3.8. Análisis...

Análisis 3D elástico Análisis 3D elástico Análisis 3D elástico Análisis 3D elástico y 2D elastoy 2D elastoy 2D elastoy 2D elasto----plástico de plástico de plástico de plástico de esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial esquina bimaterial en uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivasen uniones adhesivas

41

3.8. Análisis elastoplástico

De todos los modelos descritos anteriormente, en este trabajo

fueron analizados los siguientes: von Mises, EDP Lineal, EDP

Cuadrático o de Raghava et ál. y una versión 2D del modelo elástico-

lineal.

3.8.1. Modelo elástico lineal

Antes de presentar los modelos con plasticidad, se presentan aquí

algunos resultados obtenidos con el modelo elástico-lineal, para su

comparación posterior con los demás análisis elastoplásticos.

Este análisis además ayuda a previsualizar las zonas con VMeqσ y

tensión hidrostática ( mσ ) elevadas que influyeron en las zonas que

plastifican de uno y otro criterio (dependiente o no de mσ ).

En la Fig. 3.10 se presenta la tensión equivalente de von Mises VMeqσ

de la esquina elástica 2D, deformación plana y carga igual a la del

instante de rotura.

Se observa que las tensiones son muy elevadas y que la máxima

tensión equivalente de von Mises ocurre en la esquina. Además, la

figura indica que prácticamente todo el circulo se encuentra por en

cima del límite elástico del material en este instante.

En la Fig. 3.11 se presenta la tensión hidrostática mσ de la esquina

para el caso elástico, además del mallado utilizado.

De esa figura se observa que la tensión hidrostática varía en forma

espiral y que la máxima ocurre en la esquina.


42

Fig. 3.10 – VMeqσ (en MPa ) de la esquina elástica.

Fig. 3.11 – Tensión hidrostática (en MPa ) de la esquina elástica.


43

Estas figuras orientarán mejor el trabajo que sigue – incluyendo la

plasticidad – y dando un mejor entendimiento del fenómeno.

3.8.2. Modelo de von Mises (parametrizado)

El primer modelo elastoplástico en este análisis consideró el

criterio de plastificación de von Mises y una ley de endurecimiento

isótropo (bilineal) para el adhesivo.

En los modelos considerados, la plasticidad fue asumida

solamente para el adhesivo, en los adherentes se consideró

comportamiento elástico-lineal. No se introdujeron criterios de rotura en

ninguno de los materiales. Sin embargo, la carga aplicada fue la

obtenida experimentalmente muy cerca de la rotura, es decir, se

pretende analizar la extensión de la zona plastificada en el entorno de la

esquina al círculo de control en este exacto momento. En la Tabla 3.1

se presentan las propiedades de los materiales considerados (unidades

en MPa para E y G - módulo de elasticidad tangencial):

MMaatteerriiaall EE GG νννννννν

Aluminio 68670 - 0,33

Composite

141300xE =

9580yE =

9580zE =

5000xyG =

3500yzG =

5000xzG =

0,3xyν =

0,32yzν =

0,3xzν =

Adhesivo 3000 - 0,35

Tabla 3.1 – Propiedades de los materiales.

Primero se realizó un estudio paramétrico, variando el módulo

tangente y el límite elástico. Las combinaciones de estos parámetros se

definen en la Tabla 3.2, siendo el caso más cercano a los valores dados

por el fabricante del adhesivo el 2B.


44

TK

eσ 10.8 12 13.2

45 1A 2A 3A 50 1B 2B 3B 55 1C 2C 3C

Tabla 3.2 – Combinaciones de los parámetros.

El estudio paramétrico buscó evaluar la esquina frente a cambios

de esas propiedades (pensando en la generalización a otros tipos de

adhesivos o pequeñas variaciones en la obtención de los parámetros

reales).

Para la esquina, aquí modelada en 2D con deformación plana, el

mallado utilizado es presentado en la Fig. 3.12.

Este mallado pudo ser más fielmente discretizado que el modelo

3D, con más elementos cuadriláteros, mejor transición entre elementos

y mayor discretización de la región de interés, como puede ser visto en

la Fig. 3.12. En esta figura está representado el círculo de control con

respecto al espesor de la capa de adhesivo en la esquina (de espesor

0,1 mm ). En esta malla se usaron 37733 nodos y 37306 elementos del

tipo PLANE42 (de 4 nodos por elemento con dos grados de libertad por

nodo y con capacidad de simular estados planos), teniendo el elemento

más pequeño y próximo a la esquina 0,000911 0,91mm mµ= en la menor

arista.

La plasticidad fue incorporada en la simulación a través de la

opción BISO de ANSYS, que simula comportamiento con

endurecimiento isótropo o comportamiento bilineal. Esta opción se

activa con el comando TB,BISO. En el Anexo B se presenta el fichero de

datos utilizado en el análisis.


45

Fig. 3.12 – Mallado del modelo bilineal en 2D.

Para los casos representados en la tabla 3.2, la tensión equivalente

de von Mises (definida en ANSYS por la ecuación 2.1 y 2.2), se muestra

en las figuras siguientes:

0,1 mm


46

Fig. 3.13 – Caso 1A.

Fig. 3.14 – Caso 1B.


47

Fig. 3.15 – Caso 1C.



48




49




50


Del estudio paramétrico (Fig. 3.13 hasta 3.21) de la unión, y para

tensión equivalente de von Mises ( VMeqσ ), se observa que, como era de

esperar la extensión de la zona plastificada es menor a medida que

crece el límite elástico ( eσ ).

En la Fig. 3.22 se presenta un esquema del análisis paramétrico.

Las flechas representadas en verde indican el sentido de crecimiento de

los parámetros eσ y TK , mientras que la flecha representada en rosa y

naranja indican el sentido de crecimiento de la plastificación (zona

plastificada) y el valor VMeqσ máximo alcanzado, respectivamente.

Las tensiones equivalentes de von Mises alcanzan su valor máximo

a medida que aumenta eσ y el módulo tangente ( TK ). En la Fig. 3.22 se

representa esquemáticamente este análisis sobre la Tabla 3.2:


51

Fig. 3.22 – Resumen del modelo paramétrico.

En la Fig. 3.23 es presentada la evolución de las tensiones

circunferenciales ( θσ ) en el perímetro del círculo de control ( 33r mµ= )

del caso elastoplástico (caso 2B, que es el real), comparativamente con

el modelo elástico (2D) vía MEF y MEC [14].

Tensión Circunfencial (comparación de todo)

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n St MEC

St MEF

St elastoplástico (2B)

Fig. 3.23 – Evolución de θσ (en MPa ) en el círculo de control.

De la figura se observa que la tensión circunferencial acompaña

prácticamente la curva del comportamiento elástico, con excepción del

tramo comprendido entre aproximadamente 240º y 360º, donde la

plastificación provoca una disminución de θσ .

Análogamente, en la Fig. 3.24 se presenta la evolución de la

tensión radial en el perímetro del círculo de control:

TK

eσ 10.8 12 13.2

45 1A 2A 3A 50 1B 2B 3B 55 1C 2C 3C

TK

eσ ZP máxeqVMσ


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Tensión Radial (comparación entre modelos)

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n Sr MEC

Sr MEF

Sr elastoplástico (2B)

Fig. 3.24 – Evolución de rσ (en MPa ) en el círculo de control.

Para la tensión radial se observa que hay un descenso en el tramo

comprendido entre 155º y 270º aproximadamente.

En la Fig. 3.25 se presenta la evolución de las tensiones

tangenciales en el círculo del caso 2B, comparativamente con la

solución elástica vía MEF y MEC:

Tensión Tangencial (comparación entre modelos)

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n Srt MEC

Srt MEF

Srt elastoplástico (2B)

Fig. 3.25 – Evolución de rθσ (en MPa ) en el círculo de control.


53

Se observa que para la tensión tangencial la curva del modelo

bilineal es razonablemente parecida al caso elástico, con algunas

desviaciones.

En las tres gráficas de las Fig. 3.23, 3.24 y 3.25 se aprecia que

para las caras donde ocurre la transición con el material compuesto

aparecen valores algo irregulares. Eso puede ser debido a

inestabilidades numéricas. Con excepción de los extremos, se observa

que las soluciones numéricas con MEC o MEF son casi idénticas.

En la siguiente figura, se presenta una foto de la esquina

plastificada (caso 2B, tensión equivalente de von Mises conforme

ecuación 2.1 y 2.2), comportamiento bilineal utilizando el criterio de von

Mises (lo que aparece en gris no está plastificado):

Fig. 3.26 – Esquina plastificada ( VMeqσ ), caso 2B.

En esta figura se observa que no todo el círculo está plastificado

( 50VMeq MPaσ > ) según el criterio adoptado. El estado tensional generado

en las zonas donde VMeqσ es mayor coincide con la zona de mayores


54

diferencias respecto a la solución elástica de las gráficas de la evolución

de tensiones (ver Fig. 3.23 a 3.26).

3.8.3. Modelo EDP lineal

Para este modelo fue utilizado un mallado de 114 507 elementos,

115 343 nodos, teniendo el elemento finito más pequeño 49,1078.10 0,9mm mµ− ≅ en la arista menor. Para modelar los materiales

se usó el elemento PLANE182 (de 4 nodos y 2 grados de libertad por

nodo), que permite simular materiales isótropos y ortótropos.

Considerando deformación plana y comportamiento elástico para

los adherentes, la plastificación en el adhesivo según el criterio

Drucker-Prager Extendido de ANSYS, que en un primer momento fue

lineal (EDP Lineal), ec. (3.19). Se ha tomado una ley de endurecimiento

isótropo y flujo plástico asociado (la función potencial plástico es igual a

la de plastificación). La carga aplicada es como en el resto de los casos

analizados, o sea, la que origina la rotura experimentalmente. En el

Anexo C se presenta el fichero de entrada utilizado en este análisis.

Los datos de entrada del modelo EDP Lineal se presentan en la

Tabla 3.3 (para los adherentes son las mismas de la Tabla 3.1).

FFuunncciióónn ddee PPllaassttiiffiiccaacciióónn

f

FFuunncciióónn ddee PPootteenncciiaall PPlláássttiiccoo

ψ

6sin0,98

3 sinθαθ

= =−

6sin

0,983 sin

FF

F

θαθ

= =−

50Ty e MPaσ σ= =

Tabla 3.3 – Datos de entrada en ANSYS para el EDP Lineal.

Como el flujo es asociado, el ángulo 25ºFθ θ= = y por lo tanto

Fα α= . En ANSYS este modelo se activa con el comando TB,EDP.

En la Fig. 3.27 se presenta la tensión equivalente de von Mises

obtenida en el círculo, conjuntamente con el mallado. Se observa que el


55

máximo ocurre en la esquina, tanto en la cara horizontal como en la

cara vertical.

Fig. 3.27 – VMeqσ (en MPa ) para el EDP Lineal.

En la Fig. 3.28 se presenta la tensión hidrostática para el modelo

EDP Lineal en el círculo, donde se observa que la tensión hidrostática

máxima ocurre en la cara vertical de la esquina.

En la Fig. 3.29 se presenta la tensión equivalente, según el criterio

EDP Lineal o Drucker-Prager, ec. (3.21).

Se observa que en el momento del fallo todo el círculo se encuentra

plastificado, apareciendo la tensión máxima en la cara horizontal de la

esquina.


56

Fig. 3.28 – Tensión hidrostática (en MPa ) para el EDP Lineal.

Fig. 3.29 - DPeqσ (en MPa ) en el círculo.


57

En la Fig. 3.30 se presenta una gráfica comparativa de la evolución

de tensiones tangenciales ( rθσ ) en el perímetro del círculo (de radio

33r mµ= ).

Evolución de Srt

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

tensi

ón

Srt MEC elástico

Srt MEF elástico

Srt modelo bilineal (2B)

Srt asoc

Fig. 3.30 – Evolución de rθσ (en MPa ) en el modelo EDP Lineal.

En esta figura y en las siguientes también está representada la

evolución de las tensiones para el caso 2B (apartado 3.8.2), como

comparación. Se observa que el estado tensional sufre variación a lo

largo del perímetro del círculo, coincidiendo con la curva del caso

elástico cuando la tensión circunferencial es cero. Se observa del gráfico

además, que la curva tiene comportamiento cualitativamente similar al

caso elástico.


de tensiones radiales ( rσ ) en el círculo.

De esta figura se observa que el estado tensional para rσ sufre una

variación significativa a lo largo del perímetro del círculo. Se observa

que de 0º a aproximadamente 300º el nivel de tensión es

cualitativamente similar al de von Mises, pero aun inferior.


58

Evolución de Sr

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n

Sr MEC elástico

Sr MEF elástico

Sr modelo bilineal (2B)

Sr asoc

Fig. 3.31 – Evolución de rσ (en MPa ) en el modelo EDP Lineal.


de tensiones circunferenciales ( θσ ) en el círculo.

De esta figura se observa un descenso significativo en las tensiones

circunferenciales a lo largo del perímetro del círculo, con excepción de

un pequeño tramo (de 210º a 240º aproximadamente), donde las

tensiones son prácticamente nulas.

Evolución de St

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n

St MEC elástico

St MEF elástico

St modelo bilineal (2B)

St asoc

Fig. 3.32 – Evolución de θσ (en MPa ) en el modelo EDP Lineal.


59

3.8.4. Modelo EDP cuadrático

Para este modelo fue utilizado el mismo fichero del modelo

anterior. La única diferencia es que para modelar el EDP cuadrático o

modelo de Raghava et ál. – ec. (3.22) – en ANSYS, a través de la opción

TB,EDP se declaran los parámetros relativos a este modelo, a través de

las equivalencias de las relaciones (3.30) y (3.31). En el Anexo D se

presenta el fichero de entrada utilizado en este análisis.

Los datos de entrada del modelo EDP Cuadrático se presentan en

la Tabla 3.4.

FFuunncciióónn ddee PPllaassttiiffiiccaacciióónn

f

FFuunncciióónn ddee PPootteenncciiaall PPlláássttiiccoo

ψ

3 ( 1) 69Te MPaα σ λ= − = 69F MPaα α= =

2b = 2Fb =

60, 4Ty cor e MPaσ σ σ λ= = =

Tabla 3.4 – Datos de entrada en ANSYS para el EDP Cuadrático.

2b = es el exponente de la ecuación (3.18), 1,46λ = la relación entre

los límites de compresión y tracción. Se toma f ψ= , de manera que el

flujo es asociado.

En la Fig. 3.33 se presenta la tensión equivalente de von Mises

obtenida en el círculo, conjuntamente con el mallado. Se observa que el

máximo ocurre en la cara horizontal de la esquina y que las tensiones

predichas en este caso están más extendidas que en el EDP Lineal.

En la Fig. 3.34 se presenta la tensión hidrostática para el modelo

EDP Cuadrático en el círculo, donde se observa que la tensión

hidrostática máxima ocurre en la cara vertical de la esquina.

Entretanto, en comparación con el EDP Lineal, aquí sólo aparecen

tensiones hidrostáticas positivas.


60

Fig. 3.33 - VMeqσ (en MPa ) para el EDP Cuadrático.

Fig. 3.34 – Tensión hidrostática (en MPa ) para el EDP Cuadrático.


61

En la Fig. 3.35 se presenta la tensión equivalente según el criterio

EDP Cuadrático o de Raghava et ál., ec. (3.22). Se observa que en el

momento del fallo gran parte del círculo se encuentra plastificado,

apareciendo la tensión máxima en la cara horizontal de la esquina.

Fig. 3.35 - Rageqσ (en 2MPa ) en el círculo.


de tensiones tangenciales ( rθσ ) en el perímetro del círculo.

En esta figura, como en las demás, también se representa la

evolución de las tensiones para el caso 2B del apartado anterior, a título

de comparación. Se observa que el estado tensional sufre variación a lo

largo del perímetro del círculo y que la curva tiene comportamiento

similar al caso elástico, además coincide con el caso 2B en gran parte

del perímetro del círculo.


62

Tensión Srt

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n

Srt MEC elástico

Srt MEF elástico


Srt asoc

Fig. 3.36 – Evolución de rθσ (en MPa ) en el modelo EDP Cuadrático.


de tensiones radiales ( rσ ) en el círculo.

Tensión Sr

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n

Sr MEC elástico

Sr MEF elástico


Sr asoc

Fig. 3.37 – Evolución de rσ (en MPa ) en el modelo EDP Cuadrático.

De esta figura se observa que el estado tensional para rσ sufre una

variación significativa a lo largo del perímetro del círculo. Se observa

que de 0º a aproximadamente 300º el nivel de tensión es inferior.


de tensiones circunferenciales ( θσ ) en el círculo. En esta figura se


63

observa un descenso significativo en las tensiones circunferenciales a lo

largo del círculo, con excepción de un pequeño tramo (de 210º a 240º

aproximadamente), donde las tensiones son prácticamente nulas.

Además, en el tramo de 210º a 360º la curva prácticamente coincide

con la del caso 2B.

Tensión St

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n

St MEC elástico

St MEF elástico


St asoc

Fig. 3.38 – Evolución de θσ (en MPa ) en el modelo EDP Cuadrático.

3.8.5. Comparación entre modelos

En las figuras siguientes, se presenta un análisis comparativo de

las tensiones tangenciales ( rθσ ), radiales ( rσ ) y circunferenciales ( θσ )

del modelo elástico-lineal y los de plasticidad con endurecimiento

isótropo (von Mises – caso 2B, EDP Lineal y EDP Cuadrático).


64

Tensión Srt

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n

Srt elástico


Srt Cuadrático

Srt Lineal

Fig. 3.39 – Evolución de rθσ (en MPa ) en los modelos analizados.

Tensión Sr

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n

Sr elástico


Sr Cuadrático

Sr Lineal

Fig. 3.40 – Evolución de rσ (en MPa ) en los modelos analizados.


65

Tensión St

-40-35-30-25-20-15-10-505

10152025303540455055606570758085

90 140 190 240 290 340

angulo

ten

sió

n

St elástico


St Cuadrático

St Lineal

Fig. 3.41 – Evolución de θσ (en MPa ) en los modelos analizados.

De las figuras, se observa que para las tensiones tangenciales las

curvas de los modelos de plasticidad tienen evolución similar al caso

elástico y que el modelo EDP Cuadrático coincide con el caso 2B en

gran parte del perímetro del círculo.

Para las tensiones radiales, el modelo EDP Lineal presenta la

mayor plastificación de los considerados, para el círculo en estudio.

En las tensiones circunferenciales, nuevamente el EDP Cuadrático

coincide en gran parte del círculo con el modelo bilineal 2B de von

Mises.

Las gráficas de los modelos con plasticidad se parecen bastante al

modelo elástico-lineal cuando el valor de esas tensiones ( rθσ ), ( rσ ), ( θσ )

es aproximadamente cero.


66

3.8. Análisis...

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