4ème année du Département Génie Électrique
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Guillaume VILLEMAUD – Cours d’Antennes 1
4ème année du Département Génie Électrique
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Premier état des lieuxPremier état des lieuxDeux points importants :la plupart des antennes sont métalliquesla grande majorité est de type antennes résonantes
Dans un métal, les électrons libres se déplacent par défaut de façon erratique. Quand on crée une différence de potentiel (sinusoïdale par exemple), le champ interne
commande alors la répartition de ces charges.
Les courants et charges créés sont alors autant de sources élémentaires de champ électromagnétique.
Mais selon leur répartition et leurs phases relatives, le champ global délivré par un élément métallique est la somme de
toutes les contributions de ces sources élémentaires.
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Mécanisme de rayonnementMécanisme de rayonnement
Des charges transitant sur un métal droit à vitesse constante ne produisent pas de rayonnement.
+++
Si les charges rencontrent une discontinuité (rupture, courbure...) leur vitesse change, il y a alors rayonnement.
+++
pas de rayonnement
rayonnement
+++
rayonnement
Dans une structure en résonance, les charges oscillent en permanence, créant un flux de rayonnement continu.
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La ligne bifilaire sur une chargeLa ligne bifilaire sur une charge
xxx
jβBejβAei
Zr
Rappels sur les lignes de transmission :
x
Ligne bifilaire fermée sur une chargesuperposition d’une onde incidente et d’une onde
réfléchie
ligne sans pertes
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La ligne bifilaire ouverteLa ligne bifilaire ouverte
yr
jiyriy
ri
yi sin2jβejβe
Ligne en circuit ouvert :
y
tyZcrv
tyi cossin
,
Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires
C.O.
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Ligne en résonanceLigne en résonance
yr
jiyriy
ri
xi sin2jβejβe
tyZcrv
tyi cossin
,
Ligne en circuit ouvert phénomène d’ondes stationnaires
C.O.
En pratique, quand les brins sont relativement proches, les courants étant en opposition de phase, le champ global rayonné est
pratiquement nul (heureusement d’ailleurs).
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Écartement des brinsÉcartement des brins
L’approximation classique considère que si on écarte les brins de la ligne, la répartition du courant reste la même.
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Le dipôle rayonnant Le dipôle rayonnant
On se retrouve alors avec des
courants en phase permettant un rayonnement
efficace : principe de l’antenne dipôle
Pb : en pratique, il y a désadaptation. On cherchera alors une antenne résonante présentant une impédance d’entrée adaptée à une ligne en onde progressive.
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Rappels sur le champ EMRappels sur le champ EM
Pour l’étude de phénomènes de propagation des ondes électromagnétiques, un milieu sera définit par :
Sa permittivité électrique complexe
''' jSa perméabilité magnétique complexe
Sa conductivité
(F/m)
''' j
(S/m) pertes ohmiques
Caractéristiques du milieu :
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Sources de rayonnementSources de rayonnement
Des courants et des charges présents dans ce milieu sont appelés sources primaires :
Densité surfacique de courants
Densité volumique de charges
Ces sources créent :
pI
Des champs électrique et magnétique
D’autres courants et charges
(A/m²)
pQ (Cb/m3)
E (V/m)
H (A/m)
cI cQet
phénomènes d’induction
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Equations de MaxwellEquations de Maxwell
Dans le cas de milieux homogènes et isotropes on obtient les équations suivantes :
0
bdivqddiv
eiedt
eehrot
hbt
herot
c
c
Les sources peuvent présenter des densités linéiques, surfaciques ou même volumiques.
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Domaine de résolutionDomaine de résolution
On considère deux domaines distincts de résolution de ces équations : en présence de charges et courants ou hors de toute charge ou courant.
La résolution en présence de charges et courants permet de déterminer le champ produit par une
répartition linéique, surfacique ou volumique de charges et courants (ce qui conduit au diagramme de
rayonnement de l’antenne).
Le second type de résolution permet de calculer les ondes électromagnétiques propagées en espace libre.
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Régime sinusoïdalRégime sinusoïdal
Toujours dans le cas de milieux homogènes, isotropes en régime harmonique on obtient les équations suivantes :
0
BdivQDdiv
EjEHrotHjErot
C
On peut alors résoudre ces équations pour déterminer le champ produit par les charges et courants présents sur un conducteur.
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Relation à la surfaceRelation à la surface
Le champ électrique est toujours perpendiculaire au conducteur. Le champ magnétique est toujours tangent au conducteur. Le champ électrique est proportionnel aux charges à la surface. Le champ magnétique est proportionnel aux courants à la surface.
Interface avec un conducteur parfait
1, 1, 1
1E 1H
0.
.
0
1
1
1
1
Hn
QEn
IHn
En
S
S
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Potentiels électromagnétiquesPotentiels électromagnétiquesPour évaluer les effets d’une source isotrope en un point P de l’espace on peut introduire les potentiels vecteur et scalaire :
),(),( trAtrB
t
)t,r(A)t,r(V)t,r(E
0BdivPuisque on peut écrire
o
x
y
zP
r
Le vecteur A est donc défini à un gradient près, il existe alors une
fonction V vérifiant :
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Potentiels électromagnétiquesPotentiels électromagnétiquesEn exprimant les équations de Maxwell en fonction des potentiels, on obtient les équations d’ondes :
L
rj
l
L
rj
l
dlr
erIA
dlr
erQV
.)(4
.)(4
1
0
potentiel scalaire
potentiel vecteur
Q
t
VV
2
22
It
AA
2
22
La résolution (complexe basée sur les fonctions de Green) donne pour une répartition linéique :
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Source élémentaireSource élémentaireLe doublet électrique élémentaire est un élément
conducteur de taille négligeable dl où l’on peut supposer le courant constant sur la longueur (vitesse infinie).
+q
-qi(t)
r
P
z
x
)r(E
r0
r1
C’est un outil théorique qui permet de déduire le comportement de toute antenne comme la somme de sources élémentaires.
tjQe charges
Qjcourant
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Calcul du champ rayonnéCalcul du champ rayonnéLe problème apparaît à symétrie de révolution par
rapport à Oz. Le potentiel vecteur n’a qu’une composante Az :
Champ magnétique à une seule composante
r
edlIAz
rj
m
..4
On obtient alors :
H
0rH
0H
2
1.sin..
4
1
rr
jedlIH rj
m
H
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Calcul du champ électriqueCalcul du champ électriqueOn peut déduire par la suite le champ électrique produit :
Champ électrique à deux composantes et
E
32
1.cos..
2
1
rjredlIE rj
mr
0E
32
1.sin..
4
1
rjrr
jedlIE rj
m
rE E
On se retrouve donc finalement avec 3 composantes de champ rayonné.
Suivant la distance du point d’observation P par rapport à la source, on va faire des approximations différentes pour
simplifier les expressions.
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Approximations en fonction de rApproximations en fonction de r
32
1.cos..
2
1
rjredlIE rj
mr
32
1.sin..
4
1
rjrr
jedlIE rj
m
2
1.sin..
4
1
rr
jedlIH rj
m
Les termes en 1/r représentent le champ rayonné (prédominant quand r grand), les termes en 1/r2 donnent
les champs induits et les termes en 1/r3 le champ électrostatique.
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Les zones de rayonnementLes zones de rayonnement
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Les zones de rayonnementLes zones de rayonnement
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)(
)(
sin2
),(
sin2
),(
rtj
rtj
edlIr
jtrE
edlIr
jtrH
377120),(
),(
o
o
trH
trE
Rayonnement du doubletRayonnement du doubletApproximation en champ lointain :
dans le vide
i(t)
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Propagation champ lointainPropagation champ lointain
00
BdivDdiv
EjHrotHjErot
En revenant aux équations dans le cas de milieux homogènes, isotropes et ne contenant pas les sources primaires, en régime harmonique on obtient les équations suivantes :
Rq : Dans ce cas, on constate que les équations en E et H sont presque symétriques, la seule différence étant l’absence de charges et courants magnétiques. On peut alors introduire des sources magnétiques fictives pour symétriser ces équations. La solution du problème électrique donne alors celle du problème magnétique et inversement.
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Equations de propagationEquations de propagationLes équations de propagation pour les champs et (exprimés en valeurs instantanées complexes) s’écrivent sous la forme suivante :
0t
ee
2
2
0t
hh
2
2
Elles deviennent dans le cas où la propagation se fait selon la direction Oz : et
Le rapport représente la vitesse de propagation de l’onde. Sachant que généralement on considère que (sauf milieux ionisés et magnétiques) on écrit :
0t
e
z
e2
2
2
2
0t
h
z
h2
2
2
2
1v
1r
n
cc11v
rr00
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SolutionsSolutions
En régime sinusoïdal, ces équations admettent des solutions de la forme :
et
avec : (paramètre de phase de l’onde) Le rapport des modules de et exprime l’impédance d’onde du milieu considéré (en W) :
c’est une quantité réelle.
)kzt(jexpE)t,z(e )kzt(jexpH)t,z(h
2
vk
E H
H
E
Valeur dans l’air : 377 ohms
uHE
On a alors la relation fondamentale :
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Onde sphérique - onde planeOnde sphérique - onde plane
Une source ponctuelle (charge Q) produit le rayonnement d’une onde sphérique.En effet la résolution des équations de potentiels dans le cas d’une source ponctuelle est à symétrie de révolution sphérique, et donne pour solution :
2
1.
4
1)(
rr
jeQrE rj
En champ lointain, cela donne :
rjer
EorE )(
La surface d’onde est une sphère centrée sur la source
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Approximation d’onde planeApproximation d’onde plane
Sens de propagation
front d’onde
E
H
l
zdztEE
cos0
Les solutions des équations de Maxwell sont nombreuses (dépendant des conditions initiales).
Toutes peuvent s’exprimer comme la somme d’ondes planes.
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Puissance transportéePuissance transportée
Quand la condition de champ lointain est respectée, la surface d’onde peut être assimilée à un front d’onde plane. La puissance transportée par l’onde est traduite par le vecteur de Poynting : *
HE2
1P
x
y
zEE
H
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Polarisation de l’ondePolarisation de l’ondeOn sait qu’en champ lointain E et H sont perpendiculaires
entre eux et perpendiculaires à la direction de propagation.Par contre, suivant le type de source utilisé, l’orientation de
ces vecteurs dans le plan d’onde peut varier.
En se basant sur les variations de l’orientation du champ E au cours du temps, on définit la polarisation de l’onde.
En repère sphérique, le champ E d’une onde plane est décrit par ses composantes :
uEuEE
atAE sin btBE sinavec et
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Polarisation rectilignePolarisation rectilignePremière hypothèse : les composantes vibrent en phase
ba
uBuAtE
sin
Plusieurs possibilités : polarisation horizontale,
verticale ou oblique
E
E
E
animation
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i(t)Polarisation rectiligne verticale
Exemple d’un doubletExemple d’un doublet
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i(t)Polarisation rectiligne horizontale
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i(t)Polarisation rectiligne oblique
Exemple de 2 doublets en phaseExemple de 2 doublets en phase
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Polarisation circulairePolarisation circulaireDeuxième hypothèse : les composantes vibrent en quadrature de phase et leurs modules sont égaux
2 ab
uatuatAE
cossin
E
EE
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i(t)Polarisation circulaire par dé-synchronisation
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3 modes de polarisation– polarisation rectiligne
• verticale, horizontale (plan H ou E)
– polarisation circulaire• droite ou gauche
– polarisation elliptique• droite ou gauche
Polarisation elliptiquePolarisation elliptique
animations
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Les grands théorèmesLes grands théorèmes
Pour l’étude du fonctionnement des antennes, quatre grands théorèmes fondamentaux sont à connaître :
le théorème de réciprocité de Lorentzle théorème de Huygens-Fresnel
la théorie des imagesle principe de Babinet
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Réciprocité de LorentzRéciprocité de Lorentz
Si on considère deux distributions de courants I1 et I2 qui sont à l’origine de champs E1 et E2, on montre d’après les
équations de Maxwell :
vv
dvIEdvIE .... 2112
les systèmes rayonnants sont réciproques (attention seulement dans le cadre des antennes
passives).
Pf Pr
PfPr
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Principe de Huyghens-FresnelPrincipe de Huyghens-FresnelPrincipe permettant de calculer le rayonnement à
l’infini de n’importe quel type de source
sources
surface arbitraire
champs nuls
sources superficielles équivalentes
(électriques et magnétiques)
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Application radarApplication radarPrincipe permettant de calculer le rayonnement à
l’infini de n’importe quel type de source
cible
Le champ reçu en P est la somme du champ que l’on recevrait sans obstacle (connu) et du champ diffracté par
l’obstacle. On peut alors à l’inverse calculer la surface constituée de sources fournissant un tel champ.
onde plane
point d’observation
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Théorème des imagesThéorème des imagesAu niveau d’un point d’observation, le champ créé par une source +q placée au-dessus d’un plan réflecteur parfait de
dimensions infini est équivalent au champ créé par l’association de cette charge avec son image par symétrie par
rapport au plan de charge –q.
+q
Px
+q
Px
-q
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Images en courantImages en courant
Le même principe s’applique pour les sources de courants.L’image sera formée de la symétrie de la répartition de
courant de signe opposé (opposition de phase).
Px
Px
I I
I
à la base de très nombreuses applications en antennes
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Principe de BabinetPrincipe de Babinet
Le théorème de Babinet reprend l’aspect symétrique des équations de Maxwell.
EH
cas 1 cas 2
Le champ total du cas 1 va être égal au champ diffracté du cas 2 et inversement.
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Application aux antennesApplication aux antennes
Toute fente pratiquée dans un plan de masse de grande dimension aura le même comportement en
rayonnement que l’antenne métallique complémentaire à ceci près que les champs E et H sont inversés.
E H