430201 Engineering Staticseng.sut.ac.th/ce/oldce/CourseOnline/430201(01)/Statics_53...430201...
Transcript of 430201 Engineering Staticseng.sut.ac.th/ce/oldce/CourseOnline/430201(01)/Statics_53...430201...
430201 Engineering Statics430201 Engineering Statics((สถิตยศาสตรสถิตยศาสตรวิศวกรรมวิศวกรรม))
รศรศ..ดรดร.. สิทธิชัยสิทธิชัย แสงอาทิตยแสงอาทิตยสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสาขาวิชาวิศวกรรมโยธาสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตรสํานักวิชาวิศวกรรมศาสตร
การวิเคราะหลิ่ม: หาขนาดของแรงที่ใชในการผลักลิ่มเขาหรือออก
1. เขียนแผนภาพ FBD ของลิ่มและวัตถุ โดยเริ่มจาก FBD ของลิ่ม เนื่องจากเราทราบทิศทางที่ลิม่กําลังจะเกิดการเคลื่อนที่
Note:a) แรงเสียดทานจะมีทิศตรงกันขามกับทิศที่ ลิ่มกําลังจะเคลื่อนที่
b) แรงเสียดทานจะมีทิศขนานกับผิวสัมผัสc.) แรงตั้งฉากจะกระทําตั้งฉากกับผวิสัมผัส
W
จากนั้น ทําการเขียน FBD ของวัตถุ โดยที่a. ) ที่ผิวสัมผัสระหวางลิ่มกับวัตถ ุแรงตางๆ จะมีขนาด
เทากัน แตมีทิศตรงกันขาม b.) ทําการเขียนแรงอื่นๆ ที่กระทําตอวัตถุ
2. ใชสมการความสมดุล ( ∑ Fx = 0 และ ∑ Fy = 0) และสมการแรงเสียดทาน (F = µS N) หาตัวแปรที่ไมทราบคา
Note: ในการคํานวณ เราควรเริ่มจาก FBD ที่มีจํานวนตัวแปรที่ไมทราบคานอยกวาหรือเทากบัจํานวนสมการที่มีอยู
Wในกรณีที่ตองการลดระดับวัตถุลง เราจะตองดึงลิ่มออก ถาแรง P มีคาเปนบวก ลิ่มจะเปนแบบล็อคตัวเองได (self-locking)
ซึ่งกรณีนี้จะเกิดขึ้นเมื่อ coefficient of friction มีคามากหรือเมื่อมุมของลิ่ม θ มีคานอย
EXAMPLE
Impending Motion
Pα
µs1
µs2µs3
จงหาคาแรง P ทีใ่ชในการยก block ซึ่งมีน้ําหนัก W = 500 N ขึ้นเมื่อ µs1 = µs2 = µs3 = 0.25α = 5o
P
α
N3
N2F2
F3
F2
N2
F1N1
W
1. เขียนแผนภาพ Free Body Diagram
x
y
Impending Motion
2.a พิจารณา FBD ของ block และใชสมการสมดุล
x
y
F2=0.25N2
N2
F1=0.25N1
N1 W=500 N
5o
5o
∑ =→+
;0xF
05sin5cos25.0 221 =−− oo NNN
∑ =↑+
;0yFoNN 5cos50025.0 21 +−−
oo NNN 5sin5cos25.0 221 +=
21 3362.0 NN =
1 188.8 NN =
05sin25.0 2 =− oN
2 561.6 NN =
2.b พิจารณา FBD ของลิ่มและใชสมการสมดุล
P5o
N3
N2=561.6NF2=0.25(561.6)
F3=0.25N3
x
y
∑ =↑+
;0yF
05sin)6.561(25.05cos6.5613 =+− ooN
∑ =→+
;0xF
05sin6.561
5cos)6.561(25.025.0 3
=+
+−o
oPN
3 547.2 NN =
ooN 5sin)6.561(25.05cos6.5613 −=
325.6 NP =
325.6 Nα
547.2 N
F2
F3
F2
561.6 N
F1188.8 N500 N
x
y
561.6 N
แรง P ที่ใชยกมีคานอยกวาน้ําหนัก W
บทที่บทที่ 9:9: จุดศูนยถวงและจุดจุดศูนยถวงและจุด Centroid Centroidจุดประสงคจุดประสงค
เพื่อใหเขาใจแนวคิดของเพื่อใหเขาใจแนวคิดของจุดศูนยถวงจุดศูนยถวง ( (center of gravitycenter of gravity) ) จุดศูนยกลางมวลจุดศูนยกลางมวล ( (center of center of massmass) ) และจุดและจุด centroidcentroidเพื่อใหสามารถหาตําแหนงของจุดศูนยถวงและจุด centroid ของระบบของอนุภาคและวัตถุได
การบานบทที่ 9: 21/8/2552จากเอกสารคําสอนขอที่ 9-9
การประยุกตใชงาน
จุดที่น้ําหนักลัพธ ดังกลาวกระทําเรียกวาจุดอะไร?จุดศูนยถวง หรือ center of gravity
ในการออกแบบโครงสรางที่ใชในการรองรับ tank น้ํา ดังแสดง เราจะตองทราบ
1.) น้ําหนักของ tank 2.) น้ําหนักของน้ําใน tank และ 3.) ตําแหนงที่น้ําหนักลัพธกระทําตอ
โครงสราง
ในการออกแบบรถยนต เราจะตองปองกันไมใหรถพลิกคว่ําในขณะเขาโคงที่ความเร็ว (v) และความเรง (a) ที่กําหนด ซึ่งปจจัยหนึ่งที่ตองใชในการพิจารณาออกแบบดังกลาวคือ จุดศูนยกลางมวล (center of mass)
ถาตองการใหรถเขาโคงดวยความเร็วและความเรงที่สูงขึ้น เราควรจะเปลี่ยนใหตําแหนงของจุดศูนยกลางมวลสูงขึ้นหรือต่ําลง ???
การประยุกตใชงาน
จุดศูนยกลางมวล (center of mass) คือ จุดที่แสดงตําแหนงของมวลลพัธของระบบของอนุภาคหรือระบบของวัตถุ
•• •
3m4N1m
A B1 N 3 N
G
ถา W = mg แลว จุดศูนยถวงของระบบจะเปนจุดเดียวกับจุดศูนยกลางมวลของระบบ เมื่อมวลของระบบถกูกระทําโดย g ที่เทากนั
แนวคิดของ center of gravity และ center of mass
จุดศูนยถวง (center of gravity) หรือจุด G เปนจุดที่บอกตําแหนงของน้ําหนักลัพธของระบบของอนุภาคหรือระบบของวัตถุ
การหาตําแหนงของจุดศูนยถวง (center of gravity) หรือจุด Gจากนิยามของตําแหนงของแรงลัพธในบทที่ 4
•• •
x2
4 Nx1
A B
1 N3 N
G
คา moment ของแรงยอยรอบเสนอางอิง
ผลรวมของ moment เนื่องจากน้ําหนักของแตละอนุภาครอบจุดใดๆ = คา moment เนื่องจากน้ําหนักลัพธที่จุด G
4 m
1 N(2 m) + 3 N(2+4 m)
น้ําหนักลัพธ = 1+3 = 4 N= คา moment ของแรงลัพธรอบเสนอางอิง= 4 N(x m)
2 m
x
m 54
)6(3)2(1~ =+
=x
x2 = 5-2 = 3 m x1 = 4-3 = 1 m
•• •
3m4N1m
A B1 N 3 N
G
แนวคิดของ centroidจุด centroid หรือจุด C เปนจุดที่ระบุจุดศูนยกลางทางเรขาคณิตของวัตถ ุ
จุด centroid จะทับกบัจุดศูนยกลางมวลและจุดศูนยถวง เมื่อวัตถุทําดวยวัสดุที่มีเนื้อเดียวกัน (วัตถุมีความหนาแนนหรือความถวงจําเพาะคงที่ตลอดตัววัตถุ) และมวลของระบบถกูกระทําโดย g ที่เทากัน
( ) RL
F w x dx= ∫
ขนาดของแรงลัพธ
ตําแหนงที่แรงลัพธกระทํา( ) R
L
xF x w x dx= ∫ ( )
( ) L
L
x w x dxx
w x dx=∫
∫
A
dA A= =∫
A
A
x dA
dA=∫
∫
moment ของแรงลัพธ ผลรวม moment ของแรงกระจาย
แรงลัพธและตําแหนงของแรงลัพธ (จุด centroid)
2 m
4 m
10 kN/m
40 kN 15 kN
2 m
10 kN/m
ขนาดของแรงลัพธ = พื้นทีใ่ตแรงกระจายแรงลัพธกระทําที่จุด centroid ของพื้นที่ใตแรงกระจายเสมอ
ตัวอยางจงหาคาของแรงลัพธและระยะที่แรงดังกลาวกระทําวัดจากจุดรองรับ A
แรงลัพธที่กระทําบนคาน
1.5(3)RF =
FR
ระยะที่แรงลัพธกระทําตอคาน
d
4.5(1.5) 3(4.5) 3.75(6.75) 45.56 kN.mAM+ = + + =∑45.5625 4.05 m11.25
A
R
Md
F= = =∑
4.5 kN 3 kN 3.75 kN 11.25 kN= + + =2.5(1.5)+1(3)+
1.5(3) 1(3)2.5(1.5)
321 AAAA ++=∑
∑
∑∑
++=
=
AxAxAxA
AAx
x
332211~~~
~
∑= AR MdFmoment ของแรงลัพธ ผลรวม moment ของแรงยอย 3 แรง
9.1 จุดศนูยถวงและจดุศูนยกลางมวลของระบบของอนุภาคW WR = ∑
xW xW x W x WR n n= + + +~ ~ ..... ~1 1 2 2
yW yW y W y WR n n= + + +~ ~ ..... ~1 1 2 2
xxWW
= ∑∑
~
yyWW
= ∑∑
~
zzWW
= ∑∑
~ในทํานองเดียวกัน
WR
•• •
x=3m4N1m
A B1 N 3 N
G
;∑ yM
;∑ xM
9.2 จุดศนูยถวง จุดศนูยกลางมวล และจดุ centroid ของวัตถุวัตถุแกรงประกอบดวยอนุภาคที่มี
จํานวนอนันต ดังนั้น สมการหาจุด G ของระบบอนุภาคจะถูกปรับมาใชกับวัตถุที่มีอนุภาคอยูตอเนื่องกัน (วัตถุแกรง) ไดโดยการเปลี่ยนเครื่องหมาย summation (∑) เปนเครื่องหมาย integration ( ∫ ) และเปลี่ยน W เปลี่ยน dW
xxdW
dW= ∫∫
~y
ydW
dW= ∫∫
~z
zdW
dW= ∫∫
~
xxWW
= ∑∑
~
yyWW
= ∑∑
~
zzWW
= ∑∑
~
ในทํานองเดียวกนั พิกัดของจุดศูนยกลางมวลและจุด centroid ของปริมาตร ( volume) ของพื้นที่ (area) และของความยาว (length) จะหาไดโดยการแทน W ดวย m, V, A, และ L ตามลําดับ
จุด centroid ของพืน้ที่
A A A
A A A
x dA y dA z dAx y z
dA dA dA= = =∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫% % %
xxdW
dW= ∫∫
~y
ydW
dW= ∫∫
~z
zdW
dW= ∫∫
~9.3 วัตถุประกอบ (Composite Bodies )
วัตถุประกอบ (composite body) เปนวัตถุที่ประกอบ (บวกเขา หรือ ตัดออก) จากวัตถุที่มีรูปรางพื้นฐาน เชน แทงทรงกระบอก รูปกรวย และทรงกลม เปนตน
พื้นที่ประกอบ (composite area) เปนพื้นที่ที่ประกอบ (บวกเขา หรือ ตัดออก) จากพื้นที่ที่มีรูปรางพื้นฐาน เชน สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และครึ่งทรงกลม เปนตน
หนาตัดแผงคอนกรีตกั้นถนน (barrier)หนาตัดของเขื่อนคอนกรีตกันดิน
4321 AAAAA −−−=∑xAxA
∑=∑% yAy
A∑
=∑%
ตําแหนงของจุด centroid ของพืน้ที่แบบตางๆ
d/3
ขั้นตอนในการวิเคราะห
3. หาคาพิกัดโดยใชสมการของจุด centroid
2. ตั้งแกนอางอิงแลวหาคาพิกัด (x , y ) ของจุด centroid แตละพื้นที่ยอยและหาระยะตั้งฉากจากจุด
~ ~
xAxA
∑=∑% yAy
A∑
=∑%
1. แบงพื้นที่ออกเปนพื้นที่ยอย∑ −= 21 AAA
∑−
=AAyAyy 2211
~~
∑−
=AAxAxx 2211
~~
ตัวอยางที่ 9-6จงหาตําแหนงของจุด centroid ของพื้นที่ประกอบเทียบกับแกนอางอิง x-y
พื้นที่ประกอบ = พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผา – พื้นที่สามเหลี่ยม – พื้นที่ของสวนของทรงกลม
yAyA
∑=∑%xAx
A∑
=∑%
5.166711.16675.715Σ
2.54.51+(2/3)1 = 1.667
1+(2/3)3 = 30.5(3)1 =1.53
0.33330.33334(1)/[3 Pi] = 0.4244
4(1)/[3 Pi] = 0.4244
Pi(1)2/4 = 0.7854
28162/2 = 14/2 = 22(4) = 81
yA (m3)xA (m3)y (m)x (m)A (m2)ชิ้นสวน
2 m
1 mπ34r
1+(2/3)3 = 3m
2/3 m
yAyA
∑=∑%xAx
A∑
=∑%
11.1667 1.954 m5.715
xAxA
∑= = =∑%
5.1667 0.904 m5.715
yAyA
∑= = =∑%
25.715 mA∑ = 311.1667 mxA∑ =% 35.667 inyA∑ =%
1.954 m0.904 m
ตัวอยางจงหาระยะ c1 ของตําแหนงของจุด centroid ของพื้นที่ประกอบรูปตัวซีคว่ํา
พื้นที่ประกอบ = พื้นที่A1 + พื้นที่ A2 + พื้นที่ A3
yAyA
∑=∑%
0=x
yy 1
y 2
19,872+2(38,400)= 96,672
3,312+2(960)= 5,232
Σ
38,40080/2 = 4080(12) = 9602 และ 3
19,87212/2 = 6(300-12-12)12= 3,312
1y A (mm3)y (mm)A (mm2)ชิ้นสวน
= 96,672/5,232= 18.48 mm
yAyA
∑=∑%
0=x
y'y
0.10 m
0.20 m
2.0 m
Cyy0.105-Neutral axis
0.005 m
(c)
ตัวอยาง จงหาระยะของแกน neutral axis ของหนาตัดคานเทียบกับแกนอางอิง
1 0.1 0.005 my = +
2 0.005/ 2 my =
y 1
0.0021250.0021250.0300.030ΣΣ
0.0000250.0000250.00250.00252.0(0.005)2.0(0.005) == 0.0100.010220.00210.00210.1050.1050.1(0.2)0.1(0.2) == 0.0200.02011yy AA ((mm33))yy ((mm))AA ((mm22))ชิ้นสวนชิ้นสวน
yAyA
∑=∑%
0=x
m 0708.0=
y
y 2
0.10 m
0.20 m
2.0 m
Cyy0.105-Neutral axis
0.005 m
(c)
0.1(0.2)(0.1 0.005) 0.005(2)(0.005/ 2) 0.0708 m0.1(0.2) 0.005(2)
y + += =
+
ตัวอยาง จงหาระยะของแกน neutral axis
1 1 2 2
1 2
y A y AyA A+
=+
1 0.1 0.005 my = +
2 0.005/ 2 my =
y1
0.00084960.00084960.0068750.006875ΣΣ
0.00038280.00038280.08750.08750.0043750.004375220.00046880.00046880.18750.18750.00250.002511yy AA ((mm33))xx AA ((mm33))yy ((mm))xx ((mm))AA ((mm22))ชิ้นสวนชิ้นสวน
m 1875.02/)175.02.0(175.01 =−+=y
m 0875.02/175.02 ==y
21 m 0025.0)175.02.0(1.0 =−=A
22 m 004375.0)175.0(025.0 ==A
จงหาระยะ c2
ตัวอยาง
y1y2
-4
38.516(10 ) 0.124 m6.875(10 )−= = จงหาตําแหนงของจุด centroid ของพื้นที่เทียบกบัแกนอางอิง x-y
ตัวอยาง
ตําแหนงของจุด centroid ในแนวแกน x
ตําแหนงของจุด centroid ในแนวแกน y
ตัวอยางจงหาระยะ c1
1i i
i
y Ac
A= ∑∑
16(276)12 2(40)80(12) 18.48 mm
276(12) 2(80)12c += =
+
1 1 2 2
1 2
22
y A y AA A+
=+
1 6 mmy =
2 40 mmy =
พื้นที่ประกอบ = พื้นที่A1 + พื้นที่ A2 + พื้นที่ A3
ตัวอยางจงหาระยะ c2
2i i
i
y Ac
A= ∑∑
-4
38.516(10 ) 0.124 m6.875(10 )−= =
y1y2
21
2211AAAyAy
++
=
m 1875.02/)175.02.0(175.01 =−+=y
m 0875.02/175.02 ==y
21 m 0025.0)175.02.0(1.0 =−=A
22 m 004375.0)175.0(025.0 ==A
20.25(0.0375) / 2 0.30(0.025)0.1875 0.15(0.0375)0.356250.25(0.0375) 0.30(0.025) 0.15(0.0375)
+ +=
+ +
0.25 m, 0.15 m,
0.0375 m,
0.025 m, 0.30 m,
top bottom
top bottom
web
b bt tt d
= =
= =
= =
ตัวอยาง
y
จงหาระยะ y เมื่อ
i i
i
y Ay
A= ∑∑
0.1594 m=
1 1 2 2 3 3
1 2 3
y A y A y AA A A+ +
=+ +
y1 = 0.0375/2
y2 = 0.30/2+0.0375
y3 = 0.0375+0.3+0.0375/2
0.0035860.0225Σ
0.00200390.00200390.0375+0.3+0.0375/2 = 0.0375+0.3+0.0375/2 = 0.356250.35625
0.15(0.0375) = 0.0056250.15(0.0375) = 0.00562533
0.00140620.00140620.0375+(0.3/2) = 0.18750.0375+(0.3/2) = 0.18750.025(0.3)0.025(0.3) = 0.0075= 0.0075220.00017580.00017580.0375/2 = 0.018750.0375/2 = 0.018750.25(0.0375)0.25(0.0375) == 0.0093750.00937511yy AA ((mm33))yy ((mm))AA ((mm22))ชิ้นสวนชิ้นสวน
0.25 m, 0.15 m,
0.0375 m,
0.025 m, 0.30 m,
top bottom
top bottom
web
b bt tt d
= =
= =
= =
ตัวอยาง
y
จงหาระยะ y เมื่อ y1 = 0.0375/2
y2 = 0.30/2+0.0375
y3 = 0.0375+0.3+0.0375/2
Moment of Inertia ของพื้นที่
414xI rπ=
414yI rπ=
418xI rπ=
418yI rπ=
4116xI rπ=
4116yI rπ=
3112xI bh=
3112yI hb=
3136xI bh=
Moment of Inertia ของพื้นที่