4.2. Jatkuva jakauma

Kasvatetaan koehenkilöiden määrää

Luokkaväliä pienennetään

Histogrammin pylväiden kokonaisala = 1

”todennäköisyysmassaa” yhden pinta-alayksikön verran

y = f(x) tiheysfunktio

Ala = 1

Jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio

Funktio f on jatkuvan satunnaismuuttujan x tiheysfunktio, jos1) f(x) 0 x R2) f on jatkuva kaikkialla, paitsi ehkä ei äärellisen monessa kohdassa3) Käyrän y = f(x) ja x-akselin väliin jäävän alueen pinta-ala = 1

Miten tutkitaan, onko funktio tiheysfunktioTutkitaan, täyttääkö funktio yllä olevat kolme vaatimusta.

E.1. (t.301) E.1. (t.301)

Osoita, että f(x) = ½x (0 x 2) on tiheysfunktio

1) Selvästi f(x) 0, kun 0 x 2

2) Funktio on jatkuva

3) Käyrän y = f(x) ja x akselin väliin jäävä alue on kolmio:

12

12

A

joten ehto (3) toteutuu

1 2

1

½

x

y

½ 2 = 1

2 – 0 = 2

E.2.(t. 307a)E.2.(t. 307a)

Erään jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on 3

2)( axxf

välillä 0 x 3, muualla f(x) = 0

Määritä a.

Alan, jota rajoittavat x- ja y-akseli sekä suorat x = 3 ja y = ax + 2/3 oltava 1

32

)32

3(32

a

A )3

43(

2

3 a 2

2

9 a

122

9a

9

2

12

9

a

a

3

2/3

x

y

3 – 0 = 3

3x+2/3

3

2axy

Tasainen jakaumaKun aina samanpituisella alueella on sama todennäköisyys, on jakauma tasainen.

Merkitään x ~ Tas(a,b)

Tasaisen jakauman tiheysfunktio on vakio sillä välillä [a,b], mille satunnaismuuttujan arvot voivat osua.Tällä välillä on siis funktion arvot 1/(b - a) ts. f(x) = 1/(b - a)(ks. esimerkki 4, sivu 120)

E.3. Satunnaismuuttujan x arvot ovat jakaantuneet tasaisesti välille [2,6]. Mikä on tiheysfunktio?

f(x) = 1/(b - a) = 1/(6 – 2) = ¼ x [2,6]

1 2 3 4 5 6

½

1/4

x

y

4.2.2. Tiheysfunktio ja todennäköisyys4.2.2. Tiheysfunktio ja todennäköisyys

Todennäköisyys P(c x d) on sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y = f(x),

x-akseli sekä suorat y = c ja y = d

E.4.E.4. (t. 302) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2x (0 x 1).

Millä todennäköisyydellä x on a) enintään ½ b) vähintään 0,6?

4

1

2

121

A )

a

½ 1

2

1

x

y

2 ½ = 1

½ – 0 = ½

E.4.E.4. (t. 302) Satunnaismuuttujan x tiheysfunktio on f(x) = 2x (0 x 1).

Millä todennäköisyydellä x on b) vähintään 0,6?

64,04,02

22,1 A )

b

Vastaus: a) P = ¼ b) P = 0,64

½ 1

2

1

x

y

2 1 = 2

1 - 0,6 = 0,4

2 0,6 = 1,2