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Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-1
5. Schwerpunkt
5.1 Gruppe paralleler Kräfte
5.2 Körperschwerpunkt
5.3 Flächenschwerpunkt
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-2
5.1 Gruppe paralleler Kräfte
● Gesucht:– Angriffspunkt, Betrag und Richtung der resultierenden
Einzelkraft GR
G2
G1
Gi
Gn
GR
xS
x1
xP
S
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-3
5.1 Gruppe paralleler Kräfte
● Gleiche Kraft:
– Die Richtung von GR stimmt mit der Richtung der Kräfte G
i
überein.
– Betrag von GR:
● Gleiches Moment um Bezugspunkt P:
● Der Punkt S heißt Kräftemittelpunkt oder Schwerpunkt.
GR=G1G2Gn=∑i=1
n
Gi
x SGR=∑i=1
n
x iGi x S=1GR∑i=1
n
xiGi
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-4
5.1 Gruppe paralleler Kräfte
● Die Summe der Momente der einzelnen Kräfte bezüglich des Schwerpunkts ist Null:
M S=∑i=1
n
xS−x i G i=x S∑i=1
n
Gi−∑i=1
n
x iG i=xSGR−∑i=1
n
x iGi=0
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-5
5.2 Körperschwerpunkt
● Die Schwerkraft ist ein pa-ralleles Kraftfeld.
● Die resultierende Ge-wichtskraft greift im Massenschwerpunkt an.
x
y
zG
S
xS
yS
zS
Δmi
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-6
5.2 Körperschwerpunkt
● Gewichtskraft G:
● Massenschwerpunkt:
G=∑ gmi=mg
∑ x i gmi=x SG=x Smg
x S=1m∑
x imi
yS=1m∑
yimi
z S=1m∑ z imi
– Ergebnis:
– Das Moment der Ge-wichtskraft um den Schwerpunkt verschwindet.
∑ yi gmi= ySG= ySmg
∑ z i gmi=z SG=zSmg
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-7
5.2 Körperschwerpunkt
– Mit der Massendichte ρ gilt:– Der Grenzübergang zu infinitesimalen Volumenelementen
ΔVi führt auf:
mi=iV i
x S=1m∫V
x dV
yS=1m∫V
ydV
z S=1m∫V
z dV
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-8
5.2 Körperschwerpunkt
● Homogene Körper:– Bei einem homogenen Körper ist die Massendichte
konstant:– Der Massenschwerpunkt stimmt mit dem Volumenschwer-
punkt überein:
– Die Werte sind für viele Körper tabelliert.
x S=1V ∫V
x dV , yS=1V ∫V
y dV , zS=1V ∫V
z dV
=const. m=V
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-9
5.2 Körperschwerpunkt
● Symmetrien:– Bei Körpern mit einer Symmetrieebene liegt der Schwer-
punkt in der Symmetrieebene.– Bei Körpern mit zwei Symmetrieebenen liegt der Schwer-
punkt auf der Schnittgeraden der Symmetrieebenen.– Bei Körpern mit drei Symmetrieebenen liegt der Schwer-
punkt im Schnittpunkt der Symmetrieebenen.
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-10
5.2 Körperschwerpunkt
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-11
5.2 Körperschwerpunkt
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-12
5.2 Körperschwerpunkt
● Zusammengesetzte Körper:– Der Schwerpunkt kann aus
den Massen und Schwer-punktskoordinaten der Teil-körper berechnet werden:
– Wenn alle Teilkörper ho-mogen sind und die glei-che Massendichte haben, dann gilt:
x S=1m∑
x Simi
yS=1m∑
ySimi
z S=1m∑ z Simi
x S=1V ∑
x SiV i
yS=1V ∑
ySiV i
z S=1V∑ zSiV i
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-13
5.2 Körperschwerpunkt
● Beispiel:– Der Körper besteht aus
einem homogenen Qua-der und einem homo-genen Zylinder.
– Beide Teilkörper haben die gleiche Massendichte.
– Abmessungen:● a = 6cm, b = 5cm,
c = 2cm● d = 4cm, h = 8cm
x
y
z
a
b
c
h
d
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-14
5.2 Körperschwerpunkt
– Volumen:● Quader:
● Zylinder:
● Gesamt:
V Q=a⋅b⋅c=60 cm3
V Z=
4⋅d 2h=100,53 cm3
V=V QV Z=160,53cm3
– Schwerpunkt:● Symmetrie:
● Quader:
● Zylinder:
● Gesamt:
x S= y S=0 cm
zQS=c2=1 cm
z ZS=ch2=6 cm
z S=zQSV Qz ZSV Z
V=4,13cm
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5.2 Körperschwerpunkt
● Beispiel: Gelochte Platte
x
y
S1
S2
y
z
10
6
2
2,5
1,5
Ø2
Alle Maße in cm
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-16
5.2 Körperschwerpunkt
– Volumen:● Platte:
● Loch:
● Gesamt:
– Schwerpunkt:● Symmetrie:● Platte: ● Loch:
V 1=6⋅10⋅2=120
V 2=−
4⋅22⋅2=−2
z S=1
xS 1=5, yS 1=3
xS 2=10−2,5=7,5yS 2=6−1,5=4,5
● Gesamt:
V=120−2=113,7
x S 1V 1=5⋅120=600x S 2V 2=−7,5⋅2=−47,12
x S=600−47,12113,7
=4,863
yS 1V 1=3⋅120=360yS 2V 2=−4,5⋅2=−28,27
yS=360−28,27113,7
=2,918
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5.3 Flächenschwerpunkt
AS
dA
x
y
x xS
y
yS
V=t⋅A
dV=t⋅dA
Volumen:
Volumenelement:
● Homogene dünne Scheibe mit konstanter Dicke t :
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-18
5.3 Flächenschwerpunkt
– Koordinaten des Schwerpunkts:
● Flächenschwerpunkt:– Der Punkt mit den Koordinaten
wird als Flächenschwerpunkt bezeichnet.
x S=1V∫V
x dV=1At∫A
x t dA=1A∫A
x dA
yS=1V∫V
y dV=1A t∫A
y t dA=1A∫A
y dA
x S=1A∫A
x dA , yS=1A∫A
y dA
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-19
5.3 Flächenschwerpunkt
● Statische Momente:– Die Integrale
heißen statische Momente oder Flächenmomente erster Ordnung.
– Sie spielen in der Theorie der Balkenbiegung eine wichtige Rolle.
– Statische Momente bezüglich des Schwerpunkts sind Null.– Achsen durch den Schwerpunkt heißen Schwerachsen.– Symmetrieachsen sind Schwerachsen.
S y=∫A
x dA , S x=∫A
ydA
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x
y
ydA
b
a
h
5.3 Flächenschwerpunkt
● Beispiel: Dreieck – Fläche:
– Flächenelement:
– Breite:
dA=b y dy
b y =a−ahy=a 1−
yh
A=12a h
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-21
5.3 Flächenschwerpunkt
– Statisches Moment um die x-Achse:
– y-Koordinate des Schwerpunkts:
S x=∫A
y dA=∫0
h
ya 1−yh dy=a∫0
h
y− y2
h dy=a [ y2
2−y3
3h ] y=0y=h
=a h2
2−h2
3 =16a h2
yS=S xA=
16a h2
12a h
=13h
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5.3 Flächenschwerpunkt
S
– Der Abstand des Schwerpunkts von den anderen beiden Seiten berechnet sich ebenso.
– Ergebnis: Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Parallelen zu den Seiten, deren Abstand von den Seiten 1/3 der jeweiligen Höhe beträgt.
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-23
5.3 Flächenschwerpunkt
● Zusammengesetzte Flächen:– Der Schwerpunkt kann aus den Flächen und den Koordina-
ten der Schwerpunkte der Teilflächen berechnet werden:
– Die Koordinaten der Schwerpunkte elementarer Flächen sind tabelliert.
x S=1A∑ x Si Ai , yS=
1A∑ ySi Ai
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-24
3
6
6
4
AS
A2
A1
S1
S2
Maße in cm
x
y
x
y
5.3 Flächenschwerpunkt
● Beispiel:
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-25
5.3 Flächenschwerpunkt
– Fläche 1:
– Gesamt:
– Fläche 2:
A1=4cm⋅3 cm=12cm2
x S 1=1,5cmy S 1=2cm
A2=2cm⋅6 cm=12cm2
x S 2=3cmy S 2=41cm=5cm
A=12cm212cm2
=24 cm2
x S=1,5cm⋅12cm23cm⋅12cm2
24cm2=183624
cm=2,25cm
yS=2cm⋅12cm25cm⋅12cm2
24cm2=246024
cm=3,5cm
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-26
5.3 Flächenschwerpunkt
a
S
a
5a
8a
ys
x
y
● Beispiel: U-Profil – Gegeben:● a = 2cm
– Gesucht:● Koordinaten des
Schwerpunkts– Symmetrie:
● xS = 0
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-27
5.3 Flächenschwerpunkt
=
-
8a
5a
6a
4a
A1
A2
S1
S2
Prof. Dr. Wandinger 1. Statik TM 1.5-28
5.3 Flächenschwerpunkt
A1=40a2 , yS 1=2,5a A2=24a
2 , yS 2=2a
yS=2,5a⋅40a2−2a⋅24a2
40a2−24a2=100−4816
a=5216a=3,25a
yS=6,5cm
– Fläche 1:
– Gesamt:
– Fläche 2: