4. Hampiran Numerik ian Persamaan Polinomial
-
Upload
cantik02m89 -
Category
Documents
-
view
710 -
download
8
Transcript of 4. Hampiran Numerik ian Persamaan Polinomial
Hampiran Numerik Penyelesaian Persamaan Polinomial
Pertemuan 4
Matakuliah : METODE NUMERIK ITahun : 2008
Bina Nusantara
Bentuk umum persamaan polinomial:
n
k
kkn xaxPxf
0
)()(
nn xaxaxaxaa ...3
32
210
Dengan ak adalah konstanta bilangan riil dan an 0Persamaan polinomial termasuk pada persamaan non-linier
Dapat diselesaikan baik dengan metoda terbuka maupun metoda tertutup tetapi kurang effisien untuk n yang besar
Bina Nusantara
Muller menggunakan pendekatan proyeksi parabola melalui tiga titik pada sumbu x sebagai pengganti proyeksi garis melaluidua titik pada sumbu x seperti pada metoda Secant
Misalkan tiga titik tsb adalah: [ x0,f(x0)]; [ x1,f(x1)]; [ x2,f(x2)]
Misalkan persamaan parabola melalui tiga titik tersebut adalah:
cxxbxxaxf )()()( 22
2
Maka:
ccxxbxxaxf
cxxbxxaxf
cxxbxxaxf
)()()(
)()()(
)()()(
222
222
212
211
202
200
……………..(1)
1. Metoda Müller
Bina Nusantara
Misalkan:
12
121
0
010
121
010
)()(
)()(
xx
xfxf
xx
xfxf
xxh
xxh
x
Disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh:
)( 2
11
01
01
xfc
ahb
hha
……………….(2)
Bina Nusantara
Akar persamaan polinomial diperoleh dengan iterasi berikut:
…………………..(3)
Contoh:
01213)( 3 xxxf , tentukan akar persamaan
Jawaban:
Misalkan: x0 = 4.5; x1 = 5.5; x2 = 5
f(4.5) = 20.625; f(5.5) = 82.875; f(5) = 48 = c
h0 = 1; h1 = -0.50 = 62.25; 1 = 69.75
a = 15b = 62.25
acbb
cxx
4
2223
Bina Nusantara
Dengan rumus iterasi:
Diperoleh:
976487.3
)48)(15(4)25.62(25.62
)48(25
4
2
2
223
acbb
cxx
acbb
cxx
4
2223
Bina Nusantara
Iterasi berikutnya adalah dengan menggunakan:X0 = 5.5; x1 = 5 dan x2 = 3.976487Kemudian dihitung kembali, h0; h1; 0 dan 1 untuk memperolehnilai a, b dan c
Hasil iterasinya adalah sbb.:
n xn n (%)
0 5 -
1 3.976487 25.74
2 4.00105 0.6139
3 4.00000 0.0262
4 4 0.0000119
Bina Nusantara
2. Metoda Bairstow
n
k
kkn xaxPxf
0
)()(
nn xaxaxaxaa ...3
32
210
dibagi dengan: (x2 – rx – s ) yang menghasilkan:
231
24322 ....)(
nn
nnn xbxbxbxbbxf
Dengan sisa pembagian:
01 )( brxbR
Bina Nusantara
Hubungan rekurensi (recurrence relationship) dengan pembagian Fungsi kuadrat diperoleh:
bn = an
bn-1 = an-1 + r b0
bi = ai + r bi+1 + s bi+2, untuk i = (n-2), (n-3),…, 2,1,0 Untuk membuat pembagian menuju nol, maka b0 dan b1 harus menuju nol. b0 dan b1 masing-masing fungsi dari r dan s
0),(
0),(
1111
0000
ss
br
r
bbssrrb
ss
br
r
bbssrrb
Bina Nusantara
Turunan parsial dapat ditentukan dengan cara pembagian sintetikseperti menentukan koefisien b yaitu dengan menuliskan:
31
210
10 ;; c
s
bc
r
b
s
bc
r
b
Sehingga:
132
021
bscrc
bscrc
dimana:
1
11
iii
nnn
nn
rcbc
rcbc
bc
Untuk i= n – 2 sampai dengan i= 1
Bina Nusantara
Contoh:Tentukan akar persamaan polinomial orde 5 berikut:
5432 5.375.2125.2875.325.1)( xxxxxxf Gunakan perkiraan awal r0 = s0 = -1 kemudian iterasikan sampaiGalat relatif kurang dari 1 %Jawaban:
Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh:
b5 = a5 = 1; b4 = -4.5; b3 = 6.25; b2 = 0.375; b1 = - 10.5 dan b0 = 11.375 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh:
c5 = b5 = 1; c4 = -5.5; c3 = 10.75; c2 = - 4.875; c1 = - 16.375
Bina Nusantara
Maka:
-16.375 r – 4.875 s = -11.375- 4.875 r + 10.75 s = 10.5
r = 0.3558 dan s = 1.1381
Iterasi pertama untuk r dan s adalah:
r1 = r0 + r = -1 + 0.3558 = - 0.6442s1 = s0 + s = -1 + 1.1381 = 0.1381
r( r1 ) = | (0.3558/-0.6442| 100 % = 55.23 %s( s1) = | (1.1381/ 0.1381| 100 % = 824.1 %
Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-2
Bina Nusantara
Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh:
b5 = a5 = 1; b4 = -4.1442; b3 = 5.5578; b2 = - 2.0276; b1 = - 1.8013 dan b0 = 2.1304 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh:
c5 = b5 = 1; c4 = -4.7884; c3 = 8.7806; c2 = - 8.3454; c1 = 4.7874 Maka: 4.7874 r – 8.3454 s = -2.1304 – 8.3454 r + 8.7806 s = 1.8013
r = 0.1331 dan s = 0.3316
r2 = r1 + r = - 0.6442 + 0.1331 = - 0.5111s1 = s0 + s = 0.1381 + 0.3316 = 0.4697
Iterasi ke dua untuk r dan s adalah:
Bina Nusantara
r( r2 ) = | (0.1331/-0.5111| 100 % = 26.0 %s( s2) = | (0.3316/ 0.4697| 100 % = 70.6 %
Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-3, dan seterusnyaSetelah iterasi ke-4 diperoleh haga r dan s yaitu:
r4 = - 0.5 dengan r( r4 ) = 0.063 %s4 = 0.5 dengan s( s4) = 0.040 %
Jadi r = r4 = -0.5 dan s = s4 = 0.5
Persamaan kuadarat: (x2 – rx – s ) = (x2 + 0.5x – 0.5 ) adalah merupakan faktor dari f(x)Dua akar pertama dari f(x) diperoleh yaitu:
0.1
5.02
)5.0(4)5.0(5.0
2
1
2
2,1
x
x
x
Bina Nusantara
Hasil pembagian f(x) dengan (x2 + 0.5x – 0.5 ) yaitu:
323 425.55.2)( xxxxf
Akar-akar dari f3 (x) ini dicari dengan menggunakan r = - 0.5 dan s = 0.5 sebagai perkiraan awal
Setelah lima iterasi diperoleh: r = 2 dan s = - 1.249 dan persamaan kuadrat (x2 – rx – s ) = (x2 - 2x + 1.249 ) adalah faktor dari f3(x)
Akar ke tiga dan ke empat dari f(x) diperoleh yaitu:
ix
ix
ix
499.01
499.01
499.012
)249.1(422
4
3
2
4,3
Hasil pembagian f3(x) dengan (x2 - 2x + 1.249 ) yaitu: f1(x) = x – 2. Jadi akar ke lima dari f(x) yaitu x5 = 2
Bina Nusantara
Birge-Vieta mengembangkan metoda Newton khusus untuk mencari akar-akar persamaan polinomial
Rumus iterasi metoda Newton:
)(
)('1
n
nnn xf
xfxx
2. Metoda Birge-Vieta
Bina Nusantara
f(x) dan f’(x) dievaluasi dengan aturan Horner secara rekursif untuk memperoleh koefisien b seperti yang telah digunakan Bairstow sehingga diperoleh hubungan rekurensi koefisien sbb:
bn = an
bi = ai + xn bi+1
Dengan i = n – 1 sampai 0 dan f(xn) = b0
134
2321 ...)( n
n xbxbxbxbbxg
Bila
dibagi dengan (x – xn) diperoleh fungsi g(x) orde (n – 1) dengan sisa pembagian b0, dan f(x) = (x – xn) g(x) + b0 dimana:
nn xaxaxaxaaxf ...)( 3
32
210
Bina Nusantara
Turunan pertama dari f(x) = (x – xn) g(x) + b0 yaitu: f’(x) = (x – xn) g’(x) + g(x)
f’(xn) = g(xn) yaitu suatu polinomial orde (n – 1) dan dapat dievaluasi dengan aturan Horner untuk memperoleh hubungan rekurensi koefisien c yaitu:
cn = bn
ci = bi + xn ci+1
Dengan i = n – 1 sampai 1 dan g(xn) = c1Rumus iterasi Bierge-Vieta untuk persamaan polinomial:
1
01 c
bxx nn
Bina Nusantara
Contoh:Tentukan akar persamaan polinomial f(x) = x3 – x – 1 disekitar X0 = 1.3
Dari hubungan rekurensi pembagian sintetik untuk menentukan koefisien b dan c diperoleh:
i ai bi=ai+x0 bi+1 ci=bi+x0 ci+1
3 1 1 1
2 0 1.3 2.6
1 -1 0.69 4.07
0 -1 -0.103
Jawaban:
Bina Nusantara
325.107.4
103.03.11
x
Iterasi pertama memberikan:
i ai bi=ai+x1 bi+1 ci=bi+x1 ci+1
3 1 1 1
2 0 1.325 2.265
1 -1 0.755625 4.267
0 -1 0.001203
Iterasi ke dua:
Bina Nusantara
3247181.1267.4
001203.0325.12
x
Iterasi ke dua memberikan:
Iterasi ke tiga:
i ai bi=ai+x2 bi+1 ci=bi+x2 ci+1
3 1 1 1
2 0 1.324718 2.64434
1 -1 0.154878 4.26434
0 -1 0.000004
Bina Nusantara
Iterasi ke tiga memberikan:
r( x3 ) = | (-0.0000002/1.3247179)| 100 % = 0.00002 %
3247179.126434.4
000004.03247181.13
x
Bina Nusantara
Soal Latihan
1. Menggunakan Metode Muller, tentukan akar dari f(x) = 2x4 – 3x2 + 6
2. Menggunakan Metode Bairstow, tentukan akar dari f(x) = x4 – 2x3 + 6x2 -2x + 5
3. Menggunakan Metode Bierge-Vieta, tentukan akar persamaan polinomial
f(x) = x3 – x2 + 2x -3 disekitar X0 = 1.27