5. Razni zadaci iz teorije brojeva 2:...
1
5. Razni zadaci iz teorije brojeva 2: iracionalnost Teorema 1. Neka je a ∈ N . Ako je n √ a ∈ Q, onda je n √ a ∈ Z . Teorema 2. Skup Q je gust u R: izmed¯u svaka dva razliˇ cita realna broja postoji racionalan. Teorema 3. Ako je α ∈ Q onda postoji c ∈ R + takav da je za svaki racionalan broj a b = α ispunjena nejednakost |α - a b |≥ c b . Broj α ∈ R je algebarski ako je koren nekog polinoma stepena n sa celobrojnim koeficijentima, a inaˇ ce je transcedentan. Stepen algebarskog broja je najmanje takvo n. Teorema 4. Ako je α algebarski stepena n ≥ 2 onda postoji c ∈ R + takav da je za svaki racionalan broj a b = α ispunjena nejednakost |α - a b |≥ c b n . Teorema 5. (Dirihle) Neka je α proizvoljan realan broj i t ∈ N . Tada postoji racionalan broj p q takav da vaˇ zi |α - p q | < 1 qt i0 <q ≤ t. 1. Ako decimalni zapis broja a ∈ R sadrˇ zi proizvoljno dugaˇ cke (ali konaˇ cne) nizove uzastopnih pojava jedne iste cifre, dokazati da je a iracionalan. 2. Dokazati da je broj 0, 123456789101112 ... iracionalan. 3. Razlika reciproˇ cnih vrednosti dva uzastopna prirodna broja je 0, 0aaa . . . Na´ ci te brojeve. 4. Na´ ci prosto periodiˇ can broj ve´ ci od 1 4 a manji od 1 3 takav da mu je zbir cifara periode za 12 ve´ ci od kvadrata broja tih cifara. 5. Dokazati da je broj 1 - 1 2 + 1 2 4 - 1 2 9 + ... iracionalan. 6. Dokazati da je Ljuvilov broj 1 10 + 1 10 2! + 1 10 3! + ... transcedentan. 7. Da li postoje pozitivni brojevi a, b takvi da je: (a) a, b ∈ Q i a, b ∈ Q; (b) a, b, a b ∈ Q; (c) a ∈ Q i b, a b ∈ Q? 8. Dat je iracionalan broj α. (a) Dokazati da za svaki pozitivan broj c postoji bar jedan ceo broj q = 0 takav da je aq -aq <c. (b) Dokazati da za dato c> 0 postoji beskonaˇ cno mnogo racionalnih brojeva p q takvih da je q> 0i |α - p q | < c q . 9. Ako su a, b, p, q, r, s prirodni brojevi takvi da je qr - ps =1i p q < a b < r s , dokazati da je b ≥ q + s. 10. Odrediti minimalan broj elemenata skupa A takvog da postoji funkcija f : N → A takva da je f (i) = f (j ) ako je |i - j | prost. 11. Oznaˇ cimo sa S n skupured¯enih n-torki koje se mogu formirati od n uzastopnih decimala u zapisu broja a ∈ R. Dokazati: (a) ako za neko n ∈ N skupovi S n i S n+1 imaju isti broj elemenata, onda je a ∈ Q; (b) ako se med¯u decimalama u zapisu broja a pojavljuju sve cifre i za neko n je |S n |≤ n + 8, onda je a ∈ Q. 12. Neka je a 0 =0,a 1 =1i a n najmanji prirodan broj ve´ ci od a n-1 sa osobinom: nijedna trojka (a i ,a j ,a k ) takva da je 1 ≤ i<j<k ≤ n ne ˇ cini aritmetiˇ cki niz. Dokazati da su ˇ clanovi niza {a n } oni i samo oni prirodni brojevi koji u reprezentaciji sa osnovom 3 ne sadrˇ ze cifru 2. 13. Moˇ ze li se u skupu {1, 2,..., 10 5 } na´ ci podskup od 1983 elementa koji ne sadrˇ ze nijednu trojku brojeva koji ˇ cine aritmetiˇ cki niz? 14. Neka je p ≥ 5 prost broj i k cifra u brojnom sistemu sa osnovom p. Na´ ci maksimalnu duˇ zinu nekonstantne aritmetiˇ cke progresije ˇ ciji nijedan element u zapisu sa osnovom p ne sadrˇ zi cifru k.
-
Upload
vuonghuong -
Category
Documents
-
view
235 -
download
5
Transcript of 5. Razni zadaci iz teorije brojeva 2:...
5. Razni zadaci iz teorije brojeva 2: iracionalnost
Teorema 1. Neka je a ∈ N . Ako je n√
a ∈ Q, onda je n√
a ∈ Z.
Teorema 2. Skup Q je gust u R: izmedu svaka dva razlicita realna broja postoji racionalan.
Teorema 3. Ako je α ∈ Q onda postoji c ∈ R+ takav da je za svaki racionalan broj ab 6= α ispunjena nejednakost
|α− ab | ≥
cb .
Broj α ∈ R je algebarski ako je koren nekog polinoma stepena n sa celobrojnim koeficijentima, a inace je transcedentan.Stepen algebarskog broja je najmanje takvo n.
Teorema 4. Ako je α algebarski stepena n ≥ 2 onda postoji c ∈ R+ takav da je za svaki racionalan broj ab 6= α
ispunjena nejednakost |α− ab | ≥
cbn .
Teorema 5. (Dirihle) Neka je α proizvoljan realan broj i t ∈ N . Tada postoji racionalan broj pq takav da vazi
|α− pq | <
1qt i 0 < q ≤ t.
1. Ako decimalni zapis broja a ∈ R sadrzi proizvoljno dugacke (ali konacne) nizove uzastopnih pojava jedne iste cifre,dokazati da je a iracionalan.
2. Dokazati da je broj 0, 123456789101112 . . . iracionalan.
3. Razlika reciprocnih vrednosti dva uzastopna prirodna broja je 0, 0aaa . . . Naci te brojeve.
4. Naci prosto periodican broj veci od 14 a manji od 1
3 takav da mu je zbir cifara periode za 12 veci od kvadrata brojatih cifara.
5. Dokazati da je broj 1− 12 + 1
24 − 129 + . . . iracionalan.
6. Dokazati da je Ljuvilov broj 110 + 1
102! + 1103! + . . . transcedentan.
7. Da li postoje pozitivni brojevi a, b takvi da je: (a) a, b 6∈ Q i a, b ∈ Q; (b) a, b, ab 6∈ Q; (c) a ∈ Q i b, ab 6∈ Q?
8. Dat je iracionalan broj α.
(a) Dokazati da za svaki pozitivan broj c postoji bar jedan ceo broj q 6= 0 takav da je aq − baqc < c.
(b) Dokazati da za dato c > 0 postoji beskonacno mnogo racionalnih brojeva pq takvih da je q > 0 i |α− p
q | <cq .
9. Ako su a, b, p, q, r, s prirodni brojevi takvi da je qr − ps = 1 i pq < a
b < rs , dokazati da je b ≥ q + s.
10. Odrediti minimalan broj elemenata skupa A takvog da postoji funkcija f : N → A takva da je f(i) 6= f(j) ako je|i− j| prost.
11. Oznacimo sa Sn skup uredenih n-torki koje se mogu formirati od n uzastopnih decimala u zapisu broja a ∈ R.Dokazati:
(a) ako za neko n ∈ N skupovi Sn i Sn+1 imaju isti broj elemenata, onda je a ∈ Q;
(b) ako se medu decimalama u zapisu broja a pojavljuju sve cifre i za neko n je |Sn| ≤ n + 8, onda je a ∈ Q.
12. Neka je a0 = 0, a1 = 1 i an najmanji prirodan broj veci od an−1 sa osobinom: nijedna trojka (ai, aj , ak) takva daje 1 ≤ i < j < k ≤ n ne cini aritmeticki niz. Dokazati da su clanovi niza {an} oni i samo oni prirodni brojevi kojiu reprezentaciji sa osnovom 3 ne sadrze cifru 2.
13. Moze li se u skupu {1, 2, . . . , 105} naci podskup od 1983 elementa koji ne sadrze nijednu trojku brojeva koji cinearitmeticki niz?
14. Neka je p ≥ 5 prost broj i k cifra u brojnom sistemu sa osnovom p. Naci maksimalnu duzinu nekonstantne aritmetickeprogresije ciji nijedan element u zapisu sa osnovom p ne sadrzi cifru k.
