46732248 Pravilni Poliedri i Njihova Konstrukcija
-
Upload
aleksandar-savic -
Category
Documents
-
view
118 -
download
3
description
Transcript of 46732248 Pravilni Poliedri i Njihova Konstrukcija
Matematicki fakultetStojanovic Gordana 88/1
SEMINARSKI RAD
Pravilni poliedri i njihova konstrukcija
Beograd, 2002.
SADRŽAJ
Uvod …………………………………………………2
Uopste o pravilnim poliedrima…………………5
Konstrukcije pravilnih poliedara………………13 -konstrukcija pravilnog tetraedra…………...13 -konstrukcija pravilnog oktaedra…………...14 -konstrukcija pravilnog dodekaedra………..15
-konstrukcija pravilnog ikosaedra………….17
Literatura……………………………………...18
2
UVOD
Istorija pravilnih poliedara ne pocinje otkricem pojedinih pravilnih
geometrijskih tela,vec saznanjem da ta tela imaju neka zajednicka svojstva
koja ih karakterisu.
Dokazacemo da postoji tacno pet topoloskih pravilnih poliedara, koji se
nazivaju Platonovim telima.
Platon (429-348 p.n.e.) se zalio na neznanje svojih savremenika.Licno se nije bavio cisto matematickim istrazivanjima, ali je podsticao svoje ucenike na taj rad:
Njegovi savremenici i ucenici su ispunili mnoge praznine u nauci.Dok su,
npr., pitagorejci (uza skola Pitogorina), od pravilnih poliedara poznavali
samo kocku i tetra edar, a mozda jos i dodekaedar, Teetet (umro 369 p.n.e.)
im dodaje oktaedar i ikosaedar i prvi postavlja teoriju svih pet pravilnih
poliedara.Da su pitagorejci mogli poznavati dodekaedar, vidi se iz toga sto
su ga Etrurci vestacki predstavljali po ugledu na kristalni oblik u kome se
javlja pirit u severnoj Italiji i obelezavali ga narocitim znacima kao predmet
kulta.
Jedan takav vestacki primerakiz steatita nadjen je i brizljivo proucen.Utvrdeno je da potice iz prvog gvozdenog doba (La Tène-period
3
1000-900 p.n.e.).Etrurci ili Gali mogli su to znanje preneti u juznu
Italiju,gde su ga primili pitagorejci.Teetetovi radovi se javljaju u I u XIII
knjizi Euklidovih Elemenata , a (325p.n.e.) u kojoj se rapravlja upravo o
pravilnim poliedrima.
I Aristotel (384-322p.n.e.) je poznavao pravilne poliedre, ali njegova
“Matematicka rasprava” nije sacuvana, a i “Istorija geometrije” koju je
napisao njegov ucenik Teofrast (374-287p.n.e.), I druga koju je napisao
njegov ucenik Eudem (350-290p.n.e.) su izgubljene.
Kasnije, Papo (oko 295p.n.e.) izvesne brojne odnose izmedu osnovnih
elemenata pet pravilnih poliedara .
Kepler (1571-1630g.) je nastavio teoriju pravilnih poliedara svojim
zvezdastim poliedrima, a pokusao je i da redukuje rastojanja planeta
Suncevog sistema na metricke osobine Platonovih tela alternativno upisanih
i opisanih oko nebeskih sfera pridruzenih planetama:
Saturnu,Jupiteru,Marsu,Zemlji,Veneri i Merkuru koje su odvojene
redom,kockom,tetraedrom,dodekaedrom,oktaedrom i ikosaedrom.
Naravno,Kepler nije nista znao o Uranu,Neptunu i Platonu koji su otkriveni
kasnije 1781.,1846.,i 1930-te godine.
Teorija pravilnih poliedara igra vrlo vaznu ulogu ne samo u teorijskoj
matematici I geometriji, vec i u primenjenoj matematici,mehanici i fizici.
4
Teodrija poledara raznovrsnih oblika danas predstavlja posebnu oblast koja
je, narocito u vezi sa kristalografijom, postala i zasebna grana nauke o
prirodi, a kao specijalni deo ona ulazii u topologiju.
Posle pravilnih tela, koja imaju jednake pravilne rogljeve i jednake pravilne
stranice i koja se zovu Platonovi poliedri, prvi tipovi poliedara sa najmanjim
odstupanjem od pravilnosti su tzv.Arhimedovi poliedri: jednakorogljasti
polupravilni poliedri i jednakostranicni polupravilni poliedri.Prva i druga
kategorija Arhimedovih poliedara sadrzi po petnaest tela. Sada cemo se malo konkretnije upoznati sa pojmom poliedra i konstruisati
pet topoloski pravilnih poliedara;
5
UOPŠTE O PRAVILNIM POLIEDRIMA
Poliedar je geometrijsko telo ograniceno ravnima.Presekom tih ravni
nastaju mnogouglovi koji se nazivaju strane poliedra.Strane
mnogouglova su ivice poliedra, a u svakoj ivici se sastaju po dva
mnogougla.Poliedar moze biti konveksan (ako sav lezi samo sa jedne
strane ravni svake svoje strane) ili konkavan, u suprotnom.
□Def.
Da bismo utvrdili koje vrste pravilnih poliedara mogu postojati poci cemo
od zbira ivicnih uglova (konvesnog-ispupcenog) roglja.
□T//
6
Konveksni poliedar je pravilan ako su sve njegove strane podudarni pravilni poligoni i ako su svi njegovi rogljevi pravilni i podudarni
Zbir strana bilo kojeg konveksnog roglja manji je od cetiri prava ugla
SA1A2…An-konveksni rogalj
Ako sve ivice ovog roglja presecemo nekom ravni, dobijamo tacke preseka
A1,A2,….,An I trouglove SA1A2,SA2A3,…
Oznacimo uglove u tim trouglovima sa a1,b1,c1;
a2,b2,c2, itd., a uglove poligona A1A2….An sa φ1,….φn.
Uzmimo sada da su tacke A1,A2,A3…temena triedara.
Kako je u svakom triedru jedna strana manja od zbira, a veca od razlike
druge dve strane imamo da je:
φ1<b1+cnφ2<b2+c1. . + φ1+φ2+…+φn<(b1+cn)+(b2+c1)+(b2+c1)+…+(bn+cn-1). (n-2)*2R=φ1+….+φn (zbir uglova u mnogouglu);φn<bn+c n-1 oznacimo a1+a2+….+an=s
i znamo a1+b1+c1=2Ra2+b2+c2=2R…
7
I iz sveg ovoga sledi da je: (n-2)*2R<n*2R-S
S<4RZnaci ne postoji ni jedan poliedar sa rogljem ciji bi zbir ivicnih uglova
bio≥4R
Vazi sledeca teorema :
□T//
dokaz:
a) Ako su strane pravilnog poliedra jednakostranicni trouglovi, onda one
mogu obrazovati konveksne rogljeve sa tri, cetiri ili pet strana, jer je u svakom tom slucaju zbir strana jednog roglja manji od 4R.Ne postoji rogalj od sest takvih strana , jer bi njihov zbir bio jednak 4R.
b) Pretpostavimo da su strane pravilnog poliedra kvadrati.One mogu
obrazovati samo triedre , jer je u tom slucaju zbir strana jednog roglja
<4R. Ne postoji rogalj sa cetiri takve strane , jer bi njihov zbir bio 4R.
c) Pretpostavimo da su strane pravilnog poliedra pravilni petouglovi.One
mogu obrazovati samo triedre, jer ugao u pravilnom petouglu ima
8
Postoji samo pet pravilnih poliedara.
108˚, pa je zbir od tri strane jednog roglja manji od 4R, dok bi zbir od
cetiri strane bio veci od 4R.Znaci ne postoje pravilni poliedri cije bi
strane bile pravilni sestouglovi, sedmouglovi itd., odnosno postoji samo
pet pravilnih poliedara.
9
□T//
Dokaz:
Po dve strane poligona koje cine povrs poliedra sastaju se u jednoj
njegovoj ivici, pa je broj tih strana dva puta veci nego broj ivica.Kako
svaki poligon ima isto uglova koliko i stranica, a svaki ugao poligona
cini po jedan ivicni ugao poliedra, sledi da je broj uglova dva puta
veci od broja ivica kocke.
□T// (Euler-ova teorema)
Dokaz:
k- broj temena poliedral- broj pljosnim- broj ivicaR- prav ugao
1) Neka je n1,n2,…nl broj stranica poligona koji obrazuju povrs
poliedra.Tada je zbir ivicnih uglova:
S=n1*2R-4R+n2*2R-l*4R+….+nl*2R-4
10
Svaki pravilni poliedar ima po dva puta vise ivicnih uglova nego ivica
U svakom konveksnom poliedru zbir broja temena I broja strana je za dva veci od broja ivica.
S=(n1+…….+nl)*2R-l*4R S=2m*2R-l*4RS=(m-l)*4R
(n1+….+nl; jednak je dvostrukom broju ivica)
2) Ako projektujemo sve ivice posmatranog poliedra na neku ravan tako
da se svaka njegova ivica projektuje u duz, a svaka strana u poligon sa
istim brojem stranica, tada se zbir S svih njegovih ivicnih uglova nece
promeniti i moze se izracunati:
Prvo odredimo zbir unutrasnjih uglova u poligonu ABCD…koji obrazuje
konturu projekcije poliedra.t-broj stranica tog poligona => zbir njegovih unutrasnjih uglova je
= t*2R-4R
11
Tome zbiru treba dodati zbirunutrasnjih uglova poligona cija su temena u
unutrasnjosti konture ABCD…,a odgovaraju prednjoj strani poliedra
(temena G,H,….).Taj zbir iznosi onoliko puta po 4R koliko ima tih
temena.Zatim se ponovo uzima zbir unutrasnjih uglova poligona konture
projekcije poliedra I njemu dodaje zbir unutrasnjih uglova poligona cija su
temena u unutrasnjosti konture, a odgovaraju straznjoj strani poliedra.I taj
drugi zbir iznosi onoliko puta po 4R koliko ima tih temena u unutrasnjosti
konture (temena K,L,….).Odavde sledi: S=2
Kako svaki konveksni poliedar ima dva puta vise ivicnih uglova nego ivica,
imamo:
Ln=2n Ks=2m => K+l=m+2
Iz svego ovoga sledi da je:
.k=4n\2n+2S-ns .l=4s\2n+2S-ns .m=2ns\2n+2S-ns
12
n S k l m Naziv pravilnog poliedra3 3 4 4 6 Tetraedar3 4 6 8 12 Oktaedar3 5 12 20 30 Ikosaedar4 3 8 6 12 Heksaedar5 3 20 12 30 dodekaedar
Oko svakog pravilnog poliedra moze se opisati sfera i u svaki se moze
upisati sfera.Centri opisane i upisane sfere se poklapaju.
13
Konstrukcije pravilnih poliedara
Za konstrukcije pravilnih poliedara mozemo upotrebiti kosu projekciju
kocke.Pri tome cemo odnos duzine slike stranice A′B′ I duzine te stranice
AB, tj. A′/B′=q zvati prikrata (skracenje).
Taj odnos zavisi od nagibnog ugla α.
1. Konstrukcija pravilnog tetraedra
U kocki ABCD (α=30º, q=½) temena ABCD spojimo medu sobom i
dobijamo pravilni tetraedar ABCD.
Ivice dobijenog poliedra su dijagonale strana kocke, pa su sve medu sobom
jednake.Znaci, strane dobijene piramide cine cetiri podudarna pravilna
trougla.
14
2. Konstrukcija pravilnog oktaedra
Data je kocka u kosoj projekciji .Sredine njenih strana su temena pravilnog
oktaedra.
3. Konstrukcija pravilnog dodekaedra
15
Konstruisimo prvo pravilan petougao A1B1C1D1E1, a zatim pomocu njega
I kocke cija je ivica jednaka dijagonali C1E1 datog petougla konstruisimo
pravilni dodekaedar.
U sredini kvadrata BCGF kocke povucemo normalu n na ravan toga
kvadrata.Ona polazi kroz sredinu S date kocke. Sada prenosimo
petougao A1B1C1D1E1 na kocku tako da njegova dijagonala C1E1
poklopi ivicu kocke FG.Zbog date priklade (skracenja q=½) ona ce na
slici biti jednaka polovini svoje prave velicine.Visina D1Q prolazice
kroz sredinu K ivice FG, a njena krajnja tacka Q npasce u neku tacku M
16
na normali n .Tu cemo tacku dobiti kada PQ prenesemo iz tacke K do
preseka sa n.PQ uzimamo u pravoj velicini, jer je visina petougla tom
polozaju paralelna ravni projekcije.Zatim, MK produzimo preko K i od
K prenesemo PD1 u pravoj velicini.Tako dobijamo tacku L. Kroz tacku M povucemo paralelnu osi y i iz te tacke prenesemo s jedne i
druge strane po cetvrtinu (zbog odnosa q= ½) osnovice A1B1
petougla.Najzad, spojimo tacke N i F,O i G, F i L, G i L.Time smo
preneli dati petougao I konstruisali njegovu kosu projekciju.
Zatim kroz tacku M I sredinu R ivice BC povucemo pravu i od M
prenesemo duz MT=ML=D1Q.Time je odreden i drugi petougao
ONBTC. Konstrukcija se nastavlja ovako:
Kroz tacku L povucemo pravu paralelno ivici EF kocke i na njoj
odmerimo pravu velicinu A1B1=LU stranice petougla, jer je ivica LU
paralelna ravni projekcije.Zatim kroz tacku S povucemo paralelu osi y I
na njoj odmerimo duz SV=½SM.Kroz tacku V prolazi vertikalna ivica,
koja se na slici prikazuje u pravoj velicini A1B1. Slicno se dobijaju i
ostale ivice i temena dodekaedra.
4. Konstrukcija pravilnog ikosaedra
17
Pravilni ikosaedar se konstruise tako sto mu se za temena uzmu
sredine svih strana poliedra.
Literatura
18
-Cepanac N.: Geometrija za vise razrede gimnazije-stereometrija Beograd, 1956.;
-Kosmajac M.: Geometrija za IIIrazred usmjerenog srednjeg obrazovanja Podgorica, 1982.;
-Lucic Z: Geometrija, Beograd, 1994.;
-Euklidovi elementi- knjiga XIII Beograd, 1957.;
19