4 sistemas com um grau de liberdade
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1
Vibração e Ruido
Universidade Metodista de Angola Faculdade de Engenharia Mecâtronica
Prof. MSc. Davyd da Cruz Chivala
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Davyd da Cruz Chivala 2
Programa
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento
viscoso 3.3-Resposta me Vibração livre amortecida 3.4-Movimento harmonico da base de suporte 3.5-Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
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Davyd da Cruz Chivala 3
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida
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Davyd da Cruz Chivala 4
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.1-Resposta em vibração livre não amortecida
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Davyd da Cruz Chivala 5
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso
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Davyd da Cruz Chivala 6
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso
Assumindo solução do tipo (1) teremos: que se pode tambem escrever A solução desta equação subistituindo na eq.1 teremos:
(2)
Analizando (2) temos: 1. o termo eh exponencialmente decrescente
( ) tCetq λ=
02 =++ kcm λλ 02 =++mk
mc λλ
mk
mc
mc
−
±−=
2
2,1 22λ
( ) tt eCeCtq 2121
λλ +=
( )
( )
+=
+=
−
−
−
−
−
−−
−
+−
tmk
mct
mk
mc
mc
tmk
mc
mct
mk
mc
mc
eCeCetq
eCeCtq22
22
2
2
2
12
22
2
22
1
mc
e 2−
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Davyd da Cruz Chivala 7
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso
2. Quando os expoentes serão numeros reais e não ocorrera oscilações, nestas condições o sistemas chaman-se superamortecidos
3. Quando os expoentes serão numeros imaginarios e ocorrerão oscilações , caracteristica de um movimento oscilatorio subamortecido
4. Quando tem caracteristica de amortecimento critico, quando perturbabo o sistema não oscila e volta rapidamente para a posição de equilibrio.
mk
mc
<
2
2
mk
mc
>
2
2
mk
mc
=
2
2
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Davyd da Cruz Chivala 8
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2-Resposta em vibração livre com amortecimento viscoso
Coeficiente de amortecimento Factor de amortecimento
nc mc ω2=
kmC
CC
c 2==ξ
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Davyd da Cruz Chivala 9
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido
A equação tambem pode ser escrita
da seguinte forma subistituindo em
(2) temos e apois manipulações matematicas chega-se a: (3)
( )10 << ξ
mk
mc
mc
−
±−=
2
2,1 22λ
122,1 −±−= ξωξωλ nn
( )
+= −−−− ttt nnn eCeCetq 1
21
1
22 ξωξωξω
( ) ( ) ( )[ ]tBtAetq ddtn ωωξω sincos += −
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Davyd da Cruz Chivala 10
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido
Em que conhecida como frequencia angular natural amortecida
A e B obtidas por condições iniciais de deslocamento e de velocidade
outra forma comun de apresentar (3)
( )10 << ξ
21 ξωω −= nd
( )( ) ( )
2100
0
ξωξω−
+=
=
n
nqqB
qA
( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
+
=
++=
+=
−
−
000tan
000
sin
1
22
qqq
qqqC
tCetq
n
d
d
dn
dtn
ξωωφ
ωωξω
φωξω
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Davyd da Cruz Chivala 11
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.1-Movimento oscilatorio subamortecido
( )10 << ξ
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Davyd da Cruz Chivala 12
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido
A solução eh dada por
A e B são obtidas por condições iniciais
( )1>ξ
( ) tt nn BeAetqωξξωξξ
−−−
−+−
+=11 2222
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )12
010
12010
2
2
2
2
−
−−+=
−
−++=
ξω
ωξξ
ξω
ωξξ
n
n
n
n
qqB
qqA
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Davyd da Cruz Chivala 13
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.2-Movimento superamortecido
( )1>ξ
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Davyd da Cruz Chivala 14
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.2.3-Movimento superamortecido
A solução é dada por
( )1=ξ
( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]000 qttqqetq ntn ++= − ωω
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Davyd da Cruz Chivala 15
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico
( )10 << ξ
( ) ( )φωξω += − tCetq dtn sin
( )( )
++
= −
−
φωφωδ ξω
ξω
11
0
sinsinlnln
1 tCetCe
dt
dt
n
n
dttt += 01
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Davyd da Cruz Chivala 16
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.3-Decremento logaritmico
apois manipulações algebricas temos:
Ou ainda da forma
212
ξπξδ−
=
224 δπδξ+
=
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Davyd da Cruz Chivala 17
3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
Calcula a equação do movimento e a frequencia natural não amortecida do sistema
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Davyd da Cruz Chivala 18
3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
Considere um sistema massa-mola-amortecedor com massa m=20kg e de deslocamento inicial x0=0.01m conforme figura abaixo. Estime os coeficientes equivalentes de rigidez e amortecimento viscoso deste sistema
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
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Davyd da Cruz Chivala 20
3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
Uma haste delgada fina uniforme de massa m e de comprimento l eh articulada em A e esta ligada a quatro molas lineares e uma torcional, como mostra a figura abaixo. Determine a frequencia natural não amortecida se
mlradmNKmNK t 5,.1000,2000 ===
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
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Davyd da Cruz Chivala 22
3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
Determine a equação de movimento e frequençia natural da barra rigida OA de comprimento l e massa m, conforme figura abaixo.
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Davyd da Cruz Chivala 23
3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicio
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Davyd da Cruz Chivala 24
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas
Considere a equação do movimento massa-mola-amortecedor no caso em que temos uma força harmonica actuando no sistema
sendo F(t) harmonica teremos: Em que F é a amplitude da força e é medida em N
esta equação é diferencial não ordinaria e a solução é dada pela soma das
( )tFkqqcqm =++ ( ) ( )tFtF ωsin=
( )tFkqqcqm ωsin=++
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Davyd da Cruz Chivala 25
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas
ou seja a soma da solução homogenia que ja foi calculada nos pontos anteriores e de uma solução particular que adimite-se que seja do tipo:
subistituindo em teremos: e a solução particular é dada por:
tiAeq ω=
( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=
( )tFkqqcqm =++
( ) titi FeAecikm ωωωω =++− 2
( ) ( ) ( )titi Fe
cmkcimkFe
cikmtq ωω
ωωωω
ωω 222
2
2
1+−
−−=
++−=
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Davyd da Cruz Chivala 26
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas
aonde
em que a parte imaginaria é:
( ) ( ) ( )( ) titi FeHFe
cmkcimktq ωω ω
ωωωω
=+−
−−=
222
2
( ) ( ) ( )222
2
cmkcimk
FAH
ωωωωω
+−
−−==
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
−−
+−=
+−
−+−= −
21
222222
2
sinsincosω
ωωωωωω
ωωωωmk
ctgtcmk
FFcmk
tmktctq
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Davyd da Cruz Chivala 27
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas
A equação tem solução:
A solução geral é composta por um termo transitorio e um estacinario.
A amplitude da resposta forçada é dada por:
( ) ( ) ( )tqtqtq ph +=
( ) ( )( ) ( )
−−
+−++= −−
21
22221 sinsincos
ωωω
ωωωωξω
mkctgt
cmk
FtAtAetq aatn
( ) ( ) ( ) ( )222222 21
1
ξββωω +−=
+−=
kF
cmk
FAnωωβ =
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Davyd da Cruz Chivala 28
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4-Vibrações forçadas
O factor de ampliação é dado por:
( )( ) ( )222 21
1,ξββ
βξ+−
===F
kAAAM p
st
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Davyd da Cruz Chivala 29
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonância
Ocorre quando a frequencia de exitação é igual a frequencia natural do sistema
Em projectos deve-se sempre evitar estar zona pois induzem vibrações de grandes amplitudes ao sistema
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Davyd da Cruz Chivala 30
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.1-Ressonância
O pico de resonância que é o valor maximo de M é obtido por:
E
( )nd
dMωωξβ
ββξ
=−=⇒= 2210,
2max121
ξξ −=M
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Davyd da Cruz Chivala 31
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas No caso em que temos maquinas rotativas com massa
desbalanceada, o sistema é excitado por esta massa a sua velocidade angular com a sua excentricidade
ω ε
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Davyd da Cruz Chivala 32
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas A força de desbalance é:
A equação do movimento é dada
A amplitude de vibração em regime permanente sera
dada por
( )temkqqcqm ωω sin20=++
( ) ( )temtFe ωω sin20=
( ) ( )222
20
21 ξββ
ω
+−=
kemqp
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Davyd da Cruz Chivala 33
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas A quantidade representa a quantidade de
desbalanceamento do sistema. Em geral é obtido a partir de teste experimental para procurar adidionar
massas para corrigir este desbalanceamento, uma vez que esta excitação em niveis muito grandes pode
Comprometer o funcionamento de uma maquina e siminuir o seu tempo de vida util. Dividindo
por m obtém-se o factor de Amplição adimensional
em0
( ) ( )222
20
21 ξββ
ω
+−=
kemqp
em0
( )βξ ,Λ
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Davyd da Cruz Chivala 34
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas
( )( ) ( )222
2
0 21,
ξββ
ββξ+−
=Λ=em
mqp
![Page 35: 4 sistemas com um grau de liberdade](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081720/55834cf2d8b42a882e8b52a3/html5/thumbnails/35.jpg)
Davyd da Cruz Chivala 35
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.2-Vibrações causadas por forças de desbalanceamento em
maquinas rotativas
e ocorre quando 2max
121
ξξ −=Λ
2max121
ξξβ
−=
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Davyd da Cruz Chivala 36
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
No caso em que a base de suporte do sistema sofre um
movimento harmonico
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Davyd da Cruz Chivala 37
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
A equação diferencial do movimento:
ou
O deslocamento do suporte é harmonico dado por
E a resposta sera da forma subistituindo na
equação do mov. Teremos
e
( ) 0)( =−+−+ yqkyqcqm kyyckqqcqm +=++
tiYey ω=
( )φω −= tiAeq
( )( ) ( )222
2
2121
ξββξβ+−
+= YA ( ) ( )222
21
212
ξββξβφ+−
= −tg
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Davyd da Cruz Chivala 38
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.3- Movimento harmonico da base de suporte
A relação A/Y é conhecida como transmissibilidade
( )( ) ( )222
2
2121
ξββξβ+−
+=
YA
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Davyd da Cruz Chivala 39
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
Transmissibilidade de forças, consiste em estudar
mecanismo de modo a minimiza os esforços transmitidos as fundações ou lugar aonde esta apoiada as maquinas
As forcas transmitidas são por dois processos: atravez da rigides K z dos amortecedores C
![Page 40: 4 sistemas com um grau de liberdade](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081720/55834cf2d8b42a882e8b52a3/html5/thumbnails/40.jpg)
Davyd da Cruz Chivala 40
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
A força transmitida
qcKqftr +=
![Page 41: 4 sistemas com um grau de liberdade](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081720/55834cf2d8b42a882e8b52a3/html5/thumbnails/41.jpg)
Davyd da Cruz Chivala 41
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
Admitindo excitação harmonica, a magnitude e fase da força aplicada e das outras forças sera:
e a resposta ao sistema sera dado por
assim a força transmitida sera
tiapap eFF ω=
apFcimk
Aωω +−
= 2
1
![Page 42: 4 sistemas com um grau de liberdade](https://reader035.fdocument.pub/reader035/viewer/2022081720/55834cf2d8b42a882e8b52a3/html5/thumbnails/42.jpg)
Davyd da Cruz Chivala 42
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
Transmissibilidade=TR=
Graficamente temos:
aptr Fcimk
cikcAiKAFωω
ωω+−
+=+= 2
( )( ) ( )222
2
2121
ξββξβ+−
+=
ap
tr
FF
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Davyd da Cruz Chivala 43
3-Sistemas com um grau de Liberdade 3.4.5- Transmissibilidade. Isolamento de vibrações
Verifica-se que Fap e Ftr são iguais no ponto em que Ou seja Ftr soh eh maior que Fap quando
2=β
nωω 2>
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios
1. Uma maquina com 45kg, eh montada em cima de um
isolador não-amortecido, composto de quatro molas em paralelo com rigidez de em cada mola. Quando opera a uma velocidade de 32Hz, a amplitude em regime permanente corresponde 0 1.5mm. Qual eh a magnitude da força que excita esta maquina nesta velocidade?
mN2102×
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3-Sistemas com um grau de Liberdade Exercicios
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