Na slici lijevo vidimo da sva tri pravca imaju

pozitivan nagib (𝑎), svi su rastući jer se

povećanjem broja 𝑥 povećava i vrijednost

𝑓(𝑥). Također, što je 𝑎 veći, pravac je

strmiji.

Na slici desno vidimo da za linearne

funkcije s negativnim nagibom,

povećanjem broja 𝑥 smanjuje se

vrijednost 𝑓(𝑥). Što je nagib manji,

pravac je strmiji.

Nastavni predmet: Matematika Škola: Opća gimnazija Razred: Prvi Nastavna cjelina: LINEARNA FUNKCIJA . SUSTAV JEDNADŽBI Nastavna jedinica: Linearna funkcija Broj sati: 4 Literatura: B. Dakić, N. Elezović; Matematika 1; 2. dio

5. 2. LINEARNA FUNKCIJA

U prošloj lekciji Graf linearne jednadžbe, vidjeli smo da je jednadžbom 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 = 𝐶 određen pravac u koordinatnoj ravnini, pa se ova jednadžba i zove jednadžba pravca. Vidjeli smo da ovu jednadžbu možemo pisati i u obliku 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, u kojoj se jasnije vidi kako vrijednosti 𝑦 ovise o vrijednostima 𝑥. Stoga, istu jednadžbu zapisujemo u obliku 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏

i govorimo o linearnoj funkciji.

Kako na ponašanje linearne funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 utječu koeficijenti 𝑎 i 𝑏? Pogledajmo. Nacrtat

ćemo grafove triju linearnih funkcija koje imaju iste koeficijente 𝑏, ali različite nagibe.

Linearna funkcija je pridruživanje kojim nekom broju 𝑥 pridružujemo broj 𝑓(𝑥) pri

čemu je

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, 𝑎 ≠ 0.

Pravac 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 je graf linearne funkcije.

𝑎 = 3 𝑎 =3

2

𝑎 = 1

𝑎 = −1

𝑎 = −3

2 𝑎 = −3

Primjećujemo da su svi pravci paralelni, jer imaju isti

nagib 𝑎 = 2. Međutim, u različitim točkama sijeku os 𝑦.

Prvi siječe ordinatu u (0,2), drugi u (0,0), a treći u

(0, −3). A ordinate tih točaka upravo se podudaraju s

vrijednostima koeficijenta 𝑏 tih funkcija.

Primjer 1. (udžbenik, zad. 2. na 17. str.)

Provjeri izvedene zaključke promatrajući funkcije

1) 𝑓(𝑥) = −1

3𝑥 + 1 ; 2) 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 1; 3)ℎ(𝑥) = −2𝑥 + 1.

Pritom se koristi grafičkim prikazima tih funkcija.

Sve tri funkcije imaju negativan nagib, padajuće su. Uočavamo da je najstrmiji pravac koji je graf

funkcije ℎ(𝑥), a vidimo da je njezin nagib najmanji, što odgovara onome što smo prije zaključili.

Da bismo vidjeli kako koeficijent 𝑏 utječe na ponašanje linearne funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, nacrtat

ćemo grafove triju linearnih funkcija istih nagiba, ali različitih koeficijenata 𝑏.

1) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 2) 𝑔(𝑥) = 2𝑥 3) ℎ(𝑥) = 2𝑥 − 3

Dakle, što možemo zaključiti o linearnoj funkciji 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 vezano za koeficijente 𝑎 i 𝑏:

Osim što siječe os 𝑦, pravac siječe i os 𝑥. Točka u kojoj pravac koji je graf linearne funkcije siječe os 𝑥

zove se nultočka pravca.

Napomena

Kako smo vidjeli u prošloj lekciji, najbolje je

odrediti sjecišta pravca s osima. Tako za

prvi pravac imamo(isto uraditi za ostale):

za 𝑥 = 0 𝑦 = −1

3∙ 0 + 1 = 1

za 𝑦 = 0 0 = −1

3𝑥 + 1

1

3𝑥 = 1

𝑥 = 3

Broj 𝑎 ≠ 0 zove se koeficijent smjera ili nagib linearne funkcije.

- ako je 𝑎 > 0, linearna funkcija raste

- ako je 𝑎 < 0, linearna funkcija pada

Brzina rasta i pada ovisi o veličini koeficijenta 𝑎.

Za 𝑥 = 0 je 𝑓(𝑥) = 𝑏 pa je 𝑏 odsječak pravca (grafa funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏) na osi y.

Nultočka linearne funkcije je onaj broj 𝑥 za koji je 𝑓(𝑥) = 0. Određujemo ju iz linearne

jednadžbe 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, pa je to broj 𝑥 = −𝑏

𝑎.

Primjer 2. (udžbenik, zad. 3. na str. 19.)

Odredi nultočku funkcije:

1) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 5

Primjene linearne funkcije

Primjer 3. Na slici je prikaz potrošnje goriva dvaju automobila.

1) Na početku puta (𝑠 = 0) u spremniku prvog automobila bilo je 40 litara goriva, a u

spremniku drugog 50 𝑙.

2) Prosječnu potrošnju računamo tako da podijelimo količinu potrošenog goriva s prijeđenim

putom. Prvi automobil je potrošio 40 𝑙 a prešao 600 𝑘𝑚, pa je to u prosjeku 40 𝑙

600 𝑘𝑚=

0,067 𝑙

𝑘𝑚 , ili ako gledamo potrošnju na 100 𝑘𝑚 onda dobiveni broj pomnožimo sa 100:

0,067𝑙

𝑘𝑚∙ 100 = 6,7 𝑙𝑖𝑡𝑎𝑟𝑎 na 100 𝑘𝑚. Drugi automobil prosječno je potrošio

50 𝑙

500 𝑘𝑚=

0,1𝑙

𝑘𝑚 ili 10 𝑙𝑖𝑡𝑎𝑟𝑎 na 100 𝑘𝑚.

3) Jednaku količinu goriva su imali nakon 300 prijeđenih kilometra. To vidimo kao sjecište ovih

dvaju pravaca na slici. Tada su oba automobila imala po 20 𝑙 goriva u spremnicima.

4) Već smo taj podatak koristili u 2). Prvi automobil je ukupno prešao 600 𝑘𝑚, a drugi 500 𝑘𝑚.

1) Koliko je bilo goriva u spremniku pojedinog

automobila na samom početku putovanja?

2) Kolika je bila prosječna potrošnja goriva jednog,

a koliko drugog automobila?

3) Nakon koliko prijeđenih kilometara je količina

goriva u spremnicima dvaju automobila bila

jednaka? Koliko je iznosila?

4) Koliki je put prešao pojedini automobil do

nestanka goriva?

Nultočku tražimo tako da u linearnu funkciju umjesto

𝑓(𝑥) uvrstimo 0.

−2𝑥 + 5 = 0

−2𝑥 = −5

𝑥 =5

2= 2,5

1. 2.

ZADACI 5.2., udžbenik str. 26.

1. Nacrtaj graf linearne funkcije 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 ako je 𝑓(−1) = −2, 𝑓(3) = 6. Koliki je nagib te

funkcije? U kojoj točki graf funkcije siječe os 𝑦?

Da bismo našli 𝑎 i 𝑏, koristimo da je 𝑓(−1) = −2, 𝑓(3) = 6.

𝑓(−1) = −2 𝑎 ∙ (−1) + 𝑏 = −2 −𝑎 + 𝑏 = −2

𝑓(3) = 6 𝑎 ∙ 3 + 𝑏 = 6 3𝑎 + 𝑏 = 6

Imamo sustav dvije jednadžbe s dvije nepoznanice. Rješavamo ga

jednom od metoda. Možemo iz prve izraziti 𝑏 = −2 + 𝑎

i uvrstiti u drugu: 3𝑎 + (−2 + 𝑎) = 6

3𝑎 − 2 + 𝑎 = 6

4𝑎 = 8

𝑎 = 2

Vratimo ovaj 𝑎 u 𝑏: 𝑏 = −2 + 2

𝑏 = 0

Sada možemo napisati: 𝑓(𝑥) = 2 ∙ 𝑥 + 0 𝑓(𝑥) = 2𝑥

15. Zadana je funkcija 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 .

1) Nacrtaj graf ove funkcije.

2) Odredi njezinu nultočku.

3) Za koje je vrijednosti 𝑥 ispunjena nejednakost 𝑓(𝑥) ≥ −1?

4) Kolika je promjena vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable 𝑥 naraste od −1 do 2?

5) Uvjeri se da je 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)

𝑥2−𝑥1= 2 za svaka dva različita realna broja 𝑥1 i 𝑥2.

1) za 𝑥 = 0: 𝑦 = 2 ∙ 0 + 1, odnosno 𝑦 = 1

za 𝑦 = 0: 0 = 2𝑥 + 1, odakle je 𝑥 = −1

2

Sada imamo točke sjecišta s osima: (0,1), (−1

2, 0) i

možemo nacrtati graf ove funkcije.

2) Nultočku smo već našli u 1). To je (−1

2, 0).

3) U nejednakosti 𝑓(𝑥) ≥ −1 umijesto 𝑓(𝑥) uvrstimo

2𝑥 + 1 i dobijemo

2𝑥 + 1 ≥ −1

2𝑥 ≥ −2 /: 2

𝑥 ≥ −1

4) Da bismo izračunali promjenu vrijednosti funkcije kada vrijednost varijable 𝑥 naraste od −1

do 2, trebamo izračunati vrijednosti funkcije 𝑓(−1) i 𝑓(2), pa onda njihovu razliku.

𝑓(−1) = 2 ∙ (−1) + 1 = −1

𝑓(2) = 2 ∙ 2 + 1 = 5

𝑥 𝑦

𝑓(2) − 𝑓(−1) = 5 − (−1) =

= 6

Dakle, promjena vrijednosti funkcije je 6.

5) 𝑓(𝑥2)−𝑓(𝑥1)

𝑥2−𝑥1= =

(2𝑥2+1)−(2𝑥1+1)

𝑥2−𝑥1=

=2𝑥2−2𝑥1

𝑥2−𝑥1=

=2(𝑥2−𝑥1)

𝑥2−𝑥1=

= 2

22. Prikaži grafički funkcije:

1) 𝑓(𝑥) = {3𝑥

𝑥 + 2 , 𝑥≤1

𝑥>1

31. Polazna taksa za vožnju taksijem je 25 kn, a za svaki prijeđeni kilometar naplaćuje se 7 kn. Koliko

stoji vožnja taksijem na putu duljine: 7,5 km i 10 km?

Vožnju ćemo naplatiti više što više kilometara taksi prijeđe, i obrnuto. Dakle, cijena vožnje ovisi o

broju prijeđenih kilometara. Ono što u svakom slučaju moramo platiti, bez obzira koliko kilometra

taksi prijeđe, jest polazna taksa od 25 kn. Ako sa 𝑦 označimo cijenu vožnje, a sa 𝑥 broj prijeđenih

kilometara, onda možemo napisati da je 𝑦 = 7 ∙ 𝑥 + 25.

Da bismo izračunali koliko stoji vožnja na putu duljine 7,5 km, umjesto 𝑥 pišemo 7,5:

𝑦 = 7 ∙ 7,5 + 25

𝑦 = 77,5 kn

Za 10 km cijena prijevoza je 𝑦 = 7 ∙ 10 + 25, odnosno 95 kn.

33. Na pisma do 20 dag plaća se 10 kn poštarine, a po svakom dodatnom dekagramu dodaje se 1,5

kn. Kolika je poštarina na pismo od 25 dag i 40 dag?

zamjenimo f(x1) i

f(x2)

Da bismo grafički prikazali ovu funkciju, nacrtamo pravce

kao grafove obje linearne funkcije. Međutim, kako funkcija

𝑓(𝑥) = 3𝑥 'postoji' samo za one argumente 𝑥 za koje

vrijedi 𝑥 ≤ 1, zanemarimo onaj dio pravca nacrtan za

argumente 𝑥 > 1 (isprekidani crveni dio pravca desno od

okomice kroz 𝑥 = 1). A funkcija 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 postoji za

one 𝑥 koji su veći od 1, stoga zanemarimo dio grafa te

funkcije za argumente 𝑥 ≤ 1 (isprekidani crveni dio pravca

lijevo od okomice kroz 𝑥 = 1).

Na taj način dobijemo grafički prikaz dane funkcije (plavi

pravac na slici).

Ako pismo ima masu do 20 dag plaća se 10 kn, a ako ima masu 25 dag plaća se još po 1,5 kn na svaki

dag preko 20 ; dakle na 5 dag. Ako sa 𝑦 označimo ukupnu poštarinu koju plaćamo, a sa 𝑥 masu pisma,

onda možemo zapisati da je 𝑦 = 10 + (𝑥 − 20) ∙ 1,5.

Za pismo mase 25 dag cijena poštarine iznosi 𝑦 = 10 + (25 − 20) ∙ 1,5 = 17,5 kn.

Za pismo mase 40 dag: 𝑦 = 10 + (40 − 20) ∙ 1,5, odnosno cijena poštarine je 40 kn.

ZADACI ZA ZADAĆU: 5.2. na 26. str.

2. zadatak

16. zadatak

22. zadatak: 2), 3)

32. zadatak

35. zadatak