38027626 Cours Circuits Electriques
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1 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
Chapitre I :Etude et analyse des
circuits en courant continu
1 Dipôles électriques
1.1 Définition
Un dipôle est un élément d'un circuit électrique comportant deux
bornes. Il impose une relation entre la tension u à ses bornes et
l'intensité du courant i qui le traverse. La fonction f liant u à i :
( )u f i= imposée par le dipôle est appelée caractéristique du dipôle.
1.2 Dipôles passifs
Un dipôle passif est un dipôle récepteur qui transforme toute
l’énergie qu’il reçoit sous forme de chaleur.
1.2.1 Le résistor ( loi d’Ohm )
Un résistor est un dipôle linéaire passif qui si on lui applique entre ses
bornes A et B une d.d.p. - AB A B
U V V = , il sera parcouru par un courant
I tel que . AB
U I R= . R est appelée la résistance du dipôle. Cette loi
entre le courant et la tension dite loi d’Ohm est empirique et est
vérifiée par la plupart des dipôles passifs en régime continu. R
s'exprime en Ohm Ω.La caractéristique de transfert est une droite linéaire de pente R :
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2 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
L’inverse de la résistance est la conductance, souvent notée G, et
s’exprime en Siemens (abréviation S) :1
G R
= .
La difficulté avec laquelle les électrons circulent dans le résistor
s’accompagne d’un échauffement : c’est ce qu’on appelle l’effet Joule.
Cet échauffement, du point de vue du circuit électrique, est une perte
d’énergie par dissipation thermique. Pour une résistance R, et un
courant i et une tension U, cette puissance P J perdue dans le résistor
est égale à :
22. .
J
U P R I U I
R= = =
1.2.2 Le condensateur
Il est constitué de deux armatures conductrices séparées par un
isolant. En régime continu le condensateur est chargé par la d.d.p.
appliquée à ses bornes et il se comporte comme un interrupteur
ouvert : 0i = .
On définit sa capacité C comme le rapport de la charge accumulée
sur la tension appliquée à ses bornes : q
C u
=
L’unité de C est le Farad (F).
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3 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
Or le courant est la dérivée de la charge par rapport au temps :
( )dq
i t dt
= donc il vient : ( )du
i t C dt
= × en régime transitoire ( charge /
décharge ).
L’énergie stockée dans le condensateur est21
2 E C u= × × avec ( (0) 0)u =
.
1.2.3 La bobine
Elle est constituée de spires qui lorsqu'elles sont parcourues par un
courant continu se comportent comme un court-circuit.
Parcourue par un courant variable, la tension aux bornes est :
diu L
dt = ×
L : inductance en henry (H).
L’énergie stockée dans la bobine est 21
2 E L i= × × avec ( (0) 0)i = .
L'intérêt de ces deux dipôles réside dans les propriétés en régime
transitoire ou permanent sinusoïdal. Ils sont capables alors
d'emmagasiner de l'énergie puis de la restituer ultérieurement.
Cependant la puissance moyenne dissipée est toujours nulle.
1.3 Dipôles actifsOn s’intéresse ici aux dipôles générateurs de tension et de courant.
1.3.1 Générateur de tension
a- Générateur de tension idéal :
C’est un dipôle aux bornes duquel la tension reste constante quelle
que soit l’intensité du courant délivré. Cette tension est appelée force
électromotrice (f.é.m.). La caractéristique ( )u f i= est une droitehorizontale.
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4 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
b- Générateur de tension réel :
C’est un dipôle tel que, lorsque l’intensité du courant qu’il délivre croît
la tension à ces bornes décroît. La chute de tension est
proportionnelle à i ce qui est caractéristique d’une résistance.
g u E r i∆ = − ×
La caractéristique d’un générateur de tension réel est une droite ne
passant pas par l’origine de pente négative.
1.3.2 Générateur de courant
a- Générateur de courant idéal :
C’est un dipôle débitant un courant constant 0 I (courant
électromoteur c.é.m.) indépendant de la tension à ses bornes. La
caractéristique ( )i f u= est une droite horizontale. Lorsque le
générateur fonctionne comme générateur dans un circuit la tension
est comptée positive et orientée comme le courant.
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i
( )u t Fonctionnemen
t en générateur
Fonctionnemen
t en récepteur
E
( )u t
( )i t
( )u t
( )i t
( )u t
( )i t
u
( )i t Fonctionnemen
t en générateur
Fonctionnemen
t en récepteur
i
( )u t
CC
g
E I
r =
Fonctionnemen
t en générateur
Fonctionnemen
t en récepteur E
( )u t
( )i t
u∆
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5 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
b- Générateur de courant réel :
C’est un dipôle à la sortie duquel il y a une chute de courant lorsque
la tension à ces bornes croît. Cette chute de courant i∆ est
proportionnelle à u et elle est associée à une résistance de
conductance g telle que i g u∆ = − × , l’intensité délivrée sera alors égale
à : 0i I g u= − × avec
1 g
r = conductance du générateur. Le modèle
équivalent, est l’association en parallèle d’un générateur de courant
idéal et d’une résistance r.
La caractéristique ( )i f u= est une droite ne passant pas par l’origine,
de pente négative. Lorsque la tension 0u = , c’est à dire lorsque ses
bornes sont court-circuitées le courant débité par le générateur estégal au c.é.m.. D’autre part lorsque la charge présente une résistance
infinie (autrement dit lorsque le générateur est en circuit ouvert 0i =
alors on relève aux bornes du générateur une tension 0r I × .
2 Lois de L’électrocinétique
2.1 Définitions• Un circuit est un ensemble de composants ou dipôles reliés par
des fils de connexion.
• Un nœud est un point de jonction entre trois fils de connexion
minimum.
• Une branche est constituée par un ensemble de dipôles montés
en série entre deux nœuds et parcourus par le même courant.
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i g u×
( )u t 0 I
u
( )i t 0 I
0 I
U g
=
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6 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
• Une maille est un ensemble de branches formant un contour
fermé. Chaque nœud du contour est traversé une seule fois.
2.2 Lois de Kirchhoff
Gustar Kirchhoff : physicien allemand ( 1824-1887 ).
2.2.1 Loi des nœuds
La somme algébrique des courants vers le nœud est nulle.
courants entrant courants sortants 0− =∑ ∑En réalité on ne sait pas le sens correct du
courant pour cela on lui donne un sens
arbitraire. Après le calcul, les courants
obtenus négatifs ont des sens inversés.
Dans l’exemple ci contre : 1 2 3 4 50 I I I I I − − + − =
2.2.2 Loi des mailles
Cette loi est une conséquence de l'additivité
des tensions. Les tensions explicitées en
termes de différences de potentiels nous
permettent d'écrire pour la maille
considérée et orientée de façon arbitraire :
( - ) ( - ) ( - ) ( - ) 0 A B B C C D D A
V V V V V V V V + + + = .
Soit encore : 0 AB BC CD DA
U U U U + + + = .
Cette dernière relation ne préjuge en rien de la nature des dipôles dela maille. D'où la relation généralisée pour une maille orientée :
tensions de même sens positif tensions de sens opposé 0− =∑ ∑
2.2.3 Association des dipôles
En conséquence directe des lois de Kirchhoff, l’étude du
comportement des dipôles associés en série et/ou en parallèle est
devenu aisé.a- Cas des résistors
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7 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
• Association série
Les résistances i R sont toutes traversées par le même courant I et ont
une seule borne en commun avec un autre dipôle. La tension ADU est
égale à la somme des tensions aux bornes de chacun des dipôles :
( )1 2 3 1 2 3 AD AB BC CD éqU U U U R I R I R I R R R I R I = + + = × + × + × = + + × = ×
D’où la résistance équivalent à l’association de ces dipôles :
1 2 3éq R R R R= + + .
Dans le cas ou N dipôles sont associés en série, la résistance
équivalente s’exprime :1
N
éq i
i
R R=
= ∑ .
• Association parallèle
L’association de dipôles en parallèle se caractérise par le fait que tous
les dipôles ont leurs bornes en commun deux à deux. En conséquence
de quoi la tension aux bornes de chacun des dipôles est identique.
Le courant I qui alimente ces dipôles branchés en parallèle va alors se
repartir dans les dipôles tel que :
1 2 3
1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 AB AB AB
AB AB
éq
U U U I I I I U U
R R R R R R R
= + + = + + = × + + = × ÷ ÷
D’où1 2 3
1 1 1 1
éq R R R R
= + + ÷ et en général :
1
1 1 N
iéq i R R== ∑
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8 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
b- Cas des condensateurs
• Association série
Ona1
1
dU i
C dt = et
2
2
dU i
C dt = de plus 1 2dU dU i dU
C dt dt dt = = +
1 2
i i i
C C C = + soit
1 2
1 1 1
C C C = +
• Association parallèle
On a 1 1
dU i C dt = et 2 2
dU i C dt = × , de plus
( )1 2 1 2
dU dU i i i C C C
dt dt = + = + × = ×
Ceci montre que 1 2C C C = +
c- Cas des bobines
• Association série
On a 1 1
di L U
dt = et 2 2
di L U
dt = de plus ( )1 2 1 2
di diU U U L L L
dt dt = + = + × = ×
Soit donc en équivalence : 1 2 L L L
= +• Association parallèle
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i C1 C2
U1
U2
i C
U=U1+U
2
iC
U
iC
1
C2
U
U1
U2
U
L1
L2 L
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9 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en courant
continu
On a1
1
diU
L dt = et
2
2
diU
L dt = de plus
2 1
1 2
di diU di U U
L dt dt dt L L= = + = +
Soit finalement :1 2
1 1 1
L L L= +
2.3 Théorème de superposition
Dans un circuit linéaire contenant des sources indépendantes, le
courant ou la tension à chaque point dans le circuit est la somme
algébrique des contributions de chaque source agissant seule, les
autres sources supposée éteintes.
• Une source de tension éteinte ⇒ court-circuitée.
• Une source de courant éteinte ⇒ circuit ouvert.
Exemple 2.3 :
On cherche à montrer que le circuit suivant est équivalent à la
somme des deux circuits en dessous.
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U
L1
L2
i
U
Li
+
E1
R
I
I2
I1
E2
A
B
VAB
E1
R 2
R
I’
I’2
I’1 A
B
V’AB
R 2I"
2
E2
A
B
R 2
V"AB
I"
I"1
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10 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en
courant continu
Montrons que : 1 1 1' " I I I = + ; 2 2 2
' " I I I = + ; ' " I I I = + ; ' " AB AB ABV V V = +
Commençons par le circuit 1 où E2 est court-circuitée :
11'
'éq
E I
R= or
2
2
'éq
R R R
R R
×=
+
alors2
1 1
2
'R R
I E R R
+= ×
×
en suite 1' E R I = ×
1'E
I R
⇒ = on a aussi 1 2 2' E R I = × 1
2
2
'E
I R
⇒ =
On dégage simplement : 1' AB
V E =
Idem pour le circuit 2 où E1 est court-circuitée :
On a : " 0 AB
V =
22
2
"E
I
R
= − et 1 2" " I I = D’autre part : " 0 I =
Pour le circuit principal:
On a ABV R I = × et 1 AB
V E = et 2 2 2 ABV E R I = + ×
1 ' E
I I R
= = puisque " 0 I =
1 2 1 22 2 2
2 2 2
' " E E E E
I I I
R R R
−= = − = +
11
1 1 2 2 21 2 1
2 2 2
"' I I
E E E R R E I I I E
R R R R R
− += + = + = × −
×1 42 43
1'
AB ABV E V = = car " 0
ABV =
2.4 Théorème de Thevenin
Un circuit avec des sources autonomes de tension, de courant, et des
résistances peut être remplacé par un circuit équivalent constitué
d’une seule source de tension Eth en série avec une résistance Rth.
• Eth est égale à la tension à vide qui apparaît entre A et B
lorsque le reste du circuit est débranché.
• Rth est la résistance équivalente entre A et B lorsque les
sources autonomes de tension et de courant sont éteintes.
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Dipôle étudié
Circuit
électrique
A
B
A
B
Eth
R th
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11 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en
courant continu
Procédure :
a- On supprime du circuit le dipôle cinétique étudié de bornes A et
B.
b- On éteint toutes les sources et on calcule la résistance
équivalente entre A et B th R→ :
• Une source de tension est court-circuitée.
• Une source de courant est un circuit ouvert.
c- On rétablit les sources et on calcule la tension entre A et B du
circuit ouvert ( dipôle étudié supprimé).
d- On remet le dipôle étudié et on calcule le courant avec le
générateur équivalent obtenu.
Exemple 2.4 :
On considère le circuit suivant :
On demande de déterminer le courant I et la tension VAB aux bornes
du dipôle AB en appliquant le théorème de Thevenin.
1 21 2
1 2
//th
R R R R R
R R
×= =
+
2 0 2 1 0 1 E I R E I R+ × = − × 1 2
0
1 2
E E I R R
−→ = +
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E1
R 1
R 2
R
I
I2I
1
E2
A
B
VAB
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12 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en
courant continu
1 2 2 10 1 0 1 1 1 1 2
1 2 1 2 1 2
th AB
E E R R E V E I R E R E E
R R R R R R
−= = − × = − × = × + ×
+ + +
th
th
E I R R→ = + et th AB
th
E V R I R R R= × = × +
2.5 Théorème de Northon
Chaque circuit composé de sources autonomes et des dipôles passifs
est assimilable à une source de courant en parallèle avec une
résistance.
• La résistance est celle équivalente entre A et B lorsque les
sources sont éteintes : comme dans le cas de Thévenin.
• La source de courant débite un courant égal au courant de
court- circuit lorsque A et B sont liés.
Exemple 2.5 :
On considère l’exemple précédent ( exemple 2.4 ). On demande de
retrouver son modèle équivalent de Northon.
1 2
1 21 2// N
R R
R R R R R
×
= = +
En court-circuitant A et B on trouve que 1 2 N I I I = − d’autre part
11
1
E I
R=
et2
2
2
E I
R= − ce qui nous amène à :
1 2
1 2
N
E E I
R R= +
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Circuit
électrique
A
B
A
B
I N
R N
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13 Chapitre 1. Etude et analyse des circuits en
courant continu
2.6 Théorème de Millman
Soit un nœud A de potentiel VA auquel sont liés des dipôles R1, R2 et
R3 comme le montre la figure suivante.
Montrons que :
31 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 A
V V V
R R RV
R R R
+ +=
+ +
Démo : on a
1
11
AV V
I R
−
= ;
2
22
AV V
I R
−
= ;
3
33
AV V
I R
−
=
Lois des nœuds : 1 2 30 I I I + + = → 31 2
1 2 3
0 A A AV V V V V V
R R R
−− −+ + =
→ 31 2
1 2 3 1 2 3
0 A A AV V V V V V
R R R R R R+ + − − − = → 31 2
1 2 3 1 2 3
1 1 1 A
V V V V
R R R R R R
× + + = + + ÷
Soit finalement :
31 2
1 2 3
1 2 3
1 1 1 A
V V V
R R RV
R R R
+ +=
+ +
Généralisation :1
i
i A
i
V
RV
R
=∑
∑
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R 1
R 2
R 3
V1
VA
I1
I2
I3
V3
V2
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14 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
Chapitre II : Etude et analyse des
circuits en courant alternatif
1 Grandeurs caractéristiques des fonctions
périodiques
1.1 Signal périodique quelconque :
Une grandeur physique (tension, courant, etc.) est dite périodique si
elle reprend identiquement la même valeur à intervalles de temps
égaux.
Période T : temps minimal nécessaire pour retrouver la même valeur
de la fonction.
Fréquence F : inverse de la période.
1 F
T =
Valeur instantanée u(t) : la fonction elle-même.
Valeur maximale U : amplitude maximale ou de crête.
Valeur moyenne Umoy :
1( )
T
moyU u t dt T
α
α
+= ×∫
Valeur efficace Ueff :
2 21( )
T
eff
U u t dt T
α
α
+= ×
∫
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15 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
1.2 Régime permanent sinusoïdal
On parle de régime permanent sinusoïdal lorsque l'évolution
temporelle des signaux correspond à des sinusoïdes. La formegénérale d'un signal sinusoïdal est donc :
( ) cos( )u t U t ω ϕ = +
Rappelons quelques définitions :
Phase instantanée : t+ω ϕ
Phase à l'origine: ϕ
Pulsation : ω
Période :2
T π
ω =
Fréquence :1
2 F
T
ω
π = =
Calculons les valeurs moyenne et efficace :
( )0
0cosT
moy t U
U dt T
ω ϕ + == ×∫
( ) ( )( )2 2
2 2
0 01 cos 2 0
2cosT T
eff t t U U U dt dt T T
ω ϕ ω ϕ + ++ = == × ×∫ ∫
( )( ) [ ]
( )( )2 2 2
2
0
0
0 0 21 cos 2 cos 2
2 2
T
T
T T
eff
U t
U U U t dt t dt
T T ω ϕ ω ϕ
÷= + = ÷ ÷
= + + × + ×∫ ∫ 1 4 4 44 2 4 4 4 43
Et enfin :2
eff
U U =
2 Représentations d'une grandeur sinusoïdale
Pour faciliter les calculs il est possible de faire appel à deux
représentations des grandeurs sinusoïdales. Ces deux représentations
consistent à associer à une grandeur sinusoïdale un vecteur tournant
dans un plan. La projection de ce vecteur sur l’axe origine de phase
peut alors donner accès à la grandeur considérée. La représentation
peut être graphique, il s'agit de la représentation de Fresnel. Elle peut
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16 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
être analytique. En effet à tout vecteur on peut associer un nombre
complexe dont la partie réelle est égale à une composante de ce
vecteur et la partie imaginaire à l'autre composante dans un repère
orthonormé.
2.1 Représentation de Fresnel
Le vecteur de Fresnel associé à un signal sinusoïdal est un vecteur
tournant dont la vitesse angulaire est égale à la pulsation du signal.
La norme de ce vecteur est égale à l'amplitude maximale du signal
et l'angle polaire est à tout instant égal à la phase instantanée du
signal. La valeur algébrique du signal est donnée par la projection du
vecteur tournant sur l'axe de référence pour la phase.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
( )2 2( ) cos M h t H t ω ϕ = × + ( )1 1( ) cos M g t G t ω ϕ = × +
Lorsqu'on ne compose que des signaux de même période, on ne
s'intéresse en fait qu'aux déphasages relatifs. Il n'est donc pas
nécessaire de faire tourner les vecteurs. On se contente d'un vecteur
fixe ayant pour norme l'amplitude maximale du signal et pour angle
polaire son déphasage.
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GM 2 2
t ω ϕ +
+H
M
1 1t ω ϕ +
GM
2ϕ
+
1ϕ φ H
M
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17 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
Dans le cas de plusieurs signaux de même fréquence, l’un d’eux est
utilisé comme origine pour les phases.
Dans cette représentation, on utilise les propriétés géométriques de
la figure obtenue pour la résolution du problème.
En plus, la valeur maximale est proportionnelle à la valeur efficace, donc on peut raisonner sur un vecteur d’amplitude
la valeur efficace.
La représentation de Fresnel, n’est facilement exploitable en
électricité que pour des circuits très simples.
Dérivation et intégration :
Soit ( ) cos( )u t U t ω ϕ = + alors '( ) sin( )u t U t ω ω ϕ = − × × + .
Comme cos( ) sin2
x xπ
+ = − alors '( ) cos( )2
u t U t π
ω ω ϕ = × × + + ceci dit que
la dérivation d’un vecteur revient à une multiplication par ω et une
avance de phase de2
π
.
Soit ( ) cos( )u t U t ω ϕ = + alors ( ) sin( )U
u t t ω ϕ ω
= × +∫ .
Comme cos( ) sin2
x xπ − = alors ( ) cos( )
2
U u t t
π ω ϕ
ω = × + −∫ ceci dit que
l’intégration d’un vecteur revient à une division par ω et un retard de
phase de2
π
.
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1 2φ ϕ ϕ = −
U
ϕ 2
π ϕ +
U ω ×
U
ω
2
π ϕ −
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18 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
Exemple :
On donne la figure suivante :
( ) ( ) ( )e s
V t R I t V t ω ω ω = × + et( )
( ) sdV t
I t C dt
ω ω = ×
1( ) ( )
2 sV t I t
C
π ω ω
ω = × −
( )2
2 2
2 21
e
Z
I V RI I RC C ω ω
= + = × + ÷ 1 44 2 4 43
2.2 Représentation complexe
L’analogie entre le plan de Fresnel et le plan complexe conduit
naturellement à représenter les vecteurs tournants associés aux
grandeurs électriques sinusoïdales par des grandeurs complexes.
2.2.1 Notations
Une grandeur G sera notée en représentation complexe par G et son
conjugué par *G .
Pour éviter toute confusion avec les courants, l’opérateur imaginaire i
est noté j avec 2 21 , j
j j eπ
= − = .
Les parties réelle et imaginaire de G sont notées respectivement :
( )Gℑ et ( )Gℜ . Au vecteur G on associe le complexe ( ) ( )G G j G= ℜ + ×ℑ .
Ainsi à l’intensité ( ) cos( ) M ii t I t ω ϕ = × + on fait correspondre
( )( ) e i j t
M i t I ω ϕ += × et à la tension ( ) cos( ) M vv t V t ω ϕ = × + , on fait
correspondre ( )( ) e v j t
M v t V
ω ϕ += × . De cette façon la grandeur physique
sera toujours la partie réelle de la grandeur complexe associée.
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Ve(t) Vs(t)
R
C
I(t)
I
C ω
+
RI Ve
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19 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
En effet : ( ) ( )( )( ) cos( ) ( ) e i j t
M i M i t I t i t I ω ϕ
ω ϕ += × + =ℜ = ℜ ×
De même : ( ) ( )( )( ) cos( ) ( ) e v j t
M v M v t V t v t V ω ϕ
ω ϕ += × + = ℜ =ℜ ×
2.2.2 Dérivation et intégration complexe
Soit ( )( ) e v j t
M v t V ω ϕ += × alors :
( )'( ) e ( )v j t
M v t V j j v t ω ϕ
ω ω += × × = × la dérivation d’un complexe
revient à une multiplication par jω .
( )1 1
( ) e ( )
v j t
M v t dt V v t j j
ω ϕ
ω ω
+
× = × × = ×∫ l’intégration d’un complexe
revient à une division par jω .
2.2.3 Amplitude complexe
On définit l’amplitude complexe de ( ) telque ( ) j t I i t i t I e ω = × et V
de ( ) telque ( ) j t v t v t V e ω = × comme suit :
2
2
i i
v v
j j
M
j j
M
I I e I e
V V e V e
ϕ ϕ
ϕ ϕ
= × = × ×
= × = × × V et I étant les valeurs efficaces.
2.2.4 Impédance complexe
On défini l'impédance complexe d’un dipôle parcouru par le courant
( )i t et ayant aux bornes la tension ( )v t par le rapport Z entre la
tension complexe aux bornes du dipôle et le courant complexe qui le
traverse :
( ) ( ) ( )( ) 2
( ) 2
v
v i
i
j j j j
j
v t V V e V V Z e e Z e
i t I I I I e
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ
−× ×= = = = × = × = ×
× ×avec v i
ϕ ϕ ϕ = − .
( ) cos( ) sin( ) j
Z Z e Z j Z R j X ϕ
ϕ ϕ = × = × + × × = + ×
cos( ) R Z ϕ = × est appelée résistance et sin( ) X Z ϕ = × est appelée
réactance.
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20 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
2 2 2cos ( ) R Z ϕ = × et 2 2 2sin ( ) X Z ϕ = × → 2 2 2 X R Z + = et enfin : 2 2 Z R X = +
Le déphasage ϕ introduit par l’impédance est tel que ( )X
tg R
ϕ = soit :
1 X tg
Rϕ − = ÷
2.2.5 Admittance complexe
Z R j X = + ×
Par analogie avec la conductance 1/R, on définit l’ admittance
complexe :
2 2 2 2 2 2
1 1 R jX R X Y j A j B
Z R jX R X R X R X
−= = = = − = + ×
+ + + +
2 2
R A
R X =
+: une conductance et
2 2
X B
R X = −
+: une susceptance.
3 Dipôles linéaires en régime sinusoïdal
Considérons les cas des trois dipôles de base :
3.1 Le résistor
( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t R i t v t R i t Z i t Z R= × → = × = × → =
L’impédance d’un résistor est sa résistance.
3.2 Le condensateur idéal
1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t i t dt v t i t dt i t Z i t Z
C C C j jC ω ω = × × → = × × = × × = × → =∫ ∫
L’impédance d’un condensateur de capacité C est : 21 1 j
Z e jC C
π
ω ω
−= = × .
3.3 La bobine idéale
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )di t d i t v t L v t L L j i t Z i t Z jLdt dt
ω ω = × → = × = × × = × → =
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21 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
L’impédance d’une bobine d’inductance L est : 2 j
Z jL L eπ
ω ω = = × .
3.4 Association d’impédances
Soient les trois impédances 1 1 1 Z R j X = + × , 2 2 2 Z R j X = + × et 3 3 3 Z R j X = + ×
3.4.1 Association série
On prend i comme origine des phases
2 j t j t i I e I eω ω = × = × × et 2 j t j j t v V e V e eω ϕ ω = × = × × ×
Alors j jv V
Z e Z ei I
ϕ ϕ = = × = ×
( )1 2 3 1 2 3v v v v i Z Z Z = + + = × + +
( ) ( )1 2 3 1 2 3 1 2 3m
v Z Z Z Z R R R j X X X Z R jX
i= = + + = + + + + + = = +∑ avec :
m R R= ∑ , m X X = ∑ , ( ) ( )2 2
m m Z R X = +∑ ∑ et ( ) m
m
X tg
Rϕ = ∑
∑
3.4.2 Association parallèle
1 1 2 2v Z i Z i= × = × et 1 2i i i= +
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 1 1
1 1
Z Z v v vi v Z
Z Z Z Z i Z Z
Z Z
×= + = + → = = =
++
÷
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1 Z 2 Z 3 Z
1v 2v 3v
i
v
Z
v
i
i
1 Z
2 Z v
1i 2
i
i
Z v
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22 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
Au contraire de l’association série, le calcul de l’impédance
équivalente est un travail laborieux. Toutefois, les règles vues en
continu restent vraies pour les impédances (complexes).
En général pour n impédances on a :
1
1
1n
i i
Z
Z =
=∑ ou encore :
1
j
n
j
i j i
Z
Z
Z
= ≠
= ∏∑∏ .
4 Circuits résonnants
4.1 Circuit RLC série
4.1.1 Impédance équivalente
( ) 2 j t i t I e ω = × × et ( ) 2 j j t v t V e eϕ ω = × × ×
D’autre part :( ) 1
( ) ( ) ( )d i t
v t R i t L i t dt dt C
= × + × + × ×∫
1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )v t R i t j L i t i t R j L i t
j C j C ω ω
ω ω
= × + × + × = + + × ÷
( )1 1 Z R j L R j L
j C C ω ω
ω ω
= + + = + − ; le module est
2
21
Z R LC
ω
ω
= + − ÷
On constate que l’impédance dépend de ω donc de la fréquence.
Z est minimale pour 0
0
1 L
C ω
ω = donc pour 0
1
LC ω = et m Z R= .
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R L C
( )v t
( )i t
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23 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
4.1.2 Résonance
Le courant I passe par un maximum lorsque Z est minimale ( )0ω ω =
.
C’est la résonnance du courant.
On obtient pour 2 R = Ω , 5 L mH = , 5C mF = et 20V V = une résonnance
de courant pour 1200 rad sω −= × comme le montre la figure suivante :
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10001
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
ω en radian /s
Z
i
4.1.3 Déphasage
Pour ce circuit on a ( )1 Z R j L
C ω
ω
= + − donc1
tg
LC
R
ω ω
ϕ =
−et
cos 0 R
Z ϕ = > alors
2 2
π π ϕ − < < ; de plus pour 0ω ω = (résonnance), 0ϕ =
donc le courant et la tension sont en phase. Pour 0ω ω < le courant est
en avance par rapport à la tension (le caractère capacitif domine) etpour 0ω ω > , le courant est en retard par rapport à la tension (le
caractère inductif domine).
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24 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
4.1.4 Facteur de qualité
Cherchons les valeurs de ω pour lesquelles1
X R LC
ω ω
= ±− = donc
résoudre l’équation : 2 1 0 LC RC ω ω ± − = on a
2 2 4 0 R C LC ∆ = + >
Les solutions sont :2 2 4
2
RC R C LC
LC ω
± ± += , les deux solutions
retenues :2 2
1
4
2
RC R C LC
LC ω
− + += et
2 2
2
4
2
RC R C LC
LC ω
+ + +=
( 2 1, 0ω ω > )
On définit le facteur de qualité du circuit par :0
2 1
Qω
ω ω =
−
Ce facteur de qualité caractérise la largeur de la résonance. Celle-ci
est d'autant plus étroite que le facteur de qualité est grand. En
reportant les expressions des trois pulsations nous obtenons pour le
facteur de qualité :
1 LQ
R C =
4.2 Circuit RLC parallèle
4.2.1 Impédance du circuit
( ) 2 j t i t I e ω = × × et ( ) 2 j j t v t V e eϕ ω = × × ×
D’autre part :( ) 1
( ) ( ) ( ) L L C
d i t v t R i t L i t dt
dt C = × + × = × ×∫
( ) ( ) ( ) ( )1 L C i t i t i t j C v t
R j Lω
ω = + = + × ÷+
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R
LC ( )v t
( )i t ( )C
i t ( ) Li t
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25 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
( ) ( )21
1
1 1 Z
jC j C
R j L
R j L R j L
R j L CL j RC ω
ω
ω ω
ω ω ω ω =
+ −++
+ += =
+ + ; le
module est( )
2 2 2
22 2 2 21
Z R L
CL C R
ω
ω ω
= +− +
: Z est maximale pour
2
0 1 LC ω = donc pour 0
1
LC ω = et 21
M
L C Z R
CR L= + ×
4.2.2 Résonance
Le courant I passe par un minimum lorsque Z est maximale ( )0ω ω = c’est un circuit bouchon ( 0 I ; ).
On obtient pour 2 R = Ω , 1 L mH = , 10C F µ = et 20V V = une résonnance
pour 4 110 rad sω −= × comme le montre la figure suivante :
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
x 104
0
10
20
30
40
50
60
ω en radian /s
Z
i
4.2.3 Déphasage
Pour ce circuit on a( )21
Z R j L
CL j RC
ω
ω ω −
+=
+( )( )
( )
2 2
22 2 2 2
1
1
R j L CL R C
CL R C
ω ω ω
ω ω
−
−
+ −=
+
donc
( )2 21 L CL R C
tg R
ω ω ω
ϕ
− −
= et cos 0
R
Z ϕ = > alors 2 2
π π
ϕ − < < ; de plus
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26 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
pour 0ω ω = (résonnance), 0C
tg R L
ϕ = − × < donc 0ϕ < le courant est en
avance de phase.
4.2.4 Facteur de qualité
( )( )
0
0
1 1 1Q L
R R C ω
ω = × = × →
1 LQC R
=
5 Puissance en régime sinusoïdal
5.1 Puissance instantanée
Nous avons vu qu'en convention récepteur la puissance reçue par un
dipôle s'écrit : ( ) ( ) ( ) p t v t i t = × .
Avec :( )
( ) 2 cos
( ) 2 cos
v t V t
i t I t
ω
ω ϕ
=
= +on écrit : ( )( ) 2 cos cos p t I V t t ω ω ϕ = × × × +
Comme [ ]1
cos cos cos( ) cos( )2
a b a b a b× = − + + alors on écrit la
puissance ( ) p t :
( )( ) cos cos 2 p t I V I V t ϕ ω ϕ = × + × +
Le premier terme c’est la puissance dite active, le deuxième terme
est une puissance fluctuante à fréquence double dont la moyenne est
nulle.
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
5.2 Puissance active
C’est la puissance moyenne consommée et transformée en travail et
exprimée en Watt.
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27 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
( ) ( ) p t p t dt < > = =∫ ( )( )cos cos 2 cos I V I V t dt VI ϕ ω ϕ ϕ × + × + =∫ cos P VI ϕ =
Dans le cas d’un dipôle résistif cos 1ϕ = et donc : P VI =
On constate que dans le cas d’un circuit purement inductif ou
purement capacitif le déphasage est2
π ± → cos 0ϕ = d’où la puissance
moyenne nulle. Le condensateur et l’inductance ne consomment pas
de la puissance active.
5.3 Puissance réactive
Par symétrie avec la puissance active, on définit la puissance réactive
Q tel que : sinQ VI ϕ =
Pour un dipôle résistif sin 0ϕ = , alors il n’a aucun trait à la puissance
réactive.
Pour un condensateur, 2
π
ϕ = − → sin 1ϕ = − et
22
0
I
Q VI C V C ω ω = − = − × = − <
donc un condensateur fournit de la puissance réactive.
Pour une bobine,2
π ϕ = + → sin 1ϕ = et
22
0V
Q VI L I L
ω ω
= = × = > donc une
bobine reçoit de la puissance réactive.
5.4 Puissance apparente et facteur de puissance
La puissance apparente consommée par un dipôle est définie par le
produit des valeurs efficaces de la tension et du courant : S V I = ×
2 2 2 2 2S V I P Q= × = + soit 2 2S P Q= +
Le facteur de puissance est définit par p
S λ = avec cos P VI ϕ = donc
cosλ ϕ = .
On peut donc déduire les formules et les règles suivantes :- cos cos P VI S ϕ ϕ = =
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28 Chapitre 2. Etude des circuits en courant alternatif
sinusoïdal
- sin sinQ VI S P tg ϕ ϕ ϕ = = = ×
-Q
tg P
ϕ = ; 2 2cos
P P
S P Qϕ = =
+
-2 2 2
S P Q= + d’où la représentation du triangle des puissances :
Pour une impédance z R jX z ϕ = + = ∠ , parcourue par un courant I on
a :
- 2S z I = ×- 2 P R I = ×
- 2Q X I = ×
5.5 Puissance complexe
On définit la puissance complexe par : *1
2 P V I = × × où V et * I sont
respectivement les amplitudes complexes de ( )v t et*
( )i t conjugué de
( )i t .
2 v jV V e ϕ = × et * 2 i j I I e ϕ −= × .
( )v i j j P VI e VI eϕ ϕ ϕ −= × = × → ( )cos sin cos sin P VI j VI jVI ϕ ϕ ϕ ϕ = + = +
P P jQ= +
6 Conclusion
Au cours de ce chapitre on a étudié les circuits électriques en régime
sinusoïdal monophasé. On a mis en évidence l’importance du
déphasage et de la fréquence dans le comportement des circuits
linéaires en régime permanent sinusoïdal.
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Q
P
S ϕ
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29 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
Chapitre III : Les systèmes
triphasés
1 Constitution
1.1 Expérimentation
On place trois bobines suivant la disposition montrée en Fig I.1, leurs
axes sont décalés entre eux de2
3
π . Un aimant qui tourne au centre
induit une f.e.m e dans chacune. La f.e.m est maximale, maxe E = ,
lorsque le flux traversant la bobine est maximal (aimant en face). On
note 1e , 2e , 3e les f.e.m induites respectivement dans les bobines 1, 2
et 3.
Si on considère qu’à 0t = , 1e est maximale,
alors :
( ) ( )
( )
( )
1 max max
2 max max
3 max max
cos cos
2 2cos cos
3 3
4 4cos cos
3 3
t t
t t
t t
e E E
e E E
e E E
θ ω
π π θ ω
π π θ ω
=
− = − ÷ ÷ − = − ÷ ÷
=
=
=
Le système conçu est un générateur de tensions alternatives
sinusoïdales triphasées.
En considérant 0t = lorsque 1e est nulle,
2t π θ ω = − , le système aura comme équations :
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3e
1e
2e
θ
Fig III.1 : Générateur triphasé
( ) ( )
( )
( )
1 max
2 max
3 max
sin
2
sin 3
4sin
3
t t
t t
t t
e E
e E
e E
ω
π
ω
π ω
− ÷
− ÷
=
==
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30 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
Si les bobines sont chargées, un système triphasé de courants
sinusoïdaux s’établit.
1.2 Représentation des tensionsLes trois phases sont livrées avec un neutre commun. On verra plus
tard la notion de couplage. Elles sont repérées par des chiffres (1, 2,
3) ou encore par des lettres (A, B, C) ou (R, S, T). Le neutre est noté
N. Les tensions simples mesurées par rapport au neutre sont notées
(v1, v2, v3) alors que les tensions composées mesurées entre les
phases sont notées (u12, u23, u31).
1.3 Le système triphasé : quel intérêt ?
Deux raisons majeures donnent une importance au système triphasé :
• Pertes au cours du transport : pour transporter la même puissance en
monophasé qu’en triphasé, les pertes joules sont diminués en
triphasé. Le calcul suivant le met en évidence.
Monophasé Triphasé
Puissance cos P V I ϕ = × × 3 ' cos P V I ϕ = × × ×
Courant I '3
I I =
Pertes joules2
2 6 ' j j P R I P = × × = ×2
21' 3
3 3 j
I P R R I
= × × = × × ÷
Les pertes sont six fois plus importantes. Elles sont le double en
utilisant en triphasé des câbles de section trois fois plus petite qu’enmonophasé.
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Fig III.2 : Tensions simples et tensions
composées
12
3
N
u12
u23
u31
V1
V2
V3
12
3
N
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31 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
• Les moteurs triphasés sont plus puissants que ceux monophasés de
même masse.
2 Système équilibré de tensions
2.1 Tensions simples
2.1.1 Oscillogramme
Les tensions simples ont la même valeur efficace et sont déphasées
l’une par rapport à l’autre de 2
3
π
par conséquent leurs somme est
nulle. Le système est dit équilibré.
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 5pi/2-600
0
600
tensions simples
angle en radian
A m p l i t u d e
V1
V2
V3
2.1.2 Représentation complexe
La représentation complexe des tensions permet de simplifier les
calculs.
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32 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
( ) ( )
( )
( )
1
2
3
2 sin
22 sin
3
42 sin3
v t V t
t V t
t V t
v
v
ω
π ω
π ω
× × − ⇒ ÷
× − ÷
=
=
=
( )1
2
32
4
3
3
2
2
2
j t
j t
j t
V e
V V e
V V e
V ω
π ω
π ω
− ÷
− ÷
×
× ⇒
×
=
=
=
1 1
2
32 1
4
3
3 1
j
j
V e
V e
V V
V
V
π
π
−
−
× ×
=
=
=
2.1.3 Représentation vectorielle
Chaque tension est décrite par un vecteur tournant de module
l’amplitude maximale de la dite tension et d’argument sa phase
instantanée.
( ) ( )
( )
( )
1
2
3
2 sin
22 sin
3
42 sin
3
v t V t
t V t
t V t
v
v
ω
π ω
π ω
× × − ÷
× − ÷
=
=
=
La représentation de Fresnel donne une disposition des vecteurs
tension en un instant quelconque. On choisit ici l’instant 0t = .
Les vecteurs sont :
1
2
0
V V
÷ ÷
r, 2
2
2
3
V
V π
÷
− ÷ ÷
r, et 3
2
4
3
V
V π
÷
− ÷ ÷
r.
On a à tout instant 1 2 3 0V V V + + = .
2.2 Tensions composées
2.2.1 Définition
Se sont les tensions entre phases, elles sont de même fréquence que
les tensions simples.
12 1 2 12 1 2u v v U V V = − ⇒ = −
23 2 3 23 2 3u v v U V V = − ⇒ = −
31 3 1 31 3 1u v v U V V = − ⇒ = −
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électriques
Fig.III.4 : Tensions simples
O
1V
3V
2V
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33 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
2.2.2 Vecteurs de Fresnel associés
Calculons les tensions complexes composées :
2
3 612 1 2 1 1 1 1
1 3 3 31 1 3
2 2 2 2
j j
U V V V e V j V j V eπ π
− = − = − = − − − = + = × × ÷ ÷ ÷ ÷
÷ ÷ ÷
2
3 623 2 3 2 21 3
j j
U V V V e V eπ π
− = − = − = × × ÷
2
3 631 3 1 3 31 3
j j
U V V V e V eπ π
− = − = − = × × ÷
2.2.3 Equations horaires et oscillogrammes
( )12 2 sin6
u t U t π
ω × + ÷
= ( )23 2 sin2
t U t uπ
ω × − ÷
=
( )31
72 sin
6t U t u
π ω
× − ÷
=
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1V
3V
2V
12U
31U
23U
Fig.III.8: Tensions composées
1V
3V
2V
2V −12U
31U
1V −
3V −
23U
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34 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 5pi/2-600
0
600tensions simples et composées
angle en radian
A m p l i t u d e
Fig.III.9: Oscillogramme des tensions composées
3 Récepteurs triphasés
Un récepteur triphasé est constitué de trois impédances reliées entre
eux et alimentées par les trois phases et éventuellement le neutre. La
façon de relier les impédances s’appelle couplage.
3.1 Couplage étoile (Y)
Chaque impédance est reliée aux autres par la même extrémité.
1 1i j= , 2 2i j= et 3 3i j=
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1 z
2 z
3 z
N
Fig.III.10 : Couplage étoile
1 j
2 j
3 j
1i
2i
3i
1v
2v
3v
N
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35 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
1 1 1v z j= × , 2 2 2
v z j= × et 3 3 3v z j= ×
3.2 Couplage triangle (∆)
Les impédances de la charge sont reliées de sorte à constituer un
triangle dont ils occupent les côtés.
1 1 3i j j= − , 2 2 1
i j j= − et 3 3 2i j j= −
12 1 1u z j= × , 23 2 2
u z j= × et 31 3 3u z j= ×
3.3 Récepteur triphasé équilibré
3.3.1 Couplage étoile
Pour un récepteur équilibré couplé en étoile, les courants de ligne et
de phase sont identiques. 1 1i j= , 2 2
i j= et 3 3i j=
De plus 1 1 1v z j= × , 2 2 2
v z j= × et 3 3 3v z j= × comme 1 2 3
0v v v+ + = alors
( )1 2 3
10v v v
z
× + + = soit encore 31 2 0vv v
z z z
+ + = ÷
donc 1 2 30 j j j+ + =
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1 z
2 z
3 z
Fig.III.11 : Couplage triangle
1 j
2 j
3 j
1i
2i
3i
1v
2v
3v
N
z
z
z
N i
Fig.III.12 : récepteur équilibré : étoile
1 j
2 j
3 j
1i
2i
3i
1v
2v
3v
N
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36 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
La somme des courants dans le récepteur triphasé équilibré couplé en
étoile est nulle. On en déduit que le courant du neutre est nul : 0 N i = .
11
2 2 j t j t
j
v V e V j e e
z z e z
ω ω ϕ
ϕ
−= = = × ×
2 j t I e eω ϕ −= × × ( ), I V ϕ
2
3
22
j t
j I e e
π ω
ϕ
− ÷ − = × ×
4
3
32
j t
j I e e
π ω
ϕ
− ÷ − = × ×
Puissance par phase : 1
cos p VI ϕ =
Puissance totale : 13 3 cos 3 cos p p VI UI ϕ ϕ = × = × = ×
Puissance réactive : 3 sinQ UI ϕ = ×
Puissance apparente : 2 23S UI p Q= × = +
Pertes joules : si le neutre n’est pas disponible, on mesure la
résistance entre phases R et en déduit celle par phase 2
R
r = .
2 2 233 3
2 2 j
R p r I I R I = × × = × × = × ×
3.3.2 Couplage triangle
Pour un récepteur équilibré couplé en triangle, les courants de ligne
et de phase sont reliés comme suit : 1 1 3i j j= − , 2 2 1i j j= − et 3 3 2i j j= −
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1V
3V
2V
1 I
2 I
3 I
ϕ
ϕ
ϕ
z
z
z
Fig.III.14 : Récepteur équilibré :
triangle
1 j
2 j
3 j
1i
2i
3i
1v
2v
3v
N 31u
12
u
23u
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37 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
Il est évident que 1 2 30i i i+ + = puisque il ya absence du neutre.
De plus 12 1u z j= × , 23 2
u z j= × et 31 3u z j= × comme 12 23 31
0u u u+ + = alors
( )12 23 31
10u u u
z × + + = soit encore 23 3112 0
u uu
z z z
+ + = ÷
donc1 2 3
0 j j j+ + =
La somme des courants dans le récepteur triphasé équilibré couplé en
triangle est nulle. On en déduit que le courant du neutre est nul :
0 N i = .
6612
1
3 2 6 j t
j t
j
u V e V j e e
z z e z
π ω π
ω ϕ
ϕ
+ ÷ + ÷ − × × ×= = = × ×
×
62 j t
J e eπ ω
ϕ + ÷ − = × ×
2
3 6 2
22 2
j t j t
j J e e J e e
π π π ω ω
ϕ ϕ
− + − ÷ ÷− − = × × = × ×
4 7
3 6 6
32 2
j t j t
j J e e J e e
π π π ω ω
ϕ ϕ
− + − ÷ ÷− − = × × = × ×
( , ) ( , ) I V J U ϕ ϕ =
4
3 61 1 3 1 1 1 1
1 3 3 31 1 ( ) 3
2 2 2 2
j j
i j j j e j j j j j eπ π − − = − = × − = × − − + = × − = × × ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
( )6 61
2 3 2 j t j
j t i J e e e I e
π π ω ω ϕ ϕ
+ − ÷ −− = × × × × × = × ×
3 I J = ×
Puissance par phase : 1cos p UJ ϕ = avec ( , ) ( , ) J U I V ϕ ϕ = .
Puissance totale : 13 3 cos 3 cos p p UJ UI ϕ ϕ = × = × = ×
Puissance réactive : 3 sinQ UI ϕ = ×
Puissance apparente : 2 23S UI p Q= × = +
Pertes joules : on mesure la résistance entre phases ( )// 2 R r r = et
en déduit celle par phase r .2 2
3 3
r r R r
r
×= =
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1V
3V
2V 1 I
6
π ϕ −
1 j6
π ϕ −
6
π ϕ −
2 j
3 j
3 j−
ϕ −
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38 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
2 2 23 33 3
2 2 j
p r J R J R I = × × = × × = × ×
3.3.3 Conclusion
On remarque que quel que soit le couplage, les puissancess’expriment toujours de la même façon en fonction de la tension
composée U et le courant de ligne I. Les pertes joules sont
s’expriment aussi de la même manière en fonction de la résistance
mesurée entre phases.
3.4 Récepteur triphasé déséquilibré
3.4.1 Couplage étoile
Pour un récepteur déséquilibré, il est indispensable d’avoir un
conducteur neutre qui va circuler la résultante des courants dans les
phases.
On considères les impédances : 1 1 1 z z ϕ = ∠ , 2 2 2
z z ϕ = ∠ et 3 3 3 z z ϕ = ∠
alors :
11
1
v j
z
= ;2
2
2
v j
z
= et3
3
3
v j
z
=
2 31
2 42 4
3 33 3
1 2 3 1 1
1 2 3 1 2 3
1 j j j j
j
N
e e e e e j j j v v i
z z z z z z
π π π π ϕ ϕ ϕ
− + − +− − ÷ ÷− ÷ ÷+ + = + + = + + = ÷ ÷ ÷ ÷
4 Théorème de Fortescue (composantes
symétriques)
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1 z
2 z
3 z
N i
Fig.III.16 : récepteur déséquilibré :étoile
1 j
2 j
3 j
1i
2i
3i
1v
2v
3v
N
O
1V
3V
2V
+
Fig.III.5: Système direct
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39 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
Pour un système triphasé équilibré direct on a :
1 1
2 4
23 32 1 1 1
4 2
3 33 1 1 1
j j
j j
V e e a
V e e a
V V
V V V
V V V
π π
π π
−
−
× = × = ×
× = × = ×
=
=
=
2
3 j
a eπ
= ,4
2 3 j
a eπ
=
21 0a a+ + =
Pour un système triphasé équilibré inverse
on a :
1 1
2 1
2
3 1
V a
V a
V V
V
V
× ×
===
Pour un système homopolaire
1 2 3V V V = =
Soit un système triphasé déséquilibré de grandeurs sinusoïdales, de
tensions simples V1, V2, V3.
On peut donc considérer ce système déséquilibré comme la
superposition de 3 systèmes équilibrés :
• Un système homopolaire définit par 3 grandeurs ayant le même
module et le même argument : OV OV OV
• Un système direct définit par 3 grandeurs ayant le même
module et d’arguments différents : d V 2
d a V d aV
• Un système inverse définit par 3 grandeurs ayant le même
module et d’arguments différents : iV iaV 2
ia V
Les vecteurs Vo, Vd et Vi sont appelés composantes ou coordonnéessymétriques du système de vecteurs V1, V2, V3.
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O
1V
2V
3V
+
Fig.III.6 : Système inverse
Fig.III.7 : Système homopolaire
1V
2V 3V
O
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40 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
Le système déséquilibré s’écrit alors :
1
2
2
23
O d i
O d i
O d i
V V V V
V V a V aV
V V aV a V
= + + = + +
= + +
⇒
1
2
2
23
1 1 1
1
1
O
d
i
V V
V a a V
V a a V
= ×
2
3
2
1 1 1
1
1
F a a
a a
=
⇒ 1 2
3
2
1 1 11
13
1
F a a
a a
−
=
12
2
2
3
1 1 111
31
O
d
i
V V V a a V
V a a V
= ×
⇒
( )
( )
( )
1 2 3
2
1 2 3
2
1 2 3
1
3
1
3
1
3
O
d
i
V V V V
V V aV a V
V V a V aV
= + +
= + + = + +
Cette formule s’applique aussi pour les courants déséquilibrés.
Les composantes symétriques permettent surtout d’étudier le
fonctionnement d’un réseau polyphasé de constitution symétrique
lorsqu’ on lui branche en un de ses points un récepteur déséquilibré.Soit parce qu’il s’agit effectivement d’une charge non équilibrée soit
plus fréquemment lorsque se produit un court circuit. Son utilisation
exige que l’on puisse pratiquer le principe de superposition, c'est à
dire que les relations doivent être linéaires ce qui signifie absence de
saturation et de distorsion.
Exemple graphique :
Représentation graphique de la transformation de Fortescue et de son
inverse, sur un système de courants triphasés.
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41 Chapitre 3. Etude des circuits en courant alternatif
triphasé
5 Puissance d’une installation (théorème de
Boucherot)
La méthode de Boucherot permet, en régime sinusoïdal de tension
et de courant, de calculer la puissance totale consommée par une
installation électrique comportant plusieurs dipôles électriques de
facteurs de puissance différents, ainsi que l'intensité totale appelée.
• Pour chaque dipôle i D on calcule la puissance active i P et la
puissance réactive iQ .
• L’installation consomme T i P P = ∑ et T iQ Q= ∑ .
• On en déduit 2 2
T T T S P Q= + , d’où l’intensité totale T I :
T
T
S I
U = en monophasé.
3
T T
S I
U = en triphasé.
Cette méthode s’applique aux systèmes monophasés et triphasés.
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SOMMAIRE
Chapitre I :Etude et analyse des circuits en courant continu. .1
1Dipôles électriques .........................................................................1
1.1Définition...................................................................................1
1.2Dipôles passifs..........................................................................1
1.3Dipôles actifs.............................................................................3
2Lois de L’électrocinétique................................................................5
2.1Définitions ................................................................................5
2.2Lois de Kirchhoff........................................................................6
2.3Théorème de superposition.......................................................9
2.4Théorème de Thevenin...........................................................10
2.5Théorème de Northon.............................................................12
2.6Théorème de Millman..............................................................13
Chapitre II :Etude et analyse des circuits en courant alternatif
14
1Grandeurs caractéristiques des fonctions périodiques..................14
1.1Signal périodique quelconque :...............................................14
1.2Régime permanent sinusoïdal ................................................15
2Représentations d'une grandeur sinusoïdale................................15
2.1Représentation de Fresnel......................................................16
2.2Représentation complexe.......................................................18
3Dipôles linéaires en régime sinusoïdal..........................................20
3.1Le résistor ..............................................................................20
3.2Le condensateur idéal.............................................................20
3.3La bobine idéale......................................................................20
3.4Association d’impédances.......................................................21
4Circuits résonnants........................................................................22
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4.1Circuit RLC série......................................................................22
4.2Circuit RLC parallèle................................................................24
5Puissance en régime sinusoïdal.....................................................26
5.1Puissance instantanée.............................................................26
5.2Puissance active......................................................................26
5.3Puissance réactive...................................................................27
5.4Puissance apparente et facteur de puissance.........................27
5.5Puissance complexe................................................................28
6Conclusion ....................................................................................28
Chapitre III :Les systèmes triphasés...................................29
1Constitution...................................................................................29
1.1Expérimentation......................................................................29
1.2Représentation des tensions...................................................30
1.3Le système triphasé : quel intérêt ?........................................30
2Système équilibré de tensions......................................................31
2.1Tensions simples.....................................................................31
2.2Tensions composées...............................................................32
3Récepteurs triphasés.....................................................................34
3.1Couplage étoile (Y)..................................................................34
3.2Couplage triangle (∆)..............................................................35
3.3Récepteur triphasé équilibré...................................................35
3.4Récepteur triphasé déséquilibré.............................................38
4Théorème de Fortescue (composantes symétriques)....................38
5Puissance d’une installation (théorème de Boucherot).................41