1

ตอนทหนง ขอ 1 – 12 ตอบถกไดคะแนนขอละ 4 คะแนน ไมตอบไดคะแนนขอละ 1 คะแนน ตอบผด 0 คะแนน

1. เมอเขยน 432

1681

12527

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

− ในรปเศษสวนอยางตา

ba แลวคาของ a + b เทากบเทาใด

ก. 25 ข. 31 ค. 57

ง. 95 จ. 143 2. ให a และ b เปนจานวนจรงซงสอดคลองกบสมการ

xx15

12

1

215

12

1

2 −+

+=

++

แลว ขอใดตอไปนกลาวไดถกตอง ก. a + b > 0 ข. a = b ค. a + b < 0

ง. a + b = 0 จ. ตงแตขอ ก ถง ง ไมมขอใดกลาวถกตอง

2

3. กาหนดให x เปนจานวนเตมซงสอดคลองกบอสมการ π

<<1

x1

1.501

แลว จานวนของคา x ทเปนไปไดเทากบขอใด

ก. 45 ข. 46 ค. 47

ง. 48 จ. 49 4. กาหนดให ABC เปนสามเหลยม AB = 8 หนวย, BC = 6 หนวย และ CA = 5 หนวย

ม X, Y เปนจดบนดาน AB, AC ตามลาดบ ซงทาให XY // BC

ถา AX = 2 หนวย แลว สเหลยม BCYX มความยาวรอบรปเทากบกหนวย

ก. 6.25 ข. 7.75 ค. 13.5

ง. 15.75 จ. 17.25

3

5. จากรป ABC เปนรปสามเหลยมทแนบอยในครงวงกลมโดยม AB เปนเสนผานศนยกลางของครงวงกลม และ C เปนจดทอยบนสวนโคงของครงวงกลมดงรป

ถา AB = 10 เซนตเมตร BC = 6 เซนตเมตร แลว จงหาคาของ sin A + cos B

ก. 0.6 ข. 0.8

ค. 1.0 ง. 1.2

จ. 1.4

6. ความชนของเสนตรงทลากผานจด (-1, 2) และ (2, -1) เทากบเทาใด

ก. 1 ข. 0 ค. -1 ง. 2 จ. -2

A B

C

4

7. คาของ N ทนอยทสดททาให 2556 × N เปนจานวนกาลงสองสมบรณเปนจรงดงขอใด

ก. N เปนจานวนเตมบวกค ข. N เปนจานวนเฉพาะ

ค. N เปนพหคณของ 3 ง. N เปนพหคณของ 5

จ. N เปนพหคณของ 7

8. คาของผลคณ 26 × 55 × 55 × 62 เปนจานวนเตมทมกหลก

ก. 10 ข. 11 ค. 12

ง. 13 จ. 14

5

9. กาหนดให N เปนจานวนเตมบวก นยาม <N> ใหมการคานวณดงตอไปน

<N> = 2 + 4 + 6 + . . . + N เมอ N เปนจานวนค และ <N> = 1 + 3 + 5 + . . . + N เมอ N เปนจานวนค

จงหาคาของ <2556> − <2555>

ก. 1278 ข. 1279 ค. – 1278

ง. -1279 จ. 0

6

10. เดกสคนคอ แจค เจน โจ โจ เปนพนองกน ในวนเทศกาลขนปใหมคณพอใหไดใหเงนกบลกทงสคนนคนละ 1200 บาท เพอใชไปเทยวในวนปใหมปรากฎวาทงสคนมคาใชจายเฉลยคนละ 590 บาท ซงแตละคนมจานวนเงนทใชจายไปในวนขนปใหมตามตารางทางขวามอ แตโจใชเงนไปกบาทยงไมทราบ

จงหาวาในสคนนใครเหลอเงนอยมากทสด

ก. แจค ข. เจน

ค. โจ ง. โจ

จ. ขอมลไมเพยงพอทจะคานวณได

ชอ จานวนเงนทใช

แจค 480

เจน 680

โจ 360

โจ ?

7

11. เมอโยนลกเตา 2 ลก ครงหนง แลว เหตการณใดตอไปนมโอกาสเกดขนไดมากทสด

ก. ผลรวมของแตมเตาถกหารดวย 3 ลงตว ข. ผลรวมของแตมเตาถกหารดวย 4 ลงตว

ค. ผลรวมของแตมเตาถกหารดวย 5 ลงตว ง. ผลรวมของแตมเตาถกหารดวย 6 ลงตว

จ. ผลรวมของแตมเตาเปนจานวนเฉพาะ 12. อตราสวนของนาหนกของศวาพรตอนาหนกของคณพอคอ 3 : 5

ถาศวาพรหนกเพมขน 40% คณพอจะตองลดนาหนกลงกเปอรเซนตทงสองคนจงจะมนาหนกเทากน

ก. 8% ข. 16% ค. 20%

ง. 50% จ. 84%

8

ตอนทสอง ขอ 13 – 24 ตอบถกไดคะแนนขอละ 6 คะแนน ไมตอบไดคะแนนขอละ 1.5 คะแนน ตอบผด 0 คะแนน 13. เศษทเกดจากการหาร x2012 + 2x2011 + 22x2010 + . . . + 22011x + 22012 ดวยพหนาม (x – 2) มคาเทากบเทาใด

ก. 2013 ข. 22012 ค. 2012

ง. 22013 จ. ตงแตขอ ก. ถง ง. ไมมขอใดถกตอง

14. กาหนดใหสมการ x2 – bx + c = 0 มผลเฉลยทเปนจานวนจรงสองคา คอ x = p และ x = q โดยท p ≥ q แลว คาของ p – q เทากบขอใดตอไปน

ก. b2 – 4c ข. b2 – 2c ค. c4b2 −

ง. c4b2 + จ. c2b2 −

9

15. รถไฟขบวนหนงออกจากสถาน A ไปยงสถาน B เมอรถไฟเคลอนทได 450 กโลเมตร

ซงคดเปน 75% ของระยะหางระหวางทงสองสถาน เกดเหตขดของตองหยดรถเปนเวลา 30 นาท เพอจะใหรถไฟไปถงสถาน B ตรงตามกาหนดเวลาเดม ทาใหระยะทางทเหลอตองเคลอนทเรวกวาอตราเรวเดม 15 กโลเมตรตอชวโมง

จงหาอตราเรวของรถไฟหลงจากทแกไขเหตขดของรถไดเรยบรอย

ก. 45 กโลเมตรตอชวโมง ข. 60 กโลเมตรตอชวโมง ค. 75 กโลเมตรตอชวโมง ง. 90 กโลเมตรตอชวโมง จ. 105 กโลเมตรตอชวโมง

16. ทรงกลมลกหนงมรศมยาว R หนวย มปรมาตรเทากบทรงกระบอกทมรศมของฐานยาว

r หนวย และสงเทากบ 2r หนวย

คาของ rR ตรงกบขอใด

ก. 32 ข.

23 ค. 3

32

ง. 323 จ. 1

10

17. กาหนดให PQRS เปนรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ 4 เซนตเมตร ม M, N, O

เปนจดกงกลางดาน PQ, RS และ PS ตามลาดบ สรางสวนโคง OM และ SQ เปนสวนโคงของวงกลมทมจด P เปนจดศนยกลาง โดยม T เปนจดตดระหวางสวนโคง QS และเสนตรง MN พนทของบรเวณแรเงาซงถกปดลอมดวยสวนของเสนตรง MT, สวนโคง TS, สวนของ

เสนตรง SO และสวนโคง OM มคาเทากบ A ตารางหนวย

และ พนทของบรเวณแรเงาซงถกปดลอมดวยสวนของเสนตรง QR, สวนของเสนตรง RN สวนของเสนตรง NT และเสนโคง TQ มคาเทากบ B ตารางหนวย

ถา A + B สามารถเขยนไดในรป π−+ rqps โดยท s, p เปนจานวนเตม, q เปนจานวนเฉพาะ และ r เปนจานวนตรรกยะ คาของ p + q + r + s ตรงกบขอใด

ก. 15 ข. 3

52 ค. 3

59

ง. 22 จ. 373

B

A

P

Q R

S

M N

O

T

11

18. คาของ sec5xcotx – sec3xcotx มคาตรงกบขอใด

ก. xsinxcos

2 ข. xsinxcos

4 ค. xcos

xsin2

ง. xcos

xsin4 จ. ตงแตขอ ก. ถง ง. ไมมขอใดตรงกบคาทโจทยกาหนด

19. คาของ x จากสมการ )2()4( xx42 = เปนจรงดงขอใด

ก. x เปนจานวนเตมบวก ข. x เปนจานวนเตมลบ ค. x เปนจานวนเตมศนย

ง. x เปนจานวนเฉพาะ จ. x เปนจานวนประกอบ

12

20. เมอ n = 1 จะทาให (n – 2)2 + 7n ถกหารดวย 7 ไมลงตว เมอ n = 2 จะทาให (n – 2)2 + 7n ถกหารดวย 7 ไดลงตว

แลว คาของจานวนเตมบวก n ทมคานอยกวา 100 ซงทาให (n – 2)2 + 7n ถกหารดวย 7 ไดลงตว มทงหมดกจานวน

ก. 15 ข. 14 ค. 13

ง. 12 จ. 11 21. กาหนดให a เปนจานวนจรงซง a < a5 < a4 แลวขอใดตอไปนกลาวถกตอง ก. -1 < a < 0 ข. 0 < a < 1 ค. a < 1

ง. a > 1 จ. ตงแตขอ ก ถง ง ไมมขอใดถกตอง

13

22. กาหนดให O เปนจดกาเนดซงมพกดคอ (0, 0)

O1 เปนจดทไดจากการเลอนขนานจด O ไปทางขวา 1 หนวย O2 เปนจดทไดจากการเลอนขนานจด O1 ไปทางซาย 2 หนวย

O3 เปนจดทไดจากการเลอนขนานจด O2 ไปทางขวา 3 หนวย

O4 เปนจดทไดจากการเลอนขนานจด O3 ไปทางซาย 4 หนวย

ทาการแปลงทางเรขาคณตเชนนเรอยไปจนกระทงไดจด O2556 ซงมพกดคอ (a, 0)

คาของ a เทากบเทาใด

ก. 2556 ข. -2556 ค. 1278

ง. 0 จ. -1278

14

23. กาหนดเสนตรง L1 มสมการคอ 2ax + y = 1 และเสนตรง L2 มสมการคอ x - 4 a y = 2 ถา L1 และ L2 ตงฉากกนแลว คาของ a ตรงกบขอใด

ก. 1 ข. 2 ค. 3

ง. 4 จ. 5

24. กาหนดให x เปนจานวนจรง และ x2013

x20132013xy

−

−+−=

ขอใดตอไปนกลาวไดถกตองเกยวกบคาของ y

ก. 0 ≤ y < 1 ข. 1 ≤ y < 2 ค. 2 ≤ y < 3

ง. 3 ≤ y < 4 จ. ตงแตขอ ก. ถง ง. ไมมขอใดถกตอง

15

ตอนทสาม ขอ 25 – 29 ตอบถกไดคะแนนขอละ 6 คะแนน ตอบผด หรอไมตอบ 0 คะแนน ในกรณทนกเรยนคานวณไดคาตอบทไมเปนจานวนเตม ใหตอบเปนจานวนเตมทมคาใกลเคยงทสด และในกรณทนกเรยนคานวณไดคาตอบทมคามากกวาหาหลก ใหตอบเฉพาะตวเลขในหาหลกสดทาย 25. กาหนดให x เปนจานวนเตมบวกทมคาไมเกน 2013

จงหาวามจานวนเตม y กจานวนทสอดคลองกบสมการ

y2 = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1

16

26. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมซง ∠BAC = 78o มจด E และ F เปนจดภายในซงทาให BF และ CE ตดกนทจด D

∠ABE = ∠EBF = ∠FBC และ ∠ACF = ∠FCE = ∠ECB ดงรป จงหาคาของ ∠BEC + ∠CFB + ∠EDF

A

B C

EF

78o

D

17

27. กาหนดให x และ x

2013 มคาเปนจานวนเตมทงสองจานวน ผลบวกของคา x ท

เปนไปไดทงหมดเทากบเทาใด

18

28. กาหนดใหวงกลม C สามารถเขยนแทนดวยสมการ x2 + y2 = 50 ซงมกราฟเปนรปวงกลมทมจดศนยกลางอยทจดกาเนด และมรศมยาว 50 หนวย จดทอยบนกราฟของวงกลมดงกลาวจะตองสอดคลองกบสมการของวงกลม

ตวอยางเชน (1, 7) และ (7, 1) เปนสองจดทแตกตางกนและอยบนวงกลม จดทอยบนกราฟ แตจด (2, 2) ไมอยบนกราฟ เปนตน

จงหาวาจด (a, b) ซงเปนจดทอยบนวงกลมโดยท a หรอ b มคาเปนจานวนเตม มทงหมดกจด

19

29. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมหนาจวมมฉากทม AB = AC และ BC = 8 หนวย ม M เปนจดกงกลางของดาน BC

สรางสวนโคงของวงกลมโดยใช B เปนจดศนยกลางรศมยาวเทากบ BM ตดกบดาน AB และ BC ทจด P และ M ตามลาดบ

สรางสวนโคงของวงกลมโดยใช C เปนจดศนยกลางรศมยาวเทากบ CM ตดกบดาน AC และ BC ทจด Q และ M ตามลาดบ

จากนนลากสวนของเสนตรงเชอมระหวางจด P และ Q ถามวงกลมวงหนงสมผสกบสวนของเสนตรง PQ และสมผสภายนอกกบสวนโคงทม B

และ C เปนจดศนยกลางดงรป และ รศมของวงกลมสามารถเขยนไดในรปของ ba − โดยท a และ b ตางเปนจานวนเฉพาะ

จงหาคาของ a + b

A

B

C

M

P

Q

20

ขอโบนส (นกเรยนเลอกทา หรอไมทากได) ตอบถกจะได 15 คะแนน ตอบผด -5 คะแนน ไมตอบ 0 คะแนน

30. กาหนดให x เปนจานวนจรงซง 0 < x < 1 เมอเขยน x ในรปทศนยมจะไดเปน 0.x1x2x3x4x5x6 . . . โดยท x1, x2, x3, . . . เปนเลขโดด

ตวอยางเชน 52 เขยนแทนดวย 0.4000000 . . .

9917 เขยนแทนดวย 0.171717171717 . . .

99073 เขยนแทนดวย 0.073073073 . . .

กาหนดใหวธการสรางจานวนใหมนถกเรยกวา ทศนยมคาเฉลย (Averaging Decimal) ดงน ขนทหนง กาหนดคาของ 0.x1x2x3x4x5x6 . . .

ขนทสอง ทาการคานวณเพอหาลาดบ y1, y2, y3, . . .

โดยท 2xxy 1ii

i++

= สาหรบทก i = 1, 2, 3, 4, . . .

ในกรณทคานวณคาของ yi แลวไมเปนจานวนเตมใหปดเศษทงนาเฉพาะสวนทเปน

จานวนเตมมาเปนคาของ yi เราจะเรยก 0.y1y2y3y4y5 . . . วาเปนทศนยมคาเฉลยของ x

เชน x = 0.500000. . . จะไดทศนยมคาเฉลยเปน 0.200000 . . .

และ x = 0.747474. . . จะไดทศนยมคาเฉลยของ x เปน 0.555555. . .

เมอกาหนดให a1 = 71 และทาการหาทศนยมคาเฉลยไดเปน a2

แลวนา a2 มาหาทศนยมคาเฉลยไดเปน a3

จากนนนา a3 มาหาทศนยมคาเฉลยไดเปน a4 ดาเนนการเชนนเรอยไป กลาวคอ an+1 เปนทศนยมคาเฉลยของ an สาหรบทกจานวนเตมบวก n ใดๆ

จงหาคาของ 9999 × a9999