TEORIJA PLASTIČNOSTI ZADATAK 13. Za zadani okvir konstantnog poprečnog presjeka koji je opterećen prema slici, treba po teoriji plastičnosti odrediti dopuštenu veličinu sile F.

Zadano je: - granica tečenja materijala MPaT 230=σ - koeficijent sigurnosti 80,1=k .

6

l=4 m

l/2 l/2

a=2,

5 m

b=2

m

h=4,

5 m

53

2

1

4

F

1,5 F

a a

a a

a

a

100

60

20

2020

100

mm

PRESJEK a - a Najprije ćemo odrediti granični moment ili moment plastičnosti poprečnog presjeka.

Površina poprečnog presjeka: 2520020100100202060 mmA =⋅+⋅+⋅=

U graničnom stanju neutralna os dijeli poprečni presjek na dva jednaka dijela: 221AAA ==

Položaj neutralne osi: 22 2600

25200202060

2mmAA ==⋅+⋅== ξ ⇒ mm70=ξ

ξ

n.o.

1

2

σT

σT

2020

3070

Moment plastičnosti dobijemo iz izraza: plTpl WM ⋅= σ , gdje je W plastični moment otpora presjeka pri savijanju.

pl

1 Izradio: Doc.dr.sc. Joško Krolo

Plastični moment otpora dobijemo zbrajanjem apsolutnih vrijednosti statičkih momenata vlačne i tlačne zone s obzirom na neutralnu os:

21 SSWpl +=

( ) ( ) 3234000145000890003570208020601530204020100 mmWpl =+=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= Tako je granični moment ili moment plastičnosti zadanog poprečnog presjeka:

kNmNmmWM plTpl 82,531082,53234000230 6 =⋅=⋅=⋅= σ Zadani okvir je jedan put statički neodređen, da bi se pretvorio u kinematički mehanizam, potrebno je da se pojave dva plastična zgloba. Oblik dijagrama momenata savijanja prikazan je na donjoj slici.

6

53

2

1

4

F

1,5 F

Plastični zglobovi se mogu pojaviti u 4 presjeka 1, 2, 3 i 4, a dovoljna su 2 da dobijemo kinematički mehanizam. Iz toga proizlazi da je moguće 6 kombinacija sa 2 zgloba. Razmatramo te varijante graničnih stanja. 1. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 1 i 2. Kinematički moguće stanje prikazano je isprekidanom linijom.

2

Fpl

ϕ

1

1,5 Fpl

a⋅ϕ

Mpl

Mpl

Mpl

a⋅ϕ

ab

h

l/2 l/2

Principom virtualnih radova dobivamo: 025,1 =⋅⋅−⋅⋅⋅ ϕϕ plpl MaF

kNa

MF pl

pl 704,285,25,1

82,5325,1

2=

⋅⋅

=⋅

⋅=

2 Izradio: Doc.dr.sc. Joško Krolo

2. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 1 i 3. Kinematički moguće stanje prikazano je isprekidanom linijom.

3

Fpl

ϕ

1

h⋅ϕ

a⋅ϕ

1,5 Fpl

Mpl

h⋅ϕMpl

Mpla

bh

l/2 l/2

Principom virtualnih radova dobivamo:

025,1 =⋅⋅−⋅⋅⋅ ϕϕ plpl MaF

kNa

MF pl

pl 704,285,25,1

82,5325,1

2=

⋅⋅

=⋅

⋅=

3. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 1 i 4.

4

Fpl

ϕ

1

a⋅ϕ

1,5 Fpl

ϕ ϕ

h⋅ϕ

2l

⋅ϕ

Mpl

Mpl Mpl

b⋅ϕ

h⋅ϕ

ab

h

Principom virtualnih radova dobivamo:

032

5,1 =⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅⋅ ϕϕϕ plplpl MlFaF

kNla

MFpl

pl 08,28

245,25,1

82,533

25,1

3=

+⋅

⋅=

+⋅

⋅=

l/2 l/2 4. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 2 i 3.

2

Fpl

ϕ

1,5 Fpl

b⋅ϕ

Mpl

Mpl

b⋅

ϕ

MplMpl3

ab

h

Ovakav kinematički mehanizam nije moguć jer nema rada vanjskih sila !!!

l/2 l/2

3 Izradio: Doc.dr.sc. Joško Krolo

5. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 2 i 4. Kinematički moguće stanje prikazano je isprekidanom linijom.

2

Fpl

ϕ

1,5 Fpl

b⋅ϕ

Mpl

Mpl

b⋅

4 Izradio: Doc.dr.sc. Joško Krolo

ϕ

MplMpl

2l⋅ϕ

ϕ ϕ4

l/2 l/2

ab

h

Principom virtualnih radova dobivamo:

032

=⋅⋅−⋅⋅ ϕϕ plpl MlF

kNlM

F plpl 73,80

24

82,533

2

3=

⋅=

⋅=

6. VARIJANTA Pretpostavimo da su se plastični zglobovi formirali u presjecima 3 i 4.

3

Fpl

1,5 Fpl

Mpl

b

⋅ϕ

MplMpl

2l⋅ϕ

ϕ ϕ

Mpl

ϕ

4

l/2 l/2

ab

h

Principom virtualnih radova dobivamo:

032

=⋅⋅−⋅⋅ ϕϕ plpl MlF

kNlM

Fpl

3 pl 73,80

24

82,533

2

=⋅

=⋅

=

Granično opterećenje sistema je:

kNFF plpl 08,28min == - 3.varijanta pojavljivanja plastičnih zglobova je mjerodavna !! Dopušteno opterećenje sistema iznosi:

kNk

FF pl

dop 60,1580,108,28min

=== .