3D számítógépes geometria és...

1

3D számítógépes geometria és alakzatrekonstrukció

Dr. Várady Tamás, Dr. Salvi PéterBME, Villamosmérnöki és Informatikai KarIrányítástechnika és Informatika Tanszék

1b. Görbék és felületek

http://cg.iit.bme.hu/portal/node/312https://www.vik.bme.hu/kepzes/targyak/VIIIAMA01

3D - geometriai modellezés, alakzatrekonstrukció, nyomtatás 2

Tartalom

• Pontok és vektorok

• Görbe és felületegyenletek

• Differenciál geometria - alapok:

• implicit és parametrikus görbék • implicit és parametrikus felületek

Pontok, vektorok 3

Pontok132

),,(,),( RzyxRyx ∈=∈= pp

3

1

,, RR iii

n

i

i ∈∈=∑=

ppr αα

∑=

==≥n

kk

i

iii

m

m

n1

1pl.0 ααα

● baricentrikus kombináció:

● lineáris kombináció:

● affin transzformáció

● konvex kombináció:

11

=∑=

n

ii

α

22* :);( RR →ΦΦ= rr

Pontok kombinálása

Pontok transzformációja

● pl. eltolás, elforgatás, skálázás, nyírás

Pontok, vektorok 4

Pontok2

vrArr +=Φ= )(*

],,[],,[],,[

],[],[],[

333231

232221

131211

***

2221

1211**

vzvyvx

aaa

aaa

aaa

zyxzyx

vyvxaa

aayxyx

+

=

+

=

Az összes affin transzformáció felírható az alábbi formában (!):

• egyenest egyenesbe képez

• R2: adott két háromszög − a Φ leképzés egyértelműR3: adott két tetraéder − a Φ leképzés egyértelmű

Pontok, vektorok 5

Pontok3

Azonosság:

Egybevágóság:

Skálázás: Nyírás:

0,10

01=

= vA

0, ≠= vIA

=

b

a

0

0A

=

1

01

aA

vrArr +=Φ= )(*

0,cossin

sincos=

−= vA

αα

ααEltolás: Forgatás:

IAA =T

),(),( yayxyx +→

Pontok, vektorok 6

Affin invariancia

Alapkövetelmény:

*

11

*

1

22 )()(,,: i

n

i

ii

n

i

ii

n

i

iRR pprrpr ∑∑∑===

=Φ=Φ==→Φ ααα

1. kombináció, 2. transzformáció ≡ 1. transzformáció, 2. kombináció

Feltételek:

(i)

(ii)

- k baricentrikus súlyok

affin transzformációΦ

iα 11

=∑=

n

ii

α

Pontok, vektorok 7

Példa

)5.4,2()5.031,110(4

1)2,4(

2

1)6,2(

4

1)4,0(

:)2,0(

)5.2,2()022

1,110(

4

1)0,4(

2

1)4,2(

4

1)2,0(

,4

1),0,4(,

2

1),4,2(,

4

1),2,0(

*

332211

=++++=++

+=

=++++=++=

======

OKCC

C

PPP ααα

súlyokkusBaricentri

1P

2P

3P

*

1P

C

*C

*

2P

*

3P

1P

2P

3P

*

1P

D

*D

*

2P

*

3P)5.5,2()5.032,110(

4

1)2,4(

2

1)6,2(

2

1)4,0(

!!!)2,0(

)3,2()021,110(4

1)0,4(

2

1)4,2(

2

1)2,0(

,4

1),0,4(,

2

1),4,2(,

2

1),2,0(

*

332211

=++++=++

+≠

=++++=++=

======

DD

D

PPP ααα

!kombinációikusbaricentrNem

)2,0()(* +=Φ= rrr

Pontok, vektorok 8

Vektorok13

),,( Raaazyx

∈=a

aebadbac λ=−=+=→ ,,,33 RRElemi vektor műveletek:

Skalárszorzás (dot product):

ϕcos),( baba =

),(),(:Kommutatív abba =

2),(:négyzeteérték Abszolút aaa =

zzyyxx bababa ++=),( ba

Tulajdonságok:

baba ⊥⇔= 0),(:90o

b

a

φ

abab /),(cos =ϕ

c)(b,ca,cba +=+ )(),(:ívDisztribut

Pontok, vektorok 9

Vektorszorzás (cross product):

ϕsin|| baba =×

cbcacba

abba

×+×=×+

×−=×

)(:ívDisztribut

!:kommutatívNem

||:területeammaParalelogr

||0:ságPárhuzamos

ba

baba

×

⇔=×

),,( yxyxzxzxzyzy

zyx

zyx abbaabbaabba

bbb

aaa −+−−=

=×

kji

ba

a x bb

a

φ

Vektorok2

Tulajdonságok:

(Jobb kéz szabály)

Egyenletek 10

Görbe és felület egyenletek11211

),,(;),( RRyxfzRRxfy →=→=Függvény:1312 ,0),,(;,0),( RRzyxFRRyxF →=→=Implicit:

3221 )),,(),,(),,((),(;)),(),(()( RRvuzvuyvuxvuRRtytxt →=→= SrParametrikus:

• (végtelen) félterek• pnt_on_crv egyszerű• mintavételezés nehéz• CAD: szabályos felületek

• véges felületdarab• pnt_on_crv nehéz• mintavételezés egyszerű• CAD: szabadformájúfelületek

• egyértelmű hozzárendelés• pnt_on_crv egyszerű• mintavételezés egyszerű• CAD: ritkán használják

x

y )(xfy =

0),( <yxF

0),( >yxF

0),( =yxF

x

y

x

y )(tr

]1,0[∈t

0),( <yxF

0),( >yxF

0),( =yxF

x

y

Egyenletek 11

Görbe és felület egyenletek2

0222),(22 =+++++= feydxcybxyaxyxF

Példa (2D): parabola

x

y

22

0)1(2)1()( ttttt

21pppr +−+−=

Függvény: y=ax2+b, (elforgatva nem függvény !)

Implicit:

hiperbolaBparabolaBellipszisBbacB 0,0,0,2 <=>−=

Parametrikus:

Ideális reprezentáció• koordináta rendszer független• paraméterei geometriailag értelmezhetők

x

y

P

R

p0

p1

p2

r(t)

Egyenletek 12

Példa

Általános kúpszelet egyenlet vektoros alakban:

- félgömb a síkon, paraméterek:

O, p, h →

w++= rvεrr 2)( 22

ÁBRA

Implicit görbék 13

Implicit görbék1

A síkot három részre osztja

Szintgörbe sereg (eltolással keletkező görbék)

Gradiens vektor - az F(x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltjai

12:),(,0),( RRyxFyxF →=

0),(,0),(,0),( 000000 >=< yxFyxFyxF

0),,(0),(),( =→=−→= dyxGdyxFdyxF

2222 ,,,,, RRx

F

y

FFtangentRR

y

F

x

FFgrad →

∂

∂−

∂

∂=→

∂

∂

∂

∂=

0),( <yxF

0),( >yxF

0),( =yxF

x

y


Implicit görbék2 - példák

Ellipszis

Hiperbola

Nem görbe

Önmetsző görbe

Több darabból álló görbe

01),(2

2

2

2

=−+=b

y

a

xyxF

01),(2

2

2

2

=−−=b

y

a

xyxF

01),( 22 =++= yxyxF

0),( 224 =+−= yxxyxF

04),( 22 =−−= xyxyyxF


Ujjgyakorlat* - implicit görbék

Pontok kiértékelése : '+' vagy '-' vagy '0'

[ ] [ ] [ ] [ ],...,...,...,...

)2

1,1(),1,

3

1(),1,

2

1(),5,2(

04),(

4321

22

=−=−==

=−−=

PPPP

xyxyyxF

Gradiens vektor komponenseinek meghatározása

).....,.........................,....................(,),( =

∂

∂

∂

∂=

y

F

x

FyxFgrad

Gradiens kiértékelése a P3 görbepontban:

Érintővektor a P3 görbepontban:

),(

),(


Ujjgyakorlat - implicit görbék

Pontok kiértékelése : '+' vagy '-' vagy '0'

[ ] [ ] [ ] [ ]−⇒−+⇒+⇒

=−=−==

=−−=

4,0,5.0,17

)2

1,1(),1,

3

1(),1,

2

1(),5,2(

04),(

4321

22

PPPP

xyxyyxF

Gradiens vektor komponenseinek meghatározása

)22,4(,),( 2yxyy

y

F

x

FyxFgrad −−=

∂

∂

∂

∂=

Gradiens kiértékelése a P3 görbepontban:

Érintővektor a P3 görbepontban:

)3

8,3( −−

)3,3

8( −

Parametrikus görbék 17

Parametrikus görbék1differenciál-geometriája

Parametrikus görbe:

Első derivált (érintő vektor):

))(),(),(()(:],[ tztytxtRbatn =→∈ r

1. Példa (2D): parabola

]2,0[),,sin,cos()( πρρ ntatttt ∈=r

h

thttt

ht

)()()()( lim

0

rrrr

−+==

→

&

Egyszerű görbe (reguláris):

2121 )()( tttt =⇒= rr

x

y

r(t)

r(a)

r(b)r(t+h)

2. Példa (3D): csavarvonal

]1,0[,)1(2)1()( 2

21

2

0 ∈+−+−= tttttt bbbr


Parametrikus görbék2differenciál-geometriájaÁtparaméterezés

r(t), [0,1]r(0)

r(1)

r(u), [a,a+2] r(a)

r(a+2)

r(v), [c,d]r(c)

r(d)

r(s), [0,L]r(0)

r(L)

1. Kiinduló görbe 2. Lineáris átparaméterezés 3.Tetszőleges átparaméterezés

4. Ívhossz szerinti átparaméterezés

Átparaméterező függvény- folytonos, szigorúan monoton, differenciálható

],[],[);()( βα→→ baut rr

u

tt

u

t

tuu tu

∂

∂=

∂

∂

∂

∂=

∂

∂= )()( r

rrr &&

Ekvivalens görbe:

A deriváltak megváltoznak:

22)(],4,2[]1,0[);()( +=→→ ttuut rr

)(tu

Példa:


Parametrikus görbék3

∫∫ ++==b

a

zyx

b

a

ab dttrtrtrdttrs )()()()(222

&&&&

Az r(t) görbébe írt poligon:

∑∑ =

−−

= − ∆∆

−∆+=−≅

=<<<=

n

i

iin

i iinab

n

tt

ttttts

bttta

1

11

1 1,

10

|)()(||)()(|

;...

rrrr

sab,n korlátos → rektifikálható → az ívhossz létezik

tt

sttsdts

t

a∂

∂=

∂

∂== ∫

rrr )()(;)()( &&& ττ

Az ívhossz a paraméter függvényeként:



Természetes (ívhossz szerinti) paraméterezés:

''')(;1|'|)( rrr ⊥= ba

;ds

drr'=

Tulajdonságok:

0),(21)(')(;11

|'|)( 2 =→==== 'r'r'rrr

r sb

dt

dsds

dt

dt

da &

Érintő egységvektor: )(sr'e =

)())(( sst rr →

Ívhossz szerinti deriválás:


Ujjgyakorlat* - érintő egyenes

Parametrikus görbe

]1,0[,)( 01

2

2 ∈++= tttt bbbr

Érintő egyenes egyenlete:

)1,4(),2,8()6,12( 012 =−== bbb

Érintővektor egyenlete:

]1,0[...,....................)( ∈= ttr&

Görbepont és érintővektor a középpontban:

......)(.....,)5.0(......),(.....,)5.0( == rr &

....)(...,....)(...,)(,5.0),()()( 000 wwttwtw +==+= lrrl &

y

x

r(0.5)


Ujjgyakorlat - érintő egyenes

Parametrikus görbe

]1,0[,)( 01

2

2 ∈++= tttt bbbr

Érintő egyenes egyenlete:

)1,4(),2,8()6,12( 012 =−== bbb

Érintővektor egyenlete:

]1,0[,2)( 12 ∈+= ttt bbr&

Görbepont és érintővektor a középpontban:

)8,4()5.0(),5.3,3()5.0( == rr &

)8,4()5.3,3()(,5.0),()()( 000 wwttwtw +==+= lrrl &

y

x

r(0.5)


Kitérő:Pithagoraszi hodográf görbék

Síkgörbék ívhosszának számítása:

dttrdttrtrs

b

a

b

a

yx ∫∫ =+= )()()(22

&&&

Az ívhossz mikor polinomiális???

Pithagoraszi számhármasok 24

Kitérő:pithagoraszi számhármasok

Derékszögű háromszög: mikor egész szám a két befogó és az átfogó?

....

13,12,52,3:.

5,4,31,2:.

)(4)(

,,2,

,0,

5,4,3:.

22222222222

2222

222

===→==

===→==

=+=+−=+

+==−=

>>

=+===

CBAvuPl

CBAvuPl

CvuvuvuBA

vuCuvBvuA

vuvu

CBACBAPl



Simulókör:

κα

=∆

∆∆+==

→∆ ssss

slim

021

),('),(' rere

,)('')( ss r=κ

)()(,0)(),()(

1)( tttt

tt crnc +→≠= κ

κ

Sugár és görbület:

Középponti vektor és evolúta:

r1r2

α

e1

e2

Alternatív származtatás:

körttttt :],,[,0),(),( 3212321 rrrrrrr →∆∆+=∆−=r1

r2=r(t)r3

c(t)

r1

r2=r(t)r3

c(t))(tρ

3)(

)()(

)(

1)(),(

t

tt

ttt

r

rr

&

&&& ×==

ρκρ

!)('')(' ss rr ⊥



r(t)e(t)

n(t)b(t)

β

r1e1

n1

b1

e2

n2

b2

r2

Simulósík és binormális:

τβ

=∆

∆∆+==

→∆ ssss

slim

021

),('),(' bbbb

nebnn ×== ),(s

Kísérő triéder (Frenet frame):

)](),(),([ sss bne

Torzió(a Frenet-frame elfordulásának mértéke):

22

),,det()(),''','','det(

1)(

rr

rrrrrr

&&&

&&&&&&

×== ts τ

κτ

(Vegyes szorzat: )),,det(),(),,( cbacbacba =×= ?


Ujjgyakorlat* - parametrikus görbék

Polinomiális bázis

]1,0[,)(],,[],,[ 01

22

01 ∈++= tttt1tt aaaraaa 22

Bernstein bázis

Kezdőpont: (__,__), végpont: (__,__), felezőpont: (__,__)

]1,0[,)1(2)1()(]),1(2,)1[(],,[2

21

2

0

22

210∈+−+−=−− tttttttttt bbbrbbb

Kezdőpont: (__,__), végpont: (__,__), felezőpont: (__,__)

)1,4(),4,4()1,6(01

=−== aaa2

)6,6(),3,2()1,4(210

=== bbby b2

b1

b0

y

a2

a1

a0


Ujjgyakorlat - parametrikus görbék

Polinomiális bázis

]1,0[,)(],,[],,[01

22

01∈++= tttt1tt aaaraaa

22

Bernstein bázis

Kezdőpont: (4,1), végpont: (6, 6), felezőpont: (3.5, 3.25)

]1,0[,)1(2)1()(]),1(2,)1[(],,[ 2

21

2

0

22

210 ∈+−+−=−− tttttttttt bbbrbbb

Kezdőpont: (4, 1), végpont: (6, 6), felezőpont: (3.5, 3.25)

)1,4(),4,4()1,6(01

=−== aaa2

)6,6(),3,2()1,4(210

=== bbby b2

b1

b0

y

a2

a1

a0


Affin invariancia - példa

Polinomiális bázis, lineáris kombináció

]1,0[,)(],,[],,[ 01

22

01 ∈++= tttt1tt aaaraaa 22

Bernstein bázis, konvex kombináció

Kezdőpont: (4,1), végpont: (6, 6), felezőpont: (3.5, 3.25)

2

21

2

0

22

210 )1(2)1()(]),1(2,)1[(],,[ ttttttttt bbbrbbb +−+−=−−


)1,4(),4,4(),1,6( 01 =−== aaa2

)6,6(),3,2(),1,4( 210 === bbb

y b2

b1

b0

y

a2

a1

a0

)2,0()(* +=Φ= rrr

]1,0[,012 ∈≠++ ttt

)3,4(),6,4(),3,6( *

0

*

1

*

2 =−== aaa Kezdőpont: (4,3), végpont: (6, 12), felezőpont: (3.5, 6.75)

)8,6(),5,2(),3,4( *

2

*

1

*

0 === bbb

]1,0[,1)1(2)1( 22 ∈=+−+− ttttt



Implicit felületek1

A teret három részre osztja

Szintfelületek

Gradiens vektor (!), merőleges az érintősíkra

13:),,(,0),,( RRzyxFzyxF →=

0),,(,0),,(,0),,( 000000000 >=< zyxFzyxFzyxF

0),,(),,( =−→= dzyxFdzyxF

33,,,),,( RRz

F

y

F

x

FzyxFgrad →

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

0),,( <zyxF

0),,( >zyxF

0),,( =zyxF

x

y

z

Példák:vagy

c

z

b

y

a

x,01

2

2

2

2

2

2

=−++

(from Otto Seiskari)

Érintősík egyenlete:

0),),,((),(

),,(,0),,(),,,(

0000

00000000000

=−=−

===

NPNPr

NP

zyx

zyxFgradzyxFzyx

Parametrikus felületek 31

Parametrikus felületek1differenciál-geometriája

Parametrikus felület:

Normálvektor:

32],[:));,(),,(),,((),( ΕbaEvuzvuyvuxvu →=r

Deriváltak:

Konstans paramétervonalak: ),(),,(00

vuvu rr

)(),();,,()(),(v

vuu

z

u

y

u

x

uvu

vu∂

∂=

∂

∂

∂

∂

∂

∂=

∂

∂=

rr

rr

vurrn ×=

Elsőrendű főmennyiségek:

22 ,,vvuu

GFE rrrr ===

r

rv

ru

?


22 ,,vvuu

GFE rrrr ===



Ujjgyakorlat*-parametrikus felületek

v=1 konstans paraméter vonal felírása:

Derivált függvények és értékük az (1,1) pontban:

2

22

...)...,(...,...)...,(...,...)...,(...,)()1,(

]2,0[),(,)3,3,3()2,5,5()1,4,2()0,1,1(),(

uuuu

vuvuvuvu

++==

∈+++=

cr

r

...)...,(...,))(),((),()4,25.0())(),(( 25.0| ==+= =ttvtuvutttvtu rr

3D-s pont egy felületi görbén:

...)...,(...,)1,1(...)...,(...,)1,1(

...................................),(...................................),(

======

==

vuvu

vuvu

vu

vu

rr

rr

&&

&&


Ujjgyakorlat-parametrikus felületek

v=1 konstans paraméter vonal felírása:

Derivált függvények és értékük az (1,1) pontban:

2

22

)1,4,2()2,5,5()3,4,4()()1,(

]2,0[),(,)3,3,3()2,5,5()1,4,2()0,1,1(),(

uuuu

vuvuvuvu

++==

∈+++=

cr

r

)25.4,5.7,7())(),((),()4,25.0())(),(( 25.0| ==+= =ttvtuvutttvtu rr

3D-s pont egy felületi görbén:

)8,11,11()1,1()4,13,9()1,1(

)6,6,6()2,5,5(),()2,5,5()2,8,4(),(

======

+=+=

vuvu

vuvuvuvu

vu

vu

rr

rr

&&

&&


Parametrikus felületek2

Elemi felületdarab:

vuv

vuvvu

u

vuvuu

vuvvuvuvuuA

∆∆∆

−∆+×

∆

−∆+

=−∆+×−∆+=∆

|),(),(),(),(

|

|)),(),(()),(),((|

rrrr

rrrr

Felszín:

dvduAvu∫∫ ×= rr dvduFEG∫∫ −= 2

u∆

v∆



ϕκϕκϕκ 2

2

2

1sincos)( +=

Felületi görbesereg, normálmetszet :

)(||)( ϕκϕ ⇒sc

nn

Főgörbületek:max2min1

, κκκκ ==

Főgörbületi irányok: 2121, kkkk ⊥

κ1k1

κ2k2

κ(φ)Euler-egyenlet:

Felületi görbék:

)())(),((

],,[),(),(21

ttvtu

ttttvvtuu

rr =

∈==r

rv

ru


Parametrikus felületek3+

2

2

2

2)(,tan/

λλ

λλλκϕλ

GFE

NMLdudv

++

++===

,0

1

det

2

=

−

NML

GFE

λλ

Görbület meghatározása egy adott pontban:

212121 ,,, κκλλ kk⇒⇒

Másodrendű főmennyiségek: nrnrnrvvuvuu

NML === ,,

22 ,,vvuu

GFE rrrr ===Elsőrendű főmennyiségek:

,0

1

det

2

=

−

NML

GFE

λλ

212121 ,,, κκλλ kk⇒⇒

2

2

2

2)(,tan/

λλ

λλλκϕλ

GFE

NMLdudv

++

++===

,0

1

det

2

=

−

NML

GFE

λλ

212121 ,,, κκλλ kk⇒⇒



Felület pontok környezetének osztályozása:

G>0 → elliptikus,

G<0 → hiperbolikus,

G=0, (M≠0) → parabolikus

)(2

1;

2121κκκκ +== MGGauss-(szorzat-) és átlaggörbületek:


Parametrikus felületek4+

G>0 G<0 G=0 (M≠0)

ϕκϕκϕκ 2

2

2

1sincos)( +=

ϕρϕρρ sin,cos, === yxrPolárkoordináták:

12

2

1

2

=+ρρ

yxDupin-indikátor (lokális kúpszelet):

Az Euler egyenlet más formában:

39Parametrikus felületek

Alliez et al.: Anisotropic Polygonal Remeshing, SIGGRAPH’2003


Görbületi vonalak és umbilikus pontok

40

Parametrikusfelületek6Umbilikus pontok: ;)(,

21cfc === κκκ

Geodetikus vonalak:

• a felületi normális és a görbe főnormálisa egy egyenesbe esik, pl. főkörök a gömbön (mellékkörökre nem igaz!)

• két felületi pont között a legrövidebb út mindig geodetikus vonal, fordítva nem igaz!

(from Lorenz Lachauer)

3D számítógépes geometria és...

Documents

Transcript of 3D számítógépes geometria és...