4. técnicas de reconto
-
Upload
german-mendez -
Category
Documents
-
view
622 -
download
3
Transcript of 4. técnicas de reconto
MÉTODOS ESTATÍSTICOSMÉTODOS ESTATÍSTICOSE NUMÉRICOSE NUMÉRICOS
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas
TÉCNICAS DE RECONTO
UNIDADE 4UNIDADE 4
ÍNDICEÍNDICE
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
ConceptosConceptos
1. Variacións sen repetición.2. Variacións con repetición.3. Permutacións sen repetición. Factorial dun
número.4. Permutacións con repetición.5. Combinacións sen repetición.6. Combinacións con repetición.7. Números combinatorios. Propiedades.8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Diagramas de árbore:Diagramas de árbore:
Antes de comezar co tema propiamente dito, convén evidenciar a utilidade dos diagramas de árbore na resolución de moitos tipos de problemas matemáticos; en particular, de moitos dos que presentamos nesta unidade .
Ver exemplos
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variacións ordinarias ou sen repetición:1. Variacións ordinarias ou sen repetición:
Chámanse variacións ordinarias ou sen repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que se poden formar cos m elementos , de xeito que:
Cada grupo contén n elementos distintos.Dous grupos son distintos se se diferencian nalgún elemento ou na orde de colocación destes.
O número de variacións ordinarias de m elementos tomados n a n representase por Vm,no Vm
n.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variacións sen repetición. 1. Variacións sen repetición.
Exemplo:A bandeira dun país está formada por tres franxas horizontais da mesma anchura e distinta cor . Cantas bandeiras distintas podes formar coas cores vermella, amarela, verde, azul, violeta?.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variacións sen repetición.1. Variacións sen repetición.
1ª franxa
2ª franxa
3ª franxa
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
1. Variacións sen repetición.1. Variacións sen repetición.
Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco posibilidades ( as cinco cores) .Unha vez elixida esta, dita cor tes que descartala para a segunda franxa; quedan catro posibilidades (catro cores). Finalmente ó decidir a terceira franxa hai dúas cores xa descartadas por usadas e tes só tres posibilidades.Polo tanto, podemos concluír que o número de bandeiras posibles é:
Nº bandeiras = V53= 5 . 4 . 3
En xeral, concluímos que Vmn= m.(m-1).(m-2).….(m-n+1)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Variacións con repetición.2. Variacións con repetición.
Chámanse variacións con repetición de m elementos tomados n a n ós distintos grupos que se poden formar cos m elementos , de xeito que:
Cada grupo contén n elementos repetidos ou non. Dous grupos son distintos se se diferencian nalgún elemento ou na orde de colocación destes.
O número de variacións con repetición de m elementos tomados n a n represéntase por VRm,nou VRm
n.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Variacións con repetición.2. Variacións con repetición.
Exemplo:A bandeira dun país está formada por tres franxas horizontais da mesma anchura. Cantas bandeiras distintas podes formar coas cores vermella, amarela, verde, azul, violeta?. (Como podedes observar a única diferenza co exemplo anterior é que as cores poden repetirse, pode haber unha franxa dobre da mesma cor, ou ser a bandeira dunha soa cor por ter tres franxas iguais)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Variacións con repetición.2. Variacións con repetición.
1ª franxa2ª franxa3ª franxa
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
2. Variacións con repetición.2. Variacións con repetición.
Como podes ver para a primeira franxa da bandeira tes cinco posibilidades ( as cinco cores ). Unha vez elixida esta, dita cor non tes que descartala, polo que para a segunda franxa segues a ter as mesmas posibilidades (cinco cores). E o mesmo ocorre coa terceira franxa.Polo tanto, podemos concluír que o número de bandeiras posibles é:
Nº bandeiras = VR53= 5 . 5 . 5= 53
En xeral, concluímos que VRmn= m.m.n..m = mn
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Permutacións sen repetición. Factorial dun 3. Permutacións sen repetición. Factorial dun número.número.
Chámanse permutacións ordinarias de n elementos ós distintos grupos que se poden formar de xeito que:
Cada grupo contén os n elementos.Dous grupos diferéncianse na orde de colocación dos elementos.
O número de permutacións ordinarias de n elementos represéntase por Pn
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Permutacións sen repetición3. Permutacións sen repetición
Exemplo:Cantos números de 3 cifras se poden formar cos díxitos 6,7,8?.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Permutacións sen repetición3. Permutacións sen repetición
6 7 8
7 8 6 76 8
8 7 8 6 7 6
678 687 768 786 867 876
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Permutacións sen repetición3. Permutacións sen repetición
Como podes ver, para as centenas temos 3 posibilidades, para as decenas xa só nos quedan dúas e para as unidades unha.
Podemos concluír que podemos atopar :P3= 3.2.1 =6 números de tres cifras.
En xeral, podemos concluír:Pn=n.(n-1).(n-2)…3.2.1
Observa que Pn =V33
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
3. Permutacións sen repetición3. Permutacións sen repetición
Factorial dun número.Chámase factorial dun número natural n maior co 1 ó produto dos n primeiros números naturais.
n! = n.(n-1).(n-2)…3.2.1
Se n = 1, defínese 1!=1Se n = 0, defínese 0!=1
Polo tanto, é evidente que Pn=n!Por outra banda, Vm
n=m.(m-1).(m-2)…(m-n+1)=m!/(m-n)!No noso exemplo P3=3!=3.2.1=6
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Permutacións con repetición:4. Permutacións con repetición:
Chámanse permutacións con repetición de n elementos onde o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces,…, o último k veces (a+b+…+k=n), os distintos grupos que podemos formar de tal xeito que:
Nun grupo o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces, e así ata o último que se repite k veces.A diferenza entre dous grupos está na orde de colocación dos seus elementos.
O número de permutacións con repetición de n elementos onde o primeiro elemento repítese a veces, o segundo b veces,…, o último k veces ,represéntase por Pn
a,b,…,k
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Permutacións con repetición4. Permutacións con repetición
Exemplo:Un xogador de xadrez trata de ordenar nunha fila, de tódalas formas posibles, tres peóns brancos e dous negros. Cantas maneiras atopará?
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Permutacións con repetición4. Permutacións con repetición
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Permutacións con repetición4. Permutacións con repetición
Se tódolos peóns fosen de distintas cores , trataríase de permutacións ordinarias de 5 elementos e o seu número sería:
P5 = 5! =5.4.3.2.1 = 120
Pero temos tres peóns da mesma cor branca, polo que certo número destas permutacións van ser iguais.
Dividimos polo tanto as 120 permutacións iniciais entre P3=3!=3.2.1=6 , pois por cada P3 permutacións de tres peóns de distinta cor temos unha cos tres ditos peóns brancos.
Polo mesmo motivo dividiremos o resultado por P2 = 2!=2.1=2.Temos dous peóns negros; por cada P2 permutacións de dous peóns de distinta cor temos unha cos dous peóns negros.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
4. Permutacións con repetición4. Permutacións con repetición
No noso problema concluímos, polo tanto, que:
En xeral, razoando da mesma maneira concluiremos:
1026
120
!2!3
!5
23
52,35 =
⋅=
⋅=
⋅=
PP
PP
!...!!
!
...,...,,
kba
n
PPP
PP
kba
nkban ⋅⋅⋅
=⋅⋅⋅
=
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición.5. Combinacións sen repetición.
Chámanse combinacións ordinarias ou sen repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que podemos formar cós m elementos de xeito que:
Cada grupo contén n elementos distintos.Dous grupos son diferentes se teñen elementos distintos, pero non se están colocados en distinta orde.
O número de combinacións de m elementos tomados n a n represéntase por Cm,n ou Cm
n
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición
Exemplo:No instituto decídese organizar un torneo de baloncesto. Preséntanse catro equipos. Se na primeira fase deben enfrontarse de tódalas maneiras posibles na mesma cancha, de cantos partidos debe constar dita fase?.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición
Representemos cada equipo por unha letra:A , B , C e D
Tendo en conta que o partido que enfronta A con B, e o mesmo que enfronta B con A (non hai local nin visitante), os emparellamentos posibles serán 6. Haberá polo tanto 6 partidos, 6 combinacións :
AD
BDACCDBCAB
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición
Podes observar no exemplo anterior que permutando cada unha das combinacións obtés as variacións dos catro equipos tomados 2a 2 (torneos onde hai partido de ida e partido de volta):
AB BA BC CB CD DCAC CA BD DBAD DA
Podemos concluír que C42.P2=V4
2
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición
Exemplo2:Como resposta a un anuncio de traballo, preséntanse 6 persoas para cubrir 3 postos de caixeira de supermercado. Cantas posibilidades de contratación ten a empresa?.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición
Representemos cada unha das persoas que se presentaron por unha letra: A, B ,C , D, E, F .Tendo en conta que contratados A, B e C os seus postos
de traballo son idénticos, polo que a orde de contratación non inflúe en absoluto, as ternas que a empresa podería contratar son 20, 20 combinacións:
ABF
BCFACFABE
CDFBDFBCEADFACEABD
DEFCEFCDEBEFBDEBCDAEFADEACDABC
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición
Podes observar, como no exemplo 1, que se tomas cada unha das combinacións e as permutas o que obtés son as variacións de 6 elementos tomados 3 a 3. Serían as posibilidades de contratación que tería a empresa se a orde importara o tratarse de postos de distinta categoría.
A partir de ABC obtésABC ACB BCA BAC CAB CBA
A partir de ABD obtésABD ADB BAD BDA DAB DBA
E así sucesivamente.Concluímos que C6
3.P3=V63
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
5. Combinacións sen repetición5. Combinacións sen repetición
En xeral, podemos concluír:
Cmn.Pn=Vm
n
De onde podemos obter:( ) ( ) ( )( ) !!
!
!
1...21
nnm
m
n
nmmmm
P
VC
n
nmn
m ⋅−=+−⋅⋅−⋅−⋅==
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Combinacións con repetición.6. Combinacións con repetición.
Chámanse combinacións con repetición de m elementos tomados n a n (n≤m) ós distintos grupos que podemos formar cos m elementos de xeito que:
Cada grupo contén n elementos distintos ou non.Dous grupos son diferentes se teñen elementos distintos ou en distinto número, pero non se están colocados en distinta orde.
O número de combinacións con repetición de m elementos tomados n a n represéntase por CRm,n ou CRm
n
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Combinacións con repetición.6. Combinacións con repetición.
Exemplo:Cantas fichas ten o xogo do dominó?
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Combinacións con repetición6. Combinacións con repetición
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Combinacións con repetición6. Combinacións con repetición
Unha ficha de dominó é un rectángulo con dúas partes; en cada parte unha serie de puntos indica unha puntuación dende 0 (en branco) a 6. Polo tanto, as fichas de dominó son parellas de números elixidas entre os números do 0 ó 6, podéndose repetir ditos números (fichas dobres), e non importando a orde pois a ficha de dominó (4,5) é a mesma que a ficha (5,4).
Temos as seguintes posibilidades...
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Combinacións con repetición6. Combinacións con repetición
(6,6)
(0.6)
(1,6)(0,5)
(2,6)(1,5)(0,4)
(3,6)(2,5)(1,4)(0,3)
(4,6)(3,5)(2,4)(1,3)(0,2)
(5,6)(4,5)(3,4)(2,3)(1,2)(0,1)
(5,5)(4,4)(3,3)(2,2)(1,1)(0,0)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Combinacións con repetición6. Combinacións con repetición
Nesta táboa observamos que o número de fichas de dominó é de 28.
Tamén podemos observar que se nas fichas dobres sustituímos o segundo nº polo nº 7, por exemplo, obteriamos:
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Combinacións con repetición6. Combinacións con repetición
(6,7)
(0.6)
(1,6)(0,5)
(2,6)(1,5)(0,4)
(3,6)(2,5)(1,4)(0,3)
(4,6)(3,5)(2,4)(1,3)(0,2)
(5,6)(4,5)(3,4)(2,3)(1,2)(0,1)
(5,7)(4,7)(3,7)(2,7)(1,7)(0,7)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
6. Combinacións con repetición6. Combinacións con repetición
Esta táboa corresponde a combinacións sen repetición de 8 elementos (0,1,2,…,7) tomados 2 a 2.É dicir:
En xeral:
28
27 CCR =
−+== −+ n
nmCCR n
nmnm
11
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
Non
Combinacións sen repeticiónSi
Combinacións sen repetición
Permutacións con repetición
Variacións sen repetición
Variacións sen repeticiónSi
Si
Non
Non
Pódense repetir elementos?
Pódense repetir elementos?
Variacións
CombinaciónsNon
Permutacións sen repeticiónNonPódense
repetir elementos?
PermutaciónsSiInterveñen tódolos elementos?
Si
É importante a orde?
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Números combinatorios. Propiedades.7. Números combinatorios. Propiedades.
O número Cmn recibe tamén o nome de número
combinatorio, represéntase por , e lese m sobre n.
n
m
( )
=
⋅−=
n
m
nnm
mC nm !!
!
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
Propiedades dos números combinatorios:
1. e
2. Dous números combinatorios co índice superior igual e a suma dos índices inferiores igual ó índice superior, son iguais.
10
=
m1=
m
m
−
=
nm
m
n
m
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
3. A suma de dous números combinatorios cos índices superiores iguais e os índices inferiores tales que difiren nunha unidade, e igual a outro nº combinatorio cuxo índice inferior é o maior dos índices inferiores, e o índice superior é maior nunha unidade ó índice superior dos sumandos.
++
=
+
+
1
1
1 n
m
n
m
n
m
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
Triángulo de Tartaglia ou de Pascal:O triángulo de Tartaglia, foi popularizado por Pascal quen atopou a súa relación cos números combinatorios. Dito triángulo coñecíase tamén nas matemáticas orientais como triángulo de Yang Hui.(Se queredes saber máis sobre este tema podedes ir á páxina web: www.estatísticaparatodos.es)
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
Este triángulo xérase comezando por colocar o número 1 no seu extremo superior e, a partir de aquí, as sucesivas filas constrúense colocando un 1 en cada esquina, o resto de casas é igual á suma dos dous números que teñen xusto enriba, nunha infinita serie de uns laterais e de sumas de casas que producen un incesante aumento dos números que o compoñen.
Esta figura, que podería parecer un simple entretemento de cálculo, esconde unha diversidade de propiedades e curiosidades tan grande que o converten nun pequeno universo matemático en si mesmo e unha ferramenta de grande utilidade no campo numérico.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 10 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 9
1 8 28 56 70 56 28 8 1 8 1 7 21 35 35 21 7 1 7 1 6 15 20 15 6 1 6 1 5 10 10 5 1 5
1 4 6 4 1 4 1 3 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 1 0
n
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
O curioso é que os números que compoñen dito triángulo corresponden exactamente cos números combinatorios.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
7. Nº combinatorio. Propiedades.7. Nº combinatorio. Propiedades.
Coñecendo esta relación, as propiedades dos números combinatorios resultan evidentes.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton.8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton.
Coñecemos fórmulas para potencias pequenas dun binomio:
( )( )( ) 32233
222
1
33
2
babbaaba
bababa
baba
+++=+
++=+
+=+
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton
Podemos calcular algunha potencia máis :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )54322345
43223445
432234
322334
510105
464
464
33
babbababaa
bababbabaabababa
babbabaa
bababbaabababa
+++++==+⋅++++=+⋅+=+
++++=
=+⋅+++=+⋅+=+
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton
Podemos observar:
1. O desenvolvemento dunha potencia de orde n está formado por n+1 sumandos.Exemplo:
A potencia cúbica ten 4 sumandosA potencia de orde catro ten 5 sumandos
2. Os coeficientes do desenvolvemento dunha potencia de orde n corresponden cos elementos da fila n do triángulo de Tartaglia
Exemplo:Os coeficientes da potencia cúbica son 1 3 3 1, fila 3 do triángulo de Tartaglia. Os coeficientes da potencia quinta son 1 5 10 10 5 1, fila 5 do triángulo de Tartaglia.
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton
3. As potencias de a e de b que compoñen cada sumando do desenvolvemento da potencia de orde n actúan do seguinte xeito:
As potencias de a diminúen dende an ata a0=1.As potencias de b aumentan dende b0=1 ata bn.
Exemplo: Orde 3: a3 a2b ab2 b3
Orde 4: a4 a3b a2b2 ab3 b4
IES Isidro Parga Pondal. Departamento de matemáticas: Métodos estatísticos e numéricos.
8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton8. Potencia dun binomio. Binomio de Newton
Conclusión:
Tendo en conta a relación entre os elementos do triángulo de Tartaglia e os números combinatorios, chegamos á expresión coñecida como binomio de Newton:
Analogamente:
( ) nnnnnnn bn
nab
n
nba
n
nba
nba
na
nba
+
−
+
−
++
+
+
=+ −−−− 122221
12.....
210
( ) ( ) ( ) ( ) nnnnnnnnnn bn
nab
n
nba
n
nba
nba
na
nba
−+
−
−+
−
−+−
+
−
=− −−−−−− 1
11
21.....
21011222221