5 Electricitate final.doc
-
Upload
andreea-grama -
Category
Documents
-
view
244 -
download
0
Transcript of 5 Electricitate final.doc
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
1/48
Tema 5 (am dat replace 4. cu 5.)Elemente de Electricitate.
Circuite de curent continuu i curent alternativ
5.1 Circuite de curent continuuIntroducerePentru caracterizarea strii de ncrcare electric a unui corp s-a introdus
noiunea de sarcin electric, care a fost pus n eviden experimental la studiulmai multor efecte sau fenomene legate de electrizarea corpurilor, cureniielectrici n corpuri solide, electrolii !i gaze, efectul fotoelectric, efectul"ompton, structura cristalin a solidelor, structura atomului, structura nucleuluiatomic etc. #-au pus n eviden dou tipuri de sarcin, pozitiv !i negativ. Prin
analiza legilor electrolizei !i n mod mai riguros prin experimentele lui $illi%an,s-a sta&ilit existena unei sarcini electrice elementare egal cu sarcina unui electron'',*+' '* "e = ,
!i s-a demonstrat structura discontinu a sarcinii electrice. ceasta nseamn corice sarcin macroscopic este compus dintr-un numr ntreg de sarcinielementare. nitatea de msur n #.. pentru sarcina electric este coulom&ul,".
#-a sta&ilit de asemenea c sarcina electric nu se creaz !i nu se distruge,astfel c ntr-un sistem izolat suma alge&ric a sarcinilor electrice este constant
/ *j
j
q = , (5.')ceea ce constituie legea conservrii sarcinii electrice.
0 sarcin electric creeaz n spaiul din 1urul su o stare a materieidefinit prin noiunea de cmp electric, prin intermediul cruia sarcinainteracioneaz cu alte sarcini. Pe vremea c2nd aceast noiune nu era clar,$ax3ell !i imagina c2mpul electromagnetic drept o entitate care se propag nspaiu, !i al crei suport este ea ns!i
Apare n mod natural ntrebarea: dac ceva este transmis de la o particul laalta, aflat la o anumit distan, ce devine acel ceva dup ce a prsit prima
particul i pn ajunge la a doua? Dac acel ceva este energia potenial a
celor dou particule, cum ne putem ncipui oare e!istena acestei energii ntr"
un punct al spaiului care nu coincide nici cu prima particul, nici cu cealalt?
Aceasta sugerea# conceperea unui mediu n care s aib loc propagarea i
dac, prin ipote#, admitem e!istena acestui mediu, cred c ar trebui s ocupe
un loc primordial n cercetrile noastre.ntensitatea c2mpului electric este o mrime vectorial definit ca fora
electric a lui "oulom& exercitat asupra sarcinii electrice unitate
'56
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
2/48
$%q
=r
(5.+)
7n #.. unitatea de msur a intensitii c2mpului electric este volt pe metru,8
m.
9eoarece fora lui "oulom& este o for conservativ, sunt vala&ile nacest caz urmtoarele relaii demonstrate forele conservative
grad% & &= = ,
pd ' "d% qd& = L
d& % dr & % dr = = r r
rot *% % = =
: *( A
A( A ( AA A A
A A
& % dr & & & % dr % dr & &
= = = = = = r r rr r r
, (5.6)
unde % dr
r
este circulaia vectorului c2mp electric pe un contur nc;is , !ieste egal cu zero (fig.'), iar & este potenialulelectric al sarcinii care a creat c2mpul deintensitate %.
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
3/48
dq)
dt= (5.4)
cosn n
n
d)j d) j ds j nds j ds jds j ds
ds= = = = = =
r rr r (5.5)
9in (5.4) !i (5.5) rezult
*
) j n ds= r
(5.)
#ensul convenional al curentului electric este sensulde deplasare al sarcinilor pozitive. nitatea demsur pentru intensitatea curentului electric este
amperul , iar pentru densitatea de curent + m .
5.1.1 Ecuaia de continuitate#arcina elementar fiind mult mai mic dec2t
sarcinile cu care lucrm la scar macroscopic, noipercepem de o&icei sarcina electric ca !i cum arvaria continuu. 9in acest motiv s-a introdus noiunea de densitate de sarcin."onsiderm un volum - , delimitat de suprafaa nc;is *, care conine sarcinaq , densitatea volumic de sarcin fiind (fig.6)
-dq q d-d- = =
9ac sarcina poate traversa suprafaa *, se poate sta&ili un curent )prinaceast suprafa, ceea ce va conduce la mic!orarea sarcinii din volumul -
-
dq) d-
dt t
= =
. (5.>)dentific2nd (5.) cu (5.>) !i folosind teorema ?auss-0strograds%i
( )* -j n ds divj d- = r
(5.@)o&inem
*divjt
+ =
r, (5.)
care se nume!te ecuaia de continuitate. 9up cum sepoate o&serva, ecuaia de continuitate constituie oconsecin a legii conservrii sarcinii electrice (5.').
5.1.2 Legea lui hmpentru un conductor metalic omogen ii!otrop
'55
!+
#
ds
j
*
Figura 2. "ectoruldensitate de curent
n
* -
Figura #. Ecuaia decontinuitate
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
4/48
plic2nd o diferen de potenial constant + '& & & = la capetele unuiconductor cilindric de seciune transversal * !i lungime l , n conductor sesta&ile!te un curent de intensitate ), constant n timp (fig.4). "urentul va aveaaceea!i valoare n orice seciune transversal a conductorului !i se nume!te
curent continuu.
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
5/48
=ucrul mecanic efectuat de c2mpul electric coulom&ian pentru deplasareaunei sarcini electrice q ntre dou puncte ntre care s-a sta&ilit o diferen de
potenial & este+q & ) t & ) . t = = = L , (5.'4)
unde am folosit pentru expresia lui & relaia (5.'*). cest lucru mecanic setransform n energie cinetic a purttorilor de sarcin, care datorit rezisteneint2mpinate la naintare de ctre purttorii de sarcin din partea mediuluiconductor, se transform la r2ndul ei n cldur. stfel, legea lui Boule su& formmacroscopic arat c la trecerea unui curent continuu de intensitate )printr-unconductor de rezisten . , n timpul t , se dega1 cantitatea de cldur /
+/ ) . t = (5.'5)
Pentru a sta&ili forma microscopic a legii lui Boule definim densitatea deenergie termic 0 ca mrimea ce exprim cldura dega1at n unitatea de volum!i n unitatea de timp
/0
* l t=
(5.')
"u notaiile din fig.4 putem scriel
.*
=
, astfel c formula (5.')
devine
+ + +
+
l) t) j*0
* l t *
= = =
)
#e o&serv c n forma microscopic at2t a legii 0;m (5.'6), c2t !i Boule(5.'>), n mem&rul drept apare conductivitatea !i intensitatea c2mpului electric.
5.1.% Interpretarea electronic& a legilor hm i $oulen model simplu al unui conductor metalic const dintr-o reea spaial cu
ioni pozitivi plasai n nodurile reelei, !i din electroni li&eri (de conducie),care se deplaseaz prin reea interacion2nd cu aceasta. Clectronii li&eri nuaparin unui atom sau altuia, ci aparin ntregului metal, !i se pot deplasa pe toatsuprafaa sa, comport2nu-se ca un gaz ideal. $i!carea electronilor n a&senaunui c2mp electric aplicat metalului este ;aotic, complet dezordonat/, !i secaracterizeaz la ec;ili&ru termodinamic prin energia cinetic medie c% , sau
'5>
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
6/48
prin viteza termic 1v . '* %molA3 = - numrul lui vogadro ) . 9in
(5.'@) rezult c la temperatura camerei 6**E1; ,
5
','@ '* mFs1v ; .=a aplicarea unui c2mp electric de intensitate % pe conductor, pestemi!carea permanent de agitaie termic a electronilor se suprapune o mi!careordonat a electronilor n ansam&lu, n sensul opus vectorului %. nteraciuneadintre electronii li&eri !i reeaua de ioni este caracterizat prin timpul li&ermediu dintre dou ciocniri succesive ale unui electron. =a c2mpuri mici !itemperatura camerei viteza medie a mi!crii ordonate a electronilor v este multinferioar vitezei termice ( )1v v= . "onsiderm c ansam&lul de electroni sedeplaseaz n c2mpul electric cu viteza v , denumit !i vite#a de drift, d2nd
na!tere la o densitate de curent j . "onform notaiilor din fig.4
) 4 3e l 3
j e v env* t * t * l -
= = = = =
, (5.')
unde n este concentraia electronilor li&eri, e este sarcina electronului, iar 3este numrul total de electroni din volumul de conductor - * l = .
Pentru determinarea vitezei de drift considerm c imediat dup ociocnire viteza mi!crii ordonate a electronului este zero. 9up un interval detimp egal cu timpul mediu ntre dou ciocniri viteza electronului devine
( )v a = , unde*
e%am
= este acceleraia electronului n c2mpul de intensitate %.
8iteza medie n mi!carea uniform variat este media vitezelor iniial !i final( )*
* *
*
+ + + + 1
v v a e% e% v
m m v
+ + = = = = (5.+*)
unde este drumul li&er mediu al electronului. ntroduc2nd (5.+*) n (5.')o&inem
+
* *+ +1 1
e% ne
j en %m v m v
= = ( 5.+')
'5@
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
7/48
)nterpretarea electronic a legii lui 5m6
"ompar2nd (5.+') cu forma local a legii lui 0;m (5.'6), o&inemexpresia conductivitii n funcie de mrimile care caracterizeaz gazulelectronic ( ), 1v , sau
+
*+ 1
ne
m v
= (5.++)
9efinind mo&ilitatea electronilor ca mrimea numeric egal cu viteza dedrift pe care o capt purttorul de sarcin ntr-un c2mp electric egal cu unitatea
v
% = , (5.+6)
o&inem expresia lui n funcie de mrimea microscopic timp li&er mediu
*
'+
e
m = . (5.+4)
9in (5.++) !i (5.+4) se poate o&ine simplu expresia conductivitii n funcie demo&ilitatea electronilor
ne = (5.+5)
)nterpretarea electronic a legii lui 7oule
Cnergia cinetic c2!tigat de un electron datorit mi!crii de drift n
mi!carea sa accelerat n timpul mediu dintre dou ciocniri este
( ) ( )
++ + + + + ++ +* *
+* * *
' '
+ + + +c1
m v m e% e % e % %
m m m v
= = = =
(5.+)
"onsiderm c n procesul de ciocnire electronul cedeaz integral aceastenergie reelei conductorului, su& form de energie termic. ), o&inemexpresia conductivitii n funcie de , sau n funcie de ( ), 1v
+
*+ 1
ne
m v
=
, (5.+@)
'5
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
8/48
Cxpresia (5.+@) fiind identic cu (5.++), nseamn c ipoteza privindmi!carea accelerat a electronului ntre dou ciocniri succesive su& aciuneac2mpului electric, cu cedarea ntregii energii cinetice acumulate n acest timpsu& form de cldur, conduce la interpretarea corect din punct de vedere
electronic a legilor lui 0;m !i Boule.
5.1.5 Legile electroli!eim artat c prezena unui curent electric ntr-un conductor reprezint un
transport de sarcini electrice. 9ensitatea fluxului de sarcini electrice estecaracterizat de densitatea de curent electric j nqv= . 9eoarece purttorii desarcin electric q posed !i o mas *m , rezult clar c transportul de sarcinelectric este nsoit ntotdeauna !i de un transport de mas. 9ensitatea fluxului
de mas mj reprezint masa de su&stan ce trece n unitatea de timp prinunitatea de arie a seciunii transversale din conductorul respectiv. Cfectu2nd unraionament analog cu cel pentru calculul lui j , se a1unge simplu la expresia
*mj nm v= : (5.+)
* *m mj m m
j jj q q
= = . (5.6*)
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
9/48
' +6 "', '* ,*+6 '* 4**ec;ivalent gramA
$ e3 = = =
,
unde A este masa atomic a su&stanei respective !i se exprim n grame, $
este numrul lui
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
10/48
Pe rezistena extern . cade diferena de potenial ' +& & , iar pe rezistenaintern rcade + '& & , legea lui 0;m pentru aceste poriuni av2nd forma
' + + ':). & & )r & & = = (5.64)ceste diferene de potenial, ca !i curentul prin circuit se menin numai dac nanumite locuri din circuit apar salturi de potenial la interfeele dintre electrozi !ielectrolit, datorit reaciilor c;imice din aceste locuri. 9reptele verticale dinfig. reprezint aceste salturi de la +& la +& , !i de la '& la '& . 7nsum2nd celedou relaii din (5.64), o&inem
) . r & & & & + = + (5.65)
ntroduc2nd notaiile
:& & & & = = E , (5.6)
!i definind suma ' +=E +E drept tensiuneaelectromotoarea sursei galvanice, relaia (5.65) vaavea forma
( )) . r+ =Esau
)= E (5.6>)
!i reprezint legea lui 5m pentru un circuit ncis, neomogen, cu surs detensiune electromotoare. Ielaia (5.6>) se poate scrie !i su& forma
' + b& & & ). )r = = = E (5.6@)
unde b& se mai nume!te tensiunea la bornele sursei. "2nd . , *) !ib
& E , astfel c putem defini tensiunea electromotoare ca tensiunea la &ornen circuit desc;is. n voltmetru de rezisten foarte mare legat la &ornele uneisurse va indica o tensiune egal cu tensiunea electromotoare a sursei.
#e mai define!te curentul de scurt"circuit al unei surse curentul prin
circuit c2nd rezistena extern tinde ctre zero
4Jn#0
4"u#0
"uJn r
.'
&+
&
A
'&
+& .
(rE , )
+
Figura 5. Circuit nchis cu surs& galvanic&
)a )b
'+
'&
'&
+&
+&
'
'
+
+
Figura.( )alturi depotenial la inter*ee
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
11/48
* sc. )r
E
. (5.6)
1ensiunea electromotoare
#-a artat c circulaia vectorului c2mp electric coulom&ian pe un drum
nc;is este zero (5.6). 7nmulind (5.6) cu sarcina electric rezult c !i lucrulmecanic produs de acest c2mp pe un circuit nc;is este zero, astfel c pentruntreinerea unui curent electric pe un drum nc;is nu este suficient aciuneac2mpului electric coulom&ian.
"onect2nd la &ornele unei surse de tensiune electromotoare o rezistende sarcin . (fig.5&), prin rezisten se va sta&ili un curent constant n sensul dela potenialul ridicat (polul pozitiv al sursei) la potenialul co&or2t (polul negatival sursei). #arcina pozitiv se va deplasa de la A la ( , n sensul c2mpuluicoulom&ian. Pentru a pstra n toate punctele circuitului acela!i sens al
curentului, n interiorul sursei tre&uie efectuat un lucru mecanic mpotrivac2mpului coulom&ian. Iaionamentul este acela!i !i pentru mi!careaelectronilor, sc;im&2nd sensul de parcurgere a circuitului nc;is.
=ucrul efectuat asupra sarcinii n interiorul sursei este rezultatul aciuniiunui c2mp electromotor, de natur diferit de a c2mpului coulom&ian, careconduce la conversia unei forme oarecare de energie n energie electric. 7ntr-un
punct al circuitului (fig.5), asupra unei sarcini electrice acioneaz n generalrezultanta re#% a c2mpului coulom&ian % !i a c2mpului electromotor e%
re# e% % %= + (5.4*)7n unele poriuni sau puncte ale circuitului c2mpul electromotor poate fi nul. 7ninteriorul sursei, n general c2mpurile % !i e% au sensuri opuse.
"irculaia vectorului re#% de-a lungul unei linii de circuit nc;ise este
re# e% dl % dl % dl = + ,
unde *% dl = , iar *e% dl c2nd n circuit se afl o surs de tensiune
electromotoare. 9efinim tensiunea electromotoare a surseie
% dl= , (5.4')ca mrimea fizic ce reprezint lucrul mecanic efectuat de c2mpul electromotor
pe poriunea de circuit unde c2mpul electromotor este diferit de zero, asupraunei sarcini electrice unitate. 7n fig. se poate o&serva mersul potenialuluielectric de-a lungul unei linii de curent. Kensiunea electromotoare este egal cusuma salturilor de potenial ' ' !i ++ de la interfeele electrod-electrolit.
Pentru a caracteriza tensiunea electromotoare din punct de vedere
energetic tre&uie luat n calcul !i efectul Boule pe poriunile rezistive alecircuitului, din exteriorul !i interiorul sursei. "ldura disipat prin efect Boule la
'6
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
12/48
trecerea curentului electric este ec;ivalent cu lucrul mecanic efectuat de o foranaloag cu o for de frecare, notat cu 7$ . Got2nd fora asociat c2mpuluielectromotor cu e$!i fora coulom&ian cu $ , lucrul efectuat de toate acestetrei fore asupra sarcinii pozitive unitate, n stare staionar, va fi egal cu zero
* e 7$ dl $ dl $ dl + + =
7n interiorul sursei de tensiune electromotoare toi termenii sunt diferii de zero,iar n exteriorul sursei sunt diferii de zero numai primul !i ultimul termen.
5.1.+ Legea lui hm pentru o poriune neomogen& decircuit ,generali!at&-
# exprimm diferena de potenial dintre dou puncte ale unui circuit, de
exemplu A !i ( din fig.>. 9up teorema superpoziiei c2mpurilor electrice, nfiecare punct al circuitului o sarcin este supus aciunii c2mpului
re# e% % %= + , (5.4+)
unde % este intensitatea c2mpului coulom&ian !i e% este intensitatea c2mpuluielectromotor generat n interiorul sursei de tensiune. 7n interiorul unei surse aparam&ele c2mpuri, acestea fiind egale !i de sens contrar. Gumai astfel rezultantaforelor ce acioneaz asupra sarcinilor li&ere n aceast zon (electronii) va fizero, permi2nd astfel deplasarea acestora de la &orna cu polaritate pozitiv lacea cu polaritate negativ pentru a nc;ide circuitul
= . (5.46)
7n afara sursei de tensiuneintensitatea c2mpului electromotor
e% va fi nul. Pentru c2mpul
coulom&ian putem scrie relaiadintre c2mp !i potenial su& forma
(
A( ,
A
- % dl = rr , (5.44)
unde A(- este diferena de potenial ntre dou puncte A !i ( ale circuitului,iar dl este elementul de deplasare, n timp ce pentru c2mpul electromotor se
poate scrie o relaie analoag
( )e e A(A(A(
- % dl = = rr
E , (5.45)
'4
)
+E
'E
6.+.'. (A
Figura +. Legea lui hm generali!at&
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
13/48
unde A( reprezint tensiunea electromotoare dintre ntre punctele A !i ( .7nmulim am&ii mem&rii ai relaiei (5.4+) cu dl !i integrm de la A la (
( ( (
re# e
A A A
% dl % dl % dl = +
r r rr r r. (5.4)
Lin2nd cont de (5.'6), prima integral din (5.4) poate fi scris astfel( ( ( (
re# A(
A A A A
j ) dl% dl dl dl ) ).
* *
= = = =
r rr
, (5.4>)
deoarece(
A
dl
*
este suma rezistenelor o;mice ntre punctele A !i ( . 7nlocuind
(5.44), (5.45) !i (5.4>) n (5.4) se o&ine legea lui 0;m generalizat
A( A( A(). -= +E
sau
A ( A( A(- - ). = E , (5.4@)
Pentru poriunea de circuit din fig.>
' + 6A(. . . .= + + !i ' +A( = E E . 7n cazul
general,'
n
A( j
j
. .
=
= !i'
m
A( i
i=
= E E .9ac circuitul este nc;is (punctul A coincide
cu ( ), din legea lui 0;m generalizat se o&ine legeaa doua a lui Eir%;;off (fig.@)
2 i
2 i
) . = E .
5.1. Legile lui /irchho** i aplicaii0 reea electric oarecare este constituit din mai multe laturi (ramuri),
noduri !i oc;iuri. n nodal circuitului reprezint un punct n care se nt2lnesccel puin trei cureni electrici, care vin sau pleac prin trei laturi ale circuitului.5ciuleste un circuit nc;is format ar&itrar n circuitul complex considerat !icare conine cel puin dou laturi. 0 latureste poriunea de circuit cuprinsntre dou noduri succesive. Iezolvarea pro&lemelor care se refer la circuitelecomplexe se face in2nd seama de cele dou teoreme ale lui Eirc;;off.
9egea nti a lui 8ircoff
Cste o consecin a legii generale de conservare a sarcinii electrice, !i seenun astfel
#arcina electric care intr n unitatea de timp ntr-un nod este egal cu sarcinaelectric care iese n unitatea de timp din nodul respectiv.
'5
,A (
+.
6.
'.
'
E
Fig. Legea hmgenerali!at&
pentru o 0ucl&
+E
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
14/48
Pentru exprimarea intuitiv a primei legi, se adopt o regul a semnelorpur convenional pentru intensitile curenilor electrici. 7n fig. se consider
pozitive intensitile curenilor electrici care intr ntr-un nod ( )' + 6, ,) ) ) , !i negative intensitile curenilor
electrici care ies din nodul respectiv ( 4) !i )5) . "uaceast regul a semnelor prima lege a lui Eirc;;off semai enun !i astfel#uma alge&ric a intensitilor curenilor electricintr- un nod este zero
/
'
*n
i
i
)=
= . (5.4)
A doua lege a lui 8ircoff
#uma alge&ric a cderilor de tensiune i i) . de pe laturile unui oc;i este egalcu suma alge&ric a tensiunilor electromotoare a surselor de curent care se afln oc;iul respectiv
/ /
' '
m n
i i i
i i
) .= =
= E . (5.5*)#e sta&ile!te mai nt2i un sens pozitiv de parcurs a laturilor oc;iului.
Iegula semnelor este- pentru tensiunea electromotoare i se ia semnul ( )+ dac sensul curentuluide&itat de sursa respectiv (n cazul n care ar fi singura din circuit) coincide cusensul pozitiv ales, iar semnul ( ) se va lua n caz contrar:- pentru produsul i i) . (cderea de tensiune pe rezistorul M Mi ) se ia semnul ( )+dac curentul i) are acela!i sens cu sensul pozitiv ales, iar semnul ( ) se va luan caz contrar.
etoda de aplicare a legilor lui 8ircoff6
'. +.') +))
'
+
. ..' ',rE
++ +,rE
+
Figura 1. etoda de aplicare a legilor lui /irchho**
'
Figura 3. Legea nt4ia lui /irchho**
5)
')
4
)
6)+)
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
15/48
#e determin numrul de laturi ( )# !i numrul de noduri ( )n . #e fixeazn mod ar&itrar sensul curenilor din fiecare latur.
#e sta&ile!te nt2i un nod oarecare, acesta fiind considerat primul nodindependent, n care scriem legea nt2i a lui Eirc;;off (5.4). rmrim apoi
existena altor noduri independente - care s conin cel puin o intensitate acurentului electric care nu a fost cuprins n primul nod. 9up ce am sta&ilit cele
'3 noduri independente, scriem pentru fiecare legea nt2i a lui Eirc;;off. 9eexemplu, circuitul din fig.'* are un singur nod independent, ' sau +.
#e determin apoi numrul de laturi #, care reprezint de o&icei cureniidin laturile circuitului.
A (
,
D
...'
)
. ..
+.
6.
4. 5.
.
+)
6)
4) 5)
))
Figura 11. plicaie la legilelui /irchho**
'.
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
16/48
"onsiderm circuitul din fig.'+, n care fiecare rezisten are valoarea r.plic2nd tensiunea &ntre punctele A !i ( ale circuitului, prin laturile acestuiavor trece curenii conform fig.'+ (s-a inut cont de simetria 1os-sus !i st2nga-dreapta a circuitului). #e o&serv c exist numai trei noduri independente (celemarcate cu cerc gol), n care legea nt2i a lui Eirc;;off se va scrie astfel
'+) )= : (5.5')
' + 6) ) )= + : (5.5+)
4 6+) )= . (5.56)
9e asemenea, o&servm c exist un singur oc;i independent, n care pentrusensul de parcurs indicat se scrie legea a doua a lui Eirc;;off
+ 6 4+) ) )= + . (5.54)
Kensiunea &poate fi scris, pe de o parte
A(& ).= , (5.55)
iar pe de alt parte, urmrind un traseu oarecare ntre punctele A !i ( ' + '& ) r ) r ) r = + + . (5.5)
dentific2nd (5.55) cu (5.5) o&inem
r)
)).A(
+=
+'+ . (5.5>)
9in (5.5'-5.54) eliminm 6) !i 4) , !i o&inem ') !i +) n funcie de )
'
+
)) = , +
+
5
)) = ,
care se nlocuiesc n (5.5) o&in2ndu-se
')
')
')
')
6)
)4) )
6)
6)
+)
+)
&
(A
Figura 12. Circuit cu simetrie
.
6)
'@
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
17/48
>
5A(. r= . (5.5@)
%!emplul =6 9egarea surselor n paralel
9up cum se o&serv n fig.'6 a, exist un singur nod independent, ncare scriem legea nt2i a lui Eirc;;off
'
n
i
i
) )=
= , (5.5)!i n oc;iuri independente, n care legea a doua a lui Eirc;;off are aceea!iform
i i i) r ).= + . (5.*)
7nlocuind i) din (5.*) n (5.5) o&inem
'
'
''
n
i
i in
i i
r)
.r
=
=
=+
E
. (5.')
Pe de alt parte, o surs ec;ivalent cu sistemul celor n surse legate n paralel artre&ui s de&iteze acela!i curent )prin aceea!i rezisren exterioar .
'
'
'
'
' ' ''' '
n
pp p p i i
n
pn
i i
p i i
r)
. r. . .
rr r
=
=
=
= = = =+ + + +
EE E E
(5.+)
dentific2nd formulele (5.') !i (5.+), o&inem
'
'
n
i
i ip n
r==
E . (5.6)
7n cazul general suma de la numrtor este alge&ric,pentru c sursele pot de&ita n sensuri diferite.
7n cazul particular al dou surse ce de&iteaz nsensuri opuse, tensiunea electromotoare ec;ivalent din(5.6) are expresia
'
)
)
)
')
+)
6)
2)
n)
. )
+ +, rE
6 6, rE
,2 2rE
,n nrE
' '
, rE
,p prE
.
Figura 1#. Legareasurselor n paralel
)
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
18/48
' +
' + + '' +
' +
' +
' 'pr rr r
r r
r r
= =++
E E
E E.
9e aici se desprinde o regul legarea n paralel, anume c sursele tre&uies ai& curenii de scurt-circuit de valori c2t mai diferite, n caz contrar tensiuneaelectromotoare ec;ivalent poate fi nul.
5.1.3 Teorema superpo!iiei.ceast teorem este vala&il numai n circuite liniare, !i se enun astfel
"urentul electric dintr-o latur a unui circuit n care exist mai multe surse estesuma alge&ric a curenilor produ!i n acea latur de fiecare surs n parte, dacar aciona singur n circuit, celelalte surse fiind scurt-circuitate sau nlocuite cu
rezistena lor interioar (dac rezistena interioar este diferit de zero).#e recomand folosirea acestei teoreme la reele simple cu laturi legate n
paralel, care conin surse de curent (cel mult dou) sau rezistoare, ca n fig.'5.Pentru calculul curenilor din circuitul a), n prima etap vom considera circuitul
&), n care + *= . "urentul ') se va calcula direct din formula
''
+'
+
).r
r. r
=+
+
E
,
iar curenii +) !i .) din sistemul de ecuaii
' +
+
.
.
) ) )
) . ) r
= + =
Iezolv2nd sistemul o&inem
+'
+.
r) )
. r =
+ !i + '+
.) )
. r =
+ .
.' ', rE + +, rE
)a
' ', rE
. +r
)b')
+)
.)
+ +, rE'r .
)c') +)
.)
Figura 15. Ilustrarea teoremei superpo!iiei
'>*
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
19/48
7n etapa a doua considerm circuitul &), de unde proced2nd la fel ca lacircuitul a), o&inem
++
'
+'
).r
r . r
=
++
E
,'
+
'
.
r) )
. r
=
+!i ' +
'
.) )
. r
=
+.
"urenii reali din circuitul a) vor fi, conform teoremei superpoziiei
' ' ' + + +: : .. . .) ) ) ) ) ) ) ) ) = + = =
5.1.1 Teorema trans*erului ma6im de putere.Puterea electric total consumat prin efect Boule n circuitul din fig.5 &
este
( )+ + +> ) . ) r ) . r= + = + , (5.4)
iar puterea consumat pe rezistena extern . este
+e> ) .=
(5.4)
. ). r
=+
EE =
(5.5)
( )( )
+
+e
.> .
. r=
+E
(5.)
#e define!te randamentul energetic alcircuitului
e> .
> . r
= =
+ (5.>)
Ieprezent2nd ( )> . , ( )e> . !i ( ). n fig.'5, o&servm urmtoarele
- pentru ( ) ( )+
max* * : * *e. > > >r
= = = =E
!i ( )* * = :
- pentru ( ) ( )+ +
max :+ 4e e. r > r > r >
r r= = = =
E E!i ( )
'
+r = :
- pentru *: *e. > > !i ' .
Pentru aflarea valorii maxime a lui e>n (5.) !i s-a pus condiia *
ed>
d. =, o&in2ndu-se . r= !i apoi s-a nlocuit . cu rn (5.). Cste vor&a ntr-adevr
'>'
e>
'
( ) maxe>
max>
>
*,5
r .Figura 15. Trans*erul de putere
pe re!istena e6terioar&
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
20/48
de un maxim, deoarece+
+ *e
d >
d.< la . r= . stfel, transferul optim de putere de
la surs la circuitul extern (rezistena de sarcin) se face c2nd rezistena externeste egal cu rezistena intern a sursei.
9e!i randamentul are valoarea maxim egal cu ' la . , situaia nupoate fi folosit n practic pentru c at2t >, c2t !i e>tind ctre zero la . .
%!emplul
#e grupeaz n surse identice n paralel, apoi n serie. Iezistena interioara unei surse fiind r, s se determinea) valoarea rezistenei exterioare, racordat separat la cele dou grupri, pentrucare intensitatea curentului este aceea!i n fiecare circuit:
&) "e grupare realizeaz un randament mai mareN
.e#olvare
a) Pentru gruparea cu sursele legate n paralel ')
r.
n
=+
E
: Pentru gruparea
serie, +n
). nr
=+E
. 9in condiia ' +) )= se o&ine
. r=
&)
( )'' +
+
' '
:' '
n . nr
r nr n. r
n. .
+ = = = ++ + . 7n condiiile punctului a),
unde . r= , se o&ine
'
+
'n
= > .
5.2 Circuite cu regim tran!itoriu
cest regim se nt2lne!te la conectarea unui circuit la o surs de tensiuneelectromotoare, sau la deconectarea sursei din circuit, pstr2nd circuitul nc;is.8om considera vala&ile legile lui Eirc;;off n regim tranzitoriu, !i vom analizacircuite liniare, n care parametrii ,. 9 !i ,ai circuitului nu depind de timp.
8om discuta regimul tranzitoriu n cazul unor circuite tipice.
5.2.1 CircuitR-Lseriea@ cu surs de tensiune electric
7n circuitul din fig.' a), cu sursa galvanic conectat, scriem legea a
doua a lui Eirc;;off pentru tensiunile din circuit
'>+
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
21/48
* *d) d) .
9 .) )dt dt 9 9
+ = + =E
E (5.@)
#epar2nd varia&ilele )!i t!i apoi integr2nd, o&inem soluia
( )
.t
9) t e.
= +E
(5.)
"onstanta , se determin din singura condiie iniial la *t= avem *)= .
7nlocuind n (5.) o&inem constatnta .
= E
care nlocuit n (5.) ne
conduce la soluia, reprezentat grafic n fig.'> a)
'.
t9) e
.
=
E (5.>*)
$rimea9
. = se nume!te constanta de timp a circuitului, !i ne d msura
timpului necesar pentru ca circuitul s ating regimul permanent.
9in (5.>*) rezult c n regim permanent ).
E
.
b@ fr surs de tensiune electric
9esc;iz2nd comutatorul '8 !i nc;iz2nd simultan +8 , scriem legea adoua a lui Eirc;;off pentru circuitul fr surs din fig.' &)
*d)
9 .)dt
+ = (5.>')
#epar2nd varia&ilele !i integr2nd, o&inem soluia reprezentat grafic n fig.'>&)
*
t
) ) e = , (5.>+)
E
.9
+
+8
'8
Figura 1(. Circuit tran!itoriu serie
a-
+8
'8
.
E
+
9
0-
'>6
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
22/48
unde *) este intensitatea la momentul iniial *t= !i are expresia *).
=E
.
"onstanta de timp9
. = este egal cu timpul n care intensitatea curentului )
devine de M Me ori mai mic dec2t valoarea iniial *) . 9in (5.>*) rezult c nregim permanent *) .
5.2.2 CircuitR-Cseriea@ cu surs de tensiune electric
7nlocuim n circuitul din fig.' a) inductana 9 cu un condensator de
capacitate ,, !i sciem legea a doua a lui Eirc;;off pentru tensiunile din circuit
*q
.)
+ =E , (5.>6)
unde )!i q sunt valorile instantanee ale intensitii curentului, respectiv sarcinii
de pe una din plcile condensatorului. Lin2nd cont cdq
)dt
= , (5.>6) se va scrie
*dq q
dt . .
+ =E
(5.>4)
#oluia ecuaiei (5.>4) se o&ine la fel ca soluia ecuaiei (5.@)
' 't t
.,q , e , e
= = E E , (5.>5)
unde constanta de timp a circuitului are acum expresia
. = (5.>)
9ependena de timp a intensitii curentului prin circuit se o&ine de la definiie
)
t9.
=
).
=E
)aFigura 1+. 7ependena pentru circuitele din *ig.1( a- i 0-
)
t9.
=
*).
= E
)b
'>4
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
23/48
t
.,dq
) edt .
= =E
(5.>>)
9in (5.>5) !i (5.>>) rezult c n regim permanent q =E !i *)= .
b@ fr surs de tensiune electric
9esc;idem, n circuitul din fig.', comutatorul '8 !i nc;idem simultan
+8 (circuit fr surs).
7nlocuind inductana 9 cu condensatorul de capacitate ,, !i scriind legeaa doua a lui Eirc;;off pentru tensiunile din circuit, o&inem
* *q dq q
.) dt .
+ = + = , (5.>@)
#epar2nd varia&ilele !i integr2nd, o&inem soluia reprezentat grafic n fig.'>&)
*
t t t
.,q e e q e
= = =E E , (5.>)
unde *q =E este sarcina din regimul permanent, la momentul iniial.
7n fig.'@ sunt reprezentate grafic circuitele . serie cu surs (a),respectiv fr surs !i cu circuitul meninut nc;is (&).
9eriv2nd (5.>), o&inem intensitatea curentului prin circuit n funcie de timp
*
t tdq q
) e edt . .
= = =
E (5.@*)
9ependena exponenial de timp ne indic sta&ilirea unui curent prin circuit lanc;iderea comutatorului +8 , care apoi tinde n valoare a&solut la zero, la fel ca!i sarcina q de pe plcile condensatorului.
9in (5.>) !i (5.@*) rezult c n regim permanent at2t q , c2t !i )devin zero.
q
t., =
q ,=E
)aFigura 1. 7ependena pentru un circuit serie
q
t., =
*q ,=E
)b
'>5
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
24/48
5.2.# CircuitR-L-Cserie"ondensatorul fiind iniial ncrcat, n
circuit va apare un curent electric datoritvariaiei sarcinii electrice pe condensator.
#criem legea a doua a lui Eirc;;off
*d) q
9 .)dt
+ + = , (5.@')
care dup transformri simple se poate scrie+
+*
d q . dq q
dt 9 dt 9 + + = . (5.@+)
m o&inut astfel o ecuaie identic cu ecuaia oscilatorului armonic amortizat
(+.5), care are soluia (+.'*6). Cfectu2nd nlocuirile+
+ + +
* *
' ': :
+ +
. .
9 9 9 9
= = = =
: ++
+ '+
.1
9 .
9 9
= =
,
o&inem soluia ecuaiei (5.@+) su& forma
+* *( ) cos( )
.t
9q t q e t
= + , (5.@6)
unde *q este valoarea maxim a sarcinii electrice de pe una din armturilecondensatorului, iar * este faza iniial.#e poate arta c rezolvarea ecuaiei (5.@+) poate conduce, n cazul *. ,
la urmtoarele soluiia) 9ac
+
+
' 4
+
. 9
9 9 .
>
9 ,
)
.
Figura 13. CircuitR-L-Cserie
Figura 2. "ariaia n timp asarcinii ntr8un circuit serieR-L-C
( )q t
t*
t
*t 1+
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
25/48
.
, ecuaia caracteristic +'
*.
9 9 + + =
are dou soluii reale+
',+ +
4. .
9 9 9 = 8om alege soluia ecuaiei (5.@+) su& forma ( ) ' +
t tq t Ae A e = + .
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
26/48
( )*
't
med
q) ) t dt
t t= = (5.@)
ceea!i formul este vala&il !i pentru tensiunea mediea curentului alternativ
( )*
' t
med& & t dt
t= (5.@>)
Puterea instantanee a curentului alternativ de intensitate ), care treceprintr-un circuit pe care se aplic tensiunea &, este
( ) ( ) ( )i> t & t ) t= . (5.@@)
Cnergia a&sor&it de circuit n timpul unei perioade 1este
( ) ( ) ( )*
1
/ t & t ) t dt = (5.@)Puterea medie se define!te astfel, n cazul n care perioada este constant
( ) ( )*
' 1
/> & t ) t dt
1 1= = (5.*)
Pentru un circuit format din rezistena . tensiunea va fi & ).= !i putereamedie, care se disip su& form de efect Boule, devine
( )+
*
' 1> .) t dt1
= (5.')
-aloarea efectiva curentului alternativ este valoarea curentului continuucare ar produce acela!i efect Boule printr-o rezisten identic n acela!i timp
+ef
> .)= (5.+)
9in (5.') !i (5.+) rezult valoarea efectiv a curentului alternativ
( )+*
'
1
ef) ) t dt1= , (5.6)
!i analog valoarea efectiv a tensiunii este
( )+
*
' 1
ef& & t dt
1= . (5.4)
Pentru un curent alternativ sinusoidal, intensitatea ntr-un circuit are expresia
( )*cos) ) t
= , (5.5)Puterea instantanee a unui circuit ce conine numai rezistena . este
'>@
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
27/48
( )+ +* cosi> .) t= , (5.)
iar expresia puterii medii (5.') devine
( )
++ + *
**
'
cos +
1.)
> .) t dt1= = , (5.>)unde am folosit faptul cunoscut c valoarea medie pe o perioad
+1
=
a
funciei ( )+cos t , ca !i a funciei ( )+sin t , este zero. "ompar2nd (5.+)cu (5.>) o&inem n acest caz valoarea efectiv a intensitii
*
+ef
)) = (5.@)
!i analog pentru valoarea efectiv a tensiunii
*
+ef
&& = (5.)
8alorile efective prezint o importan at2t practic, deoarece uneleaparate msoar c;iar valorile efective, c2t !i teoretic. 7n fig.+' sunt trasatedependenele de timp pentru intensitatea ), puterea instantanee i>, !i puterea
medie >, cu condiia iniial * +
= .
5.#.2 Circuite serie
'>
t
i>
, ,i
) > >
)
+
*
+
.)>=
+1
=
Figura 21. "ariaia n timp a m&rimilorcaracteristice curentului alternativ
ef&
ef
ef
&)
.=
Figura 22 7iagrama*a!orial&
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
28/48
ircuit format din re#isten
plic2nd pe o rezisten . tensiunea alternativ &
* cos + cosef& & t & t = = ,vom o&ine din legea lui 0;m intensitatea curentului prin rezisten
**
+cos cos cos + cosef ef
&& &) t t ) t ) t
. . .= = = = = (5.'**)
7n diagrama fazorial din fig.++ vectorii intensitate efectiv !i tensiuneefectiv au aceea!i direcie !i acela!i sens.
ircuit format din inductan
plic2nd pe o &o&in ideal de inductan 9tensiunea alternativ &(5.), din legea induciei vom
o&ine intensitatea curentului prin inductan
*
't
d) &dt & 9 d) ) &dt
dt 9 9= = = (5.'*')
7nlocuind (5.) n (5.'*') !i integr2nd, vom o&inepentru )expresia
' '+ sin + cos + cos
+ +ef ef ef ) & t & t ) t
9 9
= = = (5.'*+)
9up cum se poate vedea !i n diagrama fazorial din fig.+6, vectorul
intensitate a curentului este defazat n urm fa de vectorul tensiune cu+
. #e
define!te reactana inductiv prin notaia 99 = . 9in (5.'*+) rezult
ef ef
ef
9
& &)
9 = =
(5.'*6)
ircuit format din capacitate
plic2nd tensiunea alternativ &(5.) pe o
capacitate ,, dinq
&
= !idq
)dt
= se o&ine
intensitatea curentului prin capacitate
+ sin + cos+ef ef
d&) & t & t
dt
= = = +
(5.'*4)
'@*
ef&
ef
ef
&)
9=
Figura 2#. 7iagrama
*a!orial&
ef&Figura 25. 7iagrama
*a!orial&
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
29/48
9up cum se poate vedea !i n diagrama fazorial din fig.+4, vectorul
intensitate a curentului este defazat n avans fa de vectorul tensiune cu+
. #e
define!te reactana capacitiv prin notaia'
=
. 9in (5.'*4) rezult
ef
ef ef
&) &
= = (5.'*6)
ircuit serie format din re#isten, inductan i capacitate
plicm la capetele circuitului serie din fig.+5 tensiunea alternativ
cos + cos& & t & t = = 9up legea a doua a lui Eir%;;off, tensiunease distri&uie pe elementele de circuit
& & & & = + + , (5.'*4)
unde
: :. 9
d) q& .) & 9 &
dt = = = . (5.'*5)
9in (5.'*4) !i (5.'*5) o&inem+
+ +cosef&d q . dq q t
dt 9 dt 9 9+ + = (5.'*)
"ompar2nd (5.'*) cu ecuaia oscilatorului ntreinut (+.''*)+
+ **+
+ i td ! d! $
! edt dt m
+ + =
!i fc2nd analogiile +*'
+ :.
9 9 !i * *
$ &
m 9 , o&inem soluia lui (5.'*)
su& forma
( )( )
*
++ '
i t& e
q t
. 9
= +
,
legem partea real a exponenialei
( ) ( )*
++
cos
'
& tq t
. 9
=
+
(5.'*>)
'@'
9 ,.
Figura 25. Circuit serieR-L-C
&
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
30/48
unde, conform cu relaia + +*
+tg
= (+.''6) !i folosind analogiile, o&inem
tg
'
.
9
=
(5.'*@)
"urentul prin circuit se o&ine prin derivare
( ) ( ) **
+ ++ +
cossin +
' '
& t& tdq
) q tdt
. 9 . 9
+ = = = = + +
, (5.'*)
unde vom face nlocuirea+ = . Lin2nd cont de relaia trigonometric
tg tg ctg+
= =
, relaiile (5.'*@) !i (5.'*) se vor avea forma final
'
tg 9 9
. .
= = , (5.''*)
respectiv
( )( ) ( )* *
++
+coscos cos
'
ef&& t &
) t tB B
. 9
= = =
+
(5.''')
unde 9 = este reactana total, iar+
+ 'B . 9
= + impedana
circuitului. "u efef
&)
B= , formula (5.''') se mai poate scrie su& forma
( ) ( ) ( )*+
cos + cos cosefef&
) ) t ) t tB
= = = , (5.''+)
7n diagrama fazorial din fig. + se o&serv c tensiunea Ief& pe
rezisten este n faz cu vectorul intensitate a curentului, tensiunea =ef& pe
inductan este defazat cu+
n avans, iar tensiunea "ef& pe capacitate n
urm fa de intensitate. Prin nsumarea vectorial a lui Ief& cu =ef& !i cu "ef&
'@+
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
31/48
se o&ine tensiunea ef& , iar estedefaza1ul dintre ef& !i ef) (ntre tensiuneatotal pe circuit !i intensitatea curentului
prin circuit).ircuit serie format din mai mult
de trei reactane
7n fig.+>, +cosef& & t= estetensiunea alternativ la capetele unuicircuit format din dou rezistene '. !i +.
, dou inductane '9 !i +9 , respectiv ocapacitate ,. Ge a!teptm ca intensitatea curentului prin circuit s fie de forma
( )+cosef) ) t= .
"el mai simplu mod de a determina defaza1ul * !i relaia dintre valorileintensitii curentului !i tensiunii pe circuit este metoda diagramei fazoriale, n
care vom lua drept referin orientarea vectorului ef) (fig.+@). 7nsum2ndvectorial tensiunile, se o&ine vectorul tensiunii efective totale ef& !i defaza1ul al acestuia fa de vectorul ef) . Ielaia dintre ef) !i ef& se va scrie astfel
( )+
++ +
' + ' +
'ef ef
& ) . . 9 9 .
= + + + = + (5.''6)
Iezultatele calitative o&inute prin metoda diagramei fazoriale sunt de cele maimulte ori suficiente n analiza unui circuitserie de orice tip.
5.#.# Circuite derivaie,paralel-
ircuit paralel cu re#isten, inductan i
capacitate
plicm la &ornele circuitului din fig.+
tensiunea alternativ +cosef& & t= , !i
&
'. +.'9 +9 ,
Figura 2+. Circuit serie *ormatdin mai mult de trei reactane
'@6
ef)
ef&
'Ief&
+Ief&'=ef&
+=ef&ef ,&
Figura 2. 7iagrama *a!orial&
a circuitului serie *ormatdin mai mult de trei reactane
=ef&=ef&
"ef&
"ef& Ief
&
ef&
Figura 2(. 7iagrama *a!orial&la un circuit serieR-L-C
ef)
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
32/48
scriem relaia ntre intensitile curenilor prin rezisten .) , inductan 9) , !icapacitate )
) ) ) )+ + = (5.''4)
)
9in (5.''>) o&inem
'tg .
9
= , (5.''@)
++ +
+
' 'ef ef
) & . 9
= +
(5.'')
'@4
)
& 9. ,
Figura 23. Circuit paralelcu re!isten&' inductan&
i capacitate
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
33/48
9efinind impedana circuitului paralel prin relaia
ef ef & B )= , (5.'+*)
din (5.'') o&inem
+
+
'' '
B
. 9
= +
(5.'+')
9e multe ori este comod s se foloseascmrimile conductana C , susceptanainductiv 9( , susceptana capacitiv ( ,susceptana total a circuitului ( , admitanacircuitului - cu unitatea de msur n #..
siemensul (#), definite astfel' '
: : :9 9 C ( ( ( ( (. 9
= = = = +
!i
( )++ + +'ef
9
ef
) C ( ( C (
& B= = = + = + .
"u aceste notaii (5.''@) se mai poate scrie astfel
tg 9 ( (
C
=
7n diagrama fazorial la circuitul paralel."9"din fig.6* s-a luat drept referinorientarea vectorului ef& pentru reprezentarea vectorilor ef .) , ef 9) !i ef ) , !i a
defaza1elor acestora. 7nsum2nd vectorial curenii ef 9) !i ef) se o&ine
( )'
ef ( ef 9 ef ef ) & ( ( & (&
9
= = =
7nsum2nd vectorial ef . ef . ef ) ) C&= = cu ef () , o&inem
+ +ef ef C ef (
) ) )= + (5.'++)
9in diagrama fazorial rezult de asemenea relaiile
cos
sin
ef C ef a
ef ( ef r
) ) )
) ) )
= =
= =, (5.'+6)
unde prin a) definim componenta activ, iar prin r) componenta reactiv aintensitii curentului. 9in (5.'+6) rezult
+ +ef a r ) ) )= + (5.'+4)
'@5
=ef)
ef ,)
"ef)
ef 9)
Ief ef C) )=
ef)
Figura #. 7iagrama *a!orial&la un circuit paralelR-L-C
ef&
ef ()
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
34/48
ircuit paralel cu mai mult de trei ramuri
plic2nd tensiunea &la &ornele circuitului dinfig.6', prin ramurile sale vor trece curenii cu
intensitile ' + 6, , ,..... ,n) ) ) ) astfel c suma acestorava fi
n
i) )=
(5.'+5)
Potrivit diagramei fazoriale din fig.6+,componenta activ !i cea reactiv a intensitii
curentului din ramura i sunt date de relaiile
cos :sin ,
ia ef i i
ir ef i i
) )) )
= = (5.'+)
n timp ce componentele intensitii totale )sunt
'
'
cos :
sin .
n
a ef i i
i
n
r ef i i
i
) )
) )
=
=
=
=
(5.'+>)
9in (5.'+>) se o&ine+ +
ef a r ) ) )= + , (5.'+@)
Pe de alt parte, cunosc2nd conductana !i susceptana fiecrei ramuri, sepot scrie relaiile
:
,i
i
ia ef C ef
ir ef ( ef
) ) &
) ) &
=
= (5.'+)
de unde rezult componenta activ !i
reactiv ale intensitii totale
'
'
:
,
n
a ef i ef
i
n
r ef i ef
i
) & C C&
) & ( (&
=
=
= =
= =
(5.'6*)
unde'
n
i
i
C C=
= !i'
n
i
i
( (=
= .
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
35/48
+ +
+ +ef ef i i ef ef
i i
) & C ( & C ( &
= + = + = , (5.'6')
unde este admitana circuitului n ansam&lu. 9in (5.'6*) !i (5.'6') se pot
o&ine u!or defaza1ul dintre , ,a r ef ) ) ) !i tensiunea ef&
sin : cos : .r a r
ef ef a
) ) )tg
) ) ) = = = (5.'6+)
5.#.% :uterea trans*erat& unui circuit de curent
alternativ"onsiderm un circuit serie."9", pe care se aplic tensiunea instantanee
+cosef& & t= , intensitatea curentului din circuit fiind ( )+cosef) ) t=
(5.''+). Ielaia dintre &!i ) este'd)
& .) 9 )dt dt
= + + : nmulind cu ),o&inem puterea instantanee a&sor&it de circuit
+i
d) )> &) .) 9) )dt
dt = = + + . (5.'66)
Got2nd cu +.> .)= , 9d)
> 9)dt
= !i )
> )dt
= puterile instantanee a&sor&iten rezisten, inductan !i respectiv capacitate, (5.'66) se poate scrie maisimplu
i . 9 > > > >= + + (5.'64)
9in (5.''+) o&inem
( ) ( )+ + + ++ cos ' cos+. ef ef> .) .) t .) t= = = +
, (5.'65)
de unde rezult c .> variaz n timp cu pulsaia + !i perioada+
+ +
1 = =
(unde !i 1sunt respectiv pulsaia !i perioada tensiunii !i curentului), av2ndvalori cuprinse ntre * !i
++ ef.) (fig.66). $ediind .> pe o perioad 1se o&ine
( )+
+
* *
'' cos +
med
1 1
ef
. a ef a
.)> > dt t dt .) >
1 1= = + = = , (5.'6)
unde a>este puterea activ a circuitului, cu unitatea de msur Oatt-ul (O) n#.. Puterea a&sor&it de rezisten se transform prin efect Boule n cldur.
'@>
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
36/48
9in (5.''+) o&inem de asemenea
( ) ( ) ( )+ ++ cos sin sin +9 ef efd)
> 9) 9) t t 9) t
dt
= = = (5.'6>)
( ) ( ) ( )+ +
+ sin cos sin +ef ef ) ))
> )dt t t t
= = = (5.'6@)
Puterea total din reactana circuitului se o&ine prin nsumare
( ) ( )+ +'
sin + sin + 9 ef ef
> > > 9 ) t ) t
= + = = (5.'6)
Ieprezent2nd grafic > n funcie de timp, o&servm n fig.64 alternane
pozitive - n care reactana circuitului prime!te putere de la surs, !i alternanenegative - n care reactana circuitului cedeaz putere sursei. #e o&serv u!or cvaloarea medie a lui > este zero, astfel c reactana circuitului nu consum
putere de la surs. 8aloarea maxim a puterii primite de reactan se nume!teputere reactiv !i se noteaz cu r>, cu unitatea de msur n #.. volt-amper-reactiv (8I).
7nsum2nd .> (5.'65) cu > (5.'6) o&inem puterea instantanee total i>
( ) ( )+ +' cos+ sin +i ef ef > .) t ) t= + , (5.'4*)
care are valoarea medie pe o perioad
+
* * * *
' ' ' '1 1 1 1
med i . . . med ef a> >dt > dt > dt > dt > .) >
1 1 1 1 = = + = = = = (5.'4')
9in cele prezentate se poateo&serva c singurul element careconsum energie electric esterezistena. 9e!i sc;im& putere cusursa n mod periodic, reactana nu
consum putere energia primit dela surs este stocat n c2mpul
'@@
t
++ ef.).>
+
med. ef> .)=
1 =
Figura ##. "ariaia n timp a puteriia0sor0ite de re!isten&
t
>
+
efA)
+
1 =
Figura #5. "ariaia n timp a puteriidin reactana circuitului
+
ef)
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
37/48
magnetic, respectiv electric al elementelor reactive, dup care este cedat napoisursei.
Pentru un circuit serie."9"o&inem, din formulele tensiunii, intensitiicurentului !i puterii instantanee:
+cosef& & t= : ( )+cosef) ) t= : ( )+ cos cosi ef ef > &) & ) t t= =
( )cos cos +i ef ef > ) & t= + (5.'4+)
9in (5.'4+) o&inem valorile minim !i maxim ale i>
( ) ( )min maxcos ' : cos 'i ef ef i ef ef > ) & > ) &= = + , (5.'46)
!i de asemenea valoarea medie a puterii totale
*
'cos cos
1
med a ef ef A> > &)dt ) & >1= = = = , (5.'44)unde prin A ef ef> & )= am definitputerea aparent.
m sta&ilit n (5.'4') c+
a ef> .)= . 7n diagrama fazorial a circuitului
serie ."9" din fig.+ se constat c cosef ef . ef & & ) . = = , !i de asemeneasin
ef ef ) &= , de unde nmulind cu ef) rezult
+ sin sinef ef ef A
) ) & >= = (5.'45)
9eoarece am definit puterea reactiv r>prin formula+
r ef> )= ,
plec2nd de la (5.'45) se poate scrie
sin sinr e e A> ) & >= = (5.'4)
9in (5.'44) !i (5.'4) o&inem relaia ntre puterileaparent, activ !i reactiv (triung;iul puterilor, n
fig.65)+ + +
A a r> > >= + (5.'4>)
Ielaiile sta&ilite pentru puterile activ, reactiv !i aparent intr-un circuitserie caracterizat prin rezisten, reactan !i impedan
+ + +: :a ef r ef A ef > .) > ) > B)= = = (5.'4@)
rm2n vala&ile !i pentru un circuit caracterizat prin conductan, susceptan !iadmitan, su& forma
+ + +: :a ef r ef A ef > C& > (& > &= = = (5.'4)
'@
Figura #5. Triunghiulputerilor
a>
r>
A>
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
38/48
5.#.5 Fenomenul de re!onan& n circuite de curentalternativ
Iezonana unui circuit este acea stare a sistemului, n care ntre surs !i
reea nu are loc sc;im& de putere reactiv.
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
39/48
alternativ de forma +cosef& & t= aplicat circuitului, curentul va fi
( )+cosef) ) t= , iar relaia dintre intensitatea curentului !i tensiunea pecircuit este
+
+ '
ef
ef
&)
. 9
= +
(5.'54)
Ieprezent2nd dependena ( )ef) , se o&ine o cur& ce atinge un maxim pentru
r = . 8alorile efective ale intensitii curentului pentru diferite valori alepulsaiei sunt
*, *ef
) = = : max'
, efr ef
&)
.9 = = = , , *ef) = . (5.'55)
Kensiunea efectiv aplicat pe inductan este
+
+' '
ef
ef 9 ef
&& 9 )
. 99
= =
+
(5.'5)
+
+
ef
ef 9
ef ,
)
&
&
9
r,
ef)
ef ,&
ef 9&
Figura #(. 7ependena m&rimilor i depulsaia curentului la un circuit serie
''
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
40/48
9in condiia *ef 9d&
d=
se o&ine valoarea maxim pentru ef 9& , pentru o
valoare a pulsaiei 9 r > (fig.6). 8alorile efective ale tensiunii efectiveaplicat pe inductan, pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt
*, *ef 9
& = = : ,
'ef ef ef
r ef 9
r ,
& & &&
. d.
9 .
= = = =
, max,9 ef 9& =
,ef 9 ef
& & = , (5.'5>)
unde s-au introdus notaiile
9.
= pentru re#istena Esau impedana@
caracteristica circuitului, !i
.d .= pentrufactorul de atenuare.
Kensiunea efectiv aplicat pe capacitate este
+
+ '
ef ef
ef
) &&
. 9
= = +
(5.'5@)
9in condiia *ef d&
d
=
se o&ine valoarea maxim pentru ef & , pentru o
valoare a pulsaiei r < (fig.6). 8alorile efective ale tensiunii efectiveaplicat pe capacitate, pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt
*,ef ef
& & = = : max, ef & = : , efr ef &
&d
= = : , *ef & = . (5.'5)
9in (5.'55), (5.'5>) !i (5.'5) se o&serv c valorile tensiunilor efectivepe incuctan !i capacitate sunt egale la frecvena de rezonan r . 8aloarea
tensiunii ef & scade de la valoarea ef& (pentru * = ) la valoarea * (pentru ), n timp ce ef 9& cre!te de la valoarea * (pentru * = ) p2n la valoarea
ef& (pentru ).
Pentru r = , valorile ef & !i ef 9& pot dep!i valoarea ef& , 1ustific2nddenumirea de fenomenul de rezonan a tensiunilor.
Kangenta diferenei de faz dintre intensitatea curentului !i tensiunea pecircuit este
'+
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
41/48
'
tg9
.
= (5.'*)
8alorile tangentei ung;iului , pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt
*, tg ,+ = = : , tg *, *r = = = , , tg ,
+ + = .
(5.'5)9up cum s-a sta&ilit condiia fenomenului, la rezonan curentul este n
faz cu tensiunea, ceea ce nseamn c circuitul sc;im& cu sursa de energieelectric numai putere activ.
9in condiia de rezonan (5.'5') la un circuit paralelse o&ine pulsaia
de rezonan'
r
9
= .
Pentru interpretarea fenomenului de rezonan urmrim dependena nfuncie de a valorilor efective ale intensitii totale a curentului, intensitiicurentului prin capacitate !i prin inductan, !i a defaza1ului dintre intensitateatotal !i tensiune (fig.6>). plic2nd circuitului paralel tensiunea alternativ
+cosef
& & t= , curentul va fi ( )+cosef) ) t= , iar relaia dintreintensitatea curentului !i tensiunea pe circuit este
+
+
' '
ef
ef
&
)
. 9
= + (5.'')
Ieprezent2nd dependena ( )ef) , se o&ine o cur& ce atinge un maximpentru r = . 8alorile efective ale intensitii curentului pentru diferite valoriale pulsaiei sunt
*,ef
) = : min,ef
r ef ef .
&) )
. = = = , , ef) . (5.'+)
'6
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
42/48
ntensitatea efectiv efectiv a curentuui dinncapacitate este
ef ef ) &= (5.'6)
7n scopul analizei dependenei ( )ef ) , ntroducem notaiile
9in condiia *ef 9d&
d = se o&ine valoarea maxim pentruef 9& , pentru o valoare
a pulsaiei 9 r > (fig.6). 8alorile efective ale tensiunii efective aplicat peinductan, pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt
*, *ef 9
& = = : ,
'ef ef ef
r ef 9
r ,
& & &&
. d.
9 .
= = = =
, max,9 ef 9& =
,ef 9 ef
& & = , (5.'5>)
unde s-au introdus notaiile
9.
= pentru re#istena Esau impedana@
caracteristica circuitului, !i
.d
.= pentrufactorul de atenuare.
Kensiunea efectiv aplicat pe capacitate este
+
+ '
ef ef
ef
) &&
. 9
= =
+
(5.'5@)
r
+
+
ef)
ef 9)
ef ,)
, ,ef ef , ef 9
) ) )
*
Figura #+. 7ependena m&rimilorralel circuit serie&;
ndiia *enomenului de re!onan&' activ&lor e*ecle valorilor e*ective ale intensit&ii curede pulsaia curentului la un circuit paralel
'4
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
43/48
9in condiia *ef d&
d=
se o&ine valoarea maxim pentru ef & , pentru o
valoare a pulsaiei r < (fig.6). 8alorile efective ale tensiunii efectiveaplicat pe capacitate, pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt
*,ef ef
& & = = : max, ef & = : , efr ef &
&d
= = : , *ef & = . (5.'5)
9in (5.'55), (5.'5>) !i (5.'5) se o&serv c valorile tensiunilor efectivepe incuctan !i capacitate sunt egale la frecvena de rezonan r . 8aloareatensiunii ef & scade de la valoarea ef& (pentru * = ) la valoarea * (pentru ), n timp ce ef 9& cre!te de la valoarea * (pentru * = ) p2n la valoarea
ef& (pentru ).
Pentru r = , valorile ef & !i ef 9& pot dep!i valoarea ef& , 1ustific2nddenumirea de fenomenul de rezonan a tensiunilor.
Kangenta diferenei de faz dintre intensitatea curentului !i tensiunea pecircuit este
'
tg9
.
= (5.'*)
8alorile tangentei ung;iului , pentru diferite valori ale pulsaiei, sunt
*, tg ,+ = = : , tg *, *r = = = , , tg ,
+ = .
(5.'5)
5.#.( Conservarea energiei totale stocat& n c4mpurilemegnetic i electric din inductane i capacit&i' la re!onan&
8om demonstra, n cazul unui circuit . 9serie, urmtoarele afirmaii- la rezonan nu se sc;im& putere reactiv ntre surs !i circuit:
- la rezonan se sc;im&, n mod oscilant, energie ntre elementele inductive !icapacitive, astfel nc2t energia total nmagazinat n c2mpurile electric !imagnetic din aceste elemente este constant.
"onsiderm un curent alternativ cu intensitatea
+cosef
) ) t= (5.'')
Cnergia coninut n c2mpul magnetic al inductanei la un moment teste
+ + +' '
cos+ +9 9 ef 9
/ 9) 9) t = = (5.'+)
Cnergia coninut n c2mpul electric al capacitii la un moment teste
'5
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
44/48
+ + +' '
sin+ + ef
/ & & t = = , (5.'6)
deoarece + cos + sin
+
ef ef & & t & t
= =
.
7nsum2nd (5.'+) !i (5.'6) o&inem
+ + + +' 'cos sin+ +9 ef 9 ef
/ / / 9) t & t = + = + (5.'4)
=a rezonan ef ef 9 ef 9& & 9) = = , astfel c+ + + +
ef ef 9& 9 ) = . (5.'5)
7nlocuind expresia pulsaiei la rezonan +'
r
9 = n (5.'5), se o&ine
+ +
ef ef 9& 9) = (5.')
Kin2nd cont de (5.'6), (5.'4) devine
( )+ + + +cos sin const.ef 9 ef 9/ 9) t t 9) = + = = (5.'>)
Ielaia (5.'>) demonstreaz c la rezonan energia total stocat nc2mpurile magnetic !i electric ale inductanelor !i capacitilor din circuit seconserv.
%!emplul F
# se deduc legea de variaiei n timp a curentului printr-un circuit careconine un rezistor cu rezistena I !i un condensator de capacitate " legate nserie, dac tensiunea la &ornele circuitului este * sin% t= C. Presupunem c nmomentul conectrii sursei condensatorul era descrcat.
.e#olvare
** sin sin
dq q dq q % . % t t
dt dt . + = + = (5.'@)
#oluia ecuaiei omogene este
( ) constt
.q t e
=
"utm o soluie a ecuaiei neomogene de forma
( ) ( )+sin cos sin cos ' tg sin(
q t A t ( t A t t A t
A
= + = + = + +
,
(5.')
'
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
45/48
unde tg(
A= . ntroducem (5.') n (5.'@) !i identificm cu zero coeficienii
funciei sinus, respectiv cosinus, o&in2nd sistemul de dou ecuaii
** + + +
+
*+ + +
* ''
*'
% AA% . ( ..
tg .( . %
. A ( .
=+ = + = =
+ = = +
0 soluie particular a ecuaiei neomegene va fi de forma
( ) ( )*+ + +
const sin'
t
.%
q t e t .
= + +
+ , (5.'>*)
unde constanta se determin din condiia iniial a pro&lemei. Pentru'
t .? sepoate negli1a soluia ecuaiei omogene, astfel c soluia (5.'>*) devine
( ) ( )*+ + +
sin'
% q t t
. = +
+ (5.'>*)
( ) ( )
( ) ( )* *+ + +
+
+ +
cos cos''
dq t % %) t t t
dt . .
= = + = + + +
(5.'>')
%!emplul G
0 &o&in alimentat la tensiunea la &orne ++*8&= are puterea activ'*O
a>= !i puterea reactiv @8Ir>= . # se determine valoarea rezisteneielectrice a unui rezistor legat n serie cu &o&ina, la aceea!i tensiune de ++*8,
pentru care puterea activ pe care o poate consuma rezistorul este maxim.
.e#olvare
9eterminm nt2i expresiile rezistenei b. !i reactanei inductive 9 a&o&inei n funcie de puterea activ !i puterea reactiv
+ +: a ba b r 9
r 9
> .> ) . > )
> = = = : (5.'>+)
+ + ++ + + +
+ + + +A a r b 9
b 9 a r
& & &> > > &) .
B . > >= + = = = + =
+ + (5.'>6)
9in (5.'>+) !i(5.'>6) rezult
'>
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
46/48
+
+ +
a
b
a r
& >.
> >=
+!i
+
+ +
r
9
a r
& >
> >=
+ (5.'>4)
( )
+ ++
++ +a.
b 9
& . & .> ) .
B. .
= = =
+ +
. 9in condiia de maximum *a.d>
d.
= rezult
++ +
+ +6>>
b 9
a r
&. .
> >= + = =
+. (5.'>5)
7nlocuind expresia lui . n expresia puterii active pe acest rezistor, a.> ,o&inem
( ) ( )
+ + +
max+ +
6,555O+ +
a r
a.
b a a r
& > >>
. . > > >
+= = =
+ + + .
%!emplul H
plic2nd o tensiune '+sin5**& t= 8 la &ornele unei &o&ine de rezisten
. !i inductan 9 , curentul care trece prin aceasta este 4sin 5**6
) t =
.
# se calculezea) Cnergia consumat n &o&in timp de '* minute:
&) Iezistena !i rezistivitatea &o&inei:c) 8aloarea maxim a energieistocat n c2mpul magnetic al &o&inei:
d) 8aloarea instantanee a intensitii curentului din &o&in dac frecvena sereduce la 1umtate, consider2nd c amplitudinea tensiunii rm2ne constant.
.e#olvare
a)'+ 4 '
cos '* * >+**B++ +
a ef ef / > & )
= = = =
.
&)+ + +
+
+ + + +
6cos cos
+cos
'6 6mQ
ef
ef
efef ef ef
ef
&. B. )
. 9 && ) B ) . 9 9 .
)
= = = =
+ = = + = =
c)+ +
max 6 6 4 4',5+mB+ +
9
9
)/ 9
= = =
d)6
tgR 6+
9 . = :+ +
+ 6 >
4 4
9B .
= + = : maxmax'+ 4
6 >
&)
B
= = = :
+
cos *,>5 4*>
.
B = = = = .
'@
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
47/48
( ) ( )sin +5* arccos*,>5 sin +5* 4*) t t = = .
%!emplul I
liment2nd circuitul din fig.6@ cu tensiuneaefectiv ++*8&= , reactana &o&inei la frecvena5*Qz = este 6*9 = . ,6
6.= = , iar pentru capacitate se o&in dou valori
' 5@, '* 6
.
&)
.= = = :
+
+ +
' 'cos
+' '.
9
) & B B
) . & ..
.
= = = = =+ , de unde
rezult * = .
'
E& 9
.,
Figura #
'+
-
7/25/2019 5 Electricitate final.doc
48/48
c) 9in condiia de rezonan (5.'56)'
r
9 = o&inem frecvena de rezonan
' '
+ + +
r
r
99, ,
= = =
.
7nlocuind cele dou valori ale capacitii, o&inem dou frecvene de rezonancu valorile ' >,'Qzr = , respectiv + 4',Qzr = .
@.
+. Cd3ard $. Purcell. ursul de $i#ic (er2ele+6 %lectricitate i agnetism6vol., Cd. 9idactic !i Pedagogic, Ducure!ti, '@+.6. Kraian . "reu.$i#ica Ceneral8ol., Cditura Ke;nic, Ducure!ti, '@.5. Iic;ard P. +sics vol., 9efinitive edition, ddison-OesleH Pu&lis;ing"ompanH, Ieading, $assac;usetts, +**.5. on 9ima. %lectricitate i agnetism, .@. Gicolae Dr&ulescu, Iadu Lieica, !.a. $i#ica, vol., Cd. 9idactic !iPedagogic, Ducure!ti, '>+.. Cmil #imion. Clectrote;nic. Cd. 9idactic !i Pedagogic, Ducure!ti, '>@.'*. . C. Kamm.(a#ele 1eoriei %lectricitii, traducere din lim&a rus, Cditurate;nic, &ucure!ti, '5+.