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Aula 9 – Sistemas de Equações Lineares / Parte 2 – A=LU
Prof. Guilherme Amorim
2014.1 - 13/05/2014
Cálculo Numérico
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Aula passada...
� Vimos como resolver sistemas de equações lineares utilizando 3 métodos:
� Cramer
� Eliminação de Gauss
� Eliminação de Gauss-Jordan
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E hoje?
� Processo de correção residual
� Método de decomposição LU
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Processo de Correção Residual
� “O processo de correção residual consiste em fazer um tratamento na solução aproximada de modo que o resto r = b – Ax torne-se tão pequeno quanto possível.”
� Seja o sistema: Ax = b
� x representa a solução exata do sistema:
� “Devido aos arredondamentos, entre outros erros, temos soluções aproximadas representadas por:
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Processo de Correção Residual
� “Considere �(�) uma correção residual para �(�)”
� Temos � = �(�) + �(�)
� E temos que: �(� � + �(�)) =
� Portanto: ��(�) = − �� �
� Chamando � � = − �� � , temos: �� � = � �
� Resolvendo esse novo sistema obtém-se uma solução
aproximada ê(�)
� Nova aproximação de x: � � = � � + ê(�)
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Processo de Correção Residual
� Porém, em razão das aproximações numéricas na
solução de �� � = � � , ê(�) não satisfaz a �ê(�) =
� � .
� Existe um erro �(�) = � � − ê(�) ou �(�) = ê(�) + � �
� Logo: � ê(�) + �(�) = � � ⇒ ��(�) = � � − �ê(�)
� Fazendo � � − �ê � = � � , temos: ��(�) = � �
� ê(�)é a solução aproximada de �� � = � �
� Nova aproximação de x: �(�) = �(�) + ê(�) + ê(�)
� E assim sucessivamente...
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Processo de Correção Residual
� O processo de refinamento pode ser repetido
calculando-se �(�), �(�), �(�), ... para o erro ir se tornando cada vez menor.
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Método de Decomposição LU
� Seja o sistema Ax = b
� No Método de Decomposição LU a matriz A é decomposta em duas matrizes L e U.
� L: matriz triangular inferior
� U: matriz triangular superior com os elementos da diagonal principal iguais a 1.
� Logo, LUx = b.
� Ou Ux = y & Ly = b.
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Exemplo
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Exemplo
� Logo, x1= -21/5 e x2=-29/10
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Pergunta:
Como calcular as matrizes L e U?
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Representação de L & U
� “A decomposição A = LU existirá e será única se as condições do Teorema 3.1 forem satisfeitas.”
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Teorema 3.1
� A demonstração deste teorema pode ser vista em [4].
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Obtendo L e U
� Como calculamos o produto de duas matrizes?
� Exemplo 3x3
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Obtendo L e U
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Obtendo L e U
� Passo 1: Se j=1, min{i, j}=1
� Os elementos da 1ª coluna de L são iguais aos da 1ª coluna de A.
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Passo 1
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Obtendo L e U
� Passo 2: Se i=1, min{i, j}=1
� Os elementos da primeira linha de U são a razão dos elementos da primeira linha de A por l11.
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Passo 2
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Obtendo L e U
� Passo 3: Se j=2, i≥j=2 , min{i, j}=2
� Definimos a segunda coluna de L
� ai2:conhecido, pois é elemento de A
� li1:conhecido, pois é elemento da primeira coluna de L
� u12:conhecido, pois é elemento da primeira linha de U (passo 2)
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Passo 3
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Obtendo L e U
� Passo 4: se i=2, j>i=2 ; min{i, j}=2
� Definimos a segunda linha de U
� a2j: conhecido, pois vem da matriz A
� l21: conhecido do passo anterior
� u1j: conhecido do passo 2
� l22: conhecido do passo anterior
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Passo 4
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Passo 5
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Obtendo L e U
� Generalizando...
� Na seguinte ordem: li1, u1j ,li2 ,u2j,...
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Exemplo 3.4
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Exemplo 3.4
� 1ª coluna de L
� 1ª linha de U
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Exemplo 3.4
� 2ª coluna de L
� 2ª linha de U
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Exemplo 3.4
� 3ª coluna de L
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Exemplo 3.4
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Comentário sobre o método:
� “Este método é particularmente muito importante quando o usuário tem muitos sistemas de equações lineares com os mesmos coeficientes das variáveis, mudando apenas os valores do vetor independente. Isto se deve ao fato de que não é necessário repetir a decomposição LU já realizada.”
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Exercício
� Resolva o seguinte sistema utilizando o método de decomposição LU
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Bibliografia
� [1] Silva, Zanoni; Santos, José Dias. Métodos
Numéricos, 3ª Edição. Universitária, Recife, 2010.
� [2] Notas de aula do prof. Divanilson Campelo
� [3] Ruggiero, Márcia; Lopes, Vera. Cálculo
Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais,
2ª Edição. Pearson. São Paulo, 1996.
� [4] G.H. Gulob; C.F. Van Loan. Matrix
Computations. Lhon Hopkins, Baltimore, 2ª
edição, 1989.
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