48492993 Metodos Alternativos de Controle Estatistico de Processos Univariados
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José Ivo Ribeiro Júnior e Thiago da Costa Gonçalves
Revista Eletrônica Produção & Engenharia, v. 2, n. 1, p. 85-95, jan./jul. 2009 85
Métodos alternativos de controle estatístico de
processos univariados
José Ivo Ribeiro Júnior (UFV)
Thiago da Costa Gonçalves (FINOM)
RESUMO
No controle estatístico de processos, os gráficos de controle de Shewhart, EWMA e CUSUM tabular se destacam como os
principais métodos do monitoramento de variáveis. Porém, o sucesso de sua utilização está diretamente relacionado às
escolhas corretas dos valores das constantes envolvidas nas suas construções, que estão diretamente relacionadas às estimativas
dos limites de controle e das incidências dos alarmes falso e verdadeiro. Desse modo, com o objetivo de propor a utilização dos
métodos rede neural artificial e regressão logística em substituição aos gráficos de controle, foram simulados quatro conjuntos
de dados normalmente distribuídos, cada um formado por 544 amostras com observações individuais, média μ 0=1.000 e
desvio-padrãoσ 0= 100. Um com observações independentes ou sem a presença da autocorrelação de primeira ordem ( ρ
1= 0)
e três com os seguintes valores de ρ 1: 0,3; 0,6; e 0,9. Neles, foram realizadas diferentes imposições, com o objetivo de obter, além
dos pontos sob controle estatístico ( μ 0= 1.000 e σ
0= 100), pontos fora de controle ( μ
1= μ
0+δσ
0e σ
0= 100), com valores de ä
iguais a 1, 2 e 3, inseridos no meio e final de cada um deles. As redes neurais artificiais e a regressão logística substituem, de
forma eficiente, os melhores tipos de gráficos de controle, na sinalização de alarmes verdadeiros dos pontos fora de controle
estatístico situados no meio ou no final do conjunto de dados, em diferentes distâncias da média de controle e distribuídos de
forma independente ou não, mantendo em níveis baixos, as incidências dos falsos alarmes.
Palavras-chave: Rede neural artificial, regressão logística e gráficos de controle.
Alternative methods for the statistical control of univariate processes
ABSTRACT
The statistical control of a process is mainly conducted with the use of Shewhart, EWMA and CUSUM tabular control charts.
Hence, a successful implementation of such methods is directly related to correct choice of constant values used in these
methods, which in turn relates directly to the estimation of control limits and also to false and true alarm incidence rates. We
conducted a simulation study to propose the use of neural networks and logistic regression as alternatives methods to control
charts. We simulated four data sets, each one with n = 544 individual sample points from the normal distribution with mean μ 0
= 1.000 and standard-deviation σ 0= 100. For one data set had we considered independent and identically distributed
observations with no first order autocorrelation ( ρ 1= 0), and for the other three we simulated autocorrelations such that ρ
1:
0,3; 0,6; e 0,9. We imposed constraints to these data sets such that some observations were under control ( μ 0= 1.000 e σ
0= 100),
and others were not under control ( μ 1= μ
0+δσ
0e σ
0= 100), for ä values equal to 1, 2 and 3. Observations out of control were
randomly inserted at the middle and end of the process. We concluded that both, the artificial neural networks and the logistic
regression, showed to be efficient alternatives to the most used control charts. They both yielded true alarms for out of control
points located in the middle and at the end of the process, as well as resulted in low incidence rates of false alarms. Such results
were observed for simulated data points at different distances from the control mean value and for data points under independence
or we first order autocorrelations.
Keywords: Artificial neural network, logistic regression and control charts.
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Métodos alternativos de controle estatístico de processos univariados
Revista Eletrônica Produção & Engenharia, v. 2, n. 1, p. 85-95, jan./jul. 200986
1. Introdução
O controle estatístico de processos (CEP) propiciao monitoramento destes e sinaliza a necessidade de atuarou não sobre eles, a fim de garantir que os resultadospossam estar de acordo com os padrõespreestabelecidos. Para esse monitoramento, destacam-se os gráficos de controle (GC). Quando causas especiaisde variação, além das aleatórias, estiverem presentes noprocesso, pelo menos um ponto referente aos dadoscoletados será plotado fora dos limites nos GCs. Jáquando apenas causas aleatórias estiverem atuando, todosos pontos se encontrarão aleatoriamente dispersos entreos dois limites (MONTGOMERY, 2004).
De acordo com Costa et al. (2004), a simplicidadepara a construção dos GCs implicou, muitas vezes,aplicações não coerentes com um monitoramentoadequado ao processo. Eles relataram que a eficiênciados GCs está relacionada à rapidez de detecção dascausas especiais, mas detectadas de acordo comestimativas precisas dos limites de controle obtidos emfunção das estimativas da média e do desvio-padrão doprocesso.
As redes neurais artificiais (RNAs) e a regressãologística (RL) também podem ser utilizadas para
classificar se o processo, naquele exato momento emque ocorreu a coleta do dado, estará ou não sob controleestatístico, porém sem que haja a necessidade de seremestimados os limites de controle. Essa estratégia deanálise estatística abre a possibilidade de monitorar oprocesso com base em um padrão de qualidade definido,que pode ser estipulado a partir de dados históricos queacarretaram resultados satisfatórios ou a partir de dadossimulados em função de uma especificação estabelecidano processo.
Portanto, o trabalho teve por objetivo comparar três
métodos (GCs, RNAs e RL), por meio de um estudo porsimulação de dados, com base nas incidências dos alarmesfalso e verdadeiro e na eficiência do monitoramento deuma característica de qualidade que se apresenta compontos sob e fora de controle estatístico, em processosindependentes e autocorrelacionados.
2. Revisão de literatura
2.1. Gráficos de controle
O GC permite visualizar o comportamento de umacaracterística de qualidade e suas flutuações em torno
de um valor médio e distinguir entre os dois tipos decausas de variação. Basicamente, é uma representação
de determinado estimador, que consiste de uma linhamédia (LM) e dos limites inferior (LIC) e superior decontrole (LSC), em função das diversas estratificações
temporais ou espaciais possíveis de serem estabelecidas(MONTGOMERY; RUNGER, 2003). Quando adistribuição dos pontos é aleatória e ocorre entre oslimites, o processo estará sob controle estatístico, ou seja,somente causas aleatórias de variação estarão atuando.Consequentemente, a média (μ
0) e o desvio-padrão (σ
0)
de controles se manterão estáveis ao longo do tempo,cuja característica de qualidade apresentará variabilidadeque poderá ser representada por uma distribuição deprobabilidades. Caso contrário se houver pontos alémdos limites de controle ou se padrões não aleatórios foremidentificados, o processo terá a influência de causasespeciais, além das aleatórias, que o tornam decomportamento não previsível ou fora de controleestatístico. Isso acarretará alterações significativas namédia e, ou, no desvio-padrão, e, portanto, uma açãoimediata deverá ser realizada para retornar o processo àcondição desejada (MONTGOMERY, 2004).
Os GCs por variáveis são utilizados paracaracterísticas de qualidade que podem apresentar
infinitos valores dentro de um intervalo contínuo. Entreeles são citados os de Shewhart, média móvelexponencialmente ponderada (EWMA) e somasacumuladas (CUSUM tabular). Independente do tipo deGC, algumas pressuposições devem ser satisfeitas para
validar a sua utilização e os seus resultados. De acordocom Alwan e Roberts (1995), as observações de uma
variável normal devem ser idd � independentes eidenticamente distribuídas. Atienza (1997), Faltin et al.(1997) e Montgomery (2004) sugeriram ajustar aos dadosautocorrelacionados um modelo de séries temporais do
tipo ARIMA (média móvel autorregressiva integrada) eaplicar os gráficos de controle aos resíduosaproximadamente independentes (ruídos brancos)gerados pelo modelo.
O GC da medida individual de Shewhart utilizadopara monitorar uma característica de qualidade Y, commédia (ì
0) e desvio-padrão de controles (ó
0), apresenta
as seguintes equações:LIC = μ
0� kσ
0;
LM = μ0; e
LSC = μ0
+ kσ0, em que k = número de desvios-
padrão de afastamento em relação à LM.
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Os valores de k são iguais a zα/2, ou seja, aos valores de Z da distribuição normal padronizada que
deixam uma probabilidade de α/2 nas extremidades dasduas caudas. Portanto, as probabilidades (1 � α) deocorrerem valores aleatórios da característica dequalidade dentro dos intervalos compreendidos pelos LICe LSC calculados em função dos valores de k iguais a 3,2 e 1, são iguais a 0,9973 (α = 0,0027), 0,9545 (α =0,0455) e 0,6827 (α = 0,3173), respectivamente.
O GC EWMA é uma boa alternativa de Shewhart,quando se está interessado em detectar pequenasmudanças na média do processo. Nele, a decisão sobreo processo é baseada na informação de cada amostra
com percentual de peso das anteriores, conforme asrevisões apresentadas por King (1995), Costa et al.(2004), Montgomery (2004) e Ribeiro Júnior et al. (2006).
Os valores da estatística Wi
plotados no GCEWMA da medida individual são calculados através daseguinte expressão:
Wi= λ yi + (1�λ )W
i-1, para i = 1, 2, ..., m,
em que:m = número de amostras;λ = peso da amostra (0≤λ <1);
yi= valor da característica de qualidade Y na amostra i; e
W0 = μ0.À medida que λ tende para 1, o GC EWMA seaproxima do de Shewhart, em que, para λ =1, tem-se
Wi=y
i.A LM e os limites de controle de cada amostra i,
de acordo com a média (ì0) e o desvio-padrão de
controles (ó0), são dados por:
LICi= μ
0� kσ
Wi;
LM = μ0; e
LSCi= μ
0+ kσ
Wi, em que:
k = deslocamento aleatório em torno da LM em número
de desvios-padrão;
; e
i = número da amostra i.
Se os valores da estatística Wi
plotadospermanecerem entre os limites inferior e superior decontrole e de forma aleatória, então se tem o processosob controle estatístico. Caso contrário, o processo seráconsiderado como fora.
O GC CUSUM tabular também utiliza informaçõesde diversas amostras para decidir sobre o estado do
processo. Ao plotar a soma acumulada dos desvios dos valores da característica de qualidade em relação à médiade controle nas sucessivas amostras, será possívelconseguir maior rapidez na sinalização de pequenosdesajustes. Na literatura, são apresentadas algumasrevisões que relatam a importância do GC CUSUM
tabular dentro do CEP, como: King (1995), Montgomerye Runger (2003), Costa et al. (2004), Montgomery (2004)e Ribeiro Júnior et al. (2006).
Na CUSUM tabular são estabelecidas a SH(i)
(CUSUM unilateral superior) e a SL(i) (CUSUM unilateral
inferior) até a amostra i. Assim, após o cálculo da LM e doslimites de controle, devem-se representar os m valores deSH(i) e S
L(i) no gráfico e verificar se o processo pode ser
considerado sob controle ou se existem pontos fora doslimites. Se o processo permanecer sob controle, então os
valores das CUSUMs tabulares ficarão em torno de zero.Caso contrário, se eles deslocarem para cima ou para baixo,então ocorrerão valores cada vez mais positivos ounegativos, com tendência à detecção de causas especiais.
Os valores de SH(i) e S
L(i) acumulam desvios que
são maiores do que K (valor de referência), com ambasas quantidades reajustadas para zero, caso se tornarem
negativos, sendo os valores iniciais de SH(0) e SL(0) iguaisa zero. Se pelo menos um S
H(i) ou S
L(i) exceder o valor
de H (intervalo de decisão), então o processo seráconsiderado como fora de controle, sendo LIC = �H,LM = 0 e LSC = H. Para a construção do GC CUSUM
tabular, os valores de SH(i) recebem sinais positivos e os
de SL(i), negativos.As CUSUMs tabulares da medida individual em
relação à média de controle (μ0) são calculadas por meio
das seguintes expressões:SH(i) = máximo [0; y
i� (μ
0+ K) + S
H(i�1)], para
i = 1, 2, ..., m; eSL(i) = máximo [0; (μ
0� K) � y
i+ S
L(i�1)], para
i = 1, 2, ..., m.Os valores de K e H obtidos em função do desvio-
padrão de controle (σ0) são dados por:
K = k*σ0;
H = h*σ0, em que:
k* =2
= valor padronizado de K;
δ = deslocamento especial em torno da LM em
número de desvios-padrão; eh* = valor padronizado de H.
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Os valores mais usuais de k* estão entre 0,25
(δ=0,5) e 1,5 (δ=3), e os de h* encontram-se entre 3 e 6.
Para o monitoramento da média pelos GCs deShewhart, EWMA e CUSUM tabular, considere as
seguintes hipóteses H0
e H1
mutuamente exclusivas:
H0: μ
Y = μ
0(processo sob controle estatístico);
H1: μ
Y ≠ μ
0(processo fora de controle estatístico).
Se a hipótese H0
for verdadeira e rejeitada,
comete-se o erro α (alarme falso). No entanto, se H0
for falsa e aceita, comete-se o erro (falta de detecção).
O α representa a probabilidade de erroneamente
considerar-se o processo fora de controle quando, na
verdade, ele está (H0verdadeira). A consequência prática
é de intervir no processo quando ele esta isento de causas
especiais. Já o β é a probabilidade de erroneamente
considerar-se o processo sob controle quando ele está
fora (H1
verdadeira). Isso implica em não intervir no
processo quando ele está sob influência de causas
especiais. Entretanto, o alarme verdadeiro ou poder do
gráfico (Pd = 1�β) é definido como a probabilidade de
detecção, ou seja, de rejeitar H0
falsa.
De acordo com Costa et al. (2004), pode-se
verificar a eficiência de um GC com base nas incidências
dos alarmes falso e verdadeiro. Quando a hipótese H1
é
verdadeira (processo fora de controle), o ideal seria que
o primeiro ponto plotado se situasse fora dos limites de
controle. Contudo isso nem sempre ocorre,
principalmente se o deslocamento () sofrido pela média
de controle (μ0) for pequeno. Essa variação especial em
número de desvios-padrão (σ0) implicará média, acima
(μ1= μ
0+δσ
0) ou abaixo (μ
2= μ
0�δσ
0) da de controle,
que se quer sinalizar como fora de controle. Se μ1
e μ2
apresentarem a mesma diferença em relação a μ0
para
uma variável que segue distribuição normal, então o
deslocamento δ pode ser definido por:
0
01
σ μ μ δ −= .
De acordo com os alarmes falso e verdadeiro, é
possível obter o número médio de amostras até o sinal
(NMA), que segue uma distribuição geométrica de
parâmetro p. Se a hipótese H0for verdadeira (δ=0), então
p=α. Caso contrário, se H1
for verdadeira (>0), então p
= Pd. Como a média da distribuição geométrica de
parâmetro p é igual a 1/p, então se têm:
1NMA 0
== = número médio de amostras até
o sinal falso; e
Pd
1NMA
0=> = número médio de amostras até
o sinal verdadeiro.
Assim, um gráfico de controle bem planejado é
aquele que apresenta, em termos teóricos, baixo alarme
falso, alto poder, alto NMAδ=0
e baixo NMAδ>0
, em função
do valor de δ preestabelecido. Nesse caso, recomenda-
se escolher valores de δ maiores do que 2,5, no início do
controle da qualidade, entre 1,5 e 2,5 nas fases
intermediárias e, menores do que 1,5 quando o controle
se encontrar numa fase mais adiantada, em termos de
redução da variabilidade do processo. Assim, no início
são controladas grandes variações devidas às causas
especiais e, com o passar do tempo, busca-se detectar
efeitos cada vez menores dessas possíveis causas,
quando houver necessidade.
Portanto, a primeira escolha é de um gráfico de
controle com baixa incidência de alarme falso, que trará
confiabilidade no monitoramento do processo, já que os
pontos fora de controle não serão, na grande maioria das
vezes, devidos às causas aleatórias. Caso haja
necessidade de aumentar a qualidade do processo e,
consequentemente, de diminuir a sua variabilidade, será
importante aumentar a sensibilidade do gráfico pelo
incremento do seu poder em detectar novas causasespeciais que eram anteriormente detectadas como
aleatórias. No entanto, o aumento do Pd não poderá
acontecer em função do aumento do α, mas mantendo-
o em níveis baixos e aceitáveis.
2.2. Rede neural artificial
De acordo com Mello (2004), RNA é uma técnica
de inteligência artificial utilizada para simular, de maneira
simplificada, o funcionamento do cérebro humano, sendo
capaz de reconhecer padrões, extrair regularidades edetectar relações em um conjunto de dados
aparentemente complexo. Já para Haykin (2001) ela é
um processador distribuído de forma paralela que tem a
função de armazenar conhecimento experimental e de
torná-lo disponível para o uso.
A RNA é formada pela combinação de diversos
neurônios organizados nas camadas de entrada,
intermediária e de saída. As entradas simulam uma área
de captação de estímulos que pode ser conectada por
muitos neurônios e resultar em uma série de saídas. Na
camada intermediária é feita a maior parte doprocessamento por meio de conexões, que têm a função
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de transformar um sinal de saída de um neurônio em um
sinal de entrada do outro ou em sinal de saída da rede
(TAFNER, 2008).De acordo com Haykin (2001), o neurônio artificial
representa uma região onde as informações são
processadas, sendo constituído por três elementos
básicos: pesos sinápticos e as funções de soma e de
ativação. As conexões entre os neurônios, denominadas
pesos sinápticos, são responsáveis pelo armazenamento
das informações e pela definição do efeito que a saída
de um neurônio exerce sobre a entrada do seguinte. A
função de soma processa os estímulos ponderados pelos
respectivos pesos sinápticos. Já a de ativação, também
chamada de função de transferência ou restritiva, élimitada à amplitude do intervalo do sinal de saída do
neurônio, geralmente no intervalo de 0 a 1 ou de -1 a 1.
As funções do tipo sigmóide são as mais utilizadas, por
serem contínuas, monotônicas, não lineares e facilmente
diferenciáveis.
A RNA deve ter a capacidade de generalização,
ou seja, ela deve ser capaz não apenas de classificar as
entradas para as quais ela recebeu treinamento, mas
também de generalizar e classificar as entradas que não
foram apresentadas. Isso é devido a um processo de
aprendizagem, que propicia a esta o encontro de respostas
mesmo quando os dados disponíveis para as entradas
estiverem incompletos. Portanto, a habilidade de aprender
em seu ambiente de treinamento, por meio de um processo
iterativo de ajustes aplicados aos seus pesos sinápticos,
é a sua propriedade mais importante (TAFNER, 2008).
De acordo com Haykin (2001), a aprendizagem
supervisionada é caracterizada pela utilização de um
agente externo que indica à RNA a resposta desejada
para o padrão de entrada. O ajuste dos pesos sinápticos
ocorre quando o sistema compara a saída com a resposta
desejada e previamente conhecida, cujo modelo se
caracteriza pela disponibilidade de um conjunto de
treinamento composto por dados de entrada previamente
classificados.
O perceptron é um modelo de RNA utilizado para
a classificação de padrões, sendo constituído por apenas
uma camada de neurônios. Ele adota uma soma ponderada
das suas entradas ou sinapses, enviando o resultado de
uma unidade positiva se a soma for superior a determinado
limiar. Caso contrário, o valor será igual a zero ou a uma
unidade negativa, dependendo da função de ativação
escolhida na modelagem da rede. Já o perceptron
multicamada (backpropagation) possui uma ou maiscamadas de neurônios intermediários entre as camadas
de entrada e saída e um conjunto de equações bem
definidas e utilizadas para a correção dos pesos
sinápticos, por meio da retropropagação do erro estimadopela diferença entre os resultados da saída e desejado
(FAUSETT, 1994).
De acordo com França (2005), as RNAs podem
ser utilizadas em áreas relacionadas à manufatura, como:
planejamento e controle de processos, dimensionamento
de sistemas, tomada de decisão operacional e
gerenciamento de robôs.
2.3. Regressão logística
Quando a variável dependente Y é binária, ou seja,quando apresenta apenas dois níveis (Y = 1 ou Y = 0) e
é estudada em função de uma variável independente e
quantitativa X, a equação de regressão é definida por:
g(pi) = β
0+ β
1xi+ e
i, para i = 1, 2, ..., n,
em que:
g(pi) = função de ligação;
pi= probabilidade de Y = 1 na observação i;
β0
= constante da regressão;
β1
= coeficiente de regressão;
xi
= valor da variável independente X na
observação i; eei= erro associado à observação i.
A função de ligação g(pi) garante que a resposta
seja expressa em termos de probabilidade no intervalo
entre zero e 1, sendo a do modelo logit definida por:
logit (pi) = ⎟ ⎟
⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ − i
i
p1
pln .
Assim, na regressão logística aplica-se a
estimação por máxima verossimilhança depois de a
variável dependente Y ter sido transformada em uma
variável logit . Dessa forma, a regressão logística estimaa probabilidade de certo evento ocorrer com base nas
mudanças na razão dos logaritmos das variáveis
dependentes, em vez de se basear nas mudanças da
variável dependente por si só, como ocorre na regressão
linear simples. No modelo de regressão logística binária
com uma única variável independente e com função de
distribuição logística, a probabilidade de um elemento
amostral pertencer ao primeiro grupo é obtida por:
i10
i10
x
x
i
e1
e)1/xP(Y +
+
+
== .
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Consequentemente, a probabilidade de pertencer
ao segundo é obtida por:
P(Y=0/xi) = 1 � P(Y=1/xi).A regressão logística binária pode ser aplicada
quando o principal objetivo for identificar o grupo ao qual
um elemento amostral pertence, como: prever o sucesso
ou o fracasso de um novo produto, determinar a categoria
de risco de crédito de uma pessoa ou prever se uma
empresa terá sucesso ou não. Em cada caso, os
elementos amostrais são classificados em dois grupos,
cujas inclusões podem ser previstas ou explicadas por
um conjunto de variáveis independentes. Se P(Y = 1/xi)
for igual ou superior a 0,5, então o elemento amostral
pertencerá ao grupo 1; caso contrário, pertencerá ao
grupo 2 (HAIR JUNIOR et al., 2005).
O teste de Hosmer-Lemeshow avalia a qualidade
de ajuste, comparando as frequências observadas com
as esperadas, por meio da distribuição de qui-quadrado
(HOSMER; LEMESHOW, 1989).
3. Material e métodos
3.1. Simulação dos dados
Os dados de uma variável aleatória normal Y foram
simulados para 544 amostras com observações individuais
e com parâmetros de média (μ0= 1.000) e desvio-padrão
(σ0
= 100), para processos independentes e
autocorrelacionados com o auxílio do software estatístico
R. No total, foram realizadas quatro simulações de 544
dados: uma com observações independentes ou sem a
presença da autocorrelação de primeira ordem (ρ1=0) e
três com os seguintes valores de ρ1: 0,3; 0,6; e 0,9. Das
544 amostras, 436 foram utilizadas para o treinamento
da RNA, já as 108 restantes o foram para realizar as
comparações entre os GCs de Shewhart, EWMA e
CUSUM tabular, RNA e RL.Em cada conjunto de dados simulado, foram
realizadas diferentes imposições, com o objetivo de obter,
além dos pontos sob controle estatístico com média
μ0= 1.000 e desvio-padrãoσ
0= 100, pontos fora de controle
com média μ1= μ
0+δσ
0e desvio-padrão σ
0= 100, para
valores de ä iguais a 1, 2 e 3, inseridos no meio e no final
de cada um deles, sendo as duas posições (p) definidas
como 0 e 1, respectivamente. Portanto, foram gerados 24
conjuntos com 544 amostras de observações individuais
oriundas do fatorial 4x3x2, cujos níveis correspondem,
respectivamente, aos seguintes fatores: ρ1, ä e p.
Para p = 0, as primeiras 144 amostras das 436
utilizadas no treinamento da RNA estavam sob controle
estatístico (μ0 = 1.000 e σ0 = 100), seguidas de 144amostras fora de controle (μ
1= μ
0+δσ
0e σ
0= 100) e de
mais 144 sob controle (Figura 1).
Figura 2 - As primeiras observações foram simuladas
com média μ0,
seguidas de verificações com
média μ1.
Do mesmo modo, as 108 amostras destinadas às
comparações dos métodos apresentaram, para p = 0, 36,
amostras sob controle estatístico seguidas de 36 fora e
de 36 sob e, para p = 1, 72 amostras sob controle seguidas
de 36 fora.
3.2. Gráficos de controle
Nas construções dos GCs de Shewhart, EWMA
e CUSUM tabular, foram utilizados valores das
constantes relacionados com as melhores eficiências, de
acordo com Souza et al. (2008). Em todos eles, os
parâmetros de média e desvio-padrão foram iguais a 1.000
e 100, respectivamente. Para o GC da medida individual
de Shewhart, os limites de controle foram situados a 1,96
(k) desvios-padrão da LM, cujo intervalo está associado
a 100 (1�0,05)% de confiança. Para o EWMA, foram
construídos dois gráficos: EWMA1 (k = 1,96 e λ = 0,20)
Figura 1 - As primeiras observações foram simuladas
com média μ0, seguidas de verificações commédias μ
1e μ
0.
Para p = 1, foram 288 amostras sob controle
estatístico, seguidas de 144 fora (Figura 2).
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e EWMA2 (k = 1,96 e λ = 0,40). Já para o CUSUM
tabular utilizou-se k* = 1 e h* = 5.
De acordo com o estudo de simulação realizadopor Souza et al. (2008), k = 1,96 proporciona estimativa
do alarme falso igual a aproximadamente 0,05 para os
GCs de Shewhart e EWMA. Já as estimativas dos
alarmes verdadeiros para n = 1 e k = 1,96 dos GCs de
Shewhart são iguais a 0,38 (δ = 1), 0,51 (δ = 2) e 0,77 (δ= 3). O EWMA1 tem as seguintes estimativas: 0,80 (δ =
1) e 1 (δ≥2), enquanto o EWMA2, 0,69 (δ = 1) e 1 (δ≥2).
Já as estimativas dos alarmes falso e verdadeiro do GC
CUSUM tabular são, respectivamente, iguais a 0,0002 e
0,97 (δ≥1).
Nos conjuntos de dados com a presença deautocorrelação, foram ajustados modelos de séries
temporais do tipo ARIMA de acordo com a metodologia
de Box e Jenkins revisada por Moretin e Toloi (2006),
cujos GCs foram construídos com os ruídos brancos
aproximadamente independentes. Todos os GCs e os
ajustes dos modelos de séries temporais ARIMA foram
feitos no software Minitab para os 24 conjuntos de dados,
com observações individuais.
3.3. Rede neural artificialA RNA escolhida para o treinamento e validação
dos dados deste trabalho foi a perceptron de múltiplas
camadas (algoritmo backpropagation), que possibilita
boa classificação de padrões e várias funções de
treinamento já implementadas no software MatLab. Neste
trabalho foram testadas 64 diferentes arquiteturas de
RNA, oriundas das combinações entre quatro funções
de treinamento (traingdx, traingda, trainlm e trainbr),
dois tamanhos de camadas intermediárias (3 e 4) e oito
tamanhos de neurônios por camada (1, 5, 7, 11, 14, 17,
20 e 27).Para a escolha de apenas uma das arquiteturas
testadas, foi avaliado o desempenho de acordo com o
menor erro médio quadrático (MSE), definido por:
em que:
yobs
= valor observado na saída da RNA; e
yesp
= valor esperado na saída da RNA.
A função de ativação (transferência) entre as
camadas foi a sigmóide, uma vez que os dados de entrada
e saída da rede foram normalizados entre os valores 0 e
1. No MatLab, a função de transferência tansig
implementa essa função de ativação.
O número de ciclos de treinamento foi fixado em
1.250 épocas, para que o número de vezes que o conjunto
de treinamento fosse apresentado à RNA não se tornasseexcessivo, o que poderia levar à perda do poder de
generalização (overfitting ). No entanto, não deve ser
demasiadamente reduzido, a fim de não atingir o seu
melhor desempenho (underfitting ).
3.4. Regressão logística
A regressão logística binária foi utilizada para
verificar a relação entre a classificação do processo sob
(Y = 0) ou fora (Y = 1) de controle estatístico, em função
dos valores observados da característica de qualidadesimulada, aqui denominada variável independente X. Para
avaliar a qualidade do ajuste do modelo logit foi aplicado
o teste de Hosmer-Lemeshow, no nível de 5% de
significância.
O modelo logit foi realizado no software Minitab
14, cujas amostras com probabilidades menores do que
0,5 foram classificadas como pertencentes ao grupo 1
(sob controle estatístico) e as com probabilidades
superiores ou iguais a 0,5, como pertencente ao grupo 2
(fora).
3.5. Medidas de comparação
Após aplicar cada um dos seis métodos (m)
propostos (quatro GCs, RNA e RL) aos 24 conjuntos de
dados, foram realizadas comparações baseadas nas
incidências dos alarmes falso e verdadeiro sobre a
classificação dos valores observados sob ou fora de
controle estatístico.
Para a estimativa do alarme falso, foi contabilizada
a razão entre o número de pontos fora de controle
estatístico para δ = 0 (NPFC = 0) em relação ao número total de pontos sob controle estatístico (NTPδ=0
) em cada
conjunto de dados, sendo dada por:
0
0
NTP
NPFCˆ
=
==δ
δ α
Para a estimativa do alarme verdadeiro, foi, no
entanto, contabilizada a razão entre o número de pontos
fora de controle estatístico para δ>0 (NPFCδ>0) em
relação ao número total de pontos fora de controle
estatístico (NTPδ>0) em cada conjunto de dados, sendo
dada por:
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necessitam de correções difíceis, caras e demoradas,
situadas no meio ou no final do processo.
Tabela 1 - Médias dos alarmes falsos dos métodos dos
pontos fora de controle estatístico situados
no meio (p=0) e no final (p=1) do conjunto de
dados
Método p=0 p=1
GC de Shewhart 0,0067 c 0,0054 b
EWMA1 0,0858 b 0,0243 b
EWMA2 0,0228 c 0,0124 b
CUSUM tabular 0,5493 a 0,0643 a
RNA 0,0321 c 0,0281 b
RL 0,0218 c 0,0240 b
Médias seguidas pela mesma letra na coluna não diferem entre si, pelo
teste de Duncan (P>0,05).
Para ä = 1, os métodos GC de Shewhart, EWMA1,
EWMA2, RNA e RL apresentaram as menores (P<0,05)
médias dos alarmes falsos. Entre eles, somente GC de
Shewhart, EWMA2, RNA e RL apresentaram as
menores (P<0,05) médias para ä = 2 e ä = 3 (Tabela 2).
Tabela 2 - Médias dos alarmes falsos dos métodos dos
pontos fora de controle estatístico, inseridos
com valores de deltas iguais a 1, 2 e 3 nos
conjuntos de dados
Método ä=1 ä=2 ä=3
GC de Shewhart 0,0075 b 0,0050 c 0,0057 c
EWMA1 0,0404 b 0,0605 b 0,0642 b
EWMA2 0,0180 b 0,0178 c 0,0169 c
CUSUM tabular 0,3006 a 0,3160 a 0,3039 a
RNA 0,0407 b 0,0232 c 0,0094 c
RL 0,0351 b 0,0232 c 0,0105 c
Médias seguidas pela mesma letra na coluna não diferem entre si, pelo
teste de Duncan (P>0,05).
Novamente, os métodos GC de Shewhart,
EWMA2 (ë = 0,40), RNA e RL se apresentaram
eficientes em minimizar as estimativas dos alarmes
falsos, nos conjuntos de dados com valores de ä que
variam entre 1 e 3. Portanto, a RNA e RL se mostraram
eficientes e capazes de substituírem os melhores GCs
no monitoramento de processos que visam detectar
pequenas ou grandes diferenças em relação à média
de controle, em termos das incidências dos alarmesfalsos.
0
0
NTP
NPFCdP̂
>
>=δ
δ
Ao final, foi realizada a análise de variância de
um experimento com quatro fatores (ρ1, ä, p e m),
segundo o delineamento inteiramente casualizado com
três repetições por tratamento, cujo teste F foi aplicado
aos efeitos principais e às interações duplas do fatorial
4x3x2x6 referentes aos respectivos níveis dos fatores
estudados. Posteriormente, de acordo com as
significâncias das interações, foi aplicado o teste de
Duncan aos métodos, para os alarmes falso e verdadeiro.
A análise de regressão em função de ρ1
(0; 0,3; 0,6; e
0,9), ä (1, 2 e 3) e p (0 e 1) foi realizada somente noalarme verdadeiro, cujos coeficientes foram testados pelo
teste t. Todas essas análises foram feitas no software
Mintab a 5% de significância.
4. Resultados e discussão
A menor estimativa do MSE (0,33) ocorreu na
arquitetura de RNA com três camadas, sendo uma
intermediária, e função de ativação traingdx. Portanto,
esta foi a utilizada na comparação com os demais métodos
propostos.
4.1. Alarme falso
O alarme falso sofreu efeito (P<0,05) de todos os
quatro fatores (ρ1, ä, p e m) e das seguintes interações
duplas: ρ1m, ä×p, ä×m e p×m. Portanto, com o objetivo
de comparar as médias dos alarmes falsos entre os
métodos, procedeu-se aos desdobramentos das interações
duplas significativas, por meio da aplicação do teste de
Duncan dentro de cada nível de ρ1, ä e p.
Para pontos fora de controle estatístico situadosno meio (p = 0) do conjunto de dados, os métodos GC de
Shewhart, EWMA2, RNA e RL apresentaram as
menores (P<0,05) médias, sendo, portanto, indicados
nessa condição. Já naqueles situados no final (p = 1), os
melhores (P<0,05) métodos foram os quatro anteriores
e o EWMA1 (Tabela 1).
Em ambas as posições, destacaram-se os seguintes
métodos: GC de Shewhart, EWMA2 (ë = 0,40), RNA e
RL. Isso significa que o aumento do valor do ë no GC
EWMA promoveu como nos métodos GC de Shewhart,
RNA e RL, baixa incidência do alarme falso, o quepossibilita usá-los no monitoramento de processos que
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Para o conjunto de dados com observações
independentes ou sem a presença da primeira
autocorrelação (ñ1 = 0), apenas o método GC deShewhart apresentou a menor (P<0,05) média do alarme
falso. Para a presença da primeira autocorrelação (ñ1
igual a 0,3; 0,6; e 0,9), foram incluídos os métodos
EWMA1, EWMA2, RNA e RL, além do primeiro, como
os melhores (Tabela 3).
Na ausência da primeira autocorrelação (ñ1= 0)
ocorreram mais alarmes falsos em relação à sua
presença (0,3; 0,6; e 0,9). Dessa forma, o ajuste do
modelo de série temporal do tipo autorregressivo de
primeira ordem [AR(1)], de acordo com a metodologia
de Box e Jenkins, foi eficiente em minimizar o prejuízo
provocado pela violação da pressuposição de
independência para a construção dos gráficos de controle.
Do mesmo modo, ela favoreceu o monitoramento do
processo pelos métodos RNA e RL, que se mostraram
eficientes e capazes de substituírem os melhores GCs,
na presença ou não da primeira autocorrelação, em
termos das incidências dos alarmes falsos.
Tabela 3 - Médias dos alarmes falsos dos métodos dos
conjuntos de dados com autocorrelações de
primeira ordem iguais a 0; 0,3; 0,6; e 0,9
Método ñ1= 0 ñ
1= 0,3 ñ
1= 0,6 ñ
1= 0,9
GC de 0,0243 d 0,0001 b 0,0001 b 0,0001 b
Shewhart
EWMA1 0,1583 b 0,0201 b 0,0206 b 0,0211 b
EWMA2 0,0703 c 0,0001 b 0,0001 b 0,0001 b
CUSUM 0,4331 a 0,2647 a 0,2647 a 0,2647 a
tabular
RNA 0,0865 c 0,0054 b 0,0051 b 0,0233 b
RL 0,0868 c 0,0001 b 0,0001 b 0,0001 b
Médias seguidas pela mesma letra na coluna não diferem entre si, pelo
teste de Duncan (P>0,05).
4.2. Alarme verdadeiro
O alarme verdadeiro sofreu efeito (P<0,05) dos
fatores1, ä e m e das seguintes interações duplas: ρ
1×ä,
ρ1×m e ä×m. Portanto, com o objetivo de comparar as
médias dos alarmes verdadeiros entre os métodos,
procedeu-se aos desdobramentos das interações duplas
significativas, por meio da aplicação do teste de Duncan
dentro de cada nível de ρ1
e ä.
Para ä = 1, os métodos EWMA1, CUSUM tabular,RNA e RL apresentaram as maiores (P<0,05) médias
dos alarmes verdadeiros. Já para ä = 2 foi incluído o
EWMA2 e, para ä = 3, todos os métodos apresentaram
o mesmo (P>0,05) desempenho (Tabela 4). Novamente, os métodos RNA e RL se
apresentaram eficientes em maximizar as estimativas dos
alarmes verdadeiros, nos conjuntos de dados com valores
de ä que variam entre 1 e 3 e, portanto, capazes de
substituir os melhores GCs no monitoramento de
processos que visam detectar pequenas ou grandes
diferenças em relação à média de controle, em termos
das incidências dos alarmes verdadeiros.
Tabela 4 - Médias dos alarmes verdadeiros dos métodos
dos pontos fora de controle estatístico inseridoscom valores de deltas iguais a 1, 2 e 3 nos
conjuntos de dados
Método ä=1 ä=2 ä=3
GC de Shewhart 0,0549 c 0,7024 b 0,9611 a
EWMA1 0,9104 a 0,9944 a 0,9983 a
EWMA2 0,7469 b 0,9941 a 0,9983 a
CUSUM tabular 0,9174 a 0,9740 a 0,9979 a
RNA 0,9090 a 0,9632 a 0,9806 a
RL 0,8517 a 0,9396 a 0,9757 a
Médias seguidas pela mesma letra na coluna não diferem
entre si, pelo teste de Duncan (P>0,05).
Após terem sido escolhidos como os melhores
métodos para minimizar a incidência do alarme falso (GC
de Shewhart, EWMA2, RNA e RL), apenas os dois
últimos foram considerados como os melhores em
maximizar a incidência do alarme verdadeiro, para valores
de ä iguais a 1, 2 e 3. Além deles, foram indicados os
dois primeiros para ä = 2 e ä = 3. Já o CUSUM (k* = 1
e h* = 5) não foi indicado para nenhum valor de ä. Esse
método, apesar dos seus ótimos resultados em maximizar
o alarme verdadeiro, promove grande incidência do falso.
No conjunto de dados com observações
independentes ou sem a presença da primeira
autocorrelação (ñ1= 0), apenas os métodos EWMA1 e
CUSUM tabular apresentaram as maiores (P<0,05)
médias do alarme verdadeiro. Na presença da primeira
autocorrelação (ñ1igual a 0,3; 0,6; e 0,9) foram incluídos
os métodos EWMA2, RNA e RL, além dos dois
anteriores, como os melhores (Tabela 5).
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Tabela 6 - Estimativas das incidências dos alarmes verdadeiros em função de ñ1e ä dos diferentes métodos estudados
Método Equação de Regressão R 2
GC de Shewhart = -0,333 + 0,453*ä 0,90
EWMA1 = 0,88 + 0,0439*ä 0,75
EWMA2 = 0,662 + 0,126*ä 0,65
CUSUM tabular dP̂ = 0,911 � 0,00622*ñ1+ 0,0292*ä + 0,00245*ñ
1ä 0,89
RNA dP̂ = 0,72 + 0,0353*ñ1+ 0,0901*ä � 0,0121*ñ
1ä 0,60
RL dP̂ = 0,465 + 0,0740*ñ1 + 0,162*ä � 0,0223*ñ1ä 0,60*Significativo pelo teste t (P<0,05), 1≤δ≤3, 0ρ
1≤0,9.
Tabela 5 - Médias dos alarmes verdadeiros dos métodos
dos conjuntos de dados com autocorrelações
de primeira ordem iguais a 0; 0,3; 0,6; e 0,9
Método ñ1= 0 ñ
1= 0,3 ñ
1= 0,6 ñ
1= 0,9
GC de 0,5111 d 0,5898 b 0,5949 b 0,5954 b
Shewhart
EWMA1 0,9546 a 0,9727 a 0,9727 a 0,9704 a
EWMA2 0,8662 b 0,9370 a 0,9356 a 0,9139 a
CUSUM 0,9713 a 0,9625 a 0,9593 a 0,9593 a
tabular
RNA 0,8648 b 0,9824 a 0,9787 a 0,9978 a
RL 0,6977 c 0,9999 a 0,9999 a 0,9917 a
Médias seguidas pela mesma letra na coluna não diferem entre si, pelo
teste de Duncan (P>0,05).
Na ausência da primeira autocorrelação (ñ1=0)
ocorreram menos alarmes verdadeiros em relação à sua
presença (0,3; 0,6; e 0,9). Dessa forma, confirma-se que
o ajuste do modelo de série temporal do tipo AR(1), de
acordo com a metodologia de Box e Jenkins, foi realmente
eficiente em minimizar o prejuízo provocado pela violação
da pressuposição de independência para a construção dos
gráficos de controle. Do mesmo modo, ela favoreceu o
monitoramento do processo pelos métodos RNA e RL,
que se mostraram eficientes e capazes de substituir osmelhores GCs, na presença da primeira autocorrelação,
em termos das incidências dos alarmes verdadeiros.
Para ñ1
= 0, foram indicados os métodos
intermediários em relação ao alarme verdadeiro (EWMA2
e RNA), pelo fato de os melhores (CUSUM tabular e
EWMA1) provocarem alta incidência do falso. Já na sua
presença (ñ1
igual a 0,3; 0,6; e 0,9) os melhores métodos
em minimizar e maximizar os alarmes falso e verdadeiro,
respectivamente, foram EWMA2, RNA e RL.
Os resultados estão de acordo com os de outros
trabalhos. Gonçalves (2005) concluiu também que os
resultados obtidos pelos modelos de RL e RNA foramsatisfatórios e bastante próximos, sendo o primeiro
ligeiramente superior. No entanto, Santos (2005) obteve
melhor resultado com a RNA em relação à RL na
predição da hepatite A. Já Santos (2008) concluiu que as
RNAs foram bastante eficientes em classificar cerâmica
arqueológica com base na composição química.
Balestrassi (2000) destacou que a RNA evita confusão
em determinar o padrão, o que pode ocorrer nos GCs.
Para verificar os efeitos de ñ1e ä sobre a incidência
do alarme verdadeiro em cada método, foram ajustadas
as equações de regressão apresentadas na Tabela 6.
O alarme verdadeiro dos métodos CUSUM tabular,
RNA e RL depende (P<0,05) de ñ1, e ä e da interação
entre eles. Já o dos demais tem relação positiva (P<0,05)
apenas em função de ä. Resultados semelhantes foram
obtidos por Souza et al. (2008).
5. Conclusões
Os métodos das redes neurais artificiais e da
regressão logística substituem, de forma eficiente, os
melhores tipos de gráficos de controle em sinalizar pontos
fora de controle estatístico situados no meio ou no final do
conjunto de dados, em diferentes distâncias da média de
controle e distribuídos de forma independente ou não,
mantendo em níveis baixos a incidência do alarme falso.
Portanto, são métodos alternativos dos gráficos de controle,
que podem ser recomendados para o controle estatístico
de processo. O gráfico de controle CUSUM tabular é
muito sensível em detectar alarmes falso e verdadeiro,
principalmente quando os pontos fora de controle se situam
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no meio do conjunto de dados. Já o de Shewhart é menos
sensível à detecção destes. E a diminuição do ë no gráfico
de controle EWMA proporciona aumento das incidênciasdos alarmes falso e verdadeiro.
Referências
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Recebido em 03/02/2009
Publicado em 02/10/2009