37-76 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ...

΄Αλγεβρα Β΄ Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος ∆.

37

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να

δώσουµε µερικούς ορισµούς.

Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται άρτια αν για κάθε Α∈x

ισχύει και Ax∈− και )()( xfxf =−

Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης είναι συµµετρική ως

προς τον άξονα yy' .

Παράδειγµα: Η 2)( xxf = είναι

άρτια γιατί έχει πεδίο ορισµού το ℜ

και για κάθε ∈x ℜ ισχύει ∈− x ℜ

και )()()( 22 xfxxxf ==−=− .

Ορισµός: Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται περιττή αν για κάθε Α∈x

ισχύει και Ax∈− και )()( xfxf −=−

Παρατήρηση: Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης είναι συµµετρική ως

προς την αρχή των αξόνων Ο(0, 0).

Παράδειγµα: Η 3)( xxf =

είναι περιττή γιατί έχει πεδίο

ορισµού το ℜκαι για κάθε ∈x

ℜ ισχύει ∈− x ℜ και

)()()( 33 xfxxxf −=−=−=− .

0,)( 2 >= ααxxf

0,)( 3 >= ααxxf


38

Μονοτονία (γνησίως αύξουσα και γνησίως φθίνουσα

Ορισµός: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα (↑ ) σε ένα διάστηµα ∆ του

πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε ∆∈21, xx ισχύει αν 21 xx < τότε

)()( 21 xfxf < .

Παράδειγµα: Η 3)( xxf = είναι γνησίως

αύξουσα γιατί:

)()( 213

23

121 xfxfxxxx <⇒<⇒<

Ορισµός: Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα )(↓ σε ένα διάστηµα ∆ του

πεδίου ορισµού της , όταν για οποιαδήποτε ∆∈21, xx ισχύει αν 21 xx < τότε

)()( 21 xfxf > .

Παράδειγµα: Η 32)( +−= xxg είναι γνησίως φθίνουσα γιατί:

Σχόλιο: Μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα ή φθίνουσα λέγεται γνησίως µονότονη.

)()(323222 21212121 xgxgxxxxxx >⇒+−>+−⇒−>−⇒<


39

Παρατηρήσεις 1. Όταν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (ή φθίνουσα), η γραφική της

παράσταση «ανεβαίνει» («κατεβαίνει») όταν προχωρούµε από αριστερά προς τα

δεξιά.

2. Μπορούµε να εξετάσουµε την µονοτονία µιας συνάρτησης χρησιµοποιώντας το

λόγο µεταβολής : 21

21 )()(

xx

xfxf

−

−=λ .

Αν 0>λ τότε η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα.

Αν 0<λ τότε η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα.

Αν 0=λ τότε η συνάρτηση είναι σταθερή.

Εµείς στα παραδείγµατα που θα δώσουµε θα θεωρούµε ότι 01221 >−⇔< xxxx και

παίρνοντας τη διαφορά )()( 12 xfxf − θα καταλήγουµε στη µορφή )( 12 xx −λ που θα

εξαρτάται από την ποσότητα λ.


40

Ακρότατα (Μέγιστο και ελάχιστο συνάρτησης)

Ορισµός: Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει ελάχιστο στο ox ,

Axo ∈ όταν για κάθε x του πεδίου ορισµού της ισχύει )()( oxfxf ≥ .

Παράδειγµα: Η 12)( +−= xxf έχει ελάχιστο γιατί ισχύει 02 ≥−x ∈∀x ℜ

1)(112 ≥⇒≥+−⇒ xfx Αρκεί να εξετάσω τώρα για ποιο ox το 1)( =oxf

20202 =⇒=−⇒=−⇒ ooo xxx . Άρα, )2()( fxf ≥ ∈∀x ℜ , δηλαδή έχει

ελάχιστο στο (2, 1).

Ορισµός: Η συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α παρουσιάζει µέγιστο στο ox ,

Axo ∈ όταν για κάθε x του πεδίου ορισµού της ισχύει )()( oxfxf ≤ .

Παράδειγµα: Η 2)( xxf −= έχει µέγιστο γιατί ισχύει 02 ≥x ∈∀x ℜ

0)(02 ≤⇒≤−⇒ xfx . Αρκεί να εξετάσω τώρα για ποιο ox το 0)( =oxf

002 =⇒=−⇒ oo xx . Άρα, )0()( fxf ≤ ∈∀x ℜ , δηλαδή έχει µέγιστο στο (0, 0).


41

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όταν θέλουµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση κάνουµε διαδοχικά τα παρακάτω

1. Βρίσκουµε το πεδίο ορισµού της

2. Εξετάζουµε αν είναι άρτια ή περιττή

3. Εξετάζουµε τη µονοτονία της

4. Εξετάζουµε αν έχει ακρότατα

5. Εξετάζουµε τη συµπεριφορά της συνάρτησης για πολύ µεγάλες ή για πολύ µικρές

τιµές του x .

6. Κάνουµε πίνακα τιµών και σχεδιάζουµε τη γραφική παράσταση, λαµβάνοντας

υπόψη όλα τα προηγούµενα.


42

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

βα += xxf )( (εξίσωση ευθείας)

2)( xxf α= (παραβολή)

↓ στο ]0,(−∞ , ↑ στο ),0[ +∞

Ελάχιστο στο Ο(0,0)

↑ Στο ]0,(−∞ , ↓ στο ),0[ +∞

Μέγιστο στο Ο(0,0)

β=y ,α=0 σταθερή

0, <+= αβαxy Γν. φθίνουσα

0, >+= αβαxy Γν. αύξουσα

0,2 >= ααxy

0,2 <= ααxy


43

0,)( ≠= xx

xfα

(Υπερβολή)

Περιττή συνάρτηση

Συµµετρική ως προς το Ο(0,0)

↓ στο )0,(−∞ , ↓ στο ),0( +∞

Ακρότατα δεν έχει

↑ στο )0,(−∞ , ↑ στο ),0( +∞

Ακρότατα δεν έχει

0, <= ααx

y

0, >= ααx

y


44

ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 1. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις

i). xxxf 54)( 3 +=

ii). 7

45)(

2

35

+

−=

x

xxxf

iii). 34

3)(

2

+=

x

xxxf

iv). 22)( ++−= xxxf

v). 2

32)(

2

2

−

+=

x

xxf

vi). 14)( 2 −+= xxxf

vii). xxxf 32)( 2 −=

viii). 0

0

,

,)(

2

2

≥

<

−

=x

x

x

xxf

ΛΥΣΗ i). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ είναι

)()54(54)(5)(4)( 333 xfxxxxxxxf −=+−=−−=−+−=− άρα είναι περιττή.

ii). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ γιατί 072 ≠+x ∈∀x ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ

είναι )(7

45

7

45

7)(

)(4)(5)(

2

35

2

35

2

35

xfx

xx

x

xx

x

xxxf −=

+

−−=

+

+−=

+−

−−−=− άρα

περιττή.

iii). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ γιατί 034 ≠+x ∈∀x ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ

είναι )(34

3

34

)(3)(

22

xfx

xx

x

xxxf =

+=

+−

−−=− άρα άρτια.

iv). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ είναι

)(22)2()2(22)( xfxxxxxxxf =−++=−−++−=+−+−−=− άρα

άρτια


45

v). Πρέπει 22002 222 ±≠⇔≠⇔≠⇔≠− xxxx άρα πεδίο ορισµού Α=ℜ

2,2−− . Άρα, Α∈−Α∈∀ xx , είναι

)(2

32

2

3)(2)(

2

2

2

2

xfx

x

x

xxf =

−

+=

−

+−=− άρα άρτια.

vi). Πρέπει 101 ≥⇔≥− xx . Άρα, πεδίο ορισµού ),1[ +∞=Α για το οποίο

Α∈−Α∈∀ xx , . Άρα, η f δεν είναι ούτε άρτια, ούτε περιττή.

vii). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ είναι

)(32)(3)(2)( 22 xfxxxxxf ±≠+=−−−=− . Άρα, η f δεν είναι ούτε άρτια,

ούτε περιττή.

viii). Έχει πεδίο ορισµού το ℜ . Άρα, ∈∀x ℜ , ∈− x ℜ είναι

)(0

0

,

,

0

0

,)(

,)()(

2

2

2

2

xfx

x

x

x

x

x

x

xxf −=

>

≤

−=

>−

<−

−

−−=− άρα περιττή.

2. ∆ίνεται µια περιττή συνάρτηση f . Να αποδειχθεί ότι : 0)0( =f

ΛΥΣΗ Επειδή η f περιττή, θα είναι )()( xfxf −=− Α∈∀x (όπου Α το πεδίο ορισµού). Τότε

για 0=x έχουµε:

0)0(0)0(20)0()0()0()0()0()0( =⇔=⇔=+⇔−=⇔−=− ffffffff

3. Να µελετηθούν ως προς τη µονοτονία οι συναρτήσεις

i). 2

31)(

xxf −=

ii). )4()( xxxf −=

iii). 132)( −−= xxf

ΛΥΣΗ i). Η f ορίζεται στο ℜ *= ∈x ℜ / 0≠x και αν 01221 >−⇔< xxxx έχουµε


46

)3

1()3

1()()(2

12

2

12xx

xfxf −−−=− )11

(3333

13

12

22

12

22

12

12

2 xxxxxx−=−=+−−=

+

+

+−=

−=

22

21

12122

22

1

21

22 )()(

33xx

xxxx

xx

xx ∆ηλαδή το πρόσηµο της )()( 12 xfxf − εξαρτάται

από το 12 xx + .

Αν 00 2121 <+⇒<< xxxx τότε )()(0)()( 2112 xfxfxfxf >⇔<− Άρα, f ↓

στο )0,(−∞

Αν 00 2121 >+⇒<< xxxx τότε )()(0)()( 2112 xfxfxfxf <⇔>− Άρα, f ↑

στο ),0( +∞

ii). Η f ορίζεται σε όλο το ℜ (δηλ. Α=ℜ ) και αν 01221 >−⇔< xxxx έχουµε

)(4))((44)4()4()()( 2121212

112

22111212 xxxxxxxxxxxxxxxfxf −−+−=+−−=−−−=−

)4)(( 2121 −+−= xxxx

Αν 22 121 <⇒≤< xxx και ⇒≤µέλη κατάπροσθέτω

2 2x 044 2121 <−+⇔<+ xxxx

τότε ).()(0)()( 2112 xfxfxfxf <⇒>− Άρα, f ↑ στο ]2,(−∞

Αν 22 121 >⇒<< xxx και 22 >x 021 >−⇒ x και 022 >−x . Οπότε,

προσθέτοντας κατά µέλη έχουµε : 0421 >−+ xx τότε

).()(0)()( 2112 xfxfxfxf >⇒<− Άρα, f ↓ στο ),2( +∞

iii). Η f ορίζεται όταν : 3

1013 ≥⇔≥− xx Άρα, ),

3

1[ +∞=Α .

Α΄ τρόπος

Έστω 213

1xx <≤ έχουµε

2121 331333

13 xxxx <≤⇔<≤⋅ 131311 21 −<−≤−⇔ xx 13130 21 −<−≤⇔ xx

13130 21 −<−≤⇔ xx )()(213130 2121 xfxfxx >≥⇔−−>−−≥⇔

Άρα, f ↓ στο ),3

1[ +∞

Β΄ τρόπος


47

Έστω 213

1xx <≤ 012 >−⇒ xx έχουµε

1313)132()132()()( 211212 −−−=−−−−−=− xxxxxfxf

1313

)1313()1313(

21

2121

−+−

−+−⋅−−−=

xx

xxxx

1313

)13()13(

21

22

21

−+−

−−−=

xx

xx

01313

)(3

1313

)13()13(

21

21

21

21 <−+−

−=

−+−

−−−=

+

−

xx

xx

xx

xx Άρα,

)()(0)()( 2112 xfxfxfxf >⇔<− . Άρα, f ↓ στο ),3

1[ +∞

4. Να εξετάσετε ως προς τα ακρότατα τις συναρτήσεις

i). 123)( +−= xxf

ii). xxf −−= 12)(

iii). 112)( 2 +−= xxxf

ΛΥΣΗ Όταν µας ζητούν να εξετάσουµε µια συνάρτηση για ακρότατα, ξεκινούµε από µια

ποσότητα που είναι πάντα 0≥ και βρίσκεται µέσα στη συνάρτηση. Τέτοιες παραστάσεις

είναι τέλεια τετράγωνα, ή απόλυτες τιµές. Σε αυτά τα παραδείγµατα θα ξεκινήσουµε

από 02 ≥−x ∈∀x ℜκαι 01 ≥− x ∈∀x ℜκαι µετά θα σχηµατίσουµε τη συνάρτηση

)(xf .

i). Η f ορίζεται στο ℜ (δηλ. Α=ℜ ). Ισχύει ∈∀x ℜ ,

1)(1123023 ≥⇔≥+−⇔≥− xfxx µε 1)( =oxf 1123 =+−⇔ ox

023 =−⇔ ox 20202 =⇔=−⇔=−⇔ ooo xxx . Άρα, )2()( fxf ≥ ∈∀x ℜ .

Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 2=ox το 1)2( =f .

ii). Η f ορίζεται όταν 101 ≤⇔≥− xx . Άρα, ]1,(−∞=Α . Εξάλλου ]1,(−∞∈∀x είναι


48

1010101 0 =⇔=−⇔≤−−⇔≥− xxxx o . Άρα,

)1()( fxf ≤ ]1,(−∞=Α∈∀x . Άρα, η f παρουσιάζει µέγιστο στο 1=ox το

2)1( =f .

iii). Η f ορίζεται στο ℜ (δηλ. Α=ℜ ). Ισχύει ∈∀x ℜ ,

10)(1010)1(1012112)( 222 ≥⇔≥+−==+−=+−= xfxxxxxxf µε

1010)1(1010)1(10)( 22 =⇔=−⇔=−⇔=+−⇔= ooooo xxxxxf

Άρα, )1()( fxf ≥ ∈∀x ℜ . Άρα, η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 1=ox το

10)1( =f .

Παρατήρηση

Στις βασικές συναρτήσεις: βα += xxf )( , 2)( xxf α= , )0(,)( ≠= xx

xfα

για να τις

µελετήσουµε ως προς την µονοτονία ή τα ακρότατα εξετάζουµε το α:

1. βα += xxf )( (ευθεία) 0>α ↑ 0<α ↓ 0=α σταθερή

2. 2)( xxf α= (παραβολή) 0>α ↓ στο ]0,(−∞ ↑ στο ),0[ +∞

0<α ↑ στο ]0,(−∞ ↓ στο ),0[ +∞

3. )0(,)( ≠= xx

xfα

(υπερβολή) 0>α ↓ στο )0,(−∞ ↓ στο ),0( +∞

0<α ↑ στο )0,(−∞ ↑ στο ),0( +∞

5. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα η συνάρτηση :

34)( +−= xxf

ΛΥΣΗ Για να µελετήσω την συνάρτηση πρέπει να βγει το απόλυτο.

• Αν 404 ≥⇔≥− xx τότε 44 −=− xx οπότε 134)( −=+−= xxxf

• Αν 404 <⇔<− xx τότε 44 +−=− xx οπότε 734)( =−==+−= xxxf

Άρα, 4

4

,7

,1)(

<

≥

+−

−=

x

x

x

xxf

Μονοτονία


49

o Η 1)( −= xxf όταν 4≥x παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής βα += xy

και επειδή 01>=α είναι ↑ στο ),4[ +∞

o Η 7)( +−= xxf όταν 4<x παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής

βα += xy και επειδή 01<−=α είναι ↓ στο )4,(−∞

Ακρότατα

Επειδή f ↓ στο )4,(−∞ και f ↑ στο ),4[ +∞ , φανερά η f παρουσιάζει στο 4=ox

ελάχιστο το 3344)4( =+−=f δηλ. το σηµείο µε συντεταγµένες (4, 3).

6. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση : 2)1()( xxf λ−= .

ΛΥΣΗ Η f ορίζεται σε όλο το ℜ (δηλ. Α=ℜ )

Η f είναι συνάρτηση παραβολής της µορφής 2)( xxf α= µε λα −=1 οπότε

• Αν 111010 <<−⇔<⇔>−⇔> λλλα τότε η f ↓ στο ]0,(−∞ και f ↑

στο ),0[ +∞

• Αν 1 ή 11010 >−<⇔>⇔<−⇔< λλλλα τότε η f ↑ στο ]0,(−∞ και f

↓ στο ),0[ +∞ .

• Αν 11010 ±=⇔=⇔=−⇔= λλλα τότε 0)( =xf και η f είναι σταθερή

στο ℜ .


50

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΤΥΠΟΥ

7. Να µελετηθεί η συνάρτηση 0

0

,

,42)(

2 ≥

<

−−

=x

x

x

xxf

αναν

ΛΥΣΗ Παρατηρούµε ότι πεδίο ορισµού είναι το ℜ . (∆ηλ. ℜ=Α )

Η 42)( −−= xxf όταν 0<x παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής βα += xy

και επειδή 02 <−=a είναι ↓ στο ).0,(−∞

Παίρνουµε µερικές τιµές:

x 0 -1

y -4 -2

Η 2)( xxf = όταν 0≥x παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής 2xy α= και

επειδή 01>=α είναι ↑ στο ),0[ +∞ .


x 0 1 2 3

y 0 1 4 9

∆εν έχει ακρότατα, ℜ=Α , ),4()( +∞−=Αf , είναι ασυνεχής!!!.

2xy =

42 −−= xy


51

8. Να µελετηθεί η συνάρτηση:

1

10

01

1

αν

αν

αν

αν

,1

,

,

,1

)(2

2

≥

<≤

<≤−

−<

−=

x

x

x

x

x

x

x

x

xf

ΛΥΣΗ Παρατηρούµε ότι το πεδίο ορισµού είναι το ℜ . (∆ηλ. ℜ=Α )

Η x

xf1

)( = όταν 1−<x και 1≥x παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής

xy

α= και επειδή 01>=a θα είναι ↓f στο ),1[)1,( +∞∪−−∞ .


x -1 1 -2 2

y -1 1

2

1−

2

1

Η 2)( xxf = όταν 10 <≤ x παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής 2xy α=

και επειδή 01>=a θα είναι ↑f στο [0,1)


x 0 1

y 0 1

Η 2)( xxf −= όταν 01 <≤− x παριστάνει τµήµα παραβολής της µορφής

2xy α= και επειδή 01<−=a θα είναι ↓f στο [-1,0).


x -1 0

y -1 0

Οπότε, η γραφική παράσταση είναι:


52

Από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι :

• η )(xf έχει ακρότατα:

Μέγιστο στο (1, 1)

Ελάχιστο στο (-1, -1)

• Πεδίο Ορισµού: ℜ=Α

• Πεδίο Τιµών: ℜ=)(Af [-1, 1]

• Είναι συµµετρική ως προς το Ο(0,0), οπότε είναι περιττή συνάρτηση.

• Είναι συνεχής!!

9. Να µελετηθεί η συνάρτηση:

+

=,

2

,1

)(

x

x

xfαναν

1

1

>

≤

x

x

ΛΥΣΗ Καταρχήν πρέπει να απλοποιήσουµε τη συνάρτηση σε συνάρτηση χωρίς απόλυτα.

Η 1)( += xxf , αν 111 ≤≤−⇔≤ xx γίνεται: ,

,

1

1)(

+

+−=

x

xxf

αναν

10

01

≤≤

<≤−

x

x

Η x

xf2

)( = , αν 11 −<⇔> xx ή 1>x γίνεται: ,

,

2

2

)(

−=

x

xxfαναν

1

1

>

−<

x

x

(1,1)

Μέγιστο

(-1,-1)

Ελάχιστο

2xy =

2xy −= x

y1

= xy

1−=


53

Οπότε, η συνάρτηση γίνεται:

1

1

10

01

αν

αν

αν

αν

,2

,2

,1

,1

)(

>

−<

≤≤

<≤−

−

+

+−

=

x

x

x

x

x

x

x

x

xf Άρα, ℜ=Α

Η 1)( +−= xxf αν 01 <≤− x παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής βα += xy

και επειδή 01<−=α θα είναι ↓f στο )0,1[− .Παίρνουµε µερικές τιµές:

x -1 0

y 2 1

Η 1)( += xxf αν 10 ≤≤ x παριστάνει τµήµα ευθείας της µορφής βα += xy

και επειδή 01>=α θα είναι ↑f στο ]1,0[ .Παίρνουµε µερικές τιµές:

x 0 1

y 1 2

Η x

xf2

)( −= αν 1−<x παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής x

yα

= και

επειδή 02<−=α θα είναι ↓f στο )1,( −−∞ . Παίρνουµε µερικές τιµές:

x -1 -2

y 2 1

Η x

xf2

)( = αν 1>x παριστάνει τµήµα υπερβολής της µορφής x

yα

= και επειδή

02 >=α θα είναι ↓f στο ),1( +∞ . Παίρνουµε µερικές τιµές:

x 1 2

y 2 1

Οπότε, η γραφική παράσταση είναι:


54

Από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι η )(xf έχει

• Μέγιστο στο (1, 2) και στο (-1, 2)

• Πεδίο Ορισµού: ℜ=Α

• Πεδίο Τιµών: ]2,0()( =Αf

• Είναι συνεχής!!!

• Παρατηρούµε επίσης ότι η ℜ∈∀> xxf 0)( . Αυτό φαίνεται στην γραφική

παράσταση διότι είναι πάνω από τον άξονα .' xx

• Επίσης, από τη γραφική παράσταση βλέπουµε ότι η )(xf είναι συµµετρική ως

προς τον άξονα yy' , εποµένως είναι άρτια συνάρτηση.

(1,2)

Μέγιστο Μέγιστο

(-1,2)


55

ΜΕΤΑΦΟΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ

1. Η συνάρτηση 0,)( >+= ccxfy 2. Η συνάρτηση 0,)( >−= ccxfy

Η γραφική παράσταση της cxfy += )( , όπου c

σταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της

γραφικής παράστασης της )(xfy = κατακόρυφα

προς τα πάνω.

Η γραφική παράσταση της cxfy −= )( , όπου

cσταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της

γραφικής παράστασης της )(xfy =

κατακόρυφα προς τα κάτω.


56

ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

xy 2= , 22 += xy , 32 −= xy

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

2

2

1xy = , 2

2

1 2 += xy , 32

1 2 −= xy


57

3. Η συνάρτηση 0),( >+= ccxfy 4. Η συνάρτηση 0),( >−= ccxfy

Η γραφική παράσταση της )( cxfy += όπου c

σταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της

γραφικής παράστασης της )(xfy = παράλληλα

προς τα αριστερά κατά c.

Η γραφική παράσταση της )( cxfy −= όπου

cσταθερά θετική, προκύπτει µε µεταφορά της

γραφικής παράστασης της )(xfy =

παράλληλα προς δεξιά κατά c.


58

Παραδείγµατα Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

2xy = , 2)2( −= xy , 1)3( 2 −+= xy

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων:

x

y2

= , 3

2

−=

xy , 2

3

2−

+=

xy

Η γραφική παράσταση της 23

2−

+=

xy προκύπτει από την

xy

2= µε µεταφορά

κατά 3 θέσεις αριστερά και 2 θέσεις προς τα κάτω. Πεδίο Ορισµού 3−−ℜ= γιατί

πρέπει 303 −≠⇔≠+ xx .


59

5. Η συνάρτηση )(xfy −=

Η γραφική παράσταση της )(xfy −= είναι συµµετρική της )(xfy = ως προς τον

άξονα xx' .

6. Η συνάρτηση )( xfy −=

Η γραφική παράσταση της )( xfy −= είναι συµµετρική της )(xfy = ως προς τον

άξονα yy'


60

Παραδείγµατα Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

1)( 3 += xxf , 1)( 3 −−=− xxf , 11)()( 33 +−=+−=− xxxf

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

12)1()( 22 ++=+= xxxxf ,

12)1()( 22 +−−=+−=− xxxxf

12)1()( 22 +−=+−=− xxxxf


61

7. Η συνάρτηση )(xfy =

Είναι :αναν

,

,

)(

)()(

−==

xf

xfxfy

0)(

0)(

<

≥

xf

xf

Η γραφική παράσταση της )(xfy = διατηρεί τα ¨µέρη¨ της γραφικής παράστασης της

)(xfy = που βρίσκονται πάνω από τον άξονα xx' και συµπληρώνεται µε τα συµµετρικά ως

προς τον xx' των µερών που βρίσκονται κάτω από τον xx' .

8. Η συνάρτηση )( xfy =

Είναι == )( xfyαναν

− ),(

),(

xf

xf

0

0

≤

≥

x

x

Η γραφική παράσταση της )( xfy = διατηρεί το ¨µέρος¨ της γραφικής παράστασης της

)(xfy = που βρίσκεται δεξιά του yy' και αριστερά του yy' συµπληρώνεται µε το

συµµετρικό ως προς τον άξονα yy' του δεξιού µέρους.


62

Παραδείγµατα

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Α. 1)( −= xxf Β. 1)( −= xxf Γ. 1)( −= xxf ∆. 1)( −= xxf

1)( −= xxf

1)( −= xxf1

1

,1

,1

<

≥

+−

−=

x

x

x

x

1−= xy


63

1)( −= xxf =0

0

,1

,1

<

≥

−−

−

x

x

x

x

1)( −= xxf0

0

,1

,1

<

≥

−−

−=

x

x

x

x

1

01

10

1

,

,

,

,

1

1

1

1

−<

<≤−

<≤

≥

+

−−

+−

−

=

x

x

x

x

x

x

x

x


64

ΑΛΛΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ

10. Να µελετηθεί η συνάρτηση: x

xf1

)( = . Επίσης, να κάνετε τις γραφικές

παραστάσεις των συναρτήσεων:

1

1)(

−=

xxf ,

1

1)(

+=

xxf ,

21

)( +=x

xf ,

21

)( −=x

xf

ΛΥΣΗ

Η συνάρτηση γίνεται:

−=

,1

,1

)(

x

xxfαν

αν

0

0

<

>

x

x )0( ≠x

o Αποτελείται από το τµήµα της υπερβολής x

y1

= στο διάστηµα ),0( +∞ και

από το τµήµα της υπερβολής x

y1−= στο διάστηµα )0,(−∞ .

o Πεδίο ορισµού είναι το ∗ℜ=Α

o Πεδίο τιµών είναι το ),0()( +∞=Αf

xy

1=


65

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 1

1)(

−=

xxf προκύπτει από οριζόντια

µετατόπιση της γραφικής παράστασης της x

xf1

)( = κατά µια µονάδα προς τα

δεξιά.

o Πεδίο ορισµού είναι το 1−ℜ=Α


Οµοίως, η γραφική παράσταση της 1

1)(

+=

xxf προκύπτει από οριζόντια


xf1

)( = κατά µια µονάδα προς τα

αριστερά.

o Πεδίο ορισµού είναι το 1−−ℜ=Α


1

1

−=

xy

x =

1

1x

1y

+=

x =

-1


66


)( +=x

xf προκύπτει από κάθετη


xf1

)( = κατά 2 µονάδες προς τα

πάνω.




)( −=x

xf προκύπτει από κάθετη


xf1

)( = κατά 2 µονάδες προς τα

κάτω.


o Πεδίο τιµών είναι το ),2()( +∞−=Αf

2x

1y +=

2x

1y −=


67

11. Να βρεθεί το µέγιστο των συναρτήσεων: 12)( 21 ++= xxxf και

22)(2 += xxf

ΛΥΣΗ Παίρνω τη διαφορά:

)22()12()()( 221 +−++=− xxxxfxf 22122 −−++= xxx = 12 −x

∆ιακρίνουµε περιπτώσεις:

Αν 101 22 ≥⇔≥− xx 11 −≤⇔≥⇔ xx ή 1≥x τότε έχουµε:

0)()( 21 ≥− xfxf )()( 21 xfxf ≥⇔

Αν 101 22 ≤⇔≤− xx 111 ≤≤−⇔≤⇔ xx τότε έχουµε:

0)()( 21 ≤− xfxf )()( 21 xfxf ≤⇔

Άρα,

=),(

),()(),(max

2

121 xf

xfxfxf

αναν

11

1

≤≤−

−≤

x

x ή 1≥x

Γραφικά το µέγιστο των συναρτήσεων )(1 xf και )(2 xf απεικονίζεται στο διπλανό

σχήµα.


68

12. Στο παρακάτω σχήµα να εκφράσετε το (ΜΝ) σαν συνάρτηση του x . Να

βρείτε στη συνέχεια τη µικρότερη δυνατή τιµή του (ΜΝ).

ΛΥΣΗ

Το Μ έχει τετµηµένη x , άρα τεταγµένη x

1.

Το Ν έχει την ίδια τεταγµένη x

1, άρα τετµηµένη

x

1− . Έχουµε συνεπώς:

)1

,(x

xΜ και )1

,1

(xx

N − .

Άρα, =−++=ΜΝ 22 )11

()1

()(xxx

xx

xx

x1

)1

( 2 +=+

Αν x θετικό τότε: x

x1

)( +=ΜΝ .

Για να βρούµε το x ώστε η )(ΜΝ να είναι ελάχιστη, αρκεί να βρούµε το ελάχιστο

της συνάρτησης x

xxf1

)( += , .0>x

Θα µελετήσουµε τη µονοτονία της )(xf για 0>x .

Έστω 210 xx << 012 >−⇔ xx τότε

=− )()( 12 xfxf =−−+1

12

2

11

xx

xx =

−−+

21

22

12112

2

xx

xxxxxx

=−−−

=21

121221 )()(

xx

xxxxxx

+

+

−−

21

2112 )1()(

xx

xxxx

.


69

Άρα, το )()( 12 xfxf − εξαρτάται από το 121 −xx .

• Αν 10 21 <<< xx 01110

102121

2

1 <−⇔<⇒

<<

<<⇒ xxxx

x

x τότε

0)()( 12 <− xfxf ↓⇒ f στο (0, 1).

• Αν 211 xx <≤ 0111

12121

2

1 >−⇔>⇒

>

≥⇒ xxxx

x

x τότε 0)()( 12 >− xfxf

↑⇒ f στο ),1[ +∞ .

Άρα έχει ελάχιστο στο 1, ίσο µε 21

11)1( =+=f . Άρα, το ελάχιστο µήκος του ΜΝ

είναι 2 και εµφανίζεται όταν 1=x .

Β΄ τρόπος

Αυτό µπορούσαµε να το διαπιστώσουµε πιο εύκολα γιατί ισχύει: 21≥+

xx , 0>x

διότι 21≥+

xx 0)1(01221 222

0

≥−⇔≥+−⇔≥+⇔>

xxxxxx

που ισχύει.


70

13. Να υπολογίσετε το εµβαδόν που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις

των συναρτήσεων: 21)( −+= xxf και 16)( −−= xxg

ΛΥΣΗ Οι συναρτήσεις γίνονται:

,

,

1

3)(

−

−−=

x

xxf

αναν

1

1

−≥

−<

x

x και

,

,

7

5)(

−

+=

x

xxg

αναν

1

1

≥

<

x

x

Οι γραφικές παραστάσεις είναι:

Το σχήµα ΑΒΓ∆ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραµµο γιατί οι ευθείες ανά δυο κάθετες

µεταξύ τους. (γιατί το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης τους είναι -1).

Βρίσκουµε πρώτα τις συντεταγµένες των Α, Β, Γ, ∆. Έστω ),( yxΑ . Οι

συντεταγµένες ικανοποιούν την 5+= xy και την 3−−= xy άρα

−−=

+=

3

5

xy

xy48235 −=⇔−=⇔−−=+⇒ xxxx

Άρα, 1545 =⇔+−=⇔+= yyxy

Όµοια, Γ(4, 3) , Β(-1, -2), ∆(1, 6).

Βρίσκουµε τα µήκη (ΑΒ), (ΒΓ).

321833)12()41()( 2222 ==+=−−++−=ΑΒ

525055)23()14()( 2222 ==+=+++=ΒΓ

Άρα, 1545232))(( =⋅=ΒΓΑΒ=ΕΑΒΓ∆ .

Άρα Α(-4,1)


71

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σωστό (Σ) ή Λάθος.(Λ)

Α. Αν για την συνάρτηση ℜ→ℜ:f ισχύει για κάθε ℜ∈x

0)()( =−−− xfxf τότε η f είναι άρτια. Σ Λ

Β. Αν 0<α η συνάρτηση

xxf

α=)( είναι γνησίως φθίνουσα σε

κάθε ένα από τα διαστήµατα )0,(−∞ και ),0( +∞

Σ Λ

Γ. Η συνάρτηση 25)( xxf −= είναι γνησίως αύξουσα στο ]0,(−∞ Σ Λ

∆. Η συνάρτηση 375)( xxxg +−= είναι περιττή. Σ Λ

Ε. Αν η περιττή συνάρτηση f έχει πεδίο ορισµού το ℜ τότε

0)0( =f Σ Λ

Στ. Η γραφική παράσταση της 3)( xxg = έχει κέντρο συµµετρίας την

αρχή των αξόνων Σ Λ

Ζ. Η συνάρτηση 2( ) 1 1 2f x x x x= + + − − είναι άρτια. Σ Λ

Η. Η συνάρτηση ( ) 1f x x= − είναι γνησίως φθίνουσα στο [0, )+∞ . Σ Λ

Θ. Η συνάρτηση ( ) 3 2f x x= − − παρουσιάζει ελάχιστο το -2. Σ Λ

Ι. Αν f ↓ και η f ορίζεται στο ℜ τότε ( 2) ( 1)f f− < − Σ Λ

2. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες, περιττές ή

τίποτα.

Α. 2

)2()(

2

2

+

−=

x

xxxf Β. 1)( 24 ++= xxxf

Γ. 22 11)( xxxxxf +−−++= ∆. 11)( ++−= xxxf

Ε. 245)( +−−−= xxxf ΣΤ. 22 )23()23()( −++= xxxf

Ζ. 1

1

)(2 +

+=

xx

xxf Η. ]10,1[,)( 2 =Α= xxf


72

Θ.

≥−−

−≤+−=

1,72

1,72)(

xx

xxxf Ι.

>+−

++

≤+++−

=

0,1

2

0,1

2

)(

2

2

2

2

xxx

xx

xxx

xx

xf

3. Να µελετηθούν ως προς την µονοτονία οι συναρτήσεις

Α. 0,74)( 2 ≥+−= xxxf Β. 16)( 3 += xxf

Γ. 354)( xxf −= ∆. 34)( 2 +−= xxxf

Ε. 3

12)(

+−

=x

xxf ΣΤ. xxf −= 1)(

Ζ. 32

1)(

3+=

xxf Η.

1

1)(

−=

xxf

Θ. 233)( xxf −= Ι.

∈−

−∞∈+−=

]7,5[,1

]1,(,252)(

2

2

xx

xxxxf

4. Να βρεθούν τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων

Α. 2)( xxf = Β. 1)( += xxf

Γ. 2)( −= xxf ∆. x

xf+

=1

1)(

Ε. 1)2(3)( 2 −−= xxf ΣΤ. 4)( 2 −= xxf

5. Με τη βοήθεια των παρακάτω γραφικών παραστάσεων να βρεθούν τα εξής:

i). Πεδία ορισµού και πεδία τιµών

ii). Αν είναι άρτιες ή περιττές

iii). Τα διαστήµατα στα οποία είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα ή

σταθερή

iv). Τα ακρότατα αν υπάρχουν και που

v). Για ποιες τιµές του x βρίσκονται πάνω από τον άξονα xx' ή από κάτω.


73

Να µελετηθούν οι συναρτήσεις ως προς την µονοτονία και τα ακρότατα και µετά

να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις. Από τις γραφικές παραστάσεις να βρεθούν

και τα πεδία τιµών.

6. 12)( += xxf 7. 3)( +−= xxf

8. 2,)( 2 ≤−= xxxf 9. 1

1)(

2

−−

=x

xxf

10.

>

≤−=

1,

1,12)(

2 xx

xxxf 11.

<<−−

≤+=

11,2

1,13)(

2 xx

xxxf


74

12. 0,)(2

≠+= xx

xxxf 13.

1

1

,

,

11

12)(

2

=

≠

−+−

=x

xx

xxxf

14. 1)( −= xxf 15. 23)( xxf =

16. x

xf1

)( = 17. 2,2

)( ≥= xx

xf

18.

<

≥=

0,1

0,)(

xx

xxxf 19.

=

≠−=

0,0

0,1

)(

x

xxxf

20. 1

10

0

,

,

,

1

)(

2

≥

≤≤

≤

−

=

x

x

x

x

x

x

xf 21. 0

),0()0,(

,

,

0

)(=

+∞∪−∞∈

=

x

xxx

xxf

22. 11)( +−−= xxxf 23. 1

1

,

,)(

3

>

≤

=x

x

x

xxf

24. Να προσδιοριστεί ο ℜ∈α ώστε η συνάρτηση f µε τύπο

3)(21)( −++−+−= xxxxf βαβα να είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα

),3[ +∞ .

25. Να προσδιοριστεί ο ℜ∈µ ώστε η συνάρτηση f µε τύπο

3)1(2)( −−++= xxxf µ να είναι γνησίως φθίνουσα στοℜ .

26. ∆ίνεται η συνάρτηση x

xf43

)(−+

=λ

. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η συνάρτηση

να είναι:

i). Γνησίως αύξουσα

ii). Γνησίως φθίνουσα

iii). Σταθερή

27. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: 2)52()( xxf +−= λ


75

28. Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση: λλ +−= xxf )9()( 2

29. Να προσδιοριστεί ο λ ώστε η συνάρτηση 2)13()( xxf += λ παρουσιάζει

ελάχιστο, η συνάρτηση 2)23()( xxg +−= λ να παρουσιάζει για την ίδια τιµή του x

µέγιστο.

30. ∆ίνεται η συνάρτηση

≥−

<−=

2,2

2,5)(

xx

xxxf

i). Να λυθεί η εξίσωση )0()( fxfx λλ =−−

ii). Να βρεθούν τα σηµεία τοµής της 42 −= xy µε την f αν υπάρχουν

iii). Να γίνει η γραφική παράσταση της f .

31. Να προσδιορίσετε τη συνάρτηση f αν η γραφική της παράσταση είναι:


76

32. ∆ίνεται η συνάρτηση f µε τύπο 0)( ≠xf για τον οποίο δίνεται η σχέση:

)()(2)()( yfxfyxfyxf =−++ για κάθε ℜ∈yx, . ∆είξτε ότι:

i). 1)0( =f

ii). Η f είναι άρτια

33. ∆ίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισχύει: )()()( yfxfyxf +=+ για κάθε

ℜ∈yx, . ∆είξτε ότι:

i). 0)0( =f

ii). Η f είναι περιττή.

34. Ένα σηµείο ),( yxM κινείται στην πλευρά ΑΒ από το Α µέχρι το Β. Να

εκφραστούν τα εµβαδά των τριγώνων ΑΜΟ και ΒΜΟ σαν συνάρτηση του x . Να

βρεθεί για ποιες τιµές του x γίνονται ίσα.

35. Να υπολογισθεί το εµβαδό που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των

συναρτήσεων: xy = και xy −= 4 .

37-76 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ...

Documents

Transcript of 37-76 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ...