POLINOMI

1. Odrediti višestrukost nule x=1 polinoma P ( x )=x5−2x4+x3+x2−2x+1 .

RIJEŠENJE

Ako je x=1 nula polinoma P ( x )=x5−2x4+x3+x2−2x+1P (1 )=0⇒ x=1 jednostruka nulaTražimo prvi izvod P' ( x )=5x4−8x3+3 x2+2x−2Provjerimo da li je x=1 nula polinoma P

' ( x )

P' (1 )=5−8+3+2−2=0⇒ x=1 je dvostruka nulaTrazimo drugi izvod P' ' ( x )=20 x3−24 x2+6 x+2Provjerimo da li je x=1 nula polinoma P

' ' ( x )

P' ' (1 )=20−24+6+2=4≠0Dakle, x=1 je dvostruka nula polinoma P ( x )=x5−2x4+x3+x2−2x+1 .

2. Odrediti parametre a i b tako da polinom P ( x )=2x3+x2+ax+b bude djeljiv i sa x−2 i sa x−3 .

RIJEŠENJE

Ostatak pri dijeljenu polinoma P ( x ) sa x−2 treba da bude jednak nuli (koristimo Hornerovu šemu)

2 2 1 a b

2 5 10+a 2 (10+a )+b

⇒2 (10+a )+b=0

Ostatak pri dijeljenu polinoma P ( x ) sa x−3 treba da bude jednak nuli (koristimo Hornerovu šemu)

3 2 1 a b

2 8 25+a 3 (25+a )+b⇒3 (25+a )+b=0Nepoznate parametre dobivamo rješavajući sistem2 (10+a )+b=03 (25+a )+b=020+2a+b=0125+3a+b=0 }II−I→ ¿105+a=0⇒a=−105

¿

a=−10520+2⋅(−105 )+b=020−210+b=0−190+b=0⇒b=190Dakle, a=−105 i b=190

3. Ispitati za koje sve vrijednosti nenegativnog cijelog broja m

polinom f ( x )= (x+1 )m−xm−1 nad poljem R je dijeljiv polinomom

(x2+x+1 )2 .

RIJEŠENJE

Ako je α nula polinoma (x2+x+1 )2 , onda ona je ona dvostruka,

pa mora biti:(α+1 )m−αm−1=0 i m (α+1 )m−1−mαm−1=0

odnosno,(−1 )mα 2m−αm−1=0 i (−1 )m−1α 2m−2−mαm−1=0

Uzimajući da je m oblika 6k ,6k+1,6k+2,6k+3,6 k+4,6 k+5 zamjenjivanjem se dobiva da je 6k+1, naravno pretpostavljajući da je α 2=1.

4. Ispitati za koje sve vrijednosti nenegativnog cijelog broja m

polinom f ( x )= (x+1 )m−xm−1 nad poljem R je dijeljiv polinomom

(x2+x+1 )3 .

RIJEŠENJE

Polinom f ( x )= (x+1 )m−xm−1 ne može biti djeljiv sa (x2+x+1 )3 jer

prvi i drugi izvod nisu jednaki nuli za isto x .

Naime, (x2+x+1 )3 ima nulu trećeg reda.

5. Odrediti nule polinoma z3−4 (1+i ) z2+(5+16 i ) z−20i u polju C ako

se zna da je jedna nula dvostruka.

RIJEŠENJE

Ako su x1 , x2 ,. .. , xn nule polinoma, tada je Pn ( x )=an (x−x1 ) (x−x2) . .. (x−xn )

ako je Pn ( x )=an ( x−a )kQm ( x ) tada je a nula k-tog reda polinoma.

Na osnovu navedenog dati polinom P ( z ) možemo napisati u

obliku. Izračunajmo sada (z−z1 )2 (z−z2 ), pa dobivamo

(z−z1 )2 (z−z2 )=( z2−2 zz1+ z12 ) (z−z2 )=z3−z2 z2−2 z2 z1+2 zz1 z2+zz12−z12 z2=¿ z3−(z2+2 z1) z2+(2 z1 z2+z12) z+z12 z2Izjednačavanjem koeficienata uz odgovarajuće stepene od z dobivamo

2 z1+z2=4 (1+i )z12+2 z1 z2=5+16 iz12 z2=−20i

???

6. Odrediti nule polinoma P ( x )=x3+ax+bako se zna da je jedna nula dvostruka.

RIJEŠENJE

Ako su x1 , x2 ,. .. , xn nule polinoma, tada je Pn ( x )=an (x−x1 ) (x−x2) . .. (x−xn )

ako je Pn ( x )=an ( x−a )kQm ( x ) tada je a nula k-tog reda polinoma.

Na osnovu navedenog dati polinom P ( x ) možemo napisati u

obliku. Izračunajmo sada (x−x1 )2 (x−x2 ), pa dobivamo

(x−x1 )2 (x−x2 )=( x2−2 xx1+x12) (x−x2)=x3−x2 x2−2 x2 x1+2xx1 x2+xx12−x12 x2=¿ x3−(x2+2 x1) x2+(2x1 x2+x12) x+x12 x2Izjednačavanjem koeficienata uz odgovarajuće stepene od x dobivamo2 x1+x2=0

x12+2 x1 x2=ax12 x2=−b

Iz 2 x1+x2=0 dobivamo x2=−2x1 .

Ako x2=−2x1 uvrstimo u drugu dobivamo

x12+2 x1x2=ax12+2 x1 (−2 x1 )=ax12−4 x1

2=a−3 x1

2=a

x12=−

a3

Uvrštavanjem x12=−a

3 u x12 x2=−b dobivamo

−a3x2=−b

ax 2=3b

x2=3ba

Uvrstimo sada x2=

3ba u x2=−2x1 pa dobivamo

3ba

=−2 x1⇒ x1=−3b2a

7. Odrediti najveći zajednički djelilac polinoma P ( x )=3 x3+10 x2+2 x−3 i Q ( x )=x4+3 x3−x2−4 x−3.

RIJEŠENJE

Najveći zajednički djelilac polinoma P i Q , u oznaci NZD (P ,Q ) , je polinom najvećeg stepena koji dijeli i polinom P i polinom Q . Za svaka dva ne nula polinoma P i Q postoji jedinstven

normiran polinom T takav da je T=NZD (P ,Q ) .

Faktorišimo polinome P i Q :

Za P ( x )=3 x3+10 x2+2 x−3 imamo, ako polinom ima racionalnih

korijena onda oni pripadaju skupu {−1,1 ,−3,3 }. Iz Hornerove šeme

Dakle, slijedi P ( x )=( x+3 ) (3x2+ x−1 ).

-3 3 10 2 -33 1 -1 0

Dalje je,Q ( x )=x4+3 x3−x2−4 x−3.

Međutim, mogućim korijenima polinoma Q ( x )=x4+3 x3−x2−4 x−3 koji su iz skupa {−1,1 ,−3,3 } jedini koji su istovremeno i korijeni

polinoma P ( x ) su x=−3

Hornerovom šemom utvrđujemo da je

Dakle, slijedi Q ( x )=( x+3 ) ( x3−x−1 ).

Dakle, NZD (P ,Q )=x+3 .

8. Odrediti najveći zajednički djelilac polinoma P ( x )=x4+2x3−4 x2−2 x+3 i Q ( x )=x4+x3−3 x2−x+2.

RIJEŠENJE

Najveći zajednički djelilac polinoma P i Q , u oznaci NZD (P ,Q ) , je polinom najvećeg stepena koji dijeli i polinom P i polinom Q . Za svaka dva ne nula polinoma P i Q postoji jedinstven

normiran polinom T takav da je T=NZD (P ,Q ) .

Faktorišimo polinome P i Q :

Za polinom P ( x )=x4+2x3−4 x2−2 x+3 imamo, ako polinom P ( x ) ima racionalnih korijena onda oni pripadaju skupu {−1,1 ,−3,3 }. Iz Hornerove šeme

-3 1 3 -1 -4 -31 0 -1 -1 0

-1 1 2 -4 -2 31 1 1 -5 3 0-3 1 2 -3 01 1 -1 0

1 0

Dakle, slijedi P ( x )=( x+1 ) ( x−1 ) ( x+3 ) ( x−1 )=( x−1 )2 ( x+1 ) ( x+3 )

Međutim, mogućim korijenima polinoma Q ( x )=x4+x3−3 x2−x+2. koji su iz skupa {−1,1 ,−2,2 } jedini koji su istovremeno i korijeni

polinoma P ( x ) su x=−1 i x=1

Hornerovom šemom utvrđujemo da je

1 1 1 -3 -1 2-1 1 2 -1 -2 0-2 1 1 -2 01 1 -1 0

1 0

Dakle, Q ( x )=( x−1 ) ( x+1 ) ( x+2 ) (x−1 )=( x−1 )2 ( x+1 ) (x+2 )

Dakle, NZD (P ,Q )=( x−1 )2 ( x+1 ) .9. Primjenom Hornerove šeme odrediti nepoznate koeficiente iz

jednakosti

x3−x+1(x−2 )5

=a0

( x−2 )5+

a1(x−2 )4

+a2

( x−2 )3+

a3( x−2 )2

+a4

( x−2 ) .

RIJEŠENJE

10. Dat je polinom p ( x )=x5−3x3+ax2+bx−4 . Odrediti realne brojeve a i b tako da je z=1−i jedna nula ovog polinoma, a zatim odredi ostale nule.

RIJEŠENJE