4 INTEGRACION VECTORIAL.pdf
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20/03/2015
1
INTEGRACIN
FUNCIN VECTORIALnI :r
CAPTULO ICLCULO VECTORIALSESIN 4 Integracin de una funcin
vectorial
[ ]
( ) ++= nn
i
ctdtxcdttxdtt
bax
)(,,)()(
entonces,,encontinuas:
11 Lr
[ ] nba ,:r
2ROSA IQUE ALVAREZ
( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 LrSea una funcin vectorial definida por
donde
[ ] nba ,:r
=
b
a
b
an
b
a
dttxdttxdtt )(,,)()( 1 Lr
Integral Definida
3ROSA IQUE ALVAREZ
( ) nn txtxtxt = )(,),(),()( 21 Lr
Teorema del Clculo
)()( tt rR' =
4ROSA IQUE ALVAREZ
] )()()()( abtdtt bab
a
RRRr -==
Donde R es una funcin vectorial tal que
EJEMPLO 1: Evale
)1,,(cos)(donde
;)(
tett
dtt
-=
r
r
5ROSA IQUE ALVAREZ
Solucin
( ) +++= - 321 ,,cos)( cdtcdtecdttdtt tr
( )
( ) ( )321
321
,,,,)(
,,)(
ccctetsendtt
ctcectsendtt
t
t
+-=
++-+=
-
-
r
r
6ROSA IQUE ALVAREZ
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20/03/2015
2
EJEMPLO 2
ROSA IQUE ALVAREZ 7
( ) =2/
0
2,cos)(donde,)(p
tsenttdtt rr
Evale
Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 8
-=
=
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
22/
0
42
2,)(
,cos)(
pp
p
p pp
tsenttsendtt
dttsentdtdtt
r
r
( )tsentt 2,cos)( =r
Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 9
=
-=
4,1)(
42
2,)(
2/
0
2/
0
2/
0
2/
0
pp
pp
p
dtt
tsenttsendtt
r
r
+dt
ttsenttet t1
3,3, 22
EJEMPLO 3: Evale
10ROSA IQUE ALVAREZ
Solucin
( ) ( )3212 ,,1ln23,cos33,
21 2 ccctttsentet +
+-=
11ROSA IQUE ALVAREZ
+dt
ttsenttet t1
3,3, 22
EJEMPLO 4: Evale
dtetet
tt
+-
2
0
2 ,,1
4
12ROSA IQUE ALVAREZ
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20/03/2015
3
Solucin
( )1,1,3ln4 22 +-= - ee
13ROSA IQUE ALVAREZ
dtetet
tt
+-
2
0
2 ,,1
4
Propiedades 1
=b
a
b
a
dttdtt aaa ;)()( rr
[ ] nba ,:r
14ROSA IQUE ALVAREZ
Propiedades 2
[ ] =b
a
b
a
b
a
dttdttdttt )()()()( urur
[ ] nba, ,:ur
15ROSA IQUE ALVAREZ
Propiedades 3
( ) =b
a
b
a
dttdtt )()( rcrc
[ ] nba ,:r ),,( 1 ncc L=c
16ROSA IQUE ALVAREZ
Propiedades 4
( ) 3en;)()( = b
a
b
a
dttdtt rcrc
17ROSA IQUE ALVAREZ
[ ] nba ,:r ),,( 1 ncc L=c
Propiedades 5
Si adems es integrable en [a, b], tenemos
b
a
b
a
dttdtt )()( rr
)(tr
18ROSA IQUE ALVAREZ
[ ] nba ,:r
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4
LONGITUD DE UNA CURVA REGULAR o SUAVE
( ) =b
a
dttCL )(r'
ROSA IQUE ALVAREZ 19
[ ] 3,: ba:C rSea C una curva regular definida por
EJEMPLO 5
ROSA IQUE ALVAREZ 20
Calcule la longitud de la curva
kji r ttsentt cos334)( 2/3 +-=
desde t1 = 0 hasta t2 = 2.
Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 21
kji r: ttsenttC cos334)( 2/3 +-=
kji r sentttt 3cos36)( 2/1 --=
( ) ( ) ( )2222/1 3cos36)( sentttt ++= r
143)( += tt r
( ) =b
a
dttCL )(r'Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 22
dttCL
dttCL
+=
=
2
0
2
0
143)(
)()( r'
kji r: ttsenttC cos334)( 2/3 +-=
Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 23
( ) 20
2/3
2
0
1421)(
143)(
+=
+=
tCL
dttCL
Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 24
( )
13)(
1421)(
2
0
2/3
=
+=
CL
tCL
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5
Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 250
5
10
15
-3-2.5-2-1.5-1-0.5
0-2
-1
0
1
2
3
X
CURVA
Y
Z
13)()(2
0
== dttCL r'
LONGITUD1
kji r ttsentt:C cos334)( 2/3 +-= EJEMPLO 6
ROSA IQUE ALVAREZ 26
Calcule la longitud de la curva
0;44cos4)( ++= --- tesentetet ttt kjir
Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 27
0;44cos4)( ++= --- tesentetet:C ttt kjir
=
=
=
-
-
-
t
t
t
ezsentey
texC
44
cos4:
Solucin: interpretacin geomtrica
ROSA IQUE ALVAREZ 28
=
=
=
-
-
-
t
t
t
eztsentey
texC
40,4
cos4:
z = 4e-t es decreciente y mayor que cero.
La curva esta sobre el plano XY.
Punto Inicial t=0; A=(4,0,4)
Punto Final B (0,0,0)
Solucin:
ROSA IQUE ALVAREZ 29
-20
24
-0.500.51
1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
X
CURVA
Y
Z
( ) 0;cos4)( ++= - tsenttet t kjir
LONGITUD2
3434)()(00
=== -
dtedttCL tr'
Solucin
ROSA IQUE ALVAREZ 30
0;44cos4)( ++= --- tesentetet:C ttt kjir
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6
Solucin:
ROSA IQUE ALVAREZ 31
-20
24
-0.500.51
1.50
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
X
CURVA
Y
Z
34)()(0
==
dttCL r' FUNCIN LONGITUD DE ARCO o CURVA
st =)(g
ROSA IQUE ALVAREZ 32
dsc
bta
FUNCIN LONGITUD DE ARCO o CURVA
( ) [ ] =t
a
batduut ,;)(r'g
[ ] [ ]dcba ,,: g
ROSA IQUE ALVAREZ 33
Sea C una curva regular o suave definida por
[ ] 3,: ba:C r
y definida por
FUNCIN LONGITUD DE ARCO
( ) [ ] =t
a
batduut ,;)(r'g
ROSA IQUE ALVAREZ 34
( ) [ ]battst ,,)( =g
NOTACIN
[ ]battt ,,)()( = r'g
FUNCIN LONGITUD DE ARCO
ROSA IQUE ALVAREZ 35
( ) [ ] =t
a
batduut ,;)(r'g
)()()()( ttstt r'r' ==g
FUNCIN LONGITUD DE ARCO
)()( tst =g
ROSA IQUE ALVAREZ 36
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7
OBSERVACIONES: C curva regular en [a, b]
[ ]battt ,;0)()( "= r'g
[ ]battt ,;0)()( ">= r'gROSA IQUE ALVAREZ 37
( ) [ ] =t
a
batduut ,;)(r'g
OBSERVACIONES
[ ]
crecientefuncinunaes)(
,;0)()(
t
battt
g
g ">= r'
ROSA IQUE ALVAREZ 38
La funcin longitud de arco es creciente y tiene inversa.
( ) [ ] =t
a
batduut ,;)(r'g
EJEMPLO 7
40;cosh)( ++= tttsenhtt kjir
ROSA IQUE ALVAREZ 39
Determine la funcin longitud de arco de lasiguiente funcin vectorial
Solucin: funcin longitud de arco
ROSA IQUE ALVAREZ 40
40;cosh)( ++= tttsenhtt kjir
40;cosh)( ++= tttsenht kjir
1cosh)( 22 ++= ttsenhtr
ttt cosh2cosh2)( 2 ==r
tsenhttsenht
22
22
1cosh
1cosh
=-
=-
Solucin: funcin longitud de arco
ROSA IQUE ALVAREZ 41
( ) ==tt
dttduut00
cosh2)(r'g
40;cosh)( ++= tttsenhtt kjir
tt cosh2)( =r
Solucin: funcin longitud de arco
ROSA IQUE ALVAREZ 42
stsenhduutt
=== 2cosh2)(0
g
( ) duutt
=0
)(r'g
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20/03/2015
8
Funcin Longitud de Arco de C
40);(2)( == ttstsenhtg
ROSA IQUE ALVAREZ 43
t s0 01 1.6622 5.1293 14.1674 38.593
Funcin Longitud de Arco de C
40);(2)( == ttstsenhtg
ROSA IQUE ALVAREZ 44
inversa tieneycrecientefuncin)(tg
Funcin Longitud de Arco de la curva C
)(tg
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40
5
10
15
20
25
30
35
40
t
s
Funcion Longitud de arco
)(tg
ROSA IQUE ALVAREZ 45
tsenht 2)( =g
Funcin Inversa de la Longitud de Arco:
ROSA IQUE ALVAREZ 46
dsc
j
bta
g
ts =)(j
Funcin Inversa Longitud de Arco
[ ] [ ]
tss
tsbadc
=g=j
j
- )()(
,,:
1
ROSA IQUE ALVAREZ 47
EJEMPLO 8
stsenhduutt
=== 2cosh2)(0
g
Funcin Longitud de Arco
ROSA IQUE ALVAREZ 48
40;cosh)( ++= tttsenhtt kjir
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9
Valores de la variable sstsenht ==g 2)(
ssenht
ssenht
====
====
59,38)4(2)4(4
0)0(2)0(0
g
g
ROSA IQUE ALVAREZ 49
Clculo de la inversa de la funcin Longitud de Arco
59,380;)(2
1 =
=j - stsenhs s
stsenht ==g 2)(
29ROSA IQUE ALVAREZ 50
40;cosh)( ++= tttsenhtt kjir
0 5 10 15 20 25 30 35 400
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
s
t
Funcion Inversa de Longitud de arco
)(sj
ROSA IQUE ALVAREZ 51
( )21)( ssenhs -=j RESUMEN
ROSA IQUE ALVAREZ 52
bta
dsc
j g
ts =)(j
st =)(g
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