrýsippos mohol ťažiť
z teroretického rozpracovania Filónovho chápania implikácie na pôde megarskej školy
a definovať svoju implikáciu logicky ekvivalentne s Filónovou. Chrýsippovo rozhodnutie
nanovo formulovať definíciu implikácie mohlo byť motivované povahou kotextov (napr.
veštby alebo predpovede), v ktorých sa v danej dobe výpovede implikatívnej formy
objavovali. Gahér (2000, 168) sa domnieva, že ak bol medzi Filónom a Chrýsippom v otázke
implikácie nejaký rozdiel, tak nebol logicky relevantný.
V rámci skúmania vzťahov medzi zloženými výrokmi sa Chrýsippos zaoberal aj
inými vetnými spojkami (Svoboda 2008, 29). Stoická forma výrokovej logiky, ktorú
Chrýsippos používal, obsahovala výrokové spojenia ako sú implikácia, vylučujúca
disjunkcia, konjunkcia a negácia a všetky výroky zložené takýmito spôsobmi boli chápané
extenzionálne (teda ako pravdivostné funkcie) (Berka 1959, 12). Okrem toho, že Chrýsippos
zaviedol do výrokovej logiky aj pojem axiómy, vypracoval aj jej axiomatický systém. Na
základe piatich základných princípov, ktoré sa nazývali nedokázateľnými, identifikoval päť
platných foriem úsudkov, ktorých platnosť je zrejmá a nie je potrebné ich dokazovať (Sochor
2011, 301; Svoboda 2008, 29). Takto vytvorená teória dedukcie sa zakladala na
nasledovných úsudkových schémach vyjadrených pomocou čísloviek, ktoré plnili funkciu
výrokových premenných:
1. „Ak prvé, tak druhé; ale prvé; potom druhé“.
2. „Ak prvé, potom druhé; ale nie druhé; teda nie prvé“.
3. „Nie prvé a druhé; ale prvé; potom nie druhé“.
4. „Buď prvé, alebo druhé; ale prvé; teda nie druhé“.
5. „Buď prvé alebo druhé; ale nie prvé; potom druhé“.
Prvé dve formy sylogizmu zodpovedajú pravidlám modus ponens a modus tollens
(Sochor 2011, 301). Sylogizmy III. – V. sa kryjú s logickými dôsledkami vzťahov
zachytených v logickom štvorci, pričom v IV. chápeme spojku „buď“ exkluzívne (platí iba
jedna možnosť69
) a v V. inkluzívne70
(platia obe možnosti súčasne) (Sousedík 2008, 75).
Okrem týchto piatich platných úsudkových foriem používali stoici aj štyri základné
odvodzovacie pravidlá a dokázali tak podrobnejšie rozpracovať náuku o dôkaze, pri ktorej
zdôrazňovali jej heuristický význam pre konkrétne vedné odbory a každodennú prax (Berka
1959, 12). Stoici pracovali s negáciou podobne ako moderní logici t. j. ako s operátorom
meniacim pravdivostnú hodnotu toho výroku, pred ktorým sa objaví. V aristotelovskej logike
neboli negované celé výroky, ale len termíny, no v stoickej logike spĺňali funkciu logických
konštánt, medzi ktoré patrili výrokové spojky spolu s operátorom negácie (Svoboda 2008,
30).
Keďže sa stoici zaujímali aj o neplatné formy úsudkov, používali svoj systém tzv.
prirodzenej dedukcie aj na analýzu štruktúry antických paradoxov a sofizmov. Prvýkrát
formulovali aj metalogické pravidlá, ktoré im umožnili originálne riešenia paradoxov (napr.
prípad „paradoxu klamára“ alebo „paradoxu Diodóra Krona“ postulujúceho nemožnosť
69
Ide o tzv. vylučujúcu disjunkciu (exkluzívna disjunkcia = vylučujúca disjunkcia) 70
Ide o tzv. nevylučujúcu disjunkciu (inkluzívna disjunkcia = nevylučujúca disjunkcia)
70
pohybu, ktorý stoici dokázali zredukovať na formy svojho úsudkového systému) (Berka
1994, 30).
Hoci boli práce stoikov a obzvlášť Chrýsippa v období antiky nemenej významné ako
Aristotelovo rozpracovanie pojmovej logiky, základy stredovekej logiky ovplyvnil práve
Aristotelés, ktorého Kategórie do latinčiny preložil a uviedol v 6. stor. komentátor Boëthius.
Zmienky o stoickom logickom systéme sa nám bohužiaľ zachovali len v zlomkoch a v
správach životopiscov.
71
5.3 Obdobie komentátorov
Aristotelov žiak Theofrastos z Erezu (371 – 286 pr. Kr.) rozvinul za pomoci analógie
Aristotelovu sylogistiku do formy hypotetických úsudkov. Analogicky k asertorickým
sylogizmom rozlišoval tri figúry hypotetických sylogizmov. Všetky mali formu implikácie.
Súčasne s Aristotelom a Theofrastom sa nimi zaoberala aj spomínaná megarsko-stoická
škola.
Približne od 2. stor. pr. Kr. nadväzovali na Aristotelovo učenie rôzni autori, ktorí
písali komentáre k Aristotelovým spisom, preto sa toto obdobie až do 6. stor. po Kr. – teda až
po Boëthiovu tvorbu – označuje za obdobie komentátorov (Sousedík 2008, 38). Hoci
Cicero (106 – 43 pr. Kr.) nevynikol v logike svojou pôvodnou tvorbou, z tohto obdobia nám
zachoval záznamy z prác niektorých stoikov a prispel aj latinským prekladom niektorých
gréckych termínov antickej logiky (Volek 1999, 41). K najznámejším Aristotelovým
komentátorom patrili Androníkos z Rhodu (okolo 70 po Kr.), ktorý pripravil nové vydanie
Aristotelových spisov; Apuleius (2. stor.), ktorý zaviedol latinskú terminológiu pre
Aristotelove všeobecné a čiastočné výroky ako aj schému logického štvorca; Galénos (130 –
200), ktorý skúmal päť nepriamych modov prvej sylogistickej figúry, neúplnú disjunkciu
a relácie; Alexandros z Afrodíziady (okolo roku 200) a Porfyrios z Tyru (232 – 304), ktorý
vypracoval náuku o predikábiliách a usporiadal spôsoby predikovania do vlastnej sústavy,
tzv. „Porfyriovho stromu“. Porfyrios napísal tiež dielo Úvod do Aristotelových Kategórií,
ktorý spolu s Aristotelovými Kategóriami preložil do latinčiny v roku 525 spomínaný
Boëthius, čím vlastne položil základy latinskej scholastickej terminológie (Tamže, 41).
72
5.4 Stredoveká logika
O stredovekej logike hovoríme približne v rozmedzí 6. až 15. stor. Toto označenie
sa nekryje s označením scholastickej logiky. Všeobecne sa rozoznávajú dve vývojové etapy
stredovekej logiky – logica antiqua (starobylá logika, 6. stor. až začiatok 13. stor.) a logica
modernorum (logika moderných, 13. až 14. stor.) (Nytrová, Pikálková 2007, 200; Sousedík
2008, 100). Berka niekedy navyše hovorí aj o poslednej tretej etape (od polovice 14. do
polovice 15. stor.), v rámci ktorej dochádza k systematizácii stredovekej logiky a objavujú sa
aj niektoré pokrokové myšlienky týkajúce sa logickej syntaxe, sémantiky, ba dokonca
logického kalkulu. Pre scholastický dogmatizmus sa však nemohli presadiť a v niektorých
prípadoch museli čakať na svoje znovuobjavenie až do konca 19. či začiatku 20. storočia,
keď sa začala utvárať moderná formálna logika (Berka 1981, 14; Berka 1994, 191).
5.4.1 Prechod od antiky k stredoveku
Stredoveká logika spočiatku do značnej miery nadväzovala na antickú. Dedičstvo
antiky stredoveku sprostredkoval rímsky filozof A. M. S. Boëthius (480 až 524), ktorý
niekedy býva zaraďovaný aj ku scholastike, pretože žil v čase zániku západorímskej ríše.
Vedome založil svoju logiku na analýze latinského jazyka, do ktorého preložil Aristotelove
spisy (Organon) a komentáre (Porfyriov Úvod do Aristotelových Kategórií) ako aj
Cicerónove komentáre. K tomuto súboru poznatkov prispel tiež vlastnými prácami o logike,
napr. spisom O hypotetickom sylogizme (Berka 1981, 13; Berka 1994, 190). Vytvoril
prakticky posledný systém antickej výrokovej logiky, ktorého objektovým jazykom bola
latinčina. S jej využitím definoval aj výrokové premenné (Berka 1994, 35). V jeho diele sa
konfrontuje peripatetické a stoické chápanie logiky. Zaoberal sa otázkami úžitku logiky a jej
zaradenia do štúdia filozofie. Považoval logiku skôr za nástroj vedy a teda za druh umenia
(„ars“), pretože jej cieľ sa nepodobal ani cieľom teoretických, ani praktických vied, no bol
podľa neho s oboma druhmi vied spojený. Toto riešenie bolo inšpirované peripatetickým
prístupom k predmetu logiky. Zvažoval však aj stoickú alternatívu, podľa ktorej by logika
vedou byť mohla. Jej predmet by tvorilo štúdium jazyka (hlavne argumentácie), no nezaujal
vyhranené stanovisko a problém uzatvoril zmierlivo, keď skonštatoval, že logike nič nebráni
byť súčasne časťou filozofie a zároveň jej nástrojom. Boëthiovo chápanie logiky z čias
raného stredoveku síce neprinieslo organickú syntézu peripatetickej a stoickej logiky, napriek
tomu však predznamenávalo jej moderné chápanie, podľa ktorého je logika samostatná
vedecká, avšak nefilozofická disciplína zaoberajúca sa jazykom a schopná uplatniť svoje
výsledky tam, kde sa používa argumentácia (Sousedík 2008, 98).
Po rozpade rímskej ríše historické okolnosti spôsobili, že antická tradícia logiky sa
zachovala prostredníctvom moslimských zdrojov. Ich predstaviteľmi boli hlavne Al-Fárábí
(875-950), nazývaný „Aristotelom východu“, pretože podrobne študoval Aristotelove spisy.
Logiku delil na dve pomerne samostatné časti: náuku o pojmoch, ktorá obsahuje aj
metodologické vysvetlenie klasifikácie definícií; a náuku o súdoch a úsudkoch,
metodologicky doplnenú o teóriu dôkazu (Berka 1994, 52). Lekár Abú Alí ibn Síná (980-
1037), latinizovaným menom Avicenna, napísal vlastnú učebnicu logiky a aj vo svojich
komentároch rozpracoval náuku o definíciách a teóriu implikatívnych výrokov. Ibn Rušd
(1126-1198), latinizovaným menom Averroes, tiež písal komentáre k Aristotelovi a zachoval
sa zaznamenaný aj jeho názor, že človek nemôže byť šťastný bez znalosti logiky (Tamže,
52). V západnej Európe sa záujem o logiku začína oživovať až na prelome 10. a 11. storočia
(Berka 1981, 190).
73
5.4.2 Logica antiqua
Logika sa vyučovala spočiatku v školách pri kláštoroch (scholae interior claustri),
kde boli vzdelávaní mnísi a kňazi, ďalej v dvorských školách (scholae palatinae) a tiež
v školách pre laikov (scholae exterior). Na konci 12. a začiatkom 13. stor. sa v Európe
zakladajú prvé univerzity v Paríži, Bologni, Oxforde, Cambridgei a Prahe (Berka 1994).
V období scholastiky sa logika stáva jedným zo siedmych slobodných umení (artes
liberales). Ich zvládnutie bolo podmienkou štúdia teólogie, medicíny a iných vied na
stredovekých univerzitách. Skladali sa zo štyroch matematických (quadrivium) a troch
jazykových umení (trivium), medzi ktoré spolu s gramatikou a rétorikou patrila aj logika
chápaná ako formálny nástroj alebo pomocná veda (Sousedík 2008, 100).
V tomto období sa v západnej Európe vedelo len o Aristotelových spisoch Kategórie a
O vyjadrovaní a Porfyriových komentároch, ktoré sprostredkoval spomínaný Boëthius. Prvú
fázu charakteristickú spracovaním týchto poznatkov Aristotelovho diela nazývame starou
logikou (logica vetus). Jednou zo zaujímavých osôb tejto vývojovej fázy bol Alkuin (735-
804, narodený v Anglicku). Vyučoval na dvore Karola Veľkého, poznal antickú a byzantskú
kultúru a pre potreby vyučovania trivia napísal prvý stredoveký spis o logike Dialectica.
Ďalším autorom tohto obdobia bol Ján Scotus Origen (810-877), ktorý sa zaoberal
sylogistikou (Berka 1994, 52). O sprístupnenie logiky širšej skupine záujemcov sa v tejto
dobe pokúšali najmä írski mnísi, ale okrem nich aj iné osobnosti, napr. Gerbert (935 - 1003),
ktorý sa v roku 999 stal pápežom Silvestrom II. (Sochor 2011, 302). Nemecký logik Notker
Labeo (1022) bol vlastne prvým, kto v stredoveku nadviazal na Boëthia a venoval sa
výrokovej logike (Berka 1994, 34). Boëthiove práce mali vplyv aj na najvýznamnejšiu
osobnosť stredovekých dejín logiky Petra Abelarda (1079-1142), ktorý sa zaoberal najmä
odvodzovacími pravidlami. Aj keď má jeho tvorba väčšinou povahu opakovania
a upravovania starších myšlienok, jej význam spočíval hlavne v šírení poznatkov logiky vo
veľkom okruhu poslucháčov (jeho prednášky mohlo údajne navštevovať až 5000 študentov)
(Sochor 2011, 302). Pri zostavovaní prednášok Abelard často nanovo formuloval a opravoval
starú látku, napr. štvrtá časť jeho Dialektiky („De propositioibus et syllogismis hypotheticis“)
je parafrázou Boëthiovho spisu O hypotetickom sylogizme (Berka 1994, 34). Abelard tiež
napr. ukazoval, ako je možné v prípadoch pravidiel „modus ponens“ a „modus tollens“ za
použitia bežných logických pravidiel odvodiť jedno pravidlo z druhého. Pri systematickom
rozbore chybného usudzovania sa zmieňuje aj o tom, že z neplatnosti antecedentu nemôžeme
vyvodiť ani platnosť, ani neplatnosť konzekventu; z platnosti antecedentu nevyvodíme
neplatnosť konzekventu; z platnosti konzekventu nevyvodíme ani platnosť, ani neplatnosť
antecedentu; a že z neplatnosti konzekventu nevyvodíme platnosť antecedentu (Sochor 2011,
303). Abelardovo dielo Dialectica býva často považované za hlavné dielo starej logiky
(Sousedík 2008, 100). Príznačná je pre neho aj zmena spôsobu vyučovania, keďže na rozdiel
od Alkuina, ktorý sa sťahoval spolu s dvorom Karola Veľkého, Abelard vyučoval v Paríži
a jeho okolí (Sochor 2011, 303).
Až do Abelardových čias stredovekí logici vôbec nepoznali ďalšiu časť
Aristotelových spisov. V druhej fáze vývoja starobylej logiky známej ako logica nova (12.
stor. – začiatok 13. stor.) sa zo spomínaných moslimských zdrojov do Európy dostávajú
ďalšie Aristotelove práce – Prvé a Druhé analytiky, Topiky a spis O sofistických dôkazoch,
tvoriace zvyšok Organonu. Počiatočnú nedôveru k týmto prácam prelomil svojimi
komentármi Albert Veľký (1193-1280), ktorý študoval predovšetkým sylogistiku a vzťahy
vyplývania (Tamže, 303). Medzi ďalších významných predstaviteľov tohto obdobia patrili
Ján zo Salisbury (1110-1180), ktorý sa zaoberal modálnou logikou a k tejto problematike
napísal spis Metalogicum; ako aj Adam Balsham, ktorý okolo roku 1132 napísal spis Ars
Disserendi a skúmal problematiku paradoxu klamára (Berka 1994, 52-53).
74
5.4.3 Logica modernorum
Druhá vývojová etapa stredovekej logiky sa vyznačuje postupným prekonávaním
Aristotela, ktorého dielo už bolo Európe v období 13. až 14. stor. prístupné prakticky celé
(Berka 1988, 190). Recepcia ďalších Aristotelových spisov sa stala predpokladom
konštituovania špeciálnych oblastí stredovekej logiky. Pojmová logika rozpracovala učenie
o vlastnostiach termínov; na stoické systémy výrokovej logiky, zachované prostredníctvom
neskoro antických resp. ranne stredovekých komentátorov, nadväzuje náuka o dôsledkoch;
bola ďalej rozpracovaná Aristotelova sylogistika, modálna logika a v latinčine sa objavujú aj
rozbory syntaktických a sémantických problémov prirodzeného jazyka (Berka 1994, 52).
Autori začínali postupne k sume týchto poznatkov pridávať nové „moderné“ poznatky, ktoré
sa tematicky rozdeľovali do siedmych skupín: propriotates terminorum, syncategoremata,
exponibilia, consequentiae, obligationes, insolubilia, a sophismata (Sousedík 2008, 101-102).
Wiliam zo Shyreswoodu (zomrel v roku 1249) napísal Úvod do logiky (Introductiones in
Logicam), v ktorom zaviedol aj niektoré mnemotechnické pomôcky, napr. pomenovanie
„barbara“ pre prvý modus platného sylogizmu prvej figúry (Sochor 2011, 303). Tieto
pomôcky po ňom vylepšil a rozšíril Peter Hispánsky (1210-1277, stal sa pápežom Jánom
XXI.) v knihe Summulae Logicales. Tá sa stala štandardnou stredovekou učebnicou logiky
(Tamže, 303). V 13. stor. tvoril aj Roger Bacon (1214-1294), autor Summulae Dialecticae.
Podraďoval logiku náuke o metódach – metodológii. Ján Duns Scotus (1270-1308) sa
zaoberal pojmovou a výrokovou logikou a medzi jeho najznámejšie spisy patria Quaestiones
in Universam Logicam, Tractatus de Modis Significandi seu Grammatica Speculativa (Berka
1994, 53). Aj keď autorstvo jeho logických spisov je sporné, býva mu pripisovaná formulácia
„zákona Dunsa Scota“, podľa ktorého z logického sporu vyplýva čokoľvek (Sochor 2011,
43). Obzvlášť zaujímavou postavou z perspektívy dejín logického myslenia bol na prelome
13. a 14. stor. R. Lullus (1235-1315). Vo svojom diele Veľké umenie (Ars magna),
formuloval ideu logického kalkulu, ktorá neskôr inšpirovala G. Leibniza k myšlienke
mathesis universalis (Berka 1988, 191). Jeho kombinatorické úvahy boli podnetné už pre G.
Bruna, ako aj učiteľa národov J. A. Komenského či Alsteda. Kryptografiou sa zasa inšpiroval
A. Kircher a filozofická gramatika 17. storočia (Berka 1994, 53).
V období od 14. do polovice 15. stor. sa stredoveká logika systematizuje, vychádzajú
kompendiá logiky pod názvami Summa Totius Logicae, Logica Magna, De Puritate Artis
Logicae, Summula de Dialectica. Prispievateľmi k týmto kompendiám boli hlavne Wiliam
Occam (1295-1349) – pôvodca Occamovej britvy (princípu úspornosti myslenia
zamedzujúceho zbytočnému postulovaniu existencie zdvojených entít), Walter Burleigh
(zomrel 1343), Albert Saský (1316-1390), Jan Buridan (zomrel 1398), a P. Venetus
(zomrel 1429) (Berka 1994, 53). Zo začiatku 14. storočia sa zachoval aj anonymný rukopis
sumarizujúci snahy o riešenie antického paradoxu klamára (Sochor 2011, 303).
75
5.4.4. Logika v období renesancie (vznik tradičnej logiky)
Obdobie renesancie zaujíma voči scholastike a stredovekému aristotelizmu kritický
postoj a celkovo sa oslabuje záujem o štúdium formálnych problémov logiky. Obdobie
stagnácie v štúdiu formálne logickej problematiky (začína sa utvárať už v tomto období, no
formuje sa hlavne v novoveku a pretrváva v podstate až do prelomu 19. a 20. stor.) sa nazýva
aj tradičnou logikou. Kritici však často nedokázali dostatočne rozlišovať medzi aristotelskou
logikou a stredovekým aristotelizmom, t. j. zjednodušeným školským výkladom logiky pre
potreby teologických dišpút a detailnými analýzami stredovekých logikov. Predstaviteľmi
tejto kritiky boli v Taliansku L. Valla (1405-1457), v Nemecku R. Agricola (1442-1485) a
vo Francúzsku Petrus Ramus (1515-1572) (Berka 1988, 191). Ramistická logika
predstavená spisom Dialecticae Institutiones (1543) rozširuje štyri figúry asertorickej
sylogistiky o dva nové mody so singulárnym stredným termínom. Reformačný prúd myslenia
reprezentuje Melanchthonova (1497-1565) dialektika (Compendiaria Dialectices Ratio a
Eortemata Dialectices) (Berka 1994, 77). Hoci mali títo autori výhrady voči neproduktívnosti
aristotelovského deduktívneho systému, nedotkli sa čisto logickej problematiky Organonu
(Berka 1981, 14). Rozvoj modernej prírodovedy v tomto období poskytol impulzy k štúdiu
teoretických a praktických otázok vedeckej činnosti a Francis Bacon (1561-1626)
vypracoval v Novom Organone (1620) induktívnu logiku (Berka 1988, 191).
76
5.4.5. Novoveká logika (cesta k modernej logike)
V období 16. až 17. stor. ešte doznievali logické systémy nadväzujúce na scholastickú
tradíciu, no vývoj formálnej logiky sa prerušil. Dôraz sa pri štúdiu jazyka kládol na jeho
estetickú stránku, rozvíjala sa psychológia, rétorika a teória poznania. René Descartes (1596-
1650) sproblematizoval otázku metódy poznávania, keď napísal práce Rozprava o metóde a
Pravidlá na vedenie rozumu. Aj medzi humanistami sa však objavili myslitelia, ktorí
nadväzovali na Aristotela a stoikov a oproti nim považovali stredoveké vplyvy za barbarské.
Práve medzi nimi vzniklo jadro tradičnej logiky a okrem formálne logických problémov
skúmali hlavne otázky poznania a psychológie. (Nytrová, Pikálková 2007, 201).
V 17. stor. vývoj logiky nebol vonkoncom jednotný. Na jednej strane sa utvárala
spomínaná tradičná logika, na druhej strane sa však objavili aj niektoré pokrokové myšlienky
charakteristické pre súčasnú logiku. Pre tradičnú logiku bola základným dielom učebnica P.
Nicola (1625-1695) a A. Arnaulda (1612-1694) z roku 1662 - La Logique, ou l’ Art de
Penser (Logika alebo umenie myslieť), známa tiež ako Port-royalská logika, ktorá zhŕňala
obsah Aristotelových Kategórií, spisu O vyjadrovaní, a začiatočné kapitoly Prvých analytík.
Celkom však oproti stredovekej logike vynechávali náuku o supozíciách, modálnu logiku,
teóriu odvodzovania a diskusiu o antinómiách. Predpoklady k systematizácii tradičnej logiky
je však možné nájsť už v tých stredovekých učebniciach, ktoré sa primárne zaoberali
metodologickými otázkami alebo argumentáciou. Učebnice 17. storočia ale často bývali
poznačené silným psychologizmom pri vysvetlení procesov usudzovania a explicitne
ontologickou interpretáciou logických zákonov a pravidiel. Príkladom je aj spomínaná Port-
royalská logika, ktorá bola používaná až donedávna napriek tomu, že deduktívne postupy
vysvetľuje prinajmenšom veľmi zjednodušene (Berka 1988, 192). Vyššiu úroveň dosiahla
učebnica Logica Hamburgensis, hoc et Institutiones Logicae (1638), známa aj vo svojej
skrátenej verzii Compendium Logicae Hamburgensis od J. Jungia (1587-1657). Hoci sa
zaoberala modálnou a relačnou logikou, Jungius sa pri jej koncipovaní tiež opieral o silný
psychologizmus (Berka 1994, 78). Tradičná logika bola vlastne pre potreby vedy prakticky
bezcennou, pretože nenadviazala na dobový vývoj vedeckého poznania. (Čechák, Berka,
Zapletal 1981, 14).
Na druhej strane však matematická logika, symbolická logika, či logistika
predznačovali počiatky modernej formálnej logiky. Pod vplyvom Lullových
kombinatorických inšpirácií sa začala rozvíjať myšlienka mathesis universalis, univerzálnej
vedy s jednotnou matematickou metódou, jazykom a novou logikou, podporovaná aj
vývojom modernej prírodovedy, v ktorej došlo k úzkemu prepojeniu fyziky a matematiky a
osvietenského racionalizmu (Berka 1988, 192). G. W. Leibniz (1646-1716) v snahe o
rozšírenie ideálu matematizácie vedy, ktorého korene siahajú až k antickým pýthagorovcom,
formuloval pre novú logiku (označovanú aj ako logica či logistika) nasledujúce požiadavky:
1. vybudovanie všeobecného systému znakov, obsahujúceho ich dva druhy: základné
znaky pre charakteristiku základných pojmov a definované znaky pre charakteristiku
všetkých ostatných pojmov – tzv. characteristica universalis;
2. vytvorenie logického kalkulu, ktorý by umožňoval kalkulové riešenia rôznych
problémov, pričom výrazy kalkulu by boli vyjadrené znakmi všeobecnej
charakteristiky – tzv. calculus ratiocinator;
3. vytvorenie rozhodovacej procedúry, dovoľujúcej o každom výraze kalkulu rohodnúť,
či je pravdivý alebo nepravdivý – tzv. ars iudicandi. (Berka 1988, 192).
77
Leibniz odlišoval matematiku a logiku na jednej a empirické vedy na druhej strane a
analogicky k tomuto rozlíšeniu aj analytické a syntetické vety; a rozumové a faktové pravdy
(Berka 1994, 83). Svoju koncepciu logiky metodologicky založil na princípoch logického
atomizmu, ktorý je možné zhrnúť do piatich bodov:
1. každý pojem je možné redukovať na určitý malý počet základných jednoduchých
pojmov, ktoré tvoria myslenie;
2. zložené pojmy sa získavajú z jednoduchých logickým násobením, pričom každý
pojem má určité charakteristické číslo, napr. človek = 6, živočích – 2, a rozumný = 3;
definícii „človek je živočích rozumný“ zodpovedá potom numerický výraz 6 = 2 * 3;
3. súbor výrokov vyjadrujúcich vzťahy medzi základnými pojmami je bezosporný;
4. každý výrok má subjektovo-predikátovú formu;
5. pravdivé kladné výroky sú považované za analytické, ich predikát je obsiahnutý v
subjekte (Berka 1994, 86).
Zaviedol aj novú definíciu totožnosti, podľa ktorej sú termíny totožné, ak môžeme
jeden ľubovoľne nahradiť druhým bez zmeny pravdivosti akéhokoľvek tvrdenia, pričom A =
B označuje, že A a B sú totožné. Ide o ekvivalenciu, pri ktorej je implikácia zľava doprava
matematizovaná na základe princípu dôkazu rovností (Sochor 2011, 305). Totožnosť teda
Leibniz chápal na základe princípu totožnosti nerozlíšiteľných entít, pričom platí, že nemôžu
jestvovať dve absolútne nerozlíšiteľné entity. Okrem tohto ontologického chápania totožnosti
ju chápal Leibniz ešte aj sémanticky v zmysle princípu substitúcie, podľa ktorého môžu byť
entity totožné len vtedy, ak je možné označenie jednej dosadiť v každom pravdivom výroku
za označenie druhej bez toho, aby to ovplyvnilo pravdivosť („salva veritate“) (Berka 1994,
85). V rámci predikátovej logiky Leibniz interpretoval singulárne výroky ako všeobecné a v
každej zo štyroch sylogistických figúr uznával na základe kombinatorických výpočtov šesť
platných modov. Navrhol tiež kruhové a štvorcové diagramy pre znázorňovanie sylogizmov.
Za autora kruhových diagramov sa však bežne považuje L. Euler. Leibnizov návrh bol
publikovaný až neskôr (1903), dokonca ešte neskoršie než Vennov (1880). (Berka 1994, 86)
Leibnizov reformný program, ktorý zaznamenávali hlavne jeho nevydané spisy, našiel
odozvu vďaka posmrtne vydanej práci Nové úvahy o ľudskom rozume (1756). Väčšina jeho
prác týkajúcich sa logiky však upadla do zabudnutia a bola vydaná najskôr až koncom 19.
storočia (Berka 1988, 192). Uverejnená časť jeho prác a jeho intenzívna korešpondencia však
predstavovali pre jeho nasledovníkov postačujúci vplyv, obzvlášť pre G. Ploucqueta, J. H.
Lamberta, G. J. von Hollanda, G. F. Castillona, S. Maimona, a J. D. Gergonneho.
Koexistujúci prúd tradičnej logiky sa však stával stále viac závislým na teórii
poznania a psychológii. Uskutočneniu Leibnizovho programu matematizácie vied prekážal aj
ahistorický názor o dokonalosti a uzavretosti Aristotelovej logiky zastávaný I. Kantom
(1724-1804). Kant sa pokúšal vytvoriť obsahovú logiku, ktorú nazval transcendentálnou,
čo zapríčinilo odlišovanie formálnej logiky. (Berka 1994, 80)
78
5.5 Počiatky matematickej logiky v 19. storočí
V 19. storočí sa oživuje záujem o logiku a ožíva aj staronová disciplína –
matematická logika. V kontexte technickej orientácie spoločnosti a rozvoja priemyslu sa
logika stáva v 19. a 20. storočí nástrojom myslenia v matematike. Jej priekopníkmi bývajú v
tomto období často ľudia, ktorých primárnou sférou záujmu bola matematika (Nytrová,
Pikálková 2007, 202). Ako sa neskôr ukázalo, tradičná logika totiž ani nemohla byť
primeraným nástrojom pre štúdium logických základov matematiky. Na utváranie modernej
logiky pôsobili významne aj podnety z rozvíjajúcej sa metodológie deduktívnej výstavby
matematických teórií, ako napr. neeuklidovskej geometrie spracovanej N. I. Lobačevským
(1792-1856) a B. Riemannom (1826-1866). Poukazovali na skutočnosti, že evidentnosť,
jednoduchosť či názornosť axióm neboli postačujúcim dôvodom pre ich výber, a že intuitívne
poskytnuté dôkazy matematických tvrdení nepostačovali. Teória množín, ktorá so sebou
priniesla nové paradoxy a na ktorej mala matematika stavať svoje základy, spôsobila stratu
hodnovernosti bežne používaných logických prostriedkov matematických dôkazov. (Berka
1988, 193)
Najvýznamnejším predchodcom modernej logiky bol Bernard Bolzano (1781-1848),
ktorý na rozdiel od Leibniza anticipoval vo svojom Vedosloví71
(1837) problém sémantiky,
ktorá bola rozpracovaná podrobnejšie v tridsiatych rokoch 20. storočia. (Berka 1988, 193).
Bolzanovo dielo bolo však príliš objemné na to, aby ho počas jeho života mohol niekto
systematicky preštudovať a nemalo teda priamy vplyv na ďalší vývoj logiky. Bolzanov prínos
je možné zhrnúť do troch tematických okruhov – chápania deduktívnej a induktívnej logiky,
filozofických základov logiky a metodológie deduktívnej výstavby vied. (Berka 1994, 91).
Ako prvý vedome opieral svoju logiku variácií o pojem premennej, pričom uvažoval aj o
vetnej forme. (Berka 1994, 91). Bolzano sa snažil postaviť logiku na pojmoch predstáv a viet
v objektívnom zmysle. Logickými konštantami chápal všetky pojmy, ktoré majú vo všetkých
interpretáciách (leibnizovských možných svetoch) rovnaký zmysel. (Berka 1994, 94).
Napriek faktu, že za zakladateľa teórie množín býva obvykle považovaný Georg
Cantor (1845-1918), za prvú prácu, ktorá sa v dejinách logiky systematicky venuje tejto
problematike, sa pokladá práve Bolzanova posmrtne vydaná kniha Paradoxy nekonečna72
,
ktorú Cantor poznal a jej teóriu posilnil ešte o axiómu potencie. Urobil z nej všeobecne
akceptovaný rámec celej matematiky. (Sochor 2011, 306).
Okrem toho, že Bolzano anticipoval teóriu množín a problémy, ktoré ju neskôr naozaj
sprevádzali, venoval sa aj filozofii matematiky a matematickej metóde. Domnieval sa o nej,
že je primeraná pre deduktívnu a definitorickú výstavbu vied. V teórii dôkazov rozlišoval
vedecké dôkazy alebo zdôvodnenia uvádzajúce objektívny dôvod danej vety a heuristické
dôkazy alebo uistenia poskytujúce pocit istoty, že dokazovaná veta je pravdivá. Podobne
rozlišuje tiež explikácie zachytávajúce terminologické konvencie alebo význam použitých
jazykových výrazov a definície či pojmové určenia, ktoré určujú obsah pojmov na základe
skladby. (Berka 1994, 94)
71
V tomto diele formuluje Bolzano napríklad všeobecnú verziu odvodzovacieho pravidla, t. j. dôkaz dedukciou
alebo dedukčný teorém, avšak s vylúčením možnosti prázdnej množiny predpokladov. 72
Názov naznačuje hlavnú myšlienku knihy, podľa ktorej prijatie existencie aktuálne nekonečnej množiny má
paradoxnú povahu teórie, s ktorou sa musíme zmieriť.
79
5.6 Algebra logiky
Za zakladateľa logiky v modernom zmysle slova môže byť považovaný írsky
matematik George Boole (1815-1864), autor knihy Matematická analýza logiky (1847)
(Nytrová, Pikálková 2007, 202). Text paradoxne Boole napísal ako obranu de Morgana
(1806-1878) pred obvinením z plagiátorstva a neskôr ho rozšírený vydal vo svojom hlavnom
diele Skúmanie zákonov myslenia (1854) zaoberajúcom sa matematickými teóriami logiky a
pravdepodobnosti, ktorého náklad si spolu so spomínaným priateľom hradili sami (Sochor
2011, 307). De Morgan vydal ešte v roku 1847 nezávisle na Boolovi knihu Formálna logika
alebo kalkul nutného a pravdepodobného vyplývania. Na pulty kníhkupectiev sa údajne
dostala v ten istý deň ako Boolova kniha, no de Morgan sa v nej zameral skôr na
vypracovanie sylogistiky a rozpracovanie teórie relačných výrokov, nie na algebraizáciu
logiky. Boole sa vo svojich prácach pokúšal o vytvorenie nového systému logiky na
algebraickom podklade. Boolov systém (alebo tzv. „Boolova algebra“) je vlastne binárnou
algebrou, ktorú možno interpretovať aj za pomoci výrokovej logiky. Boole si bol vedomý
tejto vlastnosti svojho systému, no uprednostňoval jeho triedovú interpretáciu. Sám explicitne
formuloval myšlienku závislosti logiky na matematike už v prednáške z roku 1851 v New
Yorku: „Je jednoducho faktom, že zákony logiky sú svojou formou a vyjadrením
matematické, aj keď nepatria k matematike kvantity“ (Berka 1994, 96).
Obdobie algebry logiky sa dovršuje začiatkom 20. storočia, keď L. Couturat píše
Algebru logiky (1905) a E. Schröder predstavuje svoje Prednášky o algebre logiky (1890-
1905). Ďalší autori sa v tomto čase pokúšajú rozpracovať Boolovu koncepciu s väčšou
nezávislosťou na bežnej algebre a študuje sa tiež relačná logika. Medzi predstaviteľov tejto
etapy vývoja modernej logiky patril aj W. St. Jevons (1835-1882). Po Boolovom
rozpracovaní systému algebry logiky sa reakcie nasledovníkov zamerali hlavne na otázku, či
má byť logický kalkul založený extenzionálne na pojme triedy alebo intenzionálne na pojme
atribútu (leibnizovský prúd sa prikláňal k intenzionálnemu chápaniu). Boole sám sa rozhodol
pre extenzionálne chápanie a jeho rozhodnutie predurčilo aj smer skúmania ostatných
predstaviteľov algebry logiky. Ďalšou dôležitou otázkou sa stal spôsob interpretácie kalkulu,
pretože kým Boole, Jevons, Venn a Schröder sa prikláňali k triedovej interpretácii, napr.
McColl sa prikláňal k opačnému prístupu. (Berka 1994, 104)
80
5.7 Základy modernej logiky
Zaujímavou postavou, ktorá mala vplyv na počiatočný vývoj logiky v jej modernej
podobe na prelome 19. a 20. stor., bol Charles Sanders Peirce (1839-1914). Zaoberal sa aj
vylepšením boolovej algebry za použitia matematických nápadov a metód (O zdokonalení
Boolovho logického kalkulu), no jeho sféra záujmu v oblasti logiky bola takpovediac
všestranná (Berka 1994, 117). Peirce tiež rozpracoval výrokovú a relačnú logiku (zapracoval
matematický pojem funkcie do logiky a rozšíril ju o viacmiestne funkcie). Relácie pritom
chápal extenzionálne ako triedy dvojíc a preniesol do logiky aj pojmy tried – relačný súčet,
relačný súčin, doplnok relácie, univerzálnu a prázdnu reláciu. Originálnym nadviazaním na
Filóna, o ktorom v období rozvoja algebry logiky uvažoval málokto, zaviedol materiálnu
implikáciu a dokázal sformulovať zoznam jej vlastností (napr., že pravdivý výrok je
implikovaný akýmkoľvek výrokom) (Tamže, 117-118). Systematicky sa zaoberal vzťahmi
inklúzie, interpretáciou logickej sumy ako alternatívy a postaral sa aj o pokrok v používaní
kvantifikátorov, ktorých podoba sa práve vďaka nemu vlastne priblížila tej, v akej ich
poznáme dnes (Tamže, 117).
Za najvýznamnejšieho predstaviteľa modernej logiky je možné považovať Gottloba
Fregeho (1848-1925), vynálezcu tzv. pojmového písma (Pojmové písmo, 1879),
V pojmovom písme je obsah buď súditeľný (veta je buď pravdivá alebo nepravdivá, napr.
„Russell sedí“, „Stavba stojí“ atď.), alebo nesúditeľný (t. j. nejde o vetu, napr. „najvyššia
hora sveta“, „matematik“ atď.). Frege chápal výroky ako oznamovacie vety, ktoré vždy
disponujú pravdivostnou hodnotou (t. j. sú vždy buď pravdivé, alebo nepravdivé) a pokúsil sa
pomocou analógie preniesť pojem funkcie z matematiky do logiky (Nytrová, Pikálková 2007,
202). Frege nadviazal na Leibnizov program reformy logiky svojou snahou o vytvorenie
charakteristického jazyka (lingua characteristica), ktorý by obsahoval aj logický kalkul
(calculus ratiocinator) a bol schopný presne zachytiť logické vzťahy medzi pojmami a
výrokmi. Bol kritizovaný za ignorovanie výsledkov dosiahnutých Boolom. Fregemu sa však
v tejto práci podarilo formulovať množstvo teoretických poznatkov, s ktorými už dnes logika
bežne pracuje, ako napr. rozdiel medzi premennými a konštantami alebo zákonmi a
pravidlami (Berka 1994, 118). Okrem toho, že zaviedol a vysvetlil pojmy kvantifikátorov a
pojem výrokovej funkcie, vypracoval aj prvý moderný axiomatický systém klasickej logiky:
p → (q → p)
(p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
(p → (q → r)) → (q → (p → r))
p → q) → (¬q → ¬p)
¬¬p → p
p → ¬¬p
(x)Fx → Fy (Tamže, 118).
Malý záujem o Fregeho dielo zapríčinil ešte počas jeho života tiež fakt, že Frege si na
rozdiel od algebraického zápisu zvolil zrejme prakticky menej prehľadný geometrický
(dvojrozmerný) zápis. Zaviedol termíny „argument“ a „funkcia“ a charakterizoval pojem ako
funkciu, ktorej hodnotou je vždy pravdivostná hodnota (Tamže, 118). Pre argumenty funkcie
nemal Frege špeciálne obmedzenie, mohli nimi byť osoby, predmety, ale aj pravdivostné
hodnoty atď. Za argument Frege pokladal podľa vlastného vyjadrenia čokoľvek, čo nie je
funkciou. Zastával stanovisko logicizmu, keď aritmetiku nepovažoval za nič iné než
rozpracovanú logiku. Domnieval sa, že zdôvodnenie aritmetických zákonov je možné
dosiahnuť redukciou na čisto logické zákony. Stanovisko logicizmu Frege podrobne
81
rozpracoval neskôr vo svojej práci Základy aritmetiky (1884). Otázkami sémantiky a filozofie
logiky sa zaoberal v kratších statiach Funkcia a pojem (1891), O zmysle a význame (1892) a
O pojme a predmete (1892) (Tamže, 118).
Ďalším zakladateľom modernej logiky bol Giuseppe Peano (1838-1932), autor
prehľadnejšej symboliky z prác Arithmetices Principia, Novo Methodo Exposita (1889),
Notations de logique mathématique. Introduction au formulaire de mathématique (1894) a
Formulaire de mathématique (1895-1908). Peano dokázal odvodiť aritmetiku z piatich axióm
(Volek 1999, 44). Jeho axiomatizácia teórie prirodzených čísel sa zakladá na troch
primitívnych pojmoch „nula“, „číslo“, „následovník“ a nasledovných axiómach:
1. nula je prvkom triedy čísel;
2. ak x je prvkom triedy čísel, potom tiež nasledovník x je prvkom triedy čísel;
3. ak je x prvkom triedy čísel, potom sa nasledovník x nerovná nule;
4. ak sú x a y prvky triedy čísel a nasledovník x sa rovná nasledovníkovi y,
potom tiež x sa rovná y;
5. ak je X ľubovoľná trieda taká, že (a) nula je prvkom triedy X, (b) pre každé
číslo x platí: ak x je prvkom triedy X, potom tiež nasledovník x je prvkom
triedy X, potom každé číslo je prvkom triedy X. (Berka 1994, 120)
Prvé dve Peanove axiómy charakterizujú triedu čísel, ku ktorej patrí nula a všetky
ďalšie čísla, ktoré sú jej nasledovníkmi. Ďalšie dve axiómy charakterizujú pojem
následovníka, pretože nula nie je následovníkom žiadneho čísla a je teda v danom systéme
najmenším číslom. Štvrtá axióma určuje, že rôzne čísla nemôžu mať rovnakých
následovníkov a piata axióma je „axiómou matematickej indukcie.“73
Formalizovaná podoba Peanovej axiomatizácie vyzerá nasledovne:
A. primitívne pojmy: 0, N,´
definované pojmy: 1 = df 0´, 2 =df(0´)´, atď.
B. axiómy:
1. 0 N
2. (x)(x N → x´ N)
3. (x)(x N → x´ ≠ 0)
4. (x)(y)(x N y N x´ = y´ x = y)
5. (X)(( (x) (x X x´ X)) (y)(y N y X)
(Tamže, 121).
Peano namiesto zátvoriek (tak ako sa používajú dnes) používal bodky. Zaviedol tiež
rozdiel medzi voľnými a viazanými premennými, odlišoval vzťah inklúzie od vzťahu „byť
prvkom“ nejakej triedy a tiež odlišoval objekt od triedy, ktorej je objekt jediným prvkom.
Definoval aj pojem prvočísla ako čísla, ktoré je väčšie ako 1 a nie je súčinom dvoch kladných
čísel väčších ako 1 (Tamže, 120-121).
Bertrand Russell (1872-1970) ako prvý rozpoznal význam Fregeho systému a
nahradil jeho „geometrickú“ symboliku Peanovou. Nadviazal tiež na Fregeho logicizmus.
Podľa Russella bola matematika súčasťou formálnej logiky. Pokúsil sa teda definovať všetky
73
Matematická indukcia je metóda dokazovania platnosti výroku v matematike, ktorá postupuje zvyčajne
v dvoch krokoch. V prvom kroku sa dokáže, že výrok platí pre n alebo pre iné malé prirodzené číslo. V druhom
kroku sa dokáže platnosť implikácie, že ak platí ten istý výrok pre n, potom platí aj pre n + 1.
82
aritmetické pojmy pomocou logických pojmov a odvodiť všetky aritmetické teorémy z
logických axióm. Tento projekt sa mu však nepodarilo úspešne dokončiť (Čechák, Berka,
Zapletal 1981, 18). Russellova teória typov74
bola reakciou na problematiku logických
paradoxov75
, ktorým sa nevyhli ani Fregeho Základné zákony aritmetiky.
Najproblematickejším pri realizovaní programu logicizmu sa Russellovi ukázala byť paradox
množiny všetkých množín, ktoré nie sú prvkami samých seba. V reakcii naň zaviedol
extenzionálnu formuláciu, podľa ktorej sú čísla definované ako triedy tried majúcich rovnakú
mohutnosť (napr. číslo 3 je triedou všetkých trojíc). Tieto myšlienky ho v spolupráci s A. N.
Whiteheadom (1861-1947) viedli k syntetizovaniu systému klasickej logiky. (Tamže, 19)
Russellovo dielo Principia Mathematica (1910 - 1913) napísané v spolupráci s
Whiteheadom a tiež samostatne napísané dielo Matematická logika založená na teórii typov
(1908) predstavujú v dejinách modernej logiky dôležitý bod, pretože určili podobu klasickej
logiky a všetci neskorší autori už patria skôr k súčasným diskusiám než k dejinám logiky
(Sousedík 2008, 142). Tieto Russellove práce sa zaoberajú prirodzenou kategorizáciou
logických objektov a poskytujú ontologicky založené východisko sémantických základov
logiky a jej syntaktickej výstavby (Berka 1994, 122). Bolo by namieste tvrdiť, že Principia
Mathematica majú vďaka syntéze predchádzajúceho vývoja podobný význam pre súčasnú
logiku ako Aristotelovo dielo Organon pre predchádzajúc etapy vývoja dejín logiky (Tamže,
124).
74
Logické triedy mohli podľa Russella obsahovať ako svoje prvky iba predmety nižšieho rádu, pričom logickým
typom rozumel obor premennosti argumentu nejakej výrokovej funkcie. 75
Pre ich riešenie formuloval princíp bludného kruhu a axióm reducibility.