4 sistemas com um grau de liberdade

46
1 Vibração e Ruido Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mecâtronica Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

description

introduction to mechanical vibrations, dedicated for systems with 1DOF. slides are in portuguese language.

Transcript of 4 sistemas com um grau de liberdade

Page 1: 4 sistemas com um grau de liberdade

1

Vibração e Ruido

Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mecâtronica

Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala

Page 2: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 2

Programa

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento

viscoso 3.3-Resposta me Vibração livre amortecida 3.4-Movimento harmonico da base de suporte 3.5-Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

Page 3: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 3

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida

Page 4: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 4

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida

Page 5: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 5

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso

Page 6: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 6

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso

Assumindo solução do tipo (1) teremos: que se pode tambem escrever A solução desta equação subistituindo na eq.1 teremos:

(2)

Analizando (2) temos: 1. o termo eh exponencialmente decrescente

( ) tCetq λ=

02 =++ kcm λλ 02 =++mk

mc λλ

mk

mc

mc

±−=

2

2,1 22λ

( ) tt eCeCtq 2121

λλ +=

( )

( )

+=

+=

−−

+−

tmk

mct

mk

mc

mc

tmk

mc

mct

mk

mc

mc

eCeCetq

eCeCtq22

22

2

2

2

12

22

2

22

1

mc

e 2−

Page 7: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 7

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso

2. Quando os expoentes serão numeros reais e não ocorrera oscilações, nestas condições o sistemas chaman-se superamortecidos

3. Quando os expoentes serão numeros imaginarios e ocorrerão oscilações , caracteristica de um movimento oscilatorio subamortecido

4. Quando tem caracteristica de amortecimento critico, quando perturbabo o sistema não oscila e volta rapidamente para a posição de equilibrio.

mk

mc

<

2

2

mk

mc

>

2

2

mk

mc

=

2

2

Page 8: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 8

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso

Coeficiente de amortecimento Factor de amortecimento

nc mc ω2=

kmC

CC

c 2==ξ

Page 9: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 9

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido

A equação tambem pode ser escrita

da seguinte forma subistituindo em

(2) temos e apois manipulações matematicas chega-se a: (3)

( )10 << ξ

mk

mc

mc

±−=

2

2,1 22λ

122,1 −±−= ξωξωλ nn

( )

+= −−−− ttt nnn eCeCetq 1

21

1

22 ξωξωξω

( ) ( ) ( )[ ]tBtAetq ddtn ωωξω sincos += −

Page 10: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 10

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido

Em que conhecida como frequencia angular natural amortecida

A e B obtidas por condições iniciais de deslocamento e de velocidade

outra forma comun de apresentar (3)

( )10 << ξ

21 ξωω −= nd

( )( ) ( )

2100

0

ξωξω−

+=

=

n

nqqB

qA

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )

+

=

++=

+=

000tan

000

sin

1

22

qqq

qqqC

tCetq

n

d

d

dn

dtn

ξωωφ

ωωξω

φωξω

Page 11: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 11

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido

( )10 << ξ

Page 12: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 12

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido

A solução eh dada por

A e B são obtidas por condições iniciais

( )1>ξ

( ) tt nn BeAetqωξξωξξ

−−−

−+−

+=11 2222

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )12

010

12010

2

2

2

2

−−+=

−++=

ξω

ωξξ

ξω

ωξξ

n

n

n

n

qqB

qqA

Page 13: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 13

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido

( )1>ξ

Page 14: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 14

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.3-Movimento superamortecido

A solução é dada por

( )1=ξ

( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]000 qttqqetq ntn ++= − ωω

Page 15: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 15

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico

( )10 << ξ

( ) ( )φωξω += − tCetq dtn sin

( )( )

++

= −

φωφωδ ξω

ξω

11

0

sinsinlnln

1 tCetCe

qq

dt

dt

n

n

dttt += 01

Page 16: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 16

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico

apois manipulações algebricas temos:

Ou ainda da forma

212

ξπξδ−

=

224 δπδξ+

=

Page 17: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 17

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Calcula a equação do movimento e a frequencia natural não amortecida do sistema

Page 18: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 18

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=20kg e de deslocamento inicial x0=0.01m conforme figura abaixo. Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema

Page 19: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 19

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Page 20: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 20

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Uma haste delgada fina uniforme de massa m e de comprimento l eh articulada em A e esta ligada a quatro molas lineares e uma torcional, como mostra a figura abaixo. Determine a frequencia natural não amortecida se

mlradmNKmNK t 5,.1000,2000 ===

Page 21: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 21

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Page 22: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 22

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Determine a equação de movimento e frequençia natural da barra rigida OA de comprimento l e massa m, conforme figura abaixo.

Page 23: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 23

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio

Page 24: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 24

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas

Considere a equação do movimento massa-mola-amortecedor no caso em que temos uma força harmonica actuando no sistema

sendo F(t) harmonica teremos: Em que F é a amplitude da força e é medida em N

esta equação é diferencial não ordinaria e a solução é dada pela soma das

( )tFkqqcqm =++ ( ) ( )tFtF ωsin=

( )tFkqqcqm ωsin=++

Page 25: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 25

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas

ou seja a soma da solução homogenia que ja foi calculada nos pontos anteriores e de uma solução particular que adimite-se que seja do tipo:

subistituindo em teremos: e a solução particular é dada por:

tiAeq ω=

( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=

( )tFkqqcqm =++

( ) titi FeAecikm ωωωω =++− 2

( ) ( ) ( )titi Fe

cmkcimkFe

cikmtq ωω

ωωωω

ωω 222

2

2

1+−

−−=

++−=

Page 26: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 26

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas

aonde

em que a parte imaginaria é:

( ) ( ) ( )( ) titi FeHFe

cmkcimktq ωω ω

ωωωω

=+−

−−=

222

2

( ) ( ) ( )222

2

cmkcimk

FAH

ωωωωω

+−

−−==

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−

+−=

+−

−+−= −

21

222222

2

sinsincosω

ωωωωωω

ωωωωmk

ctgtcmk

FFcmk

tmktctq

Page 27: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 27

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas

A equação tem solução:

A solução geral é composta por um termo transitorio e um estacinario.

A amplitude da resposta forçada é dada por:

( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=

( ) ( )( ) ( )

−−

+−++= −−

21

22221 sinsincos

ωωω

ωωωωξω

mkctgt

cmk

FtAtAetq aatn

( ) ( ) ( ) ( )222222 21

1

ξββωω +−=

+−=

kF

cmk

FAnωωβ =

Page 28: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 28

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas

O factor de ampliação é dado por:

( )( ) ( )222 21

1,ξββ

βξ+−

===F

kAAAM p

st

Page 29: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 29

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonância

Ocorre quando a frequencia de exitação é igual a frequencia natural do sistema

Em projectos deve-se sempre evitar estar zona pois induzem vibrações de grandes amplitudes ao sistema

Page 30: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 30

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonância

O pico de resonância que é o valor maximo de M é obtido por:

E

( )nd

dMωωξβ

ββξ

=−=⇒= 2210,

2max121

ξξ −=M

Page 31: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 31

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em

maquinas rotativas No caso em que temos maquinas rotativas com massa

desbalanceada, o sistema é excitado por esta massa a sua velocidade angular com a sua excentricidade

ω ε

Page 32: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 32

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em

maquinas rotativas A força de desbalance é:

A equação do movimento é dada

A amplitude de vibração em regime permanente sera

dada por

( )temkqqcqm ωω sin20=++

( ) ( )temtFe ωω sin20=

( ) ( )222

20

21 ξββ

ω

+−=

kemqp

Page 33: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 33

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em

maquinas rotativas A quantidade representa a quantidade de

desbalanceamento do sistema. Em geral é obtido a partir de teste experimental para procurar adidionar

massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez que esta excitação em niveis muito grandes pode

Comprometer o funcionamento de uma maquina e siminuir o seu tempo de vida util. Dividindo

por m obtém-se o factor de Amplição adimensional

em0

( ) ( )222

20

21 ξββ

ω

+−=

kemqp

em0

( )βξ ,Λ

Page 34: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 34

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em

maquinas rotativas

( )( ) ( )222

2

0 21,

ξββ

ββξ+−

=Λ=em

mqp

Page 35: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 35

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em

maquinas rotativas

e ocorre quando 2max

121

ξξ −=Λ

2max121

ξξβ

−=

Page 36: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 36

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte

No caso em que a base de suporte do sistema sofre um

movimento harmonico

Page 37: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 37

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte

A equação diferencial do movimento:

ou

O deslocamento do suporte é harmonico dado por

E a resposta sera da forma subistituindo na

equação do mov. Teremos

e

( ) 0)( =−+−+ yqkyqcqm kyyckqqcqm +=++

tiYey ω=

( )φω −= tiAeq

( )( ) ( )222

2

2121

ξββξβ+−

+= YA ( ) ( )222

21

212

ξββξβφ+−

= −tg

Page 38: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 38

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte

A relação A/Y é conhecida como transmissibilidade

( )( ) ( )222

2

2121

ξββξβ+−

+=

YA

Page 39: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 39

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

Transmissibilidade de forças, consiste em estudar

mecanismo de modo a minimiza os esforços transmitidos as fundações ou lugar aonde esta apoiada as maquinas

As forcas transmitidas são por dois processos: atravez da rigides K z dos amortecedores C

Page 40: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 40

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

A força transmitida

qcKqftr +=

Page 41: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 41

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

Admitindo excitação harmonica, a magnitude e fase da força aplicada e das outras forças sera:

e a resposta ao sistema sera dado por

assim a força transmitida sera

tiapap eFF ω=

apFcimk

Aωω +−

= 2

1

Page 42: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 42

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

Transmissibilidade=TR=

Graficamente temos:

aptr Fcimk

cikcAiKAFωω

ωω+−

+=+= 2

( )( ) ( )222

2

2121

ξββξβ+−

+=

ap

tr

FF

Page 43: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 43

3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações

Verifica-se que Fap e Ftr são iguais no ponto em que Ou seja Ftr soh eh maior que Fap quando

2=β

nωω 2>

Page 44: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 44

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios

1. Uma maquina com 45kg, eh montada em cima de um

isolador não-amortecido, composto de quatro molas em paralelo com rigidez de em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32Hz, a amplitude em regime permanente corresponde 0 1.5mm. Qual eh a magnitude da força que excita esta maquina nesta velocidade?

mN2102×

Page 45: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 45

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios

Page 46: 4 sistemas com um grau de liberdade

Davyd da Cruz Chivala 46

3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios