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UNIVERSIDADE DO ALGARVE
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
ÁREA DEPARTAMENTAL DE ENGENHARIA CIVIL
APONTAMENTOS DE
COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA
(REVISÕES SOBRE FUNÇÕES REAIS DE VARIÁVEL REAL)
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Revisões sobre funções reais de variável real
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Sumário: Revisões sobre funções reais de variável real
i) Domínios; ii) Noções topológicas; iii) Limites e continuidade; iv) Derivadas, diferenciabilidade e diferencial; v) Gráficos; vi) Função composta; vii) Integrais; viii) Equações diferenciais.
As funções reais de variável real (f.r.v.r.), podem descrever o comportamento de uma determinada
grandeza que apenas depende de um factor. E podem ser definidas por
:
( )ff D
x y f x
⊆ →
→ =
� �.
Na disciplina de Complementos de Matemática, estudam-se funções mais gerais. Estas contemplam
o caso de grandezas que dependem de mais do que um factor. As funções vectoriais de variável
vectorial, ou campos vectoriais, e as funções reais de variável vectorial, ou campos escalares
(funções com várias variáveis).
Antes de se passar ao estudo das funções com várias variáveis, faz-se uma breve revisão sobre as
f.r.v.r., nomeadamente no que diz respeito a, domínios, noções topológicas, limites, continuidade,
derivadas, diferenciabilidade, diferencial, função composta, integrais e equações diferenciais.
Esta revisão vai ter por base a seguinte função
2
1
2, 0
( ) 1, 0x
x xx
f x xe x+
� − ≥�= −�� <�
. (0.1)
Trata-se de uma função definida por ramos, onde existe uma variável dependente ( ( )y f x= ) e uma
variável independente (x). Portanto, uma f.r.v.r..
1º ramo: para 0x ≥ a função está definida por 2 2
( )1
x xy f x
x−= =−
;
2º ramo: para 0x < a função está definida por 1( ) xy f x e += = .
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i) Domínios
Definição 0.1: O domínio, fD ⊆ � , de uma f.r.v.r., :f →� � , é o conjunto de valores da
variável independente para os quais a função está definida, ou seja,
{ }: ( )fD x f x= ∈ ∈� � .
Definição 0.2: O contradomínio, fCD ⊆ � , de uma f.r.v.r, ( )y f x= , é o conjunto de valores de y obtidos quando x percorre o domínio da função { }( ) :f fCD y f x x D= = ∈ ∈� .
Exemplo 0.1: A função (0.1) está definida por ramos, portanto, para se calcular o seu domínio,
deve estudar-se o domínio das funções definidas nos seus ramos:
• 1º ramo: Apesar de se indicar que neste ramo a função é válida para 0x ≥ , a função deste ramo
está definida para { :1 0} \{1}D x x= ∈ − ≠ =� � , assim o domínio deste ramo é
[ [ [ [1 0 0\{1} \{1} 0,1fD + += = = ∞� � �� � ��� ;
• 2º ramo: Nesse ramo a função está definida para 0x < , uma vez que, o domínio da função
deste ramo é � , então ] [2
,0fD −= = −∞� �� .
Portanto, fazendo a reunião dos domínios dos ramos, vem
] [ [ [ [ [ ] [ ] [1 2
,0 0,1 ,1 \{1}f f fD D D= = −∞ ∞ = −∞ ∞ =� �� � ��� � ��� .�
ii) Noções topológica
Definição 0.3: Seja X ⊆ � , 0r > e ] [( , ) { :| | } ,d a r x x a r a r a r= ∈ − < = − +� uma vizinhança
de a ∈� ,
• int( ) ( , )a X d a r X∈ ⇔ ⊂ . Repare-se que, int( )X X⊆ .
• ext( ) ( , ) \ ca X d a r X X∈ ⇔ ⊂ =� (complementar de X , cX X �� � ).
• front( ) ( , )a X d a r X⇔� � � e ( , ) cd a r X� � (sse não for nem interior nem exterior a
X).
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Estes conjuntos são disjuntos dois a dois, isto é, int( ) ext( )X X� �, int( ) front( )X X� � e
ext( ) front( )X X� �, e a sua união é o universo considerado, isto é,
int( ) ext( ) front( )f f fD D D = �� � .
Definição 0.4: O conjunto X ⊆ � diz-se:
• aberto sse coincide com o seu interior.
• fechado sse coincide com a sua aderência, ad( ) int( ) front( )X X X X� � � , ou seja, sse o seu
complementar for aberto. Repare-se que, ext( ) \X X�� .
• limitado sse existir uma vizinhança de � que o contenha.
• compacto sse for limitado e fechado.
Estas noções são importantes, porque, por exemplo, só se poderá definir derivada de uma função
num ponto interior do domínio.
Exemplo 0.2: Classificação topológica do domínio da função (0.1).
Como foi visto, \{1}fD = � , vindo:
• int( ) \{1}f fD D= =� , fD é aberto;
• ext( )fD = ∅ ;
• { }front( ) 1fD = .
• { }ad( ) int( ) front( ) \{1} 1f f f f fD D D D D= = = = ≠� �� � , logo, fD não é fechado.
O conjunto fD não é limitado (pois não existe uma vizinhança de � que o contenha) e não é
fechado, logo não é compacto. �
iii) Limites e continuidade
Definição 0.5: Uma função f diz-se contínua num ponto a sse lim ( ) ( )x a
f x f a→
= . Por outro lado, caso
a função não seja contínua nem prolongável por continuidade ao ponto a, diz-se descontínua nesse
ponto.
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Exemplo 0.3: A continuidade da função (0.1), deve ser estudada nos dois ramos e no ponto de
mudança de ramo, 0x = .
• Para 0x ≥ (1º ramo), a função é contínua para [ [ ] [( )0,1 1,x∀ ∈ +∞� , por se tratar de uma
função racional.
• Para 0x < (2º ramo), a função é contínua, pois trata-se de uma função exponencial, que é
contínua em � .
• Para 0x = , (0) 0f = , 2
0 0
2lim ( ) lim 0
1x x
x xf x
x+ +→ →
−= =−
e 1
00lim ( ) lim x
xxf x e e
−
+
→→= = . Portanto
∃0
lim ( )x
f x→
, uma vez que, 0 0
lim ( ) lim ( )x x
f x f x+ −→ →
≠ , logo a função não é contínua neste ponto.
Pode concluir-se que a função é contínua em \ {0,1}� .�
iv) Derivadas, diferenciabilidade e diferencial Em geral, quando uma grandeza y está expressa em função de outra x, ou seja, ( )y f x= , observa-se
que, para uma dada variação x h∆ = de x, ocorre, em correspondência, uma variação y f∆ = ∆ de y,
desde que y não seja uma função constante.
Considerando a recta r que passa nos pontos 0 0( , ( ))x f x e 0 0( , ( ))x x f x x+ ∆ + ∆ , portanto, secante à
curva ( )y f x= , o declive desta recta é dado por
0 0 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )( )r
f x x f x f x x f xm
x x x x+ ∆ − + ∆ −= =+ ∆ − ∆
,
que pode ser encarado como uma medida da «taxa média de variação» de f, por unidade de
comprimento, entre os pontos 0x e 0x x+ ∆ (variação de y para cada variação unitária em x,
velocidade média de crescimento da função). Conforme x∆ se aproxima de zero, o ponto
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0 0( , ( ))x x f x x+ ∆ + ∆ aproxima-se do ponto 0 0( , ( ))x f x , e a recta continua secante ao gráfico, sendo
determinada por dois pontos cada vez mais próximos. Na posição limite, quando 0x∆ → , esta
recta passa a ser tangente, tr , ao gráfico da função no ponto 0 0( , ( ))x f x , com declive
0 0
0
( ) ( )lim
tr x
f x x f xm
x∆ →
+ ∆ −=∆
.
A derivada de uma função de equação ( )y f x= é uma função de x, que por definição é dada pela
expressão
0
( ) ( ) ( )( ) lim
x
dy df x f x x f xf x
dx dx x∆ →
+ ∆ −′= = =∆
.
A derivada é, portanto, um operador matemático que transforma uma função noutra função. Num
determinado ponto dá a taxa de variação pontual ou instantânea da função nesse ponto,
geometricamente corresponde ao declive da recta tangente ao gráfico da função ( )y f x= nesse
ponto e trigonometricamente corresponde à tangente que essa recta faz com o eixo das abcissas (ou
seja ( ) tgf x α′ = , onde α é o ângulo que a recta tangente forma com o eixo horizontal, medido no
sentido anti-horário).
Em particular, quando ( )y f t= descreve a posição de um objecto no instante t quando este se move
numa linha recta, ( )f t′ descreve a velocidade (instantânea) do objecto no instante t.
O cálculo das derivadas pode ser efectuado através da definição ou pelas regras de derivação.
Definição 0.6: Uma função f diz-se diferenciável no ponto a, se for possível aproximar a função,
em a, por uma aplicação linear.
Geometricamente este facto traduz-se em � pela existência de uma recta tangente ao gráfico de f
em a. Quer dizer, se uma função tiver derivada finita num ponto então é diferenciável nesse ponto.
Portanto, para f.r.v.r. ser diferenciável é equivalente a ser derivável.
Teorema 0.1: Se uma função : ff D ⊆ →� � é diferenciável num ponto int( )fa D∈ , então é
contínua nesse ponto.
( )f x diferenciável� ( )f x é contínua
( )f x contínua � ( )f x diferenciável
( )f x não contínua � ( )f x não diferenciável
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Exemplo 0.4: A diferenciabilidade da função (0.1), deve ser estudada nos dois ramos e no ponto de
mudança de ramo, 0x = .
• Para 0x < (1º ramo), a função é diferenciável [ [ ] [( )0,1 1,x∀ ∈ +∞� , uma vez que admite
derivada finita nestes pontos. Para 1x = a função não é diferenciável por não ser contínua.
• Para 0x > (2º ramo), a função é diferenciável, uma vez que a função definida neste ramo
admite derivadas finitas x∀ ∈� , por se tratar de uma função exponencial.
• Para 0x = , a função não é diferenciável uma vez que não é contínua nesse ponto. Note-se que,
(0 ) 2 (0 )f f e+ −′ ′= − ≠ = , logo não existe (0)f ′ e consequentemente, também não é
diferenciável nesse ponto.
Pode concluir-se que a função é diferenciável em \ {0,1}� .�
Definição 0.7: O diferencial da função ( )y f x= é dado por ( )dy
dy dx f x dxdx
′= = .
Para f.r.v.r, ( )y f x= , pode calcular-se aproximadamente a variação de y, ou seja, y∆ , para uma
variação, x∆ , em x, em torno de um ponto x a= utilizando diferenciais: ( )y dy f a dx′∆ ≈ = . Isto
representa, na realidade, que se está a aproximar a curva ( )f x em torno de x a= , por uma recta
tangente que passa por a, dada por, ( )( ) ( )'y f a x a f a= − + .
Por definição, dx x= ∆ . No entanto, costuma-se usar dx quando se trata de quantidades pequenas
(infinitesimais) e x∆ quando se trata de quantidades finitas usadas na prática.
v) Gráficos Muitas vezes é importante conseguir uma visualização gráfica duma função, isto é, estabelecer uma
associação geométrica entre cada ponto do seu domínio e respectiva imagem, os valores do
contradomínio.
Definição 0.8: Define-se gráfico, fG , de uma função : ff D ⊆ →� � ao lugar geométrico dado
por { }( , ) : , ( )f fG x y x D y f x= ∈ = .
A representação gráfica de uma f.r.v.r. faz-se num espaço bidimensional, 2
fG ⊂ � .
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Exemplo 0.5: Representação gráfica da função (0.1). Para se construir o gráfico de uma função, é
útil estudar analiticamente o comportamento da mesma, em particular, o domínio, as intersecções
com os eixos, as assíntotas, a monotonia e a concavidade, aplicando os conceitos até aqui
apresentados.
1) Domínio: Como foi visto, \{1}fD = � .
2) Intersecções com os eixos:
• Para 0x ≥ ,
Eixo das abcissas: 2
22( ) 0 0 2 0 1 0 0 2
1x x
f x x x x x xx
−= ⇔ = ⇔ − = − ≠ ⇔ = =−
� . Estes
valores são os zeros da função, que estão definidos quer no domínio deste ramo, quer no domínio da
função.
Eixo das ordenadas: (0) 0f = . • Para 0x < ,
Eixo das abcissas: 1( ) 0 0xf x e += ⇔ = , esta equação não tem solução. Quando 0x < a função não
intersecta o eixo das abcissas.
Eixo das ordenadas: (0) 0f e= > . Apesar de fe D∈ , este valor não pertence ao domínio do 2º ramo
da função. Quando 0x < a função não intersecta o eixo das ordenadas.
3) Assíntotas Verticais (A.V.):
Como a função apresenta dois pontos de descontinuidade para 0x = e 1x = , é possível ter
assíntotas verticais nestes pontos.
• Para 0x = ,
1
0 0
2
0 0
lim ( ) lim
02lim ( ) lim 0
1
x
x x
x x
f x e e
xx xf x
x
− −
+ +
+
→ →
→ →
�= =�� =�−= = �
− �
não é uma A.V.
• Para 1x = ,
2
1 1
2
1 1
2 1lim ( ) lim
1 0 12 1
lim ( ) lim1 0
x x
x x
x xf x
x xx x
f xx
− −
+ −
+→ →
−→ →
�− −= = = −∞��−� =�
− − �= = = +∞�− �
é uma A.V. bilateral.
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4) Assíntotas não Verticais (A.V.) ( y mx b= + ):
• Para 0x > , sendo 2 2
( ) 21lim lim lim 11x x x
x xf x xxm
x x x→+∞ →+∞ →+∞
−−−= = = = −−
e
2 2lim [ ( ) ] lim lim 1
1 1x x x
x x xb f x mx x
x x→+∞ →+∞ →+∞
− −= − = + = =� �− − �,
conclui-se que 1y x= − + , é uma assíntota oblíqua quando x → +∞ . • Para 0x < , sendo
1( )lim lim 0
x
x x
f x em
x x
+
→−∞ →−∞= = = (há uma assíntota horizontal)
e 1lim [ ( ) ] lim 0 0x
x xb f x mx e +
→−∞ →−∞ = − = − = � ,
conclui-se que 0y = , é uma assíntota horizontal quando x → −∞ .
5) Extremos e monotonia:
• Para 0x ≥ : 2 2
22
2 2 2( ) 0 0 0 2 2 0 1 0
1 (1 )x x x x
f x x x xx x
′� �− − + −′ = ⇔ = ⇔ = ⇔ − + − = − ≠� �− −� � , esta
equação é impossível, portanto, ( )f x′ não tem zeros no 1º ramo (não tem extremos) e como
2 2 2 0x x− + − < 1 e 2(1 ) 0x− ≥ , tem-se ( ) 0f x′ < . Assim, ( )f x é decrescente para 0x ≥ .
• Para 0x < , 1 1( ) 0 ( ) 0 0x xf x e e+ +′ ′= ⇔ = ⇔ = , equação impossível, logo ( )f x′ não tem zeros
no 2º ramo (não tem extremos) e como ( ) 0f x′ > , 0x∀ < , ( )f x é crescente para 0x < .
6) Pontos de inflexão e Concavidade:
• Para 0x ≥ : 2
3
2 2( ) 0 0 0
1 (1 )x x
f xx x
′′� �− −′′ = ⇔ = ⇔ =� �− −� �, é uma condição impossível, x∀ ∈� ,
logo ( )f x′′ não tem zeros no 1º ramo (não tem pontos de inflexão). Mas, como ( ) 0f x′′ < ,
quando 0 1x≤ < , ( )f x tem a concavidade virada para baixo para 0 1x≤ < e, como ( ) 0f x′′ > ,
quando 1x > , ( )f x tem a concavidade virada para cima para 1x > .
1 Parábola com concavidade virada para baixo.
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• Para 0x < : 1 1( ) 0 ( ) 0 0x xf x e e+ +′′ ′′= ⇔ = ⇔ = é uma condição impossível, x∀ ∈� (não tem
pontos de inflexão), em particular para 0x∀ < , onde ( ) 0f x′′ > , assim, ( )f x tem a
concavidade virada para cima para 0x < .
7) Quadro resumo:
x −∞ 0 1 + ∞ ( )f x′ + − − ( )f x′′ + − + ( )f x � � � � � �
A figura seguinte ilustra a representação gráfica da função.
O gráfico mostra que a função não é contínua na origem, e que a função não admite extremos, em
particular, que 0x = não é um ponto de máximo da função. �
vi) Função composta
Definição 0.9: Sejam : ff D ⊆ →� � e : gg D ⊆ →� � duas f.r.v.r, a composta de f e g,
designada por fog , é definida do seguinte modo:
i) O domínio de fog é o conjunto fogD formado pelos objectos gx D∈ que verificam a condição
( ) fg x D∈ , i.e, { : ( ) }fog g fD x D g x D= ∈ ∈ ;
ii) Para cada fogx D∈ , ( )( ) [ ( )]fog x f g x= .
Se ( )g fg D D⊂ , tem-se fog gD D= ; se ( )g fg D D = ∅� , fog é a função vazia.
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Exemplo 0.6: Supondo 2 2
( )1
x xf x
x−=−
e 1( ) xg x e += , então
( 1) 11
1
( 2)( )( ) [ ( )]
1
x xx
x
e efog x f g x f e
e
+ ++
+
− = = = � −
e 2 2 22 2 1 3 12 11 1 12
( )( ) [ ( )]1
x x x x x x xx x xx x
gof x g f x g e e ex
− − + − − ++− − − −= = = = =� �− �
.
Verifica-se que ( )( ) ( )( )gof x fog x≠ .�
Definição 0.10: As funções : ff D ⊆ →� � e 1
1 :f
f D −− ⊆ →� � dizem-se inversas se
satisfazem as duas seguintes condições:
i) 1( )( )f of x x− = (função identidade), fx D∀ ∈ ;
ii) 1( )( )fof x x− = , 1fx D −∀ ∈ .
O símbolo 1f − deve ser sempre interpretado como a inversa de f e não como 1f
, o inverso de f.
Exemplo 0.7: Cálculo da inversa da função 1( ) xg x e += . Igualando a função a y e resolvendo-a em
ordem a x, vem,
1 ln 1 ln( ) 1xy e y x x y+= ⇔ = + ⇔ = − , portanto 1( ) ln( ) 1g x x− = − .
Verifique-se, agora, que as funções ( )g x e 1( )g x− , são inversas:
i) 1 ln( ) 1 1( )( ) (ln( ) 1) xgog x g x e x− − += − = = ;
ii) 1 1 1 1( )( ) ( ) ln( ) 1x xg og x g e e x− − − −= = − = . c.q.d.�
O resultado que segue, expressa a derivada da composição fog em termos das derivadas de f e g,
permitindo derivar funções complicadas utilizando derivadas de funções mais simples.
Teorema 2 (Regra da cadeia): Se g é diferenciável em x e f é diferenciável em ( )g x , então a
função composta fog é diferenciável em x. Para além disso ( ) ( ) ( ( )) ( )fog x f g x g x′ ′ ′= .
Alternativamente, se ( ( ))y f g x= e ( )u g x= , então ( )y f u= e dy dy dudx du dx
= .
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Exemplo 0.8: Cálculo da derivada de y gof= , onde f e g são dadas no exemplo 6.
Do exemplo 6, 2 3 11[ ( )]
x xxy g f x e
− +−= = , pretende-se calcular ( ) ( )y gof x′ ′= .
Seja 2 21
x xu
x−=−
e 1( ) ( ( ))uy g u e g f x+= = = , como 1udye
du+= e
2
2
2 2( 1)
du x xdx x
− += −−
vem
2 3 12 21 1
2 2
2 2 2 2( 1) ( 1)
x xu xdy dy du x x x x
e edx du dx x x
− ++ −− + − += = − = −
− −.
Obviamente 2 2 23 1 3 1 3 12 21 1 1
2
3 1 2 21 ( 1)
x x x x x xx x xx x x x
y e e ex x
− + − + − +− − −
′ ′� � � �− + − +′ = = = −� � � �� � − −� �� �.�
vii) Integrais O cálculo de integrais definidos é de importância fundamental devido às suas variadas aplicações
nas diferentes áreas. Consideramos primitivas quando não existem extremos de integração e
integrais quando existem.
Primitivar pode ser considerado como a operação “inversa” de derivar. Por exemplo, uma vez que
1 1( )x xe C e+ +′+ = , então 1 1x xe dx e C+ += +� (sendo C uma constante). Esta última é considerada uma
primitiva imediata, a forma mais fácil de primitivar. Pode-se ver que uma função tem infinitas
primitivas que diferem entre si de uma constante.
Caso as primitivas não sejam imediatas, dois métodos usuais de cálculo são:
• Primitivação por partes: Seja ( )u u x= e ( )v v x= , então pela derivada do produto
( )uv u v v u′ ′ ′= + primitivando ambos os membros desta igualdade resulta
( ) ( )P uv P u v v u uv Pu v Pv u Pu v uv Pv u′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= + ⇔ = + ⇔ = − .
Exemplo 0.9: Cálculo da primitiva 1xxe dx+� , utilizando o método de primitivação por partes.
1 1
1
x xu e u e
v x v
+ +′� = � =� ′= � =�
donde �� �� � �1 1 1 11 ( 1)x x x x
vv u v u u
x e dx x e e dx x e C+ + + +
′′= − × = − +� � .�
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• Primitivação por substituição: Para a qual se dá um exemplo.
Exemplo 0.10: Cálculo da primitiva 1xe dx+� , utilizando o método de primitivação por
substituição.
Fazendo 1
( )
1 1ln( ) 1x
x x u
dxe u x u dx du
du u u+
== � = − � = � = , substituindo na expressão original a nova
variável, 1 1xe dx u du du u Cu
+ = × = = +� � � , voltando à variável original
1
1 1x
x x
u ee dx u C e C
+
+ +
== + = +� , como seria de esperar. �
Uma das aplicações dos integrais é no cálculo de áreas. Exemplo 0.11: Cálculo da área delimitada pelas condições 0y > , 1xy e += e 0x < .
Tendo em conta o gráfico da função (0.1), através de integrais simples:
0 01 1 1 0 0 1 1 0 1 1( 0) lim lim [ ] lim [ ] lim 0x x x A A
AAA A A Ae dx e dx e e e e e e+ + + + + + +
−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞− = = = − = − = >� �
Apesar de se tratar de um integral impróprio, é possível calcular esta área.
Ou através de integrais duplos: 10
0
xedydx e
+
−∞=� � .�
Exemplo 0.12: Cálculo da área delimitada pelas condições, 2 21
x xy
x−=−
e 120 x< < .
A área pedida pode ser obtida através do cálculo 1 12 22 2
0 0
2 20
1 1x x x x
dx dxx x
� �− −− =� �− −� �� � .
Como 2 21
x xx
−−
é uma função racional imprópria (grau do numerador maior que o do
denominador), fazendo a divisão de polinómios, vem 2 2 1
11 1
x xx
x x− = − −− −
.
Donde
( )1
1 12 2 21 1 12 28 2 20 0
0
2 11 ln(1 ) ln 0 0,31815 0
1 1 2x x x
dx x dx x xx x
− � �− = − − = − − − = − − − >� � � �− −� � �� � � .�
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viii) Equações diferenciais As equações diferenciais surgem em vários ramos da engenharia. Podem ser modelados por este
tipo de equações, fenómenos ligados com, análise de circuitos, e de sinais, mecânica de fluidos,
comportamento estático e dinâmico de estruturas, propagação de ondas, entre outros.
Definição 0.11: Chama-se equação diferencial a uma equação que estabelece uma relação entre
uma função desconhecida, as suas variáveis independentes e as derivadas dessa função em ordem a
uma ou a mais das variáveis independentes.
Se uma equação diferencial tiver uma única variável independente, diz-se ordinária (EDO); tendo
mais do que uma variável independente, a equação diz-se uma equação diferencial com derivadas
parciais (equação diferencial parcial, EDP).
A ordem de uma equação diferencial é igual à ordem da maior derivada que nela se encontra. De
uma maneira geral, as EDO mais estudadas são as de primeira ordem: com variáveis separadas;
homogéneas; exactas; lineares e de Bernoulli.
Definição 0.12: Chama-se solução ou integral de uma equação diferencial a toda a função ( )y f x=
que a verifique.
A solução geral de uma equação diferencial envolve um número de constantes igual à ordem da
equação, representando por isso uma família de linhas. Uma solução particular, satisfaz uma
condição inicial.
Exemplo 0.13: Considere-se um fenómeno que pode ser descrito por uma equação diferencial
ordinária. A velocidade de um corpo é definida como o espaço percorrido por unidade de tempo, ou
seja, é a razão entre a variação da posição espacial do corpo ( x∆ ) e o intervalo de tempo
correspondente ( t∆ ), portantox
vt
∆ =∆
. Contudo, a velocidade pode não ser constante, ou seja, pode
variar ao longo do tempo. Logo, por forma a obter uma correcta descrição da velocidade num
determinado instante, deve-se efectuar medições em intervalos de tempo curtos. Falámos assim de
uma velocidade instantânea ( 0t∆ → ), dada por ( ) ( )dx
x t v tdt
′ = = (A derivada dá a taxa de variação
instantânea). Obtendo-se uma equação diferencial ordinária, a qual diz que a velocidade é, em cada
instante, dada pela primeira derivada de x em ordem a t. Essa derivada, dx/dt, representa a taxa de
variação do espaço percorrido pelo corpo ao longo do tempo. �
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Exemplo 0.14: Foi observado que a velocidade de um automóvel varia ao longo do tempo de
acordo com a seguinte equação: ( )2100 1 tv e−= − , com t em h (horas) e v em km/h. Sabe-se ainda
que ao fim de 1h o automóvel percorreu 50 km. Obtenha uma equação que descreva a variação da
distância percorrida com o tempo.
Do exemplo 0.13, sabe-se que a taxa de variação do espaço percorrido por um corpo ao longo do
tempo, é dada pela EDO, ( )dx
v tdt
= , neste exemplo, ( )2( ) 100 1 tdxv t e
dt−= = − .
A resolução desta equação resulta de integrar ambos os membros da equação
( ) ( ) ( )2 2 2
22
100 1 100 1 100 1
100 100 50 ,2
t t t
tt
dxe dx e dt dx e dt C
dte
x t C t e C
− − −
−−
= − ⇔ = − ⇔ = − + ⇔
� �⇔ = + + = + +� �
� �
� �
Como o espaço percorrido depende do tempo, a solução geral da EDO é 2( ) 100 50 tx t t e C−= + + . A
verificação desta solução é feita através da substituição desta expressão na equação diferencial
original. Neste exemplo,
2
2 2( ) (100 50 )100 100 100(1 ) ( )
tt tdx dx t d t e C
e e v tdt dt dt
−− −+ += = = − = − = .
Aplicando a condição inicial 1 50t h x km= � = , vem 250 100 50 56,77te C C−= + + ⇔ = − . Assim, a solução particular que verifica a condição inicial imposta pelo enunciado do
problema é: 2100 50 56.77tx e−= + − . Este exemplo ilustra outra aplicação do cálculo integral. �
Exemplo 0.15: Considere-se um fenómeno que pode ser descrito por uma equação diferencial
parcial. O movimento de uma viga que pode vibrar longitudinalmente (i.e. na direcção do eixo das
abcissas) supondo-se pequenas vibrações, pode descrito pela equação 2 2
22 2
u uc
t x∂ ∂=∂ ∂
. A variável
( , )u x t é o deslocamento longitudinal em relação à posição de equilíbrio da secção transversal no
ponto x. A constante 2c E µ= , onde E é o módulo de elasticidade (esforço dividido pela tensão) e
depende das propriedades da viga, µ é a densidade (massa por unidade de volume). �