4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 

Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό πολύγωνο 

Κανονικά  πολύγωνα  με  πολλαπλάσιο  αριθμό  πλευρών προκύπτουν,  αν  διχοτομήσουμε  τις  εσωτερικές  γωνίες τους. Επειδή οι διχοτόμοι των γωνιών έχουν την ιδιότητα να διχοτομούν και τα αντίστοιχα τόξα, ο κύκλος χωρίζεται σε διπλάσιο αριθμό ίσων τμημάτων. Για παράδειγμα, από το  τετράγωνο  μπορεί  να  προκύψει  οκτάγωνο, δεκαεξάγωνο, τριανταδυάγωνο κ.ο.κ 

 

4.1 Κατασκευή τριγώνων 

4.1.1 Κατασκευή ισόπλευρου τριγώνου όταν είναι γνωστή η πλευρά του 

α.  Έστω  ευθύγραμμο  τμήμα  ΑΒ  ίσο  με  την  πλευρά  του ζητούμενου τριγώνου  β. Με  κέντρα  τα Α  και  Β  και  ακτίνα R  ίση  με ΑΒ  γράφω τόξα  που  τέμνονται  στο  Γ.  Το  τρίγωνο  ΑΒΓ  είναι ισόπλευρο. 

 

 

Πρακτικά, η κατασκευή του ισόπλευρου τριγώνου γίνεται με τη χρήση του τριγώνου 60° 

4.1.2 Κατασκευή  τριγώνου όταν είναι γνωστές οι πλευρές του 

Για την κατασκευή οποιουδήποτε τριγώνου. όταν είναι γνωστές οι πλευρές του (α, β, γ):  

α. ορίζω ευθύγραμμο τμήμα ίσο με τη μία πλευρά, και   

β. με κέντρα τα άκρα του και αντίστοιχες ακτίνες ίσες με τις δύο άλλες πλευρές γράφω τόξα που τέμνονται στο σημείο Γ.   Το τρίγωνο ΑΒΓ είναι το ζητούμενο 

 

4.1.3 Κατασκευή  ισοσκελούς  τριγώνου  με  δεδομένες  τις  πλευρές α και β   

α. Χαράζω  το  ευθύγραμμο  τμήμα  ΑΒ  ίσο  με  το  β.    

β. Με  κέντρα  τα  σημεία  Α  και  Β  και  με  ακτίνα   ίση  με  το  α,  χαράζω  δύο  τόξα,  τα  οποία    τέμνονται  στο  Γ.    

γ. Στη  συνέχεια  χαράζω  τα  ευθύγραμμα  τμήματα  ΓΑ  και  ΓΒ.    Το  τρίγωνο  ΑΒΓ  είναι  το  ζητούμενο  ισοσκελές.  

 

Οι  μέθοδοι  που  προτείνονται  παρακάτω  βασίζονται  σε  απλές  γεωμετρικές  κατασκευές.  Αν  ανακαλέσουμε γνώσεις από τη Γεωμετρία, θα διαπιστώσουμε ότι υπάρχουν και άλλοι τρόποι επίλυσης. Επίσης δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι όπου αυτό είναι δυνατό (π.χ. τετράγωνο, εξάγωνο, οκτάγωνο), απλούστερη αλλά όχι τόσο ακριβής κατασκευή γίνεται με τη χρήση χάρακα και τριγώνου 

4.2 Κατασκευή τετραγώνου 

 Α τρόπος   

α. Χαράζω  το  ευθύγραμμο  τμήμα  ΑΒ  ίσο  με  α.   

 β. Με    την    βοήθεια    τριγώνου    και    ταυ  χαράζω    δύο  ημιευθείες, οι  οποίες  να  έχουν  ως  αρχή  τα  σημεία  Α  και  Β,  και  να  είναι   κάθετες  στο  ΑΒ.   

γ.  Στη  συνέχεια  με  τρίγωνο  και  ταυ, χαράζω  τις  δύο  διαγώνιες    του    τετραγώνου,    οι  οποίες    τέμνουν    τις  προηγούμενες  ημιευθείες,  στα  σημεία  Γ  και  Δ.   

 δ. Κατόπιν  χαράζω  το  ευθύγραμμο  τμήμα  ΓΔ.   

 Το  σχήμα  ΑΒΓΔ  είναι  το  ζητούμενο  τετράγωνο.  

 

 

Β τρόπος   

α. Δίδεται κύκλος με ακτίνα R.  

 β. Φέρω δύο διαμέτρους ΑΓ και ΒΔ κάθετες μεταξύ τους. Τα  σημεία  τομής  με  τον  κύκλο  είναι  και  κορυφές  του τετραγώνου. 

 

4.3 Κατασκευή κανονικού πενταγώνου 4.3.1 Κανονικο πεντάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο

α Δίδεται κύκλος με ακτίνα R.  

β. Φέρω τη διάμετρο ΑΒ και την κάθετη σ'αυτήν ΓΟ.   

γ. Βρίσκω το μέσον Μ της ΟΒ και με κέντρο αυτό και ακτίνα r1, ίση με ΜΓ, γράφω τόξο, που τέμνει την ΑΒ στο Ν. Η ΓΝ είναι ίση με την πλευρά του πενταγώνου 

 

δ. Με κέντρο το Γ και ακτίνα r2 ίση με ΓΝ γράφω τόξο, που τέμνει τον κύκλο στα Δ και Ε.   

ε. Χωρίζω τον κύκλο σε 5 τόξα, που το καθένα αντιστοιχεί σε χορδή ίση με ΓΔ=ΓΕ,  ίση με την πλευρά α5 του πενταγώνου.  

 

Τα σημεία τομής με τον κύκλο είναι και κορυφές του κανονικού πενταγώνου.

4.3.2 Κανονικο πεντάγωνο με γνωστή πλευρά 

α. Χαράζουμε ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ίσο με την δοθείσα πλευρά  

β. Με κέντρα τα σημεία Α και Β και ακτίνα R=AB =πλευρά  χαράζουμε κύκλους που τέμνονται στα σημεία Γ και Δ  

γ. Ενώνουμε τα σημεία Γ και Δ  

δ. Με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα R=AB =πλευρά  χαράζουμε κύκλο ο οποίος τέμνει τους δύο προηγούμενους  στα σημεία Ε και Ζ και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ στο Ο  

ε. Ενώνουμε τα σημεία Ε και Ζ με το Ο και  

στ. Προεκτείνουμε τις ευθείες μέχρι να συναντήσουν τους κύκλους στα σημεία Η και Θ  

ζ. Με κέντρο τα σημεία Η και Θ και ακτίνα R=AB =πλευρά  χαράζουμε τόξα τα οπόια τέμνονται στο Κ.   

Ενώνοντας τα σημεία Β, Θ, Κ, Η, Α σχηματίζεται το πεντάγονο 

 

 

 4.4 Κατασκευή κανονικού εξαγώνου (με δοσμένο μήκος πλευράς)  Α τρόπος  

α. Δίδεται κύκλος με ακτίνα R.  

 β. Ξεκινώντας από σημείο Α του κύκλου και με άνοιγμα διαβήτη ίσο με την ακτίνα R χαράζω 6 διαδοχικά ίσα τόξα.   

Εκεί όπου τέμνουν τον κύκλο βρίσκονται οι κορυφές του κανονικού εξαγώ νου   

 Β τρόπος  

α. Χαράζουμε  κύκλο  με  ακτίνα  το  μήκος  της  πλευράς  α.    β. Στη  συνέχεια  χαράζουμε  την  διάμετρο  ΑΟΒ.   

γ. Με  την  βοήθεια  του  τριγώνου  30ο – 90ο – 60ο,  συμπληρώνουμε  την  κατασκευή  όπως  φαίνεται  στο  εικονιζόμενο  σχήμα. 

 

 4.5 Κατασκευή οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου         όταν γνωρίζω τον αριθμό των πλευρών τουΠαράδειγμα: Έστω ότι ζητώ να χαράξω κανονικό επτάγωνο 

 α Δίδεται κύκλος με ακτίνα R.   β. Φέρω διάμετρο ΑΒ και τη διαιρώ σε επτά ίσα τμήματα.  γ. Με ακτίνα r ίση με τη διάμετρο και με κέντρα τα σημεία Α και Β γράφω τόξα, που τέμνονται στο Γ.     Στη συνέχεια, φέρω ευθεία, που περνά από το Γ και από το δεύτερο σημείο διαίρεσης της διαμέτρου ΑΒ, μέχρι να τμήσει τον κύκλο στο σημείο Δ. 

  δ. Η ΑΔ είναι η πλευρά α7 του ζητούμε‐ νου κανονικού επταγώνου. Με άνοιγμα διαβήτη ίσο με α7 χωρίζω τον 

κύκλο σε επτά διαδοχικά τόξα. Τα σημεία τομής τους με τον κύκλο είναι οι κορυ‐ φές του επταγώνου.  Με τον ίδιο τρόπο, μπορώ να κατασκευάσω οποιοδήποτε άλλο κανονικό πολύγωνο. 

 

 

        

 

5. Κύκλοι και τόξα  Κύκλος είναι όλα τα σημεία ενός επιπέδου, που ισαπέχουν από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. 

 Το σταθερό αυτό σημείο λέγεται κέντρο του κύκλου. 

Το εσωτερικό του κύκλου λέγεται κυκλικός δίσκος.  

Χορδή του κύκλου είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει δύο σημεία του.  

Η χορδή του κύκλου που περνάει από το κέντρο του, λέγεται διάμετρος του κύκλου. 

 Τόξο είναι κάθε τμήμα του κύκλου (κυκλικό τόξο) ή άλλης καμπύλης γραμμής.  

Εφαπτομένη είναι η ευθεία που περνά από ένα συγκεκριμένο σημείο του κύκλου και είναι κάθετη στην 

ακτίνα του κύκλου που περνά από το σημείο αυτό. 

5.1 Κατασκευή κύκλου που περνά από τρία δοσμένα σημεία.         Εύρεση του κέντρου ενός κύκλου. 

α. Δίδονται τρία σημεία Α, Β και Γ   β. Φέρω τις μεσοκαθέτους των ευθυ γραμμων τμημάτων ΑΒ και ΑΓ που τέμνονται στο Ο.  

 γ. Με κέντρο το Ο και ακτίνα ίση με OA ή ΟΒ γράφω το ζητούμενο κύκλο. 

 Αν δίνεται ο κύκλος και ζητώ το κέντρο του, αφού πάρω τρία τυχαία σημεία Α, Β, Γ πάνω στον κύκλο, εφαρμόζω την παραπάνω μέθοδο. 

5.2 Κατασκευή εφαπτομένης ευθείας σε κύκλο ή σε τόξο που περνά από σημείο Α

5.2.1  Όταν το σημείο Α  βρίσκεται πάνω στον κύκλο   

αρκεί να φέρω την αντίστοιχη ακτίνα του κύκλου που περνά από το Α   

και στη συνέχεια να χαράξω κάθετη στην ακτίνα αυτή στο σημείο Α 

5.2.2  Όταν το σημείο Α βρίσκεται έξω από τον κύκλο  

α. Δίδεται κύκλος και σημείο Α εκτός αυτού.   

β. Ενώνω το σημείο Α με το κέντρο Ο του κύκλου και φέρω την μεσοκάθετη του OA, που περνά από το σημείο Μ.   

γ. Με κέντρο το Μ και ακτίνα r ίση με ΟΜ κατασκευάζω κύκλο, που τέμνει τη δοσμένη στα σημεία Γ και Β.   

Οι ευθείες ΑΓ και ΑΒ εφάπτονται στον κύκλο.

 

  

 οι δύο παραπάνω κατασκευές μπορούν να γίνουν απλούστερα με τη χρήση χάρακα και τριγώνου 

 5.3 Κατασκευή κυκλικού τόξου (ή κύκλου) 

5.3.1  Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε συγκεκριμένο σημείο δοσμένης ευθείας   

 α. Δίδεται η ευθεία (ε), σημείο Α πάνω σ'αυτήν και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου  

β. Φέρω κάθετη στην (ε) στο σημείο Α και παίρνω πάνω της τμήμα AO ίσο με την ακτίνα R.   

Με κέντρο το Ο και ακτίνα R γράφω κύκλο ή τόξο. 

 

5.3.2  Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε ευθεία και περνά από σημείο εκτός αυτής  

α. Δίδεται το σημείο Α, η ευθεία (ε) και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου  

β. Με κέντρο το Α και ακτίνα R γράφω τόξο (χ)  

γ. Φέρω ευθεία (ε') παράλληλη στην (ε) σε απόσταση R, η οποία τέμνει το τόξο (χ) στο σημείο Ο  

 δ.Με κέντρο το Ο και ακτίνα R γράφω το ζητούμενο τόξο. 

     

  

  

5.3.3  Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε κύκλο και  περνά από συγκεκριμένο σημείο εκτός αυτού  α. Δίδεται κύκλος Ο με ακτίνα r, το σημείο Α και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου  

 β. Γράφω τόξο (x) με κέντρο το Α και ακτίνα R  

 γ. Γράφω τόξο (x') στο σημείο Ο'  

δ. Με κέντρο το Ο' και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο. 

 

 

 

5.3.4  Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε δύο κύκλους  α. Δίδεται ο κύκλος 01 με ακτίνα r1, ο κύκλος 02 με ακτίνα r2 και η ακτίνα R του ζητού μενου τόξου. 

β. Με κέντρο το 01 και ακτίνα r1 + R γράφω τόξο (x1) και 

γ. με κέντρο το 02 και ακτίνα r2 + R γράφω τόξο (x2), που τέμνει το x1 στο Ο. γ.  

Με κέντρο το Ο και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο. 

 

 

5.3.5  Χάραξη  κυματίου  όρθιου 

  Η  χάραξη  κυματίου  όρθιου,  στηρίζεται  στην  χάραξη  δύο  κύκλων   με  διαφορετικές  ακτίνες  και  μετατοπισμένα  κέντρα.           α. Χαράζω  τους  κατακόρυφους  άξονες  των  δύο  κύκλων,  που  είναι  μετατοπισμένοι  κατά  μία  απόσταση   χ.   

 β. Χαράζω  τον   μεγάλο  κύκλο με κέντρο  Μ  και   ακτίνα   R1.  

γ. Για  να  βρω  το  κέντρο  του  δευτέρου  κύκλου,  μετράω  από  το  κέντρο  Μ  απόσταση,  ίση  με  το  άθροισμα  των  δύο  ακτινών (R1+R2),  και  εκεί  που  τέμνει  τον  κατακόρυφο άξονα  του  δεύτερου  κύκλου,  είναι  το  κέντρο   του  δεύτερου  κύκλου (Λ).          

 δ. Χαράζω  τον  κύκλο  με κέντρο Λ και ακτίνα  R2.    

ε. Ενώνω  στη  συνέχεια  τα  κέντρα  των  δύο  κύκλων (ΜΛ).     

Επάνω  στην  ΜΛ,  βρίσκεται  η  αλλαγή  των  καταλήξεων  των  τόξων.    

Κατόπιν  χαράζουμε  και  το  υπόλοιπο  κυμάτιο.  

 

 5.3.5 κυμάτιο όρθιο 

 5.3.6 κυμάτιο κείμενο 

5.3.6  Χάραξη  κυματίου  κείμενου 

           Η  χάραξη  κυματίου  κείμενου  στηρίζεται,  στην  χάραξη  δύο  κύκλων  με  διαφορετικές  ακτίνες  αλλά  με  κέντρα  επάνω  στον  ίδιο  κατακόρυφο  άξονα.  

  Η  απόσταση  των  κέντρων   είναι  το  άθροισμα   των  ακτινών   R1  και   R2.  Επάνω  στον  ίδιο  άξονα  των  κέντρων,  βρίσκεται  η  αλλαγή  των  καταλήξεων  των  τόξων.     

Το  κυμάτιο  χαράζεται  όπως  και  το  προηγούμενο. (5.3.6).   

5.3.7  Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε κύκλο και σε ευθύγραμμο τμήμα   

α. Δίδεται το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ, κύκλος Ο, με ακτίνα r και η ακτίνα R του ζητούμε‐ νου τόξου.  

β. Φέρω την ευθεία (ε) παράλληλη στην ΑΒ. σε απόσταση R από αυτήν, 

γ. Γράφω τόξο (χ), με κέντρο το 01 και ακτίνα r4‐ R, που τέμνει την (ε) στο Ο. 

 Με κέντρο το Ο και ακτίνα R κατασκευάζω το ζητούμενο τόξο. 

 

 

  

 

5.3.8  Κατασκευή κυκλικού τόξου ή κύκλου που εφάπτεται σε δύο μη παράλληλες ευθείες  

α. Δίδονται οι ευθείες (ε) και (ε') και η ακτίνα R του ζητούμενου τόξου 

β. Φέρω τις ευθείες (x) και (x') παράλληλες αντίστοιχα προς τις (ε) και (ε'), σε απόσταση R από 

αυτές. 

 Το σημείο τομής τους Ο είναι και το κέντρο του ζητούμενου τόξου. 

 Με  τον  ίδιο  τρόπο  μπορούμε  να  χαράξουμε  τόξο  εγγεγραμμένο  σε  αμβλεία  γωνία 

     

 

 

5.3.9  Κατασκευή τόξου εγγεγραμμένου σε ορθή γωνία 

  Α ΤΡΟΠΟΣ Έστω  η  ορθή  γωνία  ΒΑΓ.   Με  κέντρο  το  Α  και  ακτίνα  την  δοθείσα  α ,  χαράζω  τόξο,  το  οποίο  τέμνει  τις  πλευρές  ΒΑ  και  ΑΓ  της  γωνίας  αντίστοιχα  στα  σημεία  Κ  και  Λ.   Με  κέντρα  Κ  και  Λ   και  την  ίδια  ακτίνα  α,  χαράζω  δύο  νέα  τόξα,  τα  οποία  τέμνονται  στο  σημείο  Ο.  Με  κέντρο  το  Ο  και  ακτίνα  την  ίδια,  χαράζω  το  τόξο  ΚΛ,  το  οποίο  είναι  το  ζητούμενο. 

 

  Β ΤΡΟΠΟΣ Έστω  η  ορθή  γωνία  ΒΑΓ.  Χαράζω  παράλληλες  προς  τις  πλευρές  της  γωνίας  ΒΑ  και  ΑΓ,  και  σε  απόσταση  όσο  η  ακτίνα.  Το  σημείο  Ο  που  τέμνονται  είναι  το  κέντρο  καμπυλότητας.   Με  κέντρο  το  Ο  και  ακτίνα  την  α  χαράζω  την  καμπυλότητα 

5.3.10  Α. Κατασκευή κυκλικού τόξου‐ κύκλου που εφάπτεται σε δύο παράλληλες ευθείες 

  

α. Δίδονται οι ευθείες (ε) και (ε') παράλληλες μεταξύ τους. 

 β. Φέρω παράλληλη ευθεία (χ) προς τις (ε) και (ε'), που ισαπέχει από αυτές. 

 Το κέντρο του ζητούμενου τόξου βρίσκεται πάνω στην (χ). 

 

   Β. Κατασκευή κυκλικού τόξου 

  α. Χαράζουμε  ευθ. τμήμα ΑΒ  

β. Βρίσκουμε  το  μέσο  της ΑΒ,  που  είναι  το  Λ.    

γ. Με  κέντρο  το  Λ  και  ακτίνα  R= ΛΑ  

χαράζουμε   τόξο  που  είναι  το  ζητούμενο  κυκλικό  τόξο  

 

5.3.11  Χάραξη  συμπιεσμένου  κυκλικού  τόξου 

  α. Χαράζουμε  ευθ. τμήμα ΑΒ  

β. Βρίσκουμε  το  μέσο  της ΑΒ και χαράζουμε κατακόρυφη  που  διέρχεται  από  το ζητούμενο κέντρο του τόξου ( Μ)  

γ. Στη  συνέχεια  επάνω  σ΄ αυτή  ορίζουμε  το  ύψος  h  του  βέλους,  που  δεν  μπορεί  να  είναι  μεγαλύτερο  από  το  ύψος  του  κυκλικού  τόξου. Είναι  το  σημείο  Γ  

δ.  ενώνω  το  ΑΓ  και  ΒΓ.    

ε. Χαράζουμε τις μεσοκαθέτους   των  ΑΓ  &  ΒΓ,  οι  οποίες  τέμνονται  στο  σημείο  Μ.   

 στ. Με  κέντρο  το  Μ  και  ακτίνα  ΜΓ, (R)  χαράζουμε  τόξο,  το  οποίο  είναι  το  ζητούμενο  συμπιεσμένο  κυκλικό  τόξο.  

 

 συμπιεσμένο  κυκλικό τόξο 

      

5.3.12  Χάραξη  γοτθικού  τόξου 

  α. Χαράζουμε  ευθ. τμήμα ΑΒ  

β. Με  κέντρο  το  Α  και  ακτίνα  το  ΑΒ,( R )  χαράζουμε  τόξο  

γ. Με  κέντρο  το  Β  και  ακτίνα  το  ΒΑ,(R)  χαράζουμε  τόξο,  το  οποίο  τέμνει  το  προηγούμενο  τόξο  στο  σημείο  Γ 

 

Αυτό  είναι  το  ζητούμενο  γοτθικό  τόξο.    

Το  ύψος  h  του  βέλους  θα  είναι  πάντα  ανάλογο  με  το  άνοιγμα  του  τόξου, (ΑΒ),  και  πάντα  θα  σχηματίζεται  ένα  ισόπλευρο  τρίγωνο,  με  την  σύνδεση  των  σημείων  ΑΓ  και  ΒΓ.  

 

 γοτθικό  τόξο 

5.3.13  Χάραξη  πιεσμένου  γοτθικού  τόξου 

  α. Χαράζουμε  ευθ. τμήμα ΑΒ  

β. Χαράζουμε την μεσοκάθετο του ΑΒ  

γ. Πάνω στην μεσοκάθετο ορίζουμε το ύψος  h  του  τόξου,  που  πρέπει  να  είναι  μικρότερο  από  το  άνοιγμα  του  τόξου,  αλλά  μεγαλύτερο  από  το  μισό  άνοιγμα  

δ. Ορίζουμε έτσι το σημείο Γ επάνω στη μεσοκάθετο του ευθ. τμήματος ΑΒ  

ε. Χαράζουμε τα ευθύγραμμα τμήματα  ΑΓ  και  ΒΓ   

στ. στη συνέχεια χαράζουμε τις μεσοκαθέτους των ΑΓ και ΑΒ, οι οποίες τέμνουν το ΑΒ στα σημεία  Μ1  &  Μ2.    

ζ. Με  κέντρο  το  Μ1  και  ακτίνα  το  Μ1Β, (R1)   χαράζουμε  τόξο.  Με  κέντρο  το  Μ2  και  ακτίνα την  Μ2Α,  (R2) χαράζουμε  τόξο,  και  έτσι  σχηματίζεται  το  ζητούμενο  τόξο.  

 

 

πιεσμένο  γοτθικό τόξο 

  

5.3.14  Χάραξη   καλαθοειδούς  τόξου  από   τρία  σημεία 

  

α. Χαράζουμε  ευθ. τμήμα ΑΒ  

γ. Επάνω  στην  μεσοκάθετο  ορίζουμε   το  ύψος   ΕΜ=h  του  βέλους.    

δ. Χαράζουμε  τις  ΕΑ  και  ΕΒ  

ε.  Στη  συνέχεια  βρίσκουμε  τη  διαφορά  α  με  την  βοήθεια  του  διαβήτη και  σημειώνουμε  την  διαφορά  α  πάνω στις ΕΑ και ΕΒ  ώστε να   προκύπτουν  τα  σημεία  Γ  και  Δ  αντίστοιχα.   

ζ. Χαράζουμε  τις μεσοκαθέτους των ΑΓ  και  ΒΔ  και    προκύπτουν  τα  σημεία  Μ2, Μ3  επάνω  στο ΑΒ και  το σημείο  τομής τους Μ1.  

η. Με  κέντρο  το  Μ2  και  ακτίνα  το  Μ2Α (R2),  χαράζουμε  τόξο,  από  το  Α   μέχρι  την  προέκταση  της  Μ1Μ2.    

θ. Με  κέντρο  το  Μ3  και  ακτίνα  το  Μ3Β ( R3 ),  Χαράζουμε  τόξο,  από  το  Β  μέχρι  την  προέκταση  του  Μ1 Μ3.   

 ι. Τέλος  με  κέντρο  το  Μ1  και  ακτίνα  την  Μ1Ε  ( R1 ),  χαράζουμε  τόξο,  από  την  προέκταση   του  Μ1Μ3   μέχρι  την  προέκταση  του  Μ1Μ2,  το  οποίο  θα  διέρχεται  και  από  το  Ε.  

 Έτσι  χαράζουμε  το  ζητούμενο  καλαθοειδές τόξο  

 

Καλαθοειδές τόξο  

5.3.15  Χάραξη  αψιδωτού  τόξου 

  α. Χαράζουμε  ευθ. τμήμα ΑΒ  

β. Χωρίζουμε το ΑΒ σε  τέσσερα  ίσα  μέρη,  και  παίρνουμε  τα  σημεία  Μ1  &  Μ2.  

γ. Χαράζουμε  τρεις  φορές το  1/4   κάτω  από  το ΑΒ,  και  παίρνουμε  τα  σημεία  Μ3  &  Μ4.   

δ.  ενώνουμε το  Μ1  με  το  Μ3,  και  το  Μ2  με  το  Μ4.    

ε. Με  κέντρο  το  Μ1   και  ακτίνα  την  Μ1Α  (R1),   χαράζουμε  τόξο  από  το  Α  μέχρι  την  προέκταση  της  Μ3Μ1.   στ. Με  κέντρο  το  Μ2  και  ακτίνα  την  Μ2Β  (R2) χαράζουμε  τόξο,  από  το  Β  μέχρι  την  προέκταση   της  Μ4Μ2.   ζ.  Με κέντρο  το  Μ3  και  ακτίνα  την  R3,  χαράζουμε  τόξο  από  την  προέκταση  της  Μ3Μ1   μέχρι  την προέκταση της μεσοκαθέτου του ΑΒ  

η. Με  κέντρο  το  Μ4   και  ακτίνα  την    R4,  χαράζουμε  τόξο  από  την  προέκταση  της  Μ4Μ2,  μέχρι  την προέκταση της μεσοκαθέτου του ΑΒ.     Αυτό  είναι  το  ζητούμενο  αψιδωτό  τόξο.  

 

αψιδωτό  τόξο   

5.3.16  Χάραξη  κυματιοειδούς   τόξου 

  α. Χαράζουμε  ευθ. τμήμα ΑΒ  

β. Χαράζουμε την μεσοκάθετο του ΑΒ   

γ. Επάνω  στη μεσοκάθετο  ορίζω το  ύψος    Γ   του  βέλους  

δ. φέρνω  παράλληλη  προς  το  ΑΒ που να διέρχεται απ το σημείο Γ  

ε. φέρνω τις ΑΓ και ΒΓ και βρ΄λισκβ τα μέσα τουε Δ και Ε αντίστοιχα  

στ. Χαράζω τις μεσοκαθέτους των ΑΔ, ΔΓ, ΓΕ, ΕΒ που  δημιούργησα,  και  έτσι  παίρνω  τα  σημεία   Μ1,  Μ2,  Μ3   που  τα  χρησιμοποιώ  σαν  κέντρα  για  την  χάραξη  του  κυματιοειδούς   τόξου  

ζ. Με κέντρο  το Μ1  και  ακτίνα  την  Μ1Γ ή  (R1),  χαράζω  το  πρώτο  τόξο  από  το  Δ  μέχρι  το  Ε.  

η. Με κέντρο  το  Μ2  και  ακτίνα  την  Μ2Α  ή (R2),  χαράζω  τόξο  από  το  Α  μέχρι  το  Δ.   

θ.  Και  τέλος  με  κέντρο  το  Μ3  και  ακτίνα  την  Μ3Β ή  (R3),  χαράζω  τόξο  από  το  Β  μέχρι  το  Ε. 

 

 

κυματιοειδές τόξο 

 

                 

6. Έλλειψη  Η έλλειψη είναι η ορθή προβολή του κύκλου όταν το επίπεδο του δεν είναι παράλληλο ή κάθετο με το επίπεδο προβολής.  Πιο απλά, έλλειψη βλέπουμε, αν κοιτάξουμε υπό κλίση έναν κύκλο.

Η έλλειψη είναι μια καμπύλη γραμμή που προκύπτει από την τομή ορθού κυκλικού κώνου και επιπέδου το οποίο σχηματίζει οξεία γωνία με τον κύριο άξονά του και δεν τέμνει τη βάση του 

Η έλλειψη έχει δύο άξονες συμμετρίας κάθετους μεταξύ τους το μεγάλο που λέγε ται κύριος άξονας και το μικρό που λέγεται δευτερεύων.  Έχει επίσης δύο εστίες  Μπορούμε να κατασκευάσουμε μία έλλειψη, αν γνωρίζουμε κάποια στοιχεία της συνήθως τους δύο άξονές Υπάρχουν πολλοί τρόποι κατασκευής. 

    

6.1  Χάραξη έλλειψης όταν δίδονται οι άξονες της  

Α ΤΡΟΠΟΣ   

α. Δίδονται οι άξονες ΑΒ και ΓΔ.  

 β. Κατασκευάζω ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΕΘΗΖ με διαμέσους τις ΑΒ και ΓΔ.  

γ. Χωρίζω την AO και την ΑΕ σε ίδιο αριθμό ίσων τμημάτων.   

δ. Φέρω την Δ1 έως ότου τμήσει την Γ1', την ΔΖ έως ότου τμήσει την Γ2' κ.ο.κ.   

Τα σημεία τομής των ευθειών αποτελούν και σημεία της έλλειψης την οποία χαράσσω με τη βοήθεια 

καμπυλόγραμμου. 

Β ΤΡΟΠΟΣ  

α. Μας  δίδονται  ο  μικρός  άξονα  ΔΓ  και  ο  μεγάλος  άξονας  ΑΒ.   

 β. Με  διαμέτρους  τους  άξονες  που  μας  έδωσαν,  χαράζω  δύο  ομόκεντρους   κύκλους.   

 γ. Χαράζω  πολλές  διαμέτρους  δια  μέσου  του  κέντρου  των  κύκλων.   

     Μία  από  αυτές  τέμνει  στο  Ε  και  Ζ  τους  κύκλους.   

δ. Από  το  Ε  χαράσσεται  παράλληλη  προς  τον  μεγάλο  άξονα  και  από  το  Ζ  παράλληλη  προς  τον  μικρό.   

 Το  σημείο  τομής  των  είναι  σημείο  της  ελλείψεως.    

Το  ίδιο  κάνουμε  και  με  τις  άλλες  διαμέτρους.  

 

6.2 Χάραξη  οβάλ  με  δύο  κύκλους 

α. Σχεδιάζω  δύο  κύκλους  με  την  ίδια  ακτίνα  και  με  τέτοιο  τρόπο,  ώστε  κάθε  φορά  να  τέμνονται  

κέντρα  και  κύκλος.   

 β. Οι  συνδετικές  ευθείες  των  σημείων  τομής  των  κύκλων  με κέντρα  Κ  και  Λ,  δίνουν τα  σημεια  Μ  και  

Ν,  που είναι τα κέντρα για  τα  πεπλατυσμένα  στοιχεία  των  τόξων  και  τα  εναλλασσόμενα  σημεία  των  

οβάλ  τόξων.    

γ. Στη  συνέχεια  χαράζω  τις   ΚΜ,  ΚΝ,  ΛΜ,  ΛΝ.    

δ. Με  κέντρο  το  Κ  και  ακτίνα  την  R (ΚΜ),  χαράζω  τόξο  από  το  σημείο Α ( σημειοπ τομής  με  την  

προέκταση  της  ευθείας  ΚΝ)   μέχρι  το  σημείο Χ (σημείο  τομής  με  την  προέκταση  της  ευθείας  ΚΜ.   

 ε. Με  κέντρο  το   Λ  και  ακτίνα  την  ίδια,  χαράζω  τόξο  από  το  σημείο Β (σημείο τομής  με  την  προέκταση  

της    ευθείας  ΛΝ)  μέχρι  του  σημείου Ψ (σημείο τομής  με  την  προέκταση  της  ευθείας  ΛΜ).     

στ. Με  κέντρο  το  Μ  και  ακτίνα  την   R3 (ΜΧ),  χαράζω  τόξο  από  το  σημείο Χ (σημείο  τομής  με  την  

προέκταση  της  ευθείας  ΜΚ)  μέχρι  το σημείο Ψ (σημείο  τομής  με  την  προέκταση  της  ευθείας  ΜΛ).    

ζ. Τέλος  με  κέντρο  το  Ν  και  ακτίνα  την  ίδια χαράζω  τόξο  από  το  σημείο Α (σημείο τομής  με  την  

προέκταση  της  ευθείας  ΝΚ),  μέχρι  του  σημείου Β (σημείο τομής  με  την  προέκταση  της  ευθείας  ΝΛ).    

Η  παραπάνω  κατασκευή  έγινε  με  τέσσερα  διαφορετικά  στοιχεία  τόξων 

Χάραξη  οβάλ 

 

χάραξη ωοειδούς καμπύλης 

6.3 Xάραξη  ωοειδούς καμπύλης  

 α. Χαράζουμε  κύκλο  με  κέντρο  Μ1  και   δοσμένη  ακτίνα R.  

β. Φέρνω  τον  κατακόρυφο  και  οριζόντιο  άξονα.  Τα  σημεία  τομής  των  αξόνων  με  την  περιφέρεια  μας  δίνουν  τα  σημεία  Μ2, Μ3 και Μ4.   

γ. Χαράζω  τις  ευθείες Μ2Μ4   και   Μ3Μ4 που μας  δίνουν  τα εναλλασσόμενα   σημεία  των  τοξοειδών  στοιχείων.   

δ. Με  κέντρο  το  Μ1  και  ακτίνα  την δοσμένη  R,  χαράζω  τόξο  από  το  Μ3  μέχρι  το  Μ2.   

 ε. Με  κέντρο  το  Μ2  και  ακτίνα  την  Μ2Μ3 =2 R,  χαράζω  τόξο  από  το  Μ3  μέχρι  το Χ (στην  προέκταση  της   Μ2Μ4).  

 στ. Με  κέντρο  το  Μ3  και  ακτίνα  την  Μ3Μ2=2 R,   χαράζω  τόξο  από  το  Μ2  μέχρι  την Ψ (στην προέκταση  της  Μ3Μ4).     ζ. Τέλος  με  κέντρο  το  Μ4  και  ακτίνα  την  R4 =Μ4Χ=ΜΑΨ,  χαράζω  τόξο  από  το σημείο Χ μέχρι το Ψ    

Το  ωοειδές  που  χαράχτηκε  είναι  το  ζητούμενο.   

Χ  Ψ

Α  Β 

Χ

Ψ

6.4 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΚΥΛΟΥ ΣΕ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ 

 

 

 ΒΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΕΛΕΙΨΗΣ

  

7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ  

1. Σχεδιάστε το παρακάτω διακοσμητικό μοτίβο  

 

 ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ: 

 

  

  

  

 

2. Σχεδιάστε το παρακάτω διακοσμητικό μοτίβο  

  

ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ: 

 

 

  

ΤΟ  ΙΔΙΟ ΜΟΤΙΒΟ  ΣΕ  ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ  ΕΚΔΟΧΕΣ  ΑΝΑΛΟΓΑ ΜΕ  ΤΑ  ΣΧΗΜΑΤΑ ΠΟΥ  ΕΠΙΛΕΓΟΥΜΕ ΝΑ 

ΔΙΑΓΡΑΜΜΙΣΟΥΜΕ 

 

  

 

Σημειώσεις για το μάθημα  "Γραμμικό Σχέδιο" 

ΙΕΚ Σπάρτης (2015‐2016) 

Τμήμα : Συντήρηση Έργων Τέχνης και Αρχαιοτήτων 

 

Μαρούλη Ευαγγελία, Αρχιτέκτων Μηχανικός 

Κουλογεωργίου Μαρία, Αρχιτέκτων Μηχανικός 

 

 

Βιβλιογραφία: 

 

«Γραμμικό Σχέδιο, Β΄τάξη Γενικού Λυκείου»  , Αλέκα Μονεμβασίτου, Γεώργιος Παυλίδης, 

Άννα Παυλίδου, Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων  

«Γραμμικό  Σχέδιο  1,  για  υποψηφίους  Αρχιτέκτονες  και  φοιτητές  πολυτεχνείου»  , 

Παυλίδης Ιορδάνης, Εκδόσεις Ζήτη. 

«Γραμμικό  Σχέδιο,  Παραδόσεις  για  τις  Τεχνικές  σχεδιάσεις»  Ελένη  Κ.  Άγα,  Επίκουρη 

Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. 

 «Τεχνικό Σχέδιο, Β΄τάξη Γενικού Λυκείου, Τεχνολογική Κατεύθυνση» Ευάγγελος Γράψας, 

Αριστείδης Δασκαλάκης, Ιωάννης Καραβέλης, Σωτηρία Λαζάρου και Θρασύβουλος Σκίπης. 

Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων 

 «Τεχνικό Κατασκευαστικό σχέδιο  Ι, Σημειώσεις Θεωρίας και Σημειώσεις Εργαστηρίων», 

Τ.Ε.Ι. Λάρισας, Γεώργιος Κολλάτος,  Καθηγητής   εφαρμογών, Καρδίτσα 2004