38...
Transcript of 38...
คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร
เรอง
ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม (เนอหาตอนท 1) เลขยกก าลง
โดย
รองศาสตราจารย เพญพรรณ ยงคง
สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ
ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
1
สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม สอการสอน เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม มจ านวนตอนทงหมดรวม 16
ตอน ซงประกอบดวย
1. บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม 2. เนอหาตอนท 1 เลขยกก าลง
- เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม - เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านอนตรรกยะ - เขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ
3. เนอหาตอนท 2 ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม - ฟงกชนเลขชก าลง - กราฟของฟงกชนเลขชก าลง - สมการเลขชก าลง
4. เนอหาตอนท 3 ลอการทม - ฟงกชนลอการทม - กราฟของฟงกชนลอการทม - สมการลการทม
5. เนอหาตอนท 4 อสมการเลขชก าลง - ทบทวนสมบตทส าคญของเลขยกก าลง - สมการและอสมการของเลขยกก าลง - ฟงกชนเลขชก าลงในชวตประจ าวน
6. เนอหาตอนท 5 อสมการลอการทม - ทบทวนสมบตทส าคญของลอการทม - สมการและอสมการลอการทม - ปญหาในชวตประจ าวนทเกยวของกบฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม
7. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 8. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 9. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 4) 11. แบบฝกหด (ขนสง)
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2
12. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟของฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนท ใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอน วชาคณตศาสตร เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
3
เรอง ฟงกชนเลขชก าลงและฟงกชนลอการทม
หมวด เนอหา
ตอนท 1 (1/5)
หวขอยอย 1. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม 2. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ 3. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ
จดประสงคการเรยนร
เพอใหผเรยน
1. มความเขาใจเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม
2. มความเขาใจเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ
รวมถงความเขาใจเกยวกบรากท n ของจ านวนจรงดวย 3. มความเขาใจเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ
ผลการเรยนรทคาดหวง
ผเรยนสามารถ 1. อธบายความหมายของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมได 2. อธบายความหมายของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะได 3. อธบายความหมายของรากท n ของจ านวนจรง และความหมายของกรณฑ
n ของจ านวนจรงดวย 4. หาคาของจ านวนทอยในรปของเลขยกก าลง และแกสมการเลขยกก าลงได
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
4
เนอหาในสอการสอน
เนอหาทงหมด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
5
1. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
6
1. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม
ในหวขอนผเรยนจะไดแนวคดเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม บทนยามตางๆ และทฤษฎบททส าคญของเลขยกก าลง
เพอใหผเรยนไดเขาใจและเหนตวอยางหลากหลายรปแบบ จงเพมเตมตวอยางดงน จากสอ ผเรยนจะไดเหนเลขยกก าลงทอยในรป ma
เมอ 3 , 4a m 43 3 3 3 3
6, 3
7a m
36 6 6 6
7 7 7 7
0.5 , 3a m 30.5 0.5 0.5 0.5
1.5 , 2a m 21.5 1.5 1.5
เนองจาก 10.5
2 ดงนน เราอาจเขยนแทน 30.5 ดวย
31
2 ซงมความหมายเหมอนกน
และในท านองเดยวกน 31.5
2 ดงนนเราอาจเขยนแทน 21.5 ดวย
23
2
ดงนน ในกรณท a เปนจ านวนตรรกยะทเขยนในรปเศษสวน pq หรอเขยนในรปเลขทศนยมกใชได
ทงสองแบบ เชน
30.25 = 31
4 =
1 1 1
4 4 4
50.75 = 53
4 =
3 3 3 3 3
4 4 4 4 4
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
7
41.25 = 45
4 =
5 5 5 5
4 4 4 4
30.025 = 31
40 =
1 1 1
40 40 40
จากสอ ผเรยนไดพบกบบทนยามของ 0a และ ma และทฤษฎบททส าคญของเลขยกก าลง เพอทดสอบความเขาใจและเปนการเนนย าอกครงของผเรยนจะไดจดจ ากฎและกตกาตางๆ ไดอยางแมนย าและไมสบสนเมอถงเวลาน าไปใชจะไดใชไดอยางคลองแคลวและไมผดพลาด ผสอนอาจถามผเรยนเพมเตมดวยค าถามสนๆ ตอไปน
03 05 04
3
20 03 0375
47
และเมอเหนวาผเรยนตอบไดอยางถกตอง แลวกกลบมาเนนตอวา
ผเรยนอยาลมวา 0 m ไมมคา เมอ m เปนจ านวนเตมบวก
เชน 2 3 50 , 0 , 0 ไมมคา (เลขชก าลงเปนจ านวนเตมลบ)
ผสอนควรยกตวอยางเพมเตม ในกรณทฐานของเลขยกก าลงเปนจ านวนตรรกยะทอยในรปเศษสวน และมเลขชก าลงเปนจ านวนลบ ดงน
32
5 = 3
1
2
5
= 1
2 2 2
5 5 5
= 1 1258 8125
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
8
เพราะวา 12 2 2
5 5 5
= 1 1 12 2 2
5 5 5
= 5 5 5
2 2 2 =
35
2
ดงนน 32
5 =
35
2
ในกรณทวไป ma
b =
mb
a เมอ a และ b ไมเปนศนย
เชน 53
2=
52
3 =
2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
= 32
243
เพอเปนการทบทวนทฤษฎบททผเรยนเหนจากสอ ใหผสอนยกตวอยางเพมเตมตอไปน
4 2 4 2 63 3 3 3 7
7 4 34
55 5
5
2 25 5 5n n 6
6 8 28
33 3
3
3 33 315 5 3 5 3 5
5 ( 3) 83
22 2
2
4 4
3 3
nn
n 5
7 7 5 2
3 1 1
3 3 3
4 33 4 122 2 2
เมอผเรยนเขาใจดแลว กเพมเตมการบวกและลบกนของเลขยกก าลงทมฐานเหมอนกน และเลขชก าลงเดยวกน ดงตวอยางตอไปน
3 33 2 5 2 = 3(3 5)2 = 38 2
2 14 3 4n n = 2 14 4 3 4 4n n
= 16 4 12 4n n = 4 4n = 14n
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
9
จากบทนยาม 1mmaa
ยอมไดวา ma = 1ma
เชน 32 = 3
1
2 , 5
5
13
3
จากสอผเรยนไดเหนตวอยางของการด าเนนการจดการใหจ านวนทก าหนดใหเขยนอยในรปอยางงาย และมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก เพอใหนกเรยนหรอผเรยนไดมความเขาใจเพมขนและไดมทกษะในการด าเนนการ ผสอนควรเพมตวอยางอกสกสองสามตวอยาง ดงตอไปน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
10
ตวอยางตอไปน จะก าหนดให , , , ,a b x y z เปนจ านวนจรงทไมเปนศนย
ตวอยางท 1 จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก
3 2
2 5
a b
a b = 2 53 ( 2)a b (ด าเนนการกบจ านวนทมฐานเดยวกนเสยกอน)
= 5 7a b
= 5
7
a
b (จดรปเพอใหเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก)
0 32 3 5 2x y x y =
02 3
35 2
x y
x y = 15 6
1
x y
ตวอยางท 2
2 34 3 4 1
2
a x y b
ab xy =
34 1
24 3 2
y b
a x ab xy
=
3 34 1
2 24 3 2
y b
a x ab xy
=
12 3
8 6 2
y b
a x ab xy
=
12 1 3 2
8 1 6 1
y b
a x
=
11 5
9 5
y b
a x =
5 11
9 5
x y
a b
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
11
ตวอยางท 3 2 2 1
2 1 2
pn n
np p
a b
b a =
2 2 1
2 1 2
p pn n
n np p
a b
b a
=
2 2
2 2
np p np p
pn n pn n
a b
b a
= ( 2 ) ( 2 ) (2 ) (2 )np p pn n np p pn na b
= 2 2p n p na b
= 2( )
p n
p n
b
a = 2
p nb
a
ตวอยางท 4 2( )
2
p n p n
n p n
x y
x y =
22 ( ) ( )p n n p n p nx y
= 2
2 2( )p p nx y
= 22 2( )
1p p nx y
= 2( 2) 4( )
1p p nx y
= 4( )
2( 2)
p n
p
y
x =
4 4( )
2
p n
p
x y
x
(เพราะวา p เปนจ านวนเตมบวก แตบอกไมไดวา 2p เปนจ านวนเตมบวกหรอไม แตโจทย
ตองการใหค าตอบเขยนอยในรปทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก ดงนนจงเขยน 2( 2)
1px
ในรป 4
2p
x
x )
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
12
แบบฝกหดท 1
เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนเตม
1. ก าหนดให , , , , ,a b c x y z เปนจ านวนจรงทไมเปนศนย
จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก
1.1 2 52 3 1 02 3a b a b 1.2 2 31 2 0 24a b a b
1.3 2 22 3 4
3 3
4
12
a b c
c a b 1.4
12 0 2 3
4 1 4
3
9
c c a
a b b
1.5 24 2 3 53 4x y x y 1.6 3 23 2 5 19 3x y x y
1.7 32 3 2 4
2
x y x y
x y 1.8
0 33 2 1 2
30 2
x y x y
y x
1.9 12 3
7 4
x yz
y zx 1.10
23 013 0 2
4
z yx z y
x
2. ก าหนดให , , , , ,a b n p x y เปนจ านวนเตมบวก
จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก
2.1 2 2 1
1 2 2
pn n
np p
a b
a b 2.2
43 1 2 1
6 1 2 5
n n
n n
x y
x y
2.3 3 2
3 6
n n
n
a b
a b 2.4
23 1 3
2 1
n n
n n
x y
x y
2.6 4 12 2 2 3 2 2 1n n n nx y x y 2.6
12 323
3
nnn yx x y
3. จงท าใหเปนรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนเตมบวก ก าหนดให n
3.1 2 2 1 1
3 2
4 2 8
2
n n n
n 3.2 2 1 1 1
3 2
9 81 16
4 27
n n n
n n
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
13
3.3 1 1
2 11
8 4
2 16
n n
n nn n 3.4
11 2 2
3 3 4
64 24 9
(27) 3
nn n
n n
3.5 1
1 1
1 2 11
4 4
416
n n
n nnn 3.6
2 3
3 2
2 20
6 15
n n
n n
4. ก าหนดให ,x y เปนจ านวนจรงบวก และ n เปนจ านวนเตมบวก
จงแยกตวประกอบในแตละขอตอไปน
4.1 2 28 3x y 4.2 6 10
1 4
x y
4.3 6 2 4x z y 4.4 2 19 6 1x x
4.5 4 25 6y y 4.6 2
3 108
xx
4.7 2 18 16x x 4.8 6 36 13 5x x
4.9 3 38a b 4.10 9 627a b
5. ก าหนดให n และ x เปนจ านวนเตมบวก จงท าใหเปนรปอยางงาย
5.1 2 19 36 9
11 9
n n
n 5.2 4 1
2
3 6 3
7 3
n n
n
5.3 1
1
4 2 3 2
2 2
n n
n n 5.4 1 2
2
9 3 5 3
3 3
n n
n n
5.5 1
1 1
8 5 2 5
5 3 5
n n
n n 5.6 1
2
3
9
n n
n n
x x
x x
6. ก าหนดให , , ,a b x y เปนจ านวนเตมบวก
จงท าใหอยในรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนบวก
6.1 1 1
1 1
x y
x y 6.2
1 2
1 2
5 2
3
a b
a b
6.3 1 2 2 1
2 1
a b a b
b a 6.4
2 1 1 2
1 2 2 1
2 3
3
y x y x
x y x y
6.5 16 4
3 6 2
x y
y x x y
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
14
2. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
15
2. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ
ในหวขอนเราจะกลาวถงเลขยกก าลงทมเลขชก าลงทเปนจ านวนตรรกยะ ซงจะขอกลาวถงรากท n ของจ านวนจรง เมอ n เปนจ านวนนบเสยกอน เพอจะเปนการน าไปสการนยามเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ โดยจะเรมจากบทนยามของรากทสองของ x แลวจงตอดวยรากท n ของ x เมอ n เปนจ านวนนบใดๆ ทมากกวา 2
เพอใหผเรยนไดคนเคยกบค าวารากทสองของจ านวนจรง x ใหคณครยกตวอยางเพมเตมตอไปน
เพราะวา 25 = 25 ดงนน 5 เปนรากทสองของ 25
25 = 25 ดงนน 5 เปนรากทสองของ 25
และเพราะวา 5 เปนรากทสองทไมเปนลบของ 25 ดงนน 5 25 และ 5 25
เพราะวา 27 = 49 ดงนน 7 เปนรากทสองของ 49
27 = 49 ดงนน 7 เปนรากทสองของ 49
และเพราะวา 7 เปนรากทสองทไมเปนลบของ 49 ดงนน 7 49 และ 7 49
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
16
ตวอยาง
169 13 13 13 8 8 4 2
50 50 25 5
81 36 9 9 6 6 9 6 1 1 1 1 5
5 5 5 5 5
625 25 25 25
749 7 7
5 5 5
5 5 5 5 5
25 5 5 5
0.25100 10 10 10
0.25 (0.5) (0.5) 0.5
ผเรยนควรระมดระวงในการพจารณาคาตางๆ ดงตวอยางตอไปน
25 25 5 ( 5)
ดงนน ส าหรบ a ทเปนจ านวนจรงใดๆ
2 | |a a ไมใช a
เชน 2( 7) = | 7 | , 26 = | 6 | = 6
2b = | |b
2x = | |x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
17
รากท n ของจ านวนจรง
ในหวขอนเราจะกลาวถงการนยามรากท n ของจ านวนจรง x และจะไดรจกกบรากหลกท n ของจ านวนจรง x ดวย
ผเรยนสามารถทบทวนความหมายของรากท n ของ x เมอ x เปนจ านวนจรง และ n เปนจ านวนเตมบวก โดยดจากตวอยางตอไปน
3y x แลว y เปนรากท 3 ของ x
32 8 แลว 2 เปนรากท 3 ของ 8
42 16 แลว 2 เปนรากท 4 ของ 16
42 16 แลว 2 เปนรากท 4 ของ 16
เนองจาก เราไมสามารถหาจ านวนจรง y ซง 2 4y
ดงนน 4 ไมมรากทสอง
และเรากไมสามารถหาจ านวนจรง y ซง ny x เมอ 0x และ n เปนจ านวนค
ดงนน จะไมมรากท n ของจ านวนจรงทเปนลบ เมอ n เปนจ านวนค
ตวอยาง ไมมรากท 4 ของ 16 หรอ 16 ไมมรากอนดบท 4
และไมมรากท 6 ของ 50 หรอ 50 ไมมรากอนดบท 6
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
18
ครผสอนควรชใหนกเรยนเหนถงขอผดพลาด และความคลาดเคลอนของเลขยกก าลงทมฐานเปนจ านวนลบ ซงพบวาผดพลาดบอยๆ กคอ มกจะเขยน
23 แทนทจะเขยน 2( 3)
เพราะวา 23 (3 3) 9 แต 2( 3) ( 3) ( 3) 9
ดงนน 2 23 ( 3)
ในท านองเดยวกนกบ ( )n na a เมอ n เปนจ านวนค
แตเมอ n เปนจ านวนค ทงสองจ านวนกลบเทากน ดงตวอยาง
3
2 (2 2 2) 8
3
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) 8
จะเหนวา 32 3( 2) 8
ดงนน ครควรเตอนใหนกเรยนระมดระวงเวลาน าไปอางใช และอาจยกตวอยางเพมเตมอกสกสองสามตวอยาง
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
19
ผเรยนไดรจก “คาหลกของรากท n ” ซงแทนดวยสญลกษณ n โดยเรยกวา “กรณฑท n ” และตองระบดวยวาเปนกรณฑท n ของจ านวนจรงใด เชน
กรณฑท 2 ของ 3 แทนดวย 2 3 (ซงนยมแทน 2 ดวย )
กรณฑท 3 ของ 5 แทนดวย 3 5
กรณฑท 4 ของ 25 แทนดวย 4 25
กรณฑท 5 ของ x แทนดวย 5 x
เมอจะกลาวถงกรณฑท n ของจ านวนจรง x ใด กตองค านงถงขอจ ากดตางๆ ของจ านวนจรง x ดวย เชน
เมอ n เปนจ านวนค n x จะมความหมาย หรอมคา กตอเมอ 0x
เมอ n เปนจ านวนค n x จะมความหมาย หรอมคา กตอเมอ x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
20
เชน 4 2 5 3 5325 , 9 , 5 , 20 , 12 , 4 มคา
แต 42 5 , 9 ไมมคา
เมอน าคาหลกรากท n ของ x มายกก าลง n จะได
nn x x
เชน 33 5 5
44 2 2
แตตองระวงวา nn nn x x
เพราะวา n nx =
เมอ เปนจ านวนค เมอ เปนจ านวนค | |
x n
x n
เชน
33 ( 7) 7 , 33 7 7
4 44( 7) ( 7) ( 7) ( 7) ( 7)
= 47 7 7 7 = 7 | 7 |
เพอทบทวนและตรวจสอบผเรยน ผสอนอาจตงค าถามสนๆ เพอใหผเรยนตอบดงน
1. 144 = 2. 3 216 =
3. 4 16 = 4. 33 ( 12) =
5. 44 ( 5) = 6. 5 5( 11) =
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
21
จากบทนยามและทฤษฎบทขางตน เราสามารถน ามาใชในการรวมจ านวนจรงทมรากล าดบทเทากนได
เชน
3 39 9 = 32 9
3 3 39 5 9 2 9 = 3(1 5 2) 9 = 34 9
5 58 4 = 5 8 4 = 5 52 = 2
3 316 16 = 3 16 16 = 3 4 4 4 4 = 3 34 4
= 3 334 4 = 34 4
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
22
และจากนยาม 1na = n a เรากสามารถเขยนจ านวนจรงในรปกรณฑอนดบท n ตางๆ
ในรปของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะทเขยนในรปเศษสวน 1n ได เชน
1 1 13 3 33 39 9 9 9 2 9
1 1 1 1 13 3 3 3 33 3 39 5 9 2 9 9 5 9 2 9 (1 5 2) 9 4 9
1 1 1 15 5 5 5 55 5 5 58 4 8 4 (8 4) (2 ) 2 2
1 1 1 13 3 3 33 316 16 (16) (16) (16 16) (4 4 4 4)
=1 1 13 3 33 3(4 4) (4 ) (4)
=3 3 334 4 4 4
จากสงทนกเรยนไดเรยนรมาแลววา ( )n na a
และ 1n na a เรากจะไดวา
1
( )nn
a a
เชน 1 1 13 5 53 5
54 4 , (2 ) 2 , ( 3) 3
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
23
ครควรย าเกยวกบการนยามของ pqa เมอ p และ q เปนจ านวนเตม
โดยมเงอนไขวา ( , ) 1p q และ 0q และ 1qa
โดยทวๆ ไป pq กเปนจ านวนตรรกยะ ซง p และ q อาจจะเปนจ านวนบวกหรอลบกได
เชน 3 5 15 15, , ,
4 6 20 12
ซงเรากทราบแลววา 3 3 3
4 4 4 เปนจ านวนจรงทมคาเทากน
หรอ 15 15 15
20 20 20
แต pq ทเหนในสอ มเงอนไขเพมเตมวา ( , ) 1p q และ 0q
ซงกแปลวา ห.ร.ม. ของ p และ q ตองเทากบ 1 และ q ตองเปนบวก
ดงนน 15 15 15 5 3 3
20 20 20 5 4 4
จะเหนวา ในทน 3 , 4p q ท าให ( , ) 1p q และ 0q
ซงเราจะใช 34
แทนทจะใช 1520
หรอ 1520
12 243365 5 5
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
24
เรามาดตวอยางเพมเตมตอไปน
313
552 2
113 3322 2 2 34 4 2 2 8
13 3
2 2 3
3
1 14 4 2
82
ผสอนควรใหผเรยนพจารณาเลขยกก าลงแตละคทก าหนดให แลวดวาจ านวนใดมคามากกวากน เชน
32 และ 23 ค าตอบคอ 2 33 2 เพราะวา 23 9 และ 32 8
54 และ 45 ค าตอบคอ 5 44 5 เพราะวา 23 9 และ 32 8
132 และ
123 ค าตอบคอ เพราะวา
ในกรณท เลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะทเขยนในรปเศษสวน pq การพจารณาคอนขางยงยาก แต
กสามารถท าได ตวอยางตอไปนจะเปนการพจารณาจ านวนสองจ านวนทอยในรปเลขยกก าลงทมฐานไมเทากน เราพยายามปรบใหจ านวนดงกลาวมเลขชก าลงเปนจ านวนเดยวกน (เทากน) เพองายตอการพจารณา
เชน 3 5 และ 3 จ านวนใดมคามากกวากน
เพราะวา 2
11 1 1263 3 63 25 5 5 5 25
311 1 1362 2 633 3 3 3 27
ท าใหสรปไดวา 163 27 >
16 325 5
และถาใหพจารณาวา 3 5 และ 4 6 จ านวนใดมคามากกวากน (กท าไดเชนเดยวกน)
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
25
เพราะวา 4 1 11 1 4 12 123 33 45 5 5 5 625
3 1 11 1 3 12 124 44 36 6 6 6 216
ดงนน 3 5 > 4 6
และถาตองเรยงล าดบจ านวน 3 จ านวนตอไปน 3 , 3 5 , 4 6 จากนอยไปมาก กจะไดดงน 4 6 , 3 5 , 3
ในการเปรยบเทยบจ านวน 2 จ านวนทเทากน ถาเปนเลขยกก าลงทมฐานเทากนแลว เลขชก าลงยอมเทากน เพอใหผเรยนไดมทกษะเกยวกบเรองน ใหผสอนยกตวอยางเพมเตมดงน
ตวอยางท 1 จงหาคาของ x ทสอดคลองตามสมการ 1. 2 1 53 3x
2. 32
15
5x
x
วธท า 1. เพราะวา 2 1 53 3x ดงนน 2 1 5x ซงท าให 2x
ดงนน คา x ทสอดคลองกบสมการในขอ 1 คอ 2x
2. เพราะวา ( 2)3
2
15 5
5
xx
x
ดงนน 3 ( 2)x x ซงท าให 1
2x
คา x ทสอดคลองกบสมการในขอ 2 คอ 1
2x
ตวอยางท 2 จงหาเซตค าตอบของสมการ 223( 3) ( )
2 8x xx
วธท า เพราะวา 2
23
32 ( )( )( 3) (2 3 )32 8 2 2
xxx x x
ดงนน 2( 3)x x = 2 3x
3 23 3 2x x x = 0
2
( 2)( 1)x x x = 0 ……………………….*
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
26
เพราะวา 2
2 1 3( 1)
2 4x x x ดงนน 2
( 1) 0x x
จากสมการ * และ 2( 1) 0x x ท าใหสรปไดวา 2 0x นนคอ 2x
เมอตรวจสอบค าตอบ จะไดวา 2x สอดคลองกบสมการทก าหนดให
ดงนน เซตค าตอบของสมการนคอ {2}
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
27
เมอผเรยนไดดสอเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะแลว เพอใหแนใจวาเราเขาใจอยางถองแทและเกดทกษะ จงควรท าแบบฝกหดเพมเตมดงตอไปน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
28
แบบฝกหดท 2
เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ
1. จงหาคาของจ านวนตอไปน (โดยใหอยในรปทตวสวนไมตดกรณฑ)
1.1 1 23 3
12
8 27
36 1.2
1 12 3
16
2 3
4
1.3
1122
1 12 2
33 8
3 32 1.4 6 147
96
1.5 3 27
8 50 1.6
3
6
75 54
12 8
1.7 6 1
2 3 3 2 1.8
( 3 )( 2 )2 3
( 1)(2 )5 5
2. ให x และ y เปนจ านวนจรงบวก
จงท าใหอยในรปอยางงายและมเลขชก าลงเปนจ านวนบวก
2.1 2 43 33 2x x 2.2
215 34 5x x
2.3 2 43 3
2
3 2x x 2.4 1 12 3
2
2 3x x
2.5 4 13 2
753 2
12
27
x y
x y 2.6
3 24 3
765 2
2 6
5
125
x y
x y
3. จงท าใหสวนของจ านวนในขอตอไปนอยในรปทไมมเครองหมายกรณฑทสองปรากฏอย
3.1 12
5 8 3.2 3
3 22 3
3.3 25 7
7 5 3.2 3
3 22 3
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
29
การแกสมการทมเครองหมายกรณฑ และสมการเลขยกก าลง
การแกสมการทตวแปรอยในรปเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ ผเรยนจะไดเหนตวอยางการแกสมการโดยวธยกก าลงของจ านวนทเทากน เพอชวยใหหาค าตอบไดงายขน แตตองตรวจสอบค าตอบของสมการใหมทไดจากการยกก าลง เพราะค าตอบทไดจากสมการใหมมบางคาไมใชค าตอบของสมการเดม จ าเปนตองตรวจสอบทกครง
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
30
ตวอยางเพมเตม
ตวอยาง จงหาเซตค าตอบของสมการ 3 23 2 4x x x
จาก 3 23 2 4x x x
ก าลงสามของจ านวนทเทากนยอมเทากน
ดงนน 33 23 2x x = 34 x
23 2x x = 34 x
23 2x x = 2 364 48 12x x x
3 29 46 64x x x = 0
2( 2)( 7 32)x x x = 0
27 79
( 2)2 4
x x = 0
2x
ตรวจสอบคา x ทไดในสมการ จะได
3 32 23 2 3(2) 2(2) 2x x
4 4 2 2x
ดงนน เซตค าตอบของสมการนคอ {2}
ตวอยาง จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน 1. 3 29 9 27x x
2. 25 4 5 5 0x x
วธท า 1. จาก 39 9 x = 227x
จะได 3 19 x = 227x
ท าใหฐานของเลขยกก าลงมคาเทากน จะได
3 123x
= 233
x
6 23 x = 3 63 x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
31
ดงนน 6 2x = 3 6x
3x = 4
x = 4
3
เมอตรวจสอบคา 4
3x โดยการแทนคาในสมการทก าหนดมาให กจะพบวา
สอดคลองตามสมการทก าหนดให
ดงนน เซตค าตอบของสมการนคอ 43
2. จาก 25 4 5 5x x = 0
จะได 25 4 5 5x x = 0
(5 1)(5 5)x x = 0
เพราะวา 5 1 0x ดงนน 5 5 0x นนคอ 5 5x
ซงจะไดวา 1x และเมอตรวจสอบคา 1x ในสมการ กจะพบวา สอดคลอง
ดงนน เซตค าตอบของสมการคอ {1}
แบบฝกหดท 3
เรอง เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ (2)
1. จงหาเซตค าตอบของสมการตอไปน
1.1 4 5 5 14x x
1.2 9 3 3x x
1.3 4 8x x
1.4 2 2 3 2 4 5y y y
1.5 1 4 2 3t t t
1.6 2 26 1 6 6 5x x x x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
32
2. ถาก าหนดให 33
1x y
x แลว 1
xx เทากบเทาใด
3. คาของ 3
( )x x x yx
y x xy y เทากบเทาใด
4. ถา 1 13
( 1) ( 1)x x x x แลว x เทากบเทาใด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
33
3. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
34
3. เลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ
ในหวขอนเราจะไดรจกเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะ ซงตองอาศยความรเกยวกบเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ ในสอ ผเรยนจะไดเหนตวอยางของเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนอตรรกยะบางจ านวน ซงทางผบรรยายไดเลอกยกตวอยางเลขชก าลงทเปนจ านวนอตรรกยะทเปนทรจกเปนอยางดคอ 3 ซงมคาโดยประมาณ 1.73205 และเลอกฐานของเลขยกก าลงเปน 2 ซงจะท าใหผเรยนตดตามคาตางๆไดอยางไมล าบากนก
จากสอผเรยนคงพอทเขาใจความหมายและคาของ 32 ซงเปนเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปน
3 ซงเปนจ านวนอตรรกยะบางแลว ในท านองเดยวกน คาของ 52 กจะสามารถหาคาได
โดยประมาณเชนเดยวกน โดยพจารณาจากจ านวนตรรกยะทเปนคาโดยประมาณของ 5 โดยดจากตารางตอไปน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
35
x 2x
2.2 4.59479
2.23 4.69134
2.236 4.71089
2.23607 4.71112
2.23608 4.71115
ให x เปนจ านวนตรรกยะทมคาใกล 5
ดงตารางแสดงคา x และ 2x
เมอ x มคาเขาใกล 5
กจะไดวา 2x มคาเขาใกล 52
2.23607 5 2.236082 2 2
คาโดยประมาณของ 52 คอ 4.7111
และเมอเราอาศยเครองค านวณทมประสทธภาพมากขนจนสามารถบอกความละเอยดไดถงทศนยมต าแหนงทมากๆ เรากจะไดคาทใกลคาของ 5
2
ในท านองเดยวกน เราสามารถจะหาคาของ 2 72 , 2 ไดเชนเดยวกน
และถาให x เปนจ านวนอตรรกยะใดๆ
เราสามารถใหความหมายหรอหาคาของ 2x ได
เราพจารณากราฟของความสมพนธของคล าดบ
เมอ x เปนจ านวนตรรกยะ โดยใชโปรแกรม GSP
ใช parameter 1.7x
แลวเพม/ลดคา x ทละ 0.001 แลวค านวณคา 2x
ลงจด ( , 2 )xx พรอมแสดงตารางแสดงคา x และ 2x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
36
สรปสาระส าคญประจ าตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
37
สรปสาระส าคญประจ าตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
38
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
39
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
40
ภาคผนวกท 1
แบบฝกหดระคน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
41
แบบฝกหดระคน
1. คาของ 3 1 3 2 3
3 3 3 1 3 2
4 5 3 5 7 5
5 2 5 3 5
n n n
n n n เทากบขอใดตอไปน
1. 3
4 2.
4
3 3.
5
6 4.
6
5
2. 1
4
2
9 729
243 3
nn n
n n มคาเทากบขอใด
1. 243 2. 81 3. 27 4. 9
3. 33 3 3192 648 375 มคาเทากบขอใด
1. 81 2. 135 3. 375 4. 625
4. 75 12 18
3 3 3 2 มคาเทากบขอใด
1. 5 2 6 2. 3 5 6
3. 6 5 3 4. 5 3 3
5. คาของ 2 2
4 3 4 1
1
2 3
3 3 3
n
n n
n
อยในเซตใดตอไปน
1. { 2, 3, 4} 2. {2, 4, 6}
3. { 2, 6, 9} 4. {3, 6, 9}
6. ก าหนดให 2 19 36 9
11 9
n n
nx , 1
1
4 2 3 2
2 2
n n
n ny
คาของ x y เทากบขอใด
1. 17 2. 3 3. 3 4. 17
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
42
7. คาของ 2 1 1 2
1 2 2 1
2 3
3
y x y x
x y x y มคาตรงกบขอใด
1. x y 2. x y
3. 3 x y 4. x y
8. 1 2 2 1
2 2
2
4
a b a b
b a เขยนอยในรปอยางงายไดตรงกบขอใด
1. 2a b 2. 2a b
3. 1
2a b 4.
1
2a b
9. ถา 1
1
4 2 5 2
2 2
n n
n nx และ 1 2
2
9 3 5 3
3 3
n n
n ny
แลวคาของ xy จะตรงกบขอใด
1. 3 2. 3 3. 1
3 4.
1
3
10. คาของ 4 34 9 5 343 48 ตรงกบขอใด
1. 35 8 3 2. 35 3. 35 8 3 4. 35
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
43
ภาคผนวกท 2
เฉลย แบบฝกหด
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
44
เฉลยแบบฝกหด
เรอง เลขยกก าลง
แบบฝกหดท 1
1. 1.1 6972b
a 1.2 3 2 24 a b 1.3 2 10 8 2
1
3 a b c
1.4 5
7 2
b
a c 1.5 2 848x y 1.6
4
43
xy
1.7 8
6
y
x 1.8
6
3
y
x 1.9
6 4
8
x z
y
1.10 5
6 2
x
z y
2. 2.1 2 2p n p na b 2.2 6 3 6 1n nx y 2.3 2
2 3n
b
a
2.4 2(2 1) 8
1nx y
2.5 5 10 2 9n nx y 2.6 1
2 1
3n
ny
3. 3.1 62 (64) 3.2 2 2
6 2
2
3
n
n 3.3 2 332 2 nn
3.4 1
3 3.5
4
2 2
16 2
2 2n n 3.6 5
5 5
243 2 3 2n n
4. 4.1 3 38 8
1 1y y
x x 4.2 5 53 3
1 2 1 2
y yx x
4.3 3 2 3 2
1 1z z
x y x y 4.4
231
x
4.5 2 2
1 13 2
y y 4.6 3 1
2 4x x
4.7 214
x 4.8 3 3
2 31 5
x x
4.9 2 2
2 1 4 2 1
a b aba b 4.10 3 2 6 3 2 4
1 3 1 3 9
a b a a b b
5 5.1 7 5.2 1 5.3 10
5.4 9 5.5 5
14 5.6 1
3x
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
45
6. 6.1 x y
y x 6.2
2
2
5 2
3
b a
b a 6.3 1
2a b
6.4 x y 6.5 2 8
10 5
y x
x y
แบบฝกหดท 2
1. 1.1 1
27 1.2
1618 1.3 3
2
1.4 7 3
4 1.5 3
20 1.6
5652
4
1.7 4 2 3 1.8 (3 5 7)
4
2. 2.1 26x 2.2 131520x 2.3 2
3
4x
2.4 162
9x 2.5
4
13
4
9
y
x
2.6 12
273 105
y
x
3. 3.1 4( 5 8 ) 3.2 3 2 2 3
2 3.3
9 35
2
3.4 61
2
แบบฝกหดท 3
1. 1.1 {19} 1.2 1.3 {5}
1.4 {1} 1.5 {3} 1.6 3 15{ , }2 2
2. 2( 3)y y 3. 0 4. 5
3
เฉลยแบบฝกหดระคน
1. 4 2. 3 3. 1 4. 1
5. 3 6. 2 7. 1 8. 4
9. 4 10. 2
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
46
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
47
รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน
เรอง ตอน
เซต บทน า เรอง เซต
ความหมายของเซต
เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต
เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร
สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร
การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร
การใหเหตผล
ประพจนและการสมมล
สจนรนดรและการอางเหตผล
ประโยคเปดและวลบงปรมาณ
สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย
สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง
จ านวนจรง
บทน า เรอง จ านวนจรง
สมบตของจ านวนจรง
การแยกตวประกอบ
ทฤษฏบทตวประกอบ
สมการพหนาม
อสมการ
เทคนคการแกอสมการ
คาสมบรณ
การแกอสมการคาสมบรณ
กราฟคาสมบรณ
สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน
สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม
สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ
ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน
การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย
ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน
ความสมพนธ
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
48
เรอง ตอน
ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ
อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน
ฟงกชนเบองตน
พชคณตของฟงกชน
อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส
ฟงกชนประกอบ
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
เลขยกก าลง
ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม
ลอการทม
อสมการเลขชก าลง
อสมการลอการทม
ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต
อตราสวนตรโกณมต
เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย
ฟงกชนตรโกณมต 1
ฟงกชนตรโกณมต 2
ฟงกชนตรโกณมต 3
กฎของไซนและโคไซน
กราฟของฟงกชนตรโกณมต
ฟงกชนตรโกณมตผกผน
สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย
สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต
สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน
ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน
การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร
การหาคาสดขด
ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม
ล าดบ
การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต
ลมตของล าดบ
ผลบวกยอย
อนกรม
ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม
คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
49
เรอง ตอน
การนบและความนาจะเปน .
บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน
การนบเบองตน
การเรยงสบเปลยน
การจดหม
ทฤษฎบททวนาม
การทดลองสม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล
บทน า เนอหา
แนวโนมเขาสสวนกลาง 1
แนวโนมเขาสสวนกลาง 2
แนวโนมเขาสสวนกลาง 3
การกระจายของขอมล
การกระจายสมบรณ 1
การกระจายสมบรณ 2
การกระจายสมบรณ 3
การกระจายสมพทธ
คะแนนมาตรฐาน
ความสมพนธระหวางขอมล 1
ความสมพนธระหวางขอมล 2
โปรแกรมการค านวณทางสถต 1
โปรแกรมการค านวณทางสถต 2
โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย
ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส
การถอดรากทสาม
เสนตรงลอมเสนโคง
กระเบองทยดหดได