4. Aproksymacja - eti.pg.edu.pl · Wprowadzenie (4.1) Aproksymacja średniokwadratowa cd. (4.1.2) W...

4. Aproksymacja

Wprowadzenie (4.1)

Aproksymacja oznacza przybliżanie funkcji za pomocą „prostszej”, należącej do określonej klasy funkcji .

Przyczyny strosowania aproksymacji:

- funkcja aproksymowana wyrażona jest za pomocą skomplikowanej, niepraktycznej zależności analitycznej,

- znany jest tylko skończony zbiór wartości funkcji , np. odczyta- nych w trakcie pomiaru.

Funkcji aproksymującej (przybliżającej) poszukuje się zwykle w określonej rodzinie funkcji np. wśród wielomianów.

Przybliżanie jednej funkcji przez inną powoduje pojawianie się błędów, zwanych błędami aproksymacji (przybliżenia).

y= f x

y=F x

y= f x

y= f x

y=F x

Wprowadzenie (4.1)

W zależności od sposobu mierzenia błędu aproksymacji rozróżnia się dwa rodzaje:

- aproksymację jednostajną

- aproksymację średniokwadratową

Aproksymacja jednostajna (4.1.1)

Zakłada się, że funkcje oraz są określone i ciągłe w przedziale . Błąd aproksymacji jest mierzony za pomocą normy Czebyszewa

Aproksymacja średniokwadratowa (4.1.2)

Wyróżnia sie dwa przypadki:

- aproksymacja ciągła - funkcja jest określona i ciągła w przedziale . Błąd aproksymacji wyraża zależność

gdzie to nieujemna, rzeczywista funkcja wagowa.

y=F x y= f x[a ;b]

y= f x[a;b]

y=w x

∥ f −F ∥=∫a

b

w(x)[ f (x )−F (x)]2dx ,

∥ f −F ∥=s upa⩽ x⩽b

∥ f (x)−F (x)∥.

Wprowadzenie (4.1)

Aproksymacja średniokwadratowa (4.1.2)

- aproksymacja dyskretna - funkcja jest funkcją dyskretną tzn. Jej znane wartości można przedstawić za pomocą tabeli.

Błąd aproksymacji wyraża zależność

Funkcję aproksymującą wybiera się najczęściej w postaci wielomianu uogólnionego

w którym funkcje są wybranymi a priori funkcjami bazowymi wymiarowej przestrzeni liniowej. W takim przypadku zadanie aproksymacji sprowadza się do określenia współczynników

m1

y= f x

a0 , a1 , , am.

0x ,1 x , ,mx

Tabela 4.1. Znane wartości funkcji dyskretnej

F x =a00x a11xammx

∥ f−F ∥=∑i=0

n

w x i[ f xi−F x i]2 .

Wprowadzenie (4.1)

Aproksymacja średniokwadratowa cd. (4.1.2)

W charakterze funkcji bazowych wybiera się najczęściej

- jednomiany (baza jednomianów), gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa, dla każdej funkcji określonej i ciągłej na domkniętym i ograniczonym odcinku istnieje taki wielomian

który przybliża jednostajnie funkcję na odcinku

- funkcje trygonometryczne (baza trygonometryczna), gdyż zgodnie z twierdzeniem Weierstrassa, dla

każdej funkcji określonej i ciągłej na oraz okresowej o okresie istnieje taki wielomian trygonometryczny

który przybliża jednostajnie funkcję

y= f x1, x , x2 , , xm

1,cos x , sin x ,cos2x ,sin 2x , ,cosmx ,sinmx

[a ;b]W m=a0+a1 x+a2 x

2+… , amxm ,

y= f x [a ;b] .

y= f x R2

y= f x.

Sm(x )=a0

2+∑

k=1

m

(ak cos kx+bksin kx) ,

Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna (4.2)

Zakłada się, że znane wartości funkcji aproksymowanej zostały zestawione w tabeli 4.1. Funkcja będzie aproksymowana wielomianem uogólnionym . Błąd aproksymacji jest obliczany z wzoru

Zadaniem aproksymacji średniokwadratowej dyskretnej jest wyznaczenie takich współczynników wielomianu przy których błąd aproksymacji jest najmniejszy. Zagadnienie to można rozwiązać stosując metodę najmniejszych kwadratów. W tym celu odległość rozpatruje się jako funkcję zmiennych niezależnych :

Korzystając z warunku koniecznego istnienia minimum funkcji wielu zmiennych

y= f xy= f x

F (x)=a0φ0(x)+a1φ1( x)+…+amφm( x)

∥ f−F ∥=∑i=0

n

w x i[ f xi−F x i]2 .

a0 , a1 , a2 ,… , am

∥ f−F ∥

∥ f−F ∥ m1

Dm(a0 , a1 ,... , am)=∥ f −F ∥=∑i=0

n

w(xi)[ yi−∑k=0

m

akφ k (x i)]2

.

dla j=0,1 , ... ,m .

∂Dm(a0 , a1 ,... , am)∂ a j

=∑i=0

n

2⋅w(x i)[ y i−∑k=0

m

akφ k (xi)]φ j(x i)=0

F (x) ,a0 , a1 , a2 ,… , am

Aproksymacja średniokwadratowa dyskretna cd. (4.2)

Po uporządkowaniu składników względem otrzymuje się

Oznaczając przez (iloczyn skalarny)

sprowadza się zagadnienie znalezienia optymalnych współczynników do rozwiązania układu równań liniowych:

noszącego nazwę układu normalnego (układu równań normalnych).

ak , k=0,1 , ,m

ak , k=0,1 , ,m

Aproksymacja średniokw. dyskretna za pomocą wielomianów (4.3)

Jeśli w charakterze funkcji bazowych przyjmie się ciąg jednomianów funkcja aproksymująca przybierze postać wielomianu

a układ normalny będzie równy

gdzie:

Można wykazać, że jeżeli argumenty są różne i wyznacznik układu normalnego jest różny od zera — układ ma jednoznaczne rozwiązanie. Rozwiązując powyższy układ wyznacza się współczynniki

F x =a0a1 xa2 x2amx

m

1, x , x2, , xm ,

x0, x1, x2,… , xn mn ,

a0,a1,a2, , am.

s0a0+ s1a1+...+smam=t0 ,s1a0+ s2a1+...+sm+1am=t1 ,............................................... ,sma0+sm+1a1+...+s2mam=tm ,

sk=∑i=0

n

x ik dla k=0,1 , ... ,

t k=∑i=0

n

yi x ik dla k=0,1 , ....

Aproksymacja średniokw. dyskretna za pomocą wielomianów cd. (4.3)

Przykład: W poniższej tabeli zostały odnotowane wyniki przeprowadzonego doświadczenia Przeprowadzający doświadczenie stwierdził, że badana funkcja jest zbliżona do funkcji kwadratowej oraz wartość jest obarczona zbyt dużym błędem. Wyznaczyć wartość funkcji dla

Rozwiązanie: Ponieważ wartość funkcji jest obarczona błędem grubym, nie będzie uwzględniana w obliczeniach. Zostaną one oparte na następującej funkcji tabelarycznej: Zgodnie z uwagą poczynioną przez przeprowadzającego eksperyment funkcja będzie przybliżana parabolą Współczynniki zostaną wyznaczone poprzez rozwiązanie układu równań liniowych

y= f x

F 2x =a0a1 xa2 x2 . a0 , a1 , a2

f (2,5)x=2,5.

f (2,5)=1,55

s0a0+s1a1+s2a2=t 0 ,s1a0+s2a1+s3a2=t 1 ,s2a0+s3a1+s4a2=t2 .


W tabeli poniżej zestawiono obliczenia prowadzące do wyznaczenia współczynników i si t i , i=0,1,2 .

Tabela 4.3. Proces obliczania współczynników si i t i .


Rozwiązując uklad równań

Otrzymuje się:

Wielomian aproksymacyjny ma postać

Rozwiązanie zadania otrzyma się podstawiając

a0=1,124 ,

[ 7,000 11,500 28,75011,500 28,750 82,37528,750 82,375 253,188][a0

a1

a2]=[11,92030,810

96,235]a1=−1,495 , a2=0,739.

F 2x

F2(x )=1,124−1,495 x+0,739 x2 .

F2(2,5)=1,124−1,495⋅2,5+0,739⋅2,52=2,0.

x=2,5

Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi (4.4)

Układ wielomianów nazywany jest układem ortogonalnym z funkcją wagową na zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy

Układ ortogonalny wielomianów jest układem funkcji liniowo niezależnych. Można zatem układ taki potraktować jako bazę pewnej podprzestrzeni funkcyjnej i aproksymować funkcję za pomoca liniowej kombinacji wielomianów tej bazy. W przypadku, gdy funkcje bazowe tworzą układ ortogonalny, tzn. dla układ równań normalnych przyjmuje postać

φ0(x) ,φ1(x ) ,… ,φm(x )y=w x X={x0, x1, , xn }

y= f x

j ,k =0 j , k=0,1,, m ; j≠k

j ,k =∑i=0

n

w x i j x ik x i {=0 dla j≠k ,0 dla j=k .}

(φ0 ,φ0)a0 =(φ0 , f ) ,(φ1 ,φ1)a1 =(φ1 , f ) ,

…………………………………………………… ,(φm ,φm)am=(φm , f ).

Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.4)

Rozwiązanie powyższego układu równań określają wzory

dla

Błąd aproksymacji można wyznaczyć korzystając z zależności

Jak można zauważyć: , co oznacza, że odchylenie średniokwadratowe maleje monotonicznie wraz ze wzrostem stopnia wielomianu aproksymującego.

a j= j , f j , j

=∑i=0

n

w x i jx i f x i

∑i=0

n

w x i j2x i

j=0,1, ,m.

Dmmin=∥ f−F ∥=∑

i=0

n

w xi f2x i−∑

k=0

m ∑i=0

n

w x ik xi f xi2

∑i=0

n

w x ik2 x i

.

D0minD1

minD 2min

Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.4)

Układ wielomianów ortogonalnych można otrzymać np. ortogonalizując ciąg jednomianów za pomocą metody Grama-Schmidta:

Można pokazać, że wielomiany ortogonalne spełniają prostą zależność rekurencyjną tzw. regułę trójczłonową, która po uproszczeniach przyjmuje postać:

gdzie dowolne oraz

Wielomiany tworzą na zbiorze układ ortogonalny z funkcją wagową Funkcję można teraz przybliżać za pomoca wielomianu

x0 , x1 , x2 ,… , xmp0 , p1 , p2 ,… , pm

p0=x0=1, p i=x i−∑k=0

i−1 ( xi , pk )( pk , pk )

pk , i=1,… ,m.

p−1(x)=0, p0(x)=1, pk1 x=x− k1 pk x−k pk−1 x , k=0,1, ,

k=∑i=0

n

pk2x i

∑i=0

n

pk−12 x i

k=1,2, , k1=∑i=0

n

x i pk2x i

∑i=0

n

pk2x i

k=0,1,, .

p0 , p1 , p2 ,… , pm X={x0 , x1 , x2 ,… , xn}y=w(x)≡1 .

y= f (x)F (x )=a0 p0(x )+a1 p1(x)+…+am pm(x).

0

Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortonormalnymi (4.5)

Układ wielomianów nazywany jest układem ortonormalnym z funkcją wagową na zbiorze wtedy i tylko wtedy gdy

Układ równań normalnych redukuje się rówczas do zestawu równań pozwala- jących na bezpośrednie wyznaczenie wektora parametrów

(φ j ,φk )=∑i=0

n

w(x i)φ j(xi)φk (x i)=∑i=0

n

φ j (xi)φk (xi) {=0 dla j≠k ,=1 dla j=k .

φ0(x) ,φ1(x ) ,… ,φm(x )y=w(x)≡1 X={x0, x1, , xn }

a0 =(φ0 , f )=∑i=0

n

φ0( xi) f (x i) ,

a1 =(φ1 , f )=∑i=0

n

φ1(x i) f ( xi) ,

…………………………………………………………… ,

am=(φm , f )=∑i=0

n

φm(x i) f (xi).

a0 , a1 , a2 , , am .

Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama (4.5.1):

Zakłada się, że węzły funkcji aproksymowanej, oznaczone przez są punktami podziału odcinka na równych części tj.:

W punktach tych funkcja aproksymowana przyjmuje wartości:

Wielomiany Grama są określone zależnościami rekurencyjnymi:

jest dowolne, k=

k

k−1dla k=1, 2, , n−1.

u0,u1,… , un ,

G0(u )=α0=1

√(n+1),

u i=2 in−1 , i=0,1,… , n.

G−1u =0,

αk=nk √ 4k2−1

(n+1)2−k 2 dla k=1,2,… , n−1,

[−1 ;1] n

f (x)y i= f (u i) , i=0,1,… , n.

G k u= k⋅u⋅Gk−1u− kG k−2u dla k=1,2, , n−1,

1

Aproksymacja średniokw. dyskretna wielom. ortonormalnymi cd. (4.5) Aproksymacja za pomocą wielomianów Grama cd. (4.5.1):

Wielomiany Grama tworzą układ ortonormalny na zbiorze:

z funkcją wagową . Funkcję na odcinku można przybliżać stosując wielomian:

Przykład: Dokonać aproksymacji danych pomiarowych zamieszczonych w poniższej tablicy za pomocą wielomianu aproksymacyjnego rzedu zbudowanego z wielomianów Gramma.

Stosując wielomian oszacować wartość funkcji dla

X={u0,u1,… , un}={−1, 2n−1, 4

n−1,… ,1}

y= f (x) [−1 ;1]

Qm(u)=a0G 0(u)+a1G1(u)+ ,… ,+amGm(u ) dla m⩽n−1.

G k (u)=0, k=0,1,… , n−1,

y=w(x)≡1

m=2

Q 2(u)=a0G 0(u)+a1G 1(u)+a2G2(u ).

Q 2(u) f (x) x=2,125.


Rozwiązanie: Do rozwiązania powyższego zadania można użyć wielomianów Grama, ponieważ węzły są rozmieszczone równomiernie - oraz W pierwszej kolejnosci należy przekształcić przedział zmienności funkcji równy na odcinek , w którym to przedziale wielomiany Grama są ortogonalne. Przekształcenia proste i odwrotne wyrażają zależności:

gdzie: oraz . Wielomian aproksymacyjny

przyjmuje postać:

Aby skonstruować wielomiany Grama konieczne jest wyznaczenie wartości zmiennych pomocniczych: przy czym przyjmuje się, że oraz jest dowolne.

u=43x−7

3, x=3

4u+7

4.

f (x)

Q 2(u)=a0G 0(u)+a1G 1(u)+a2G2(u ).

[1,0 ; 2,5]

h=0,25

[−1 ;1]Gi(u) , i=0,1,… ,

Q 2( x)=a0G 0(43 x−73)+a1G1(43 x−7

3)+a2G2(43 x−73)=a0G0

' (x )+a1G1' (x )+a2G2

' (x) .

1,0⩽ x⩽2,5 −1⩽u⩽1

G0(u ) , G1(u) , G 2(u) ,α 0 ,α 1 ,α 2 ,γ 2 ,

G−1(u)=0 γ 1

n=6 .


Rozwiązanie cd.:

Wielomiany oraz wyznacza się rekurencyjnie otrzymując zależności:

Współczynniki wagowe wielomianu aproksymacyjnego oblicza się rozwiązując ''zredukowany'' układ równań normalnych:

Q 2( x)

G1(u)

G0' (x )=G0(u)=α0=

1√(n+1)

=1

√(6+1)=0,378 , α1=

61 √ 4⋅12−1

(6+1)2−12=1,500 ,

α2=62 √ 4⋅22−1

(6+1)2−22=1,7321 , γ 2=α 2

α 1=1,1547 .

G 2(u)

G1(u)=α 0α 1(u ) → G1' (x )=α 0α 1(43 x−7

3)=0,7559 x−1,3229 ,

G2(u)=α 0α 1α 2(u)2−α 0γ 2 → G2

' (x)=α 0α 1α 2(43 x−73)

2

−α 0γ 2

=1,7457 x2−6,1101x+4,9099 .

a0 , a1 , a2


Rozwiązanie cd.:

Ostatecznie wielomian aproksymacyjny przyjmuje postać:

A po uporządkowaniu:

Oszacowanie wartość funkcji dla wynosi

a0=(G0' (x) , f (x))=∑

i=0

6

G0' (x i) f (xi)=∑

i=0

6

0,378⋅ f (x i)=−0,0038 ,

a1=(G1' (x) , f (x))=∑

i=0

6

G1' (x i) f (x i)=∑

i=0

6

(0,7559 x i−1,3229)⋅ f (x i)=−0,0493 ,

a2=(G2' (x ) , f ( x))=∑

i=0

6

G2' (xi) f (x i)

=∑i=0

6

(1,7457 xi2−6,1101 xi+4,9099) f (x i)=−3,4460 .

Q 2( x)=−0,0038⋅0,378−0,0493⋅(0,7559 x−1,3229)+

Q 2( x)=−16,8556+21,0180 x−6,0158x2.

−3,446⋅(1,7457 x2−6,1101 x+4,9099).

f (x) x=2,125 Q2(2,125)=0,6426.


Rozwiązanie cd.:

Dane pomiarowe oraz wielomian aproksymacyjny Gramaf (xi) Q2( x).

Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:

Zakładamy, że funkcja aproksymowana jest funkcją ciągłą, okresową o okresie głownym oraz, że znane są jej wartości w węzłach będących punktami odcinka (okres główny ) określonych wzorami.

Ciąg funkcji zwany układem trygonometrycznym jest układem funkcji ortogonalnych na zbiorze

z funkcją wagową . Funkcję można przybliżać stosując wielomian trygonometryczny rzędu :

Optymalne w sensie aproksymacji średniokwadratowej współczynniki wyraża się wzorami:

1, cos(ν ) , sin(ν ) ,cos(2ν ) , sin(2ν ) ,… ,cos (2ν ) ,sin (2ν ) ,… ,

y= f (ν )2π

[0 ; 2π ]ν 0,ν 1,… ,ν n

ν i=2πn+1

i dla i=0,1,… , n.

V={ν 0,ν 1,… ,ν n}={0, 2πn+1

, 4πn+1

,… , 2nπn+1}

y=w(ν )≡1 y= f (ν )m

Sm(ν )=a0

2+∑

k=1

m

(ak cos(kν )+bk sin(kν )) .

ak , k=0,1,… , bk , k=1,2,… ,

f (ν )

Aproksymacja średniokw. dyskretna wielomianami ortogonalnymi cd. (4.6) Aproksymacja za pomocą wielomianów trygonometrycznych:

Noszą one nazwę współczynników Fouriera. Wielomian trygonometryczny ze współczynnikami Fouriera nazywa się wielomianem Fouriera.

Dla funkcji ciągłej, parzystej i okresowej o okresie z okresem głownym , współczynniki Fouriera dla . Wielomian aproksymacyjny upraszcza siędo postaci:

Dla funkcji ciągłej, nieparzystej i okresowej o okresie z okresem głownym , współczynniki Fouriera dla . Wielomian aproksymacyjny upraszcza się do postaci:

y= f (ν )[0 ; 2π ]

2πbk=0,

Sm(ν )=a0

2+∑

k=1

m

ak cos (kν ).

ak=2

n+1∑i=0

n

f (ν i)cos(kν i)=2

n+1∑i=0

n

f ( 2πn+1

i)cos(2kπn+1i) dla k=0,1,… ,

bk=2

n+1∑i=0

n

f (ν i)sin(kν i)=2

n+1∑i=0

n

f ( 2πn+1

i)sin(2k πn+1i) dla k=1,2,….

k=1,2,…

Sm(ν )=∑k=1

m

bk sin(k ν ).

y= f (ν )[0 ; 2π ]

2πak=0, k=0,1,…


Przykład: W tabeli poniżej podano wybrane wartości funkcji ciągłej dla okresowej o okresie 2 z okresem głownym .

Zbudować i wykreślić wielomian aproksymacyjny Fouriera stopnia 5.

Rozwiązanie: Funkcja jest ciągła i okresowa, węzły są rozmieszczone ze stałym krokiem . Ponieważ okres głowny funkcji jest równy a wielomiany trygonometryczne są ortogonalne na odcinku konieczne jest wyznaczenie przekształcenia odcinka na Przekształcenie takie (wraz z przekształceniem odwrotnym) ma postać:

gdzie: oraz Jak mozna zauważyć jest funkcją parzystą, stad do jej aproksymacji można wykorzystać uproszczoną wersję wielomianu:

y= f (t)[−1 ;1]

Sm(ν )=a0

2+∑

k=1

m

ak cos (kν ).

ν=π⋅t+π , t=νπ−1,

[0 ; 2π ] ,

−∞<t<∞ ,

y= f (t)

[−1 ;1]h=0.2 (n=9)

[−1 ;1][0 ; 2π ] .

−1⩽t⩽1 0⩽ν ⩽2π . y= f (t)


Wyznaczanie współczynników wielomianu Fouriera:

Trygonometryczny wielomian aproksymacyjny ma postać:

S5(t)=1,0000−0,8378cos(π⋅t+π )−0,1222cos(3 (π⋅t+π ))−0,0800cos (5(π⋅t+π )).

a0=2

9+1∑i=0

9

f (2π9 i)cos (0)=0,2⋅(0,0+0,4+0,8+1,2+1,6+2,0+…+0,8+0,4)=2,0000 ,

a1=2

9+1∑i=0

9

f (2π9 i)cos(2π9 i)=0,2⋅(0,0+0,3236+0,2472+…+0,3236)=−0,8378 ,

a2=2

9+1∑i=0

9

f (2π9 i)cos(4π9 i)=0,2⋅(0,0+0,1236−0,6472+…+0,1236)=0,0000 ,

a3=2

9+1∑i=0

9

f (2π9 i)cos(6π9 i)=0,2⋅(0,0−0,1236−0,6472+…−0,1236)=−0,1222 ,

a4=2

9+1∑i=0

9

f (2π9 i)cos(8π9 i)=0,2⋅(0,0−0,3236+0,2472+…−0,3236 )=0,0000 ,

a5=2

9+1∑i=0

9

f (2π9 i)cos(10π9 i)=0,2⋅(0,0−0,4000+0,8000+…−0,4000)=−0,0800 ,


Funkcja aproksymowana oraz aproksymacyjny wielomian Fouriera

S5(t).f (t)


Aproksymacja wielomianem Fouriera 5 rzędu jedenastu węzłow — aproksymacja przechodzi w interpolację.

F5(t) f (t)

Aproksymacja średniokwadratowa ciągła (4.7)

Zakłada się, że funkcja aproksymowana jest określona i ciągła w przedziale . Funkcja ta zostaje poddana aproksymacji za pomocą wielomianu uogólnionego

Zagadnienie aproksymacji średniokwadratowej ciągłej polega na znalezieniu takich współczynników , dla których odległość sensie metryki średniokwadratowej

jest najmniejsza.

Zagadnienie to rozwiązuje sie stosując metodę najmniejszych kwadratów. Minimalizowana funkcja celu zmiennych niezależnych ma postać:

Korzystając z warunku koniecznego istnienia minimum funkcji wielu zmiennych otrzymuje się

y= f x[a;b]

c0 , c1 , , cm

m1 c0 , c1 , , cm


Po przekształceniach wyrażenia polegających między innymi na zamianie kolejności sumowania i całkowania oraz uporządkowaniu zależności względem otrzymuje się

Oznaczając przez

(iloczyny skalarne) powyższe wyrażenie można zapisać w postaci układu normalnego równań liniowych

Rozwiązując ten układ równań znajdujemy optymalne współczynniki (przyjęte ogólne założenia odnośnie bazowych funkcji aproksymujących nie dają gwarancji istnienia rozwiązania).c0 , c1 , , cm


Aproksymacja za pomocą wielomianów (4.7.1)

Jeśli w charakterze funkcji bazowych wykorzysta się ciąg jednomianów funkcja aproksymująca przybierze postać wielomianu

Układ równań normalnych przyjmie postać:

gdzie:

Rozwiązując powyższy układ równań wyznaczamy współczynniki a0 , a1 , , am.

1, x , x2 ,… , xm ,F (x )=a0+a1 x+a2 x

2 ,… , am xm ,

s0a0+ s1a1+...+smam=t0 ,s1a0+ s2a1+...+sm+1am=t1 ,.................................................sma0+sm+1a1+...+s2mam=tm ,



Przykład: Znaleźć wielomian drugiego stopnia nalepiej przybliżający, w sensie metryki średniokwadratowej funkcję w przedziale

f x= x [0 ; 2].



Przykład: Znaleźć wielomian drugiego stopnia nalepiej przybliżający, w sensie metryki średniokwadratowej funkcję w przedziale

Rozwiązanie: Poszukiwane są współczynniki wielomianu

Dla ich znalezienia konieczne jest rozwiązanie następującego układu równań:

gdzie:

f x= x [0 ; 2].a0 , a1 , a2

F2 x =a0a1 xa2 x2 .

s0a0+s1a1+s2a2=t 0 ,s1a0+s2a1+s3a2=t 1 ,s2a0+s3a1+s4a2=t 2 ,

m=2



Rozwiązanie (cd):

Ostatecznie układ równań przyjmuje postać

Jego rozwiązaniem są współczynniki

Wielomian aproksymacyjny wyraża zalezność:

Tablica wartości funkcji oraz wielomianu aproksymującego

a0=635 2 , a1=

2435 2 , a2=−

27

.

F2 x =635 2

2435 2 x−2

7x2.

f x = x F 2x



Rozwiązanie (cd): Wykresy funkcji oraz wielom. aproksymującego

f x F2 x


Aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych (4.7.2)

Układ wielomianów nazywany jest układem ortogonalnym z funkcja wagową na odcinku wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyny skalarne spełniają warunki:

Układ ortogonalny jest układem funkcji liniowo niezależnych. Układ można zatem potraktować jako bazę pewnej przestrzeni funkcyjnej i aproksymować funkcję za pomocą liniowej kombinacji funkcji bazy.

W przypadku, gdy funkcje tworzą bazę ortogonalną , wówczas układ równań normalnych

upraszcza sie do postaci

[a ;b]0x ,1x , ,k x ,

y=wx

0x ,1x , ,k x ,f x

0x ,1 x , ,k x ,

g jk= j x ,k x


Aproksymacja za pomocą wielomianów ortogonalnych (4.7.2)

Ponieważ na mocy definicji ortogonalności dla powyższy układ równań ma jednoznaczne rozwiązanie określone zależnościami:

Odchylenie średniokwadratowe funkcji aproksymowanej od aproksymującej wyraża się wzorem:

Z zależności wynika, że ze wzrostem stopnia wielomianu aproksymującego maleje monotonicznie odchylenie średniokwadratowe tj.:

I 0minI 1

minI 2min.

g jj0 j=0,1, ,m ,

f xF x

Aproksymacja za pomocą wzorów empirycznych (4.8)

Czasami do aproksymacji używa się jednej funkcji analitycznej (lub kilku różnych funkcji). Jej postać dobiera się na podstawie apriorycznej wiedzy o przebiegu przybliżanej zależności lub w oparciu o ocenę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczonych w prostokątym układzie współrzędnych. Do często stosowanych funkcji należą:

Charakteryzują się one małą liczbą parametrów i oraz często łatwą interpretacją fizyczną.


Dobór postaci analitycznej funkcji aproksymującej w oparciu o ocenę wzrokową rozrzutu jej wartości umieszczonych w prostokątym układzie współrzędnych (4.4.1)

y=ax+b y=bax lub y=b xa (dla a>1)lub y=a0+a1 x+a2 x

2 (dla a2>0)

y

x0 0

y

x



y=a0+a1 x+a2 x2 y=b+a log x lub

y=b xa (0<a<1) lub

y= a xx+b

y y

x x0 0



y=a0+a1 x+a2 x2+a3 x

3y= k1+be−ax

y y

0 0 xx



y=b x−a lub

y= 1ax+b

lub

y= xax+b

y=a0+a1 x+a2 x2⏞

y=bax⏞y=b⏞

y=b x−a⏞

y y

xx0 0


Przykład: W trakcie badań pewnego zjawiaka fizycznego zebrano następujacy zestaw danych:

Zebrane pomiary wykeślono w prostokątnym układzie współrzędnych.

W wyniku oceny wzrokowej rozrzutu ich wartości zdecydowano, że najlepszym przybliżeniem danych będzie funkcja: (kształt funkcji gęsto- ści rozkładu normalnego (prawdopod.)). Należy wyznaczyć parametry .

F x =e− x2 x

, i

y= f x


Rozwiązanie: Wybrana funkcja jest nieliniowa (rownież względem wspólczynników i ) stąd, rozwiązanie takiego zadania aproksymacyjnego jest trude. Zastosowanie do powyższej zależności przekształcenia w postaci obustronnego logarytmowania, sprowadza zagadnienie do aproksymacji za pomocą jednomianów

Stosując podstawienia otrzymuje się postać wielomianu drugiego stapnia najlepiej przybliżającego (w sensie najmniejszych kwadratów) funkcję

Tabela funkcji ma postać:

Gx =ln F x=− x2− x− .

a2=− , a1=− , a0=− ,

g x

G(x )=a2 x2+a1 x+a0.

,

a2=− , a1=− , a0=− ,

g x =ln f x.


Rozwiązanie (CD): Współczynniki i wyznaczy się rozwiązując układ równań normalnych

gdzie :

a2,a1 a0

s0a0+s1a1+s2a2=t 0 ,s1a0+s2a1+s3a2=t 1 ,s2a0+s3a1+s4a2=t2 .

sk=∑i=0

n

x ik dla k=0,1 , ... , t k=∑

i=0

n

yi x ik dla k=0,1 , ....


Rozwiązanie (CD): Powyższy układ równań przyjmuje postać

Rozwiązaniem układu są wartości:

Poszukiwane parametry funkcji aproksymującej są równe:

a2=−6,015 , a1=21,016 , a0=−16.854.

=6,015 , =−21,016 , =16,854 .

F (x )=e−(6,015 x2−21,016 x+16,854)

7,000a0+12,250a1+23,188a2 = −0,010 ,12,250a0+23,188 a1+46,703a2 = −0,083 ,23,188a0+46,703a1+98,574a2 = −2,236 .

4. Aproksymacja - eti.pg.edu.pl · Wprowadzenie (4.1) Aproksymacja średniokwadratowa cd. (4.1.2) W...

Documents

Transcript of 4. Aproksymacja - eti.pg.edu.pl · Wprowadzenie (4.1) Aproksymacja średniokwadratowa cd. (4.1.2) W...