5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014
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Momentos de Inercia
Estática - UIS
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Estática - UIS
Momentos de Inercia
Momento de inercia por integración.
Momento de inercia de superficies (áreas)
Momentos de inercia de superficies compuestas.
Teorema de ejes paralelos.
Momento polar de inercia.
Ejes principales y momentos principales de inercia.
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Momento de Inercia
de superficies
Estática - UIS
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Estática - UIS
Inercia en Superficies
También llamado Segundo Momento de Inercia o Inercia de un área, es el valor
que se obtiene al calcular el momento de la carga distribuida perpendicular que
actúa sobre un cuerpo respecto a un eje. Es una propiedad geométrica de la
sección transversal de los elementos estructurales. Por definición esta
corresponde a la siguiente expresión:
𝐼𝑥 = 𝑦𝑄𝑥 = 𝑦 2𝑑𝐴
𝐼𝑦 = 𝑥𝑄𝑦 = 𝑥 2𝑑𝐴
Unidades:
Longitud ^ 4
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Momentos de Inercia
por Integración
Estática - UIS
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Estática - UIS
Método de Integración
El método de la integración usa la definición, y evalúa el área desplazando una tira
delgada paralela al eje a evaluar, aunque también puede usarse solo un elemento
de área y determinar la inercia respecto a ambos ejes.
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Estática - UIS
Determine el momento de inercia Ix & Iy de esta figura plana regular:
𝑏
ℎ
𝑏
ℎ
EJERCICIO 5.1 – INERCIA EN AREAS
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Inercia de Áreas
RECTÁNGULO TRIÁNGULO
CÍRCULO ELIPSE:
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Inercias en Superficies Compuestas
Estática - UIS
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Superficies Compuestas
Estática - UIS
Cuando tenemos una figura compuesta por varias áreas, el momento de inercia
se obtiene como la sumatoria de las inercias de cada una, pero todas calculadas
respecto al mismo eje.
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Elementos Estructurales
Perfiles metálicos
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Sección de Cajón para construcción de puentes
Momento de Inercia
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Superficies Compuestas
Estática - UIS
Cuando tenemos una figura compuesta por varias áreas, el momento de inercia
se obtiene como la sumatoria de las inercias de cada una, pero todas calculadas
respecto al mismo eje.
1. Hallar las Inercias Individuales
Inercias Centroidales o Inercias con respecto a un Eje 2. Hallar Inercias con respecto a unos ejes
paralelos comunes 3. Sumar las Inercias de todas las figuras
con respecto a los mismos ejes.
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Superficies Compuestas
Estática - UIS
Cuando tenemos una figura compuesta por varias áreas, el momento de inercia
se obtiene como la sumatoria de las inercias de cada una, pero todas calculadas
respecto al mismo eje.
1. Hallar las Inercias Individuales
Inercias Centroidales o Inercias con respecto a un Eje 2. Hallar Inercias con respecto a unos ejes
paralelos comunes 3. Sumar las Inercias de todas las figuras
con respecto a los mismos ejes. Porque vamos a medir la
resistencia a rotar con
respecto a un mismo eje. Desarrollemos un método para
medir los momentos de inercia.
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Teorema de Ejes Paralelos
O Teorema de Steiner
Estática - UIS
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Teorema de Ejes Paralelos
Estática - UIS
El teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner se usa para trasladar las
inercias dadas a un eje general de referencia.
Considere la Inercia de la siguiente
superficie respecto a un eje B-B’:
B-B’ es un eje centroidal
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Teorema de Ejes Paralelos
Estática - UIS
El teorema de ejes paralelos o teorema de Steiner se usa para trasladar las
inercias dadas a un eje general de referencia.
Considere la Inercia de la siguiente
superficie respecto a un eje B-B’:
Ahora bien, considere un nuevo eje de
referencia A-A’ el cual está ubicado a una
distancia «d».
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Teorema de Ejes Paralelos
Estática - UIS
Ahora la inercia respecto al eje A-A’, en
función de la distancia y’ que se mide
desde el eje B-B’ hasta el elemento dA, es:
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Teorema de Ejes Paralelos
Estática - UIS
Ahora la inercia respecto al eje A-A’, en
función de la distancia y’ que se mide
desde el eje B-B’ hasta el elemento dA, es:
Resolvemos:
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Teorema de Ejes Paralelos
Estática - UIS
Ahora la inercia respecto al eje A-A’, en
función de la distancia y’ que se mide
desde el eje B-B’ hasta el elemento dA, es:
Resolvemos:
Momento de Área (Qx)
Distancia al cuadrado
por el área irregular
Momento de Inercia (Ix)
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Teorema de Ejes Paralelos
Estática - UIS
Ahora la inercia respecto al eje A-A’, en
función de la distancia y’ que se mide
desde el eje B-B’ hasta el elemento dA, es:
Resolvemos:
Qx con respecto al centroide es CERO
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Teorema de Ejes Paralelos
Estática - UIS
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Ejes Paralelos
Estática - UIS
Hallar la Inercia con respecto al eje T.
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Ejes Paralelos
Estática - UIS
Hallar la Inercia con respecto al eje AA’ de la figura triangular
que se conoce su inercia con respecto al eje BB’.
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Estática - UIS
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Procedimiento de
Inercias en Superficies Compuestas
Estática - UIS
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Superficies Compuestas
Estática - UIS
Procedimiento Simplificado:
1. Hallar las Inercias Individuales
Inercias Centroidales 2. Hallar Inercias con respecto a los ejes
paralelos comunes
Dist. Horizontales (dx) -> Iy
Dist. Verticales (dy) -> Ix
3. Sumar los efectos Inerciales para obtener la
total
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Estática - UIS
Determine los momentos de inercia respecto a los ejes «x» y «y» mostrados en
rojo para la siguiente figura:
EJERCICIO 5.2 – INERCIA COMPUESTAS
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Estática - UIS
Determine los momentos de inercia respecto a los ejes CENTROIDALES «x» y «y»
de la siguiente figura.
EJERCICIO 5.3 – INERCIA COMPUESTAS
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Estática - UIS
Determine los momentos de inercia respecto a los ejes CENTROIDALES «x» y «y»
de la siguiente figura.
x
y
ORIFICIO
EJERCICIO 5.4 – INERCIA COMPUESTAS
![Page 31: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/31.jpg)
Momento Polar de Inercia
Y Radio de Giro
Estática - UIS
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Estática - UIS
Momento Polar de Inercia
Existe también el Momento Polar de Inercia, el cuál
evalúa la Inercia usando coordenadas polares, es
decir, se calcula respecto a un punto de referencia o
polo.
Este es muy importante para determinar los efectos
torsionales de las fuerzas sobre un cuerpo.
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Estática - UIS
Momento Polar de Inercia
Existe también el Momento Polar de Inercia, el cuál
evalúa la Inercia usando coordenadas polares, es
decir, se calcula respecto a un punto de referencia o
polo.
Este es muy importante para determinar los efectos
torsionales de las fuerzas sobre un cuerpo.
Polar Centroidal
Polar en punto O
![Page 34: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/34.jpg)
Estática - UIS
Momento Polar de Inercia
El elemento bidimensional Torsional por excelencia
es el área circular:
CÍRCULO
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Estática - UIS
![Page 36: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/36.jpg)
Estática - UIS
Radio de Giro
Distancia de giro para un eje determinado.
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Estática - UIS
Determine el momento polar de inercia CENTROIDAL (Jo) y el radio de giro (ro)
de la siguiente figura:
EJERCICIO 5.5 – INERCIAS
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Estática - UIS
![Page 39: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/39.jpg)
Producto de Inercia
Estática - UIS
![Page 40: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/40.jpg)
Estática - UIS
Producto de Inercia
Cuando se quiere analizar cuál es el momento de inercia máximo y mínimo para
un área determinada, es necesario definir el producto de inercias Ixy, el cual se
define como:
Para algún eje paralelo:
¿Cual es el Steiner que se le aplica?
![Page 41: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/41.jpg)
Estática - UIS
Producto de Inercia
Cuando se quiere analizar cuál es el momento de inercia máximo y mínimo para
un área determinada, es necesario definir el producto de inercias Ixy, el cual se
define como:
Para algún eje paralelo:
![Page 42: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/42.jpg)
Estática - UIS
Producto de Inercia
Cuando se quiere analizar cuál es el momento de inercia máximo y mínimo para
un área determinada, es necesario definir el producto de inercias Ixy, el cual se
define como:
El producto de inercia centroidal cooresponde al
equilibrio de un área, por lo cual siempre es CERO
para secciones simetricas.
![Page 43: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/43.jpg)
Estática - UIS
Producto de Inercia
![Page 44: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/44.jpg)
Estática - UIS
Determine el producto de inercia centroidal de la siguiente figura.
EJERCICIO 5.6 – INERCIAS
![Page 45: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/45.jpg)
Momentos Principales de Inercia
Estática - UIS
![Page 46: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/46.jpg)
Estática - UIS
Momentos Principales de Inercia
Considere un área, cuyos momentos de inercia respecto a x y y son conocidos, al
igual que el momento polar y el producto de inercias.
Para este segundo caso las coordenadas
de dA son:
Entonces como se determina los
momentos de inercia en estos casos.
𝐼𝑥? 𝐼𝑦? 𝐼𝑥𝑦?
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Estática - UIS
Momentos Principales de Inercia
Determinamos los momentos de inercia y los dejamos en función de los valores
iniciales de inercia respecto a los ejes x y y:
Se pueden emplear las siguientes relaciones trigonométricas:
![Page 48: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/48.jpg)
Estática - UIS
Momentos Principales de Inercia
Las expresiones resultantes son:
Al sumar las expresiones obtendremos la relación final:
![Page 49: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/49.jpg)
Estática - UIS
Momentos Principales de Inercia
Las expresiones resultantes son:
Al sumar las expresiones obtendremos la relación final:
Radio de un círculo
Centro de un círculo
![Page 50: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/50.jpg)
Estática - UIS
Momentos Principales de Inercia
La expresión corresponde a la ecuación de un círculo las siguientes
características:
Donde I ave será el centro de dicha circunferencia
![Page 51: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/51.jpg)
Estática - UIS
Momentos Principales de Inercia
Con la gráfica se pueden analizar los valores
máximos y mínimos para cualquier posición
de los ejes x’ y y’, teniendo en cuenta:
Y el Angulo que forman las coordenadas
descritas:
![Page 52: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/52.jpg)
Resistencia de Materiales - UIS
Pasos para graficar el circulo de Mohr y obtener los esfuerzos principales:
1. Ubicar los puntos «X» y «Y»
2. Trazar una línea ente los puntos anteriores.
3. Formar un circulo aproximado.
4. El centro de ese circulo es Inercia promedio (Iave).
5. Los cortes con el eje horizontal son las Inercias principales (Imax, Imin).
6. El Radio del circulo en el sentido vertical corresponde al producto de Inercia máximo
(Ixy).
7. El ángulo principal es 2 veces el ángulo formado por la línea entre los puntos «X» con el
eje horizontal.
PROCEDIMIENTO del Circulo de Mohr
![Page 53: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/53.jpg)
Estática - UIS
Circulo de Mohr
Dados los puntos X y Y que representan los valores de Ixy y –Ixy respectivamente,
tenemos la siguiente gráfica:
X
Y
![Page 54: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/54.jpg)
Estática - UIS
Usando el Círculo de Mohr, determine la localización de los ejes principales de la
sección mostrada, y el valor de los momentos de inercia que se producen.
Recordar:
EJERCICIO 5.7 – INERCIAS
![Page 55: 5. Momentos de Inercia - PUBLICAR 2-2014](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022082202/563dbabe550346aa9aa7b2c3/html5/thumbnails/55.jpg)
Estática - UIS
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. Estática. Ferdinand P.Beer, E. Russell Johnston, Jr. Séptima Edición. Editorial McGraw Hill. 2002
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS. J.L Meriam, L.G Kraige. 1998
ESTÁTICA. R.C.Hibbeler. Editorial Prentice Hall Hispanoamaericana.
BENJUMEA R. José M. Material Didactico Clases Estatica . Universidad Industrial de Santander.
Bibliografía
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«Análisis de Estructuras»