3_Elektricni_Potencijal
40
-
Upload
vedran-ivic -
Category
Documents
-
view
9 -
download
0
description
e
Transcript of 3_Elektricni_Potencijal
2
Što smo naučili prošli put?
• Gaussov zakon – Tok vektora E kroz zatvorenu plohu S jednak je
omjeru algebarske sume naboja obuhvaćenog tom plohom i dielektrične konstante ε
SploheunutarQza
Q
SdE ii
i
S 0ε
∑∫∫ =
��
3
• Polje naelektrizirane vodljive kugle polumjera a
- za r < a vrijedi E=0
– za r ≥ a
024 επr
QE
⋅=
• Jakost polja naelektriziranog pravca
02 επλ
⋅⋅⋅=
rE
λ [C/m] - linijska gustoća naboja
4
• Jakost polja naelektrizirane ravnine (homogeno)
• Jakost polja između dvije ravnine naelektrizirane s nabojem suprotna predznaka
02εσ
=E
0εσ
=E
σ [C/m2] – plošna gustoća naboja
5
Još o influenciji
- kada se uspostavi elektrostatska ravnoteža NEMA električnog polja u vodiču-NEMA ni tangencijalne komponente električnog polja na površini vodiča – silnice su uvijek okomite na površinu vodiča
6
Faradayev kavez – zaštita od vanjskog elektrostatskog polja
7
• Zaštita vanjskog prostora od elektrostatskog polja
8
ELEKTRIČNI POTENCIJAL, φ
• Električni potencijal je skalarna veličina koja opisuje električno polje.
• Potencijal se uvodi preko potencijalne energije nekog naboja u električnom polju E
9
• promatramo naboj Q u električnom polju E
A
B
E�
Q
ld�
elF
10
• Pod djelovanjem električne sile naboj se giba od točke A prema točki B, pri čemu polje vrši rad
• Kako bismo promatrali promjenu isključivo potencijalne energije naboja Q, uvodimo mehaničku protusilu koja osigurava da nema promjene kinetičke energije naboja
22
22AQBQ
B
A
B
A
elel
vmvmdlEQdlFA −=== ∫∫
11
A
B
ld�
mehF�
elF
Q E
meheluk FFF +=
12
• Ukupan rad dviju sila u slučaju kada nema promjene kinetičke energije jednak je 0.
• Zaključujemo da je rad sile električnog polja potrošen na savladavanje mehaničke sile.
• Rad električnog polja kod premještanja naboja iz točke A u točku B izvršen je na račun potencijalne energije naboja Q.
• Za premještanje naboja Q od točke B u točku A potrebno je utrošiti rad vanjske sile, čime se povećava potencijalna energija naboja Q.
0=+= ∫∫∫ dlFdlFdlF
B
A
meh
B
A
el
B
A
uk
dlFdlF
B
A
meh
B
A
el ∫∫ =−
13
• Razlika potencijalnih energija u točki A i B
• Uobičajeno je i u suglasju sa tehničkom praksom da se promatra razlika potencijalnih energija, odnosno potencijalna energija promatrane točke u odnosu na referentnu.
• Neka je točka A referentna točka za koju vijedi da je potencijalna energija naboja u toj točki jednaka 0.
dlEQdlFW
dlFdlFWW
B
A
B
A
elp
B
A
meh
B
A
elpApB
∫∫
∫∫
−=−=∆
=−=−
JWpA 0=
14
• Potencijalna energija točke B u odnosu na referentnu točku A
• Izraz pod integralom ne ovisi o naboju Q, te dijeljenjem energije WpB s Q dobijamo skalarnu veličinu koja se izvodi iz i u potpunosti opisuje električno polje – to je električni potencijal
dlEQW
dlEQW
B
A
pB
B
A
pB
∫
∫
−=
−=
E
15
• φB je potencijal točke B u odnosu na referentnu točku A ( u kojoj je φB=0 V)
• Kada znamo potencijal neke točke možemo izračunati energiju naboja u toj točki
dlE
dlEQ
W
B
A
B
B
A
pB
∫
∫
−=
−=
ϕ
CpC QW ϕ⋅= '
16
NAPON – RAZLIKA POTENCIJALA
• Razliku potencijala između točke B i C nazivamo električni napon
• Napon ne ovisi o izboru referentne točke
[ ]VU CBBC ϕϕ −=
dlEU
dlEdlEdlEU
dlEdlEU
B
C
BC
C
A
B
C
C
A
BC
C
A
B
A
CBBC
∫
∫∫∫
∫∫
−=
+
+−=
−−−=−= )(ϕϕ
17
POTENCIJAL U POLJU TOČKASTOG NABOJA
∫ ⋅−=tockapromatrana
tockareferentna
tockepromatrane ldE
��
ϕ
∫ ∫∫ ∫∫ ⋅−⋅−=⋅−+⋅−=⋅−='
'
00'
'
90cos180cos)(B
A
B
B
B
A
B
B
B
A
B dlEdlEldEldEldE������
ϕ
Kr
Q
rr
Qdr
r
Q
BAB
B
A
B −=
−−−−=−= ∫ πεπεπε
ϕ4
)1
(1
44 '
'
2
A - referentna točka
φA= 0 V
Q
+
A
B
B’rB’
rB
E dl
Edl
rB = rB’
dl = -dr
18
POTENCIJAL U POLJU TOČKASTOG NABOJA
• K – konstanta ovisna o izboru referentne točke
• Ako odredimo referentnu točku u beskonačnosti
Kr
Q
B
B −=πε
ϕ4
B
Br
Q
πεϕ
4=0
4==⇒∞=
A
Ar
QKr
πε
19
POTENCIJAL U POLJU VIŠE TOČKASTIH NABOJA
• Električno polje više točkastih naboja je vektorska superpozicija polja pojedinih naboja
⋯
⋯
�����
⋯
����
+++=
−−−=++−=−= ∫ ∫∫∫
321
2121 )(
BBBB
B
A
B
A
B
A
B
A
ukB ldEldEldEEldE
ϕϕϕϕ
ϕ
20
VEZA φ I E
• Ako poznajemo E u prostoru oko naboja možemo odrediti potencijal bilo koje točke u tom polju:
• Isto tako je iz poznatog potencijala u prostoru oko naboja moguće odrediti vektor jakosti električnog polja E.
∫ ⋅−=B
trefA
B ldE.) .(
��
ϕ
21
VEZA φ I E
• Vrijedi: ∫∫ −=⋅⋅−=B
trefA
B
trefA
B ddlE.) .(.) .(
cos ϕαϕ
A
B
Edl
α
dlEd αϕ cos−=
dl
dE
ϕα −=cos
dl
dE l
ϕ−=
El je komponenta vektora E u smjeru dl.
22
VEZA φ I E
• Da bismo proračunali vektor E moramo poznavati komponente vektora u koordinatnom sustavu
• U pravokutnom koordinatnom sustavu iz poznatog φ(x,y,z) računamo komponente Ex, Ey i Ez
• Vektor E je jednak
z
zyxE
y
zyxE
x
zyxE zyx ∂
∂−=
∂∂
−=∂
∂−=
),,(,
),,(,
),,( ϕϕϕ
kEjEiEE zyx ++=
23
VEZA φ I E
• Veza između vektora jakosti polja i skalarne veličine potencijala izražena je preko operatora nabla
• Vektor E je ujedno i promjena potencijala po jedinici duljine u smjeru u kojem je ta promjena najveća što se izražava gradijentom
kz
jy
ix ∂
⋅∂+
∂⋅∂
+∂
⋅∂=∇⋅
ϕ∇−=E
ϕgradE −=Predznak “–” označava smjer E u smjeru pada potencijala
24
POTENCIJAL NAELEKTRIZIRANE KUGLE
a
A (ref. točka)
+ +
+
++
++
+
++
+
++
++
+ +
Q
B
CE=0
arr
QE ≥= ,
4 2πεP
25
POTENCIJAL NAELEKTRIZIRANE KUGLE
• Za sve točke izvan kugle vrijedi
• Za sve točke unutar kugle vrijedi
• Potencijal cijele kugle je jednak potencijalu njene površine
Kr
Q
rr
Qdr
r
Q
BAB
B
A
B −=
−=−= ∫ πεπεπε
ϕ4
11
44 2
Ka
Q
rr
Qdrdr
r
Q
AP
P
A
C
P
C −=
−=
⋅+−= ∫ ∫ πεπεπε
ϕ4
11
40
4 2
26
Potencijal naelektrizirane kugle
27
EKVIPOTENCIJALNE PLOHE
• Ekvipotencijalnu plohu čine točke istog potencijala
• Vektor E je uvijek okomit na ekvipotencijalnu plohu – silnice i ekvipotencijalne plohe su međusobno okomite
ϕgradE −=• Izraz govori da je smjer vektora E suprotan smjeru rasta potencijala
dl
dE l
ϕ−=
lEl ∆
∆−=
ϕ• Ako izraz za bliske plohe
aproksimiramo sa vidimo da će za plohe
za koje je uz isti ∆φ manji ∆l, komponenta El biti veća
28
Ekvipotencijalne plohe i silnice u polju točkastog naboja
29
Ekvipotencijalne plohe i polje dva točkasta naboja
30
Ekvipotencijalne plohe i polje dva točkasta naboja
31
Potencijal u polju između dvije ravnine
Potencijal bilo koje točkeizmeđu dvije ravnine je:
dxExE <<= 0 za )(
x
xref
x
xref
xEdxEx ⋅−=⋅−= ∫)(ϕ
refxExEx ⋅+⋅−=)(ϕ
za xref = 0:xEx ⋅−=)(ϕ
za xref = d/2:2/)( dExEx ⋅+⋅−=ϕ
za xref = d:
dExEx ⋅+⋅−=)(ϕ
x-x
ϕ(x)
0 dd/2
+ σ
x-x 0
− σ
d
32
λ+
POTENCIJAL U POLJU NAELEKTRIZIRANOG PRAVCA
Brr
dr
E
Ar
A
B
+Q
rE
πελ
2=
33
POTENCIJAL U POLJU NAELEKTRIZIRANOG PRAVCA
B
AB
BA
r
r
B
A
B
r
r
rrrr
dr B
A
ln2
)ln(ln2
ln22
|
⋅=
−⋅=⋅−=−= ∫
πελ
ϕ
πελ
πελ
πελ
ϕ
∫ ⋅−=B
trefA
B ldE.) .(
��
ϕ
34
Ekvipotencijalne plohe i polje dva naelektrizirana vodiča
Kuzmanović 69. str.
35
Raspodjela naboja na tijelu proizvoljna oblika
d
0
0
ϕ10
ϕ20
)(4
1
)(4
1
2
10
2
20
020
1
20
1
10
010
ad
Q
a
Q
ad
Q
a
Q
−+=
−+=
πεϕ
πεϕ
36
Raspodjela naboja na tijelu proizvoljna oblika:
ϕ1
ϕ2ϕ1= ϕ2
)(4
1
)(4
1
2
2
02
1
1
01
a
Q
a
Q
πεϕ
πεϕ
≅
≅
2
2
2
2
01
1
01
1
2
2
01
1
0
)(4
1)(
4
1
)(4
1)(
4
1
a
a
a
Q
a
Q
a
a
a
Q
a
Q
⋅=⋅
=
πεπε
πεπε
201021 QQQQ +=+Ukupni naboj prije i poslije
spajanja mora biti jednak :
37
Raspodjela naboja na tijelu proizvoljna oblika
• Gustoća naboja je veća na kugli manjeg polumjera zakrivljenosti
• Jakost polja je veća na uz površinu kugle manjeg polumjera – na tijelu polje je najače uz šiljke
1
2
2
1
20
21
0
1
220
222
10
11
44
a
a
aa
a
aQ
a
aQ
=
⋅=⋅
⋅=
⋅
σσ
εσ
εσ
πεπε
38
Proboj dielektrika na šiljku
(Di)električna čvrstoća – maksimalna jakost polja iznad koje dolazi do proboja dielektrika
39
40
Domaća zadaća
• Pročitati:– Kuzmanović 9. poglavlje (117. – 142. str.)
