Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I. Curso 2011-2012

1

44. Calcular el vector gradiente y la matriz hessiana de las siguientes funciones en un punto genérico y, si es posible, en el punto P que se indica:

, 1,1

Derivadas de primer orden:

,3 2 4

,3 2 4

,

4

4 1,111

Derivadas de segundo orden:

,4

,4 8 2 2 4 4 12

, 12 5 2 2 4

9 9

,4

, 5 12 2 2 4 9 9

,8 4 2 2 4 12 4

,

4 12 9 9

9 9 12 4 1,1 1 0

0 1

Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I. Curso 2011-2012

2

, 1,0

Derivadas de primer orden:

,

, , ,

1,001

Derivadas de segundo orden:

, ,

, 1

, , 1

,

,

, 11

1,0 0 11 1

, 2 0,2

Derivadas de primer orden:

, 2

,2

2

0 ,2

0,2

0

10

Derivadas de segundo orden:

, 2 , 0

,2

21

, ,

1

,

,0

1

1 0,2

0

2

20

Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I. Curso 2011-2012

3

, 1,2

Derivadas de primer orden:

, 2

,

, ,

2

1,2

2 2 2 2 2

2 2

21

Derivadas de segundo orden:

, 2

, 2 2 2

, 2 2

,

, 2 2

,

, ,

4 2 2 2

2 2

1,2

11 1

Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I. Curso 2011-2012

4

, , 0,1, 1

Derivadas de primer orden:

, ,1

, ,

, ,1

, ,

1

0,1, 1 1 2⁄1 4⁄1 4⁄

Derivadas de segundo orden:

, ,1

, , 0

, ,1

, ,1

, ,

, ,1

, ,2 2

, ,2 2

, ,

, ,1

, ,2

, ,2 2

2

, ,

01 1

1 2 2

1 2 2

0,1, 1

01

414

14

14

014

014

Problemas resueltos derivadas de orden superior. Matriz hessiana. Matemáticas I. Curso 2011-2012

5

, , 1,1,2

Derivadas de primer orden:

, , 1 1

, , 1

1

,

, ,1

, ,

1

1

1

1,1,2 1 2⁄1 2⁄1 2⁄

Derivadas de segundo orden:

, , 1

, ,1

, ,1

, , 0

, ,1

, ,1

, ,1

,

, , 0

, ,1

, , 0

, , 0

, ,1

, ,

1 10

1 10

0 01

1,1,2

14

14

01

41

40

0 014