35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.
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/35
Control Inteligente
Modelado con sistemas fuzzy
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/35
Contenido
2
Aproximaciones para la construcción de modelos
Aproximaciones para la construcción de modelos Fuzzy
Un procedimiento: modelado de caja gris
Ajuste de funciones con modelos fuzzy
Desarrollo de modelos dinamicos a partir de datos
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/353
APROXIMACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS
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/354
Construccion de sistemas Fuzzy
Fuentes de conocimiento
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/355
1. Consulta a expertos humanos
Historicamente, el primer metodo para desarrollar un sistema fuzzy.
Desventaja: Falta de un metodo sistematico para diseñar un sistema fuzzy usando el conocimiento humano
datos linguisticos
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/356
2. Modelado por observacion
Aprendizaje a partir de ejemplos.
El modelo se construye usando los datos de entrada-salida.
datos numericos
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/357
2. Metodos de optimizacion automaticos
El diseño del sistema fuzzy es un problema de busqueda y optimizacion
Metodos: Algoritmos Geneticos, Programacion Genetica, etc.
El problema de optimizacion busca la mejor solucion (el sistema fuzzy) que maximiza una funcion de adaptacion
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/358
El modelado fuzzy
El sistema fuzzy debera reproducir la conducta del sistema a modelar
El sistema fuzzy se basa en el conocimiento previo de la conducta del sistema a modelar
El problema:
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/359
Cuando y por que aplicar sistemas fuzzy
Conocimiento linguistico estructurado disponible
Modelo matematico desconocido o imposible de obtener
Proceso substancialmente no lineal
Falta de informacion precisa de los sensores
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/3510
Cuando y por que aplicar sistemas fuzzy
Capacidades de extrapolacion.
Captura de ciertas caracteristicas no-estructurales del sistema.
Validacion del modelo basada en expertos humanos.
En los niveles mas altos de la jerarquia de los sistemas de control
En procesos de toma de decision genericos
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/3511
Ejemplos de modelos fuzzy
Modelo fuzzy:
» Obtener el modelo de una ducha
Controlador fuzzy:
» Remplazar el operador humano que regula y controla una ducha
Sistema experto:
» El sistema objetivo, el diagnostico medico
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/3512
APROXIMACIONES PARA LA CONSTRUCCIÓN DE MODELOS FUZZY
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/3513
Modelado neuro-difuso
1. Modelado neuro-difuso
El conocimiento experto se traduce en una colección de reglas
La sintonia fina de los parámetros se hace usando los datos disponibles.
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/3514
Extraccion de reglas
2. Extraccion de reglas
El modelo se construye usando los datos de entrada-salida
Se espera que las reglas extraídas proporcionen una interpretación a posteriori de la conducta del sistema
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/3515
Extraccion de reglas
2. Extracion de reglas
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/3516
Integración de conocimiento y datos
¿Otra aproximacion para construir un modelo fuzzy para una aplicación especifica?
Mediante la integración de conocimiento y datos
Hibrido entre la aproximacion basada en conocimiento y la basada en datos
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/3517
UN PROCEDIMIENTO: INTEGRACION DE CONOCIMIENTO Y DATOS
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/3518
Obtencion del modelo fuzzy
Paso 1: Definicion del problema
» Seleccion de los propositos del modelo
» Seleccion de las variables de entrada y salida
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/3519
Obtencion del modelo fuzzy
Paso 2: Identificacion de la estructura superficial
» Seleccionar el tipo de sistema fuzzy especifico (Mamdani, Sugeno)
» Determinar el numero de terminos asociados con cada variable de entrada y salida
» Obtener la base de reglas que describe la conducta del sistema
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/3520
Obtencion del modelo fuzzy
Paso 3: Identificacion de la estructura profunda
» Determinar el significado cada termino linguistico seleccionando sus MFs. (Seleccionar una familia apropiada de MFs parametrizadas)
» Consultar a los expertos familiarizados con el sistema para determinar los parametros de las MFs
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/3521
Obtencion del modelo fuzzy
Paso 4: Identificacion de los parametros
» Determinar restricciones en los parametros a partir del conocimiento previo del sistema
» Sintonia de los parametros de las MFs usando tecnicas de optimizacion y regresion. (Se asumen unos datos de entrada-salida disponibles)
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Obtencion del modelo fuzzy
Paso 5: Validacion del modelo
Paso 6. Implementacion y prueba
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AJUSTE DE FUNCIONES CON MODELOS FUZZY
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Ajuste de funciones a datos
El procedimiento estandar del ajuste de curvas da como resultado una solucion mas o menos aceptable
Solucion
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/3525
Modelo fuzzy para el ajuste
Sistema desconocido
Sistema fuzzy
y
y*
x1
xn
. . .
Dados unos pares de datos de entrada-salida de la forma
Construir un sistema fuzzy que reproduzca los pares de entrada-salida dados
(x1, ..., xn; y), (datos de entrenamiento)
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/3526
Ajuste Fuzzy de funciones
Los datos de entrada pertenecen a subespacios o clases
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/3527
Ajuste Fuzzy de funciones
Los datos de entrada pertenecen a subespacios o clases
![Page 28: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/28.jpg)
/3528
Granularidad baja en las reglas fuzzy
Menos reglas – Regiones mas grandes, y una aproximacion pobre
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/3529
Granularidad alta en las reglas fuzzy
Mas reglas – Regiones mas pequeñas, y mejor la aproximacion
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/3530
El dilema que se presenta
Situacion: Existe un compromiso entre:
» Menos reglas: la precision de la aproximacion decrece
– Imprecision e incertidumbre– Bajo costo de la solucion, tratabilidad y robustez
» Mas reglas: aumenta el costo computacional
– Mayor complejidad
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/3531
Ejemplo: modelado de dos funciones
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/3532
Ejemplo: modelado de dos funciones
Tres grandes regiones rectangulares definen tres reglas
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/3533
DESARROLLO DE MODELOS DINAMICOS A PARTIR DE DATOS
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/3534
¿Qué es un Sistema dinamico?
Input u(t) Output y(t)
System
ˆ( ) ( ( ), ( 1),..., ( ), ( 1), ( 2),..., ( ))y t f y t y t y t n u t u t u t m
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/3535
El modelo ARX
En el analisis de los sistemas dinamicos, la variable independiente es a menudo el tiempo (k)
» A menudo se usa el modelo ARX (AutoRegressive with eXogenous input model) donde
1 11 1P My k a y k a y k P b u k b u k M
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/3536
El modelo ARX
( ) 1 , , , 1 , ,T
k y k y k P u k u k M
1 1, , , , ,T
P Ma a b b
Definiendo
El vector de regresion
El vector de parametros
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/3537
El modelo ARX como un regresor lineal
La relacion de entrada-salida puede tomar la forma
» donde
vector de regresion
vector de parametros a estimar
( ) ( )Ty k k
( )k
MD p
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/3538
Estimacion del error de prediccion
El problema
» Asuma los datos de entrada-salida
» Construir el predictor
» Tal que minimiza
1( ), ( )
N
ku k y k
ˆ | 1, Ty k k k
Tk y k k Error de prediccion
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/3539
Estimacion del error de prediccion
Que es el criterio de los minimos cuadrados
2
1
1( ) ( ) ( )
NT
Nk
V y k kN
2
1
1 N
Nk
V kN
El modelo se ajusta a los datos para minimizar la funcion de criterio
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/3540
Estimacion del error de prediccion
Solucion
» Equacion Normal
» Estimados
1 1
1 1N NT
Nk k
k k k y kN N
1
1 1
ˆ arg min ( ) ( ) ( ) ( ) ( )N N
LS TN N
k n
V k k k y k
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/3541
Estimacion del error de prediccion
1ˆ TN y
En la forma matricial, la solucion es la formula estandar de los minimos cuadrados lineal
1
NT
k
k k
![Page 42: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/42.jpg)
/3542
Ejemplo: Modelado del nivel de un tanque
![Page 43: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/43.jpg)
/3543
Modelado del nivel de un tanque
![Page 44: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/44.jpg)
/3544
Modelado del nivel de un tanque
Proposito de la identificacion
» Explicar cómo el voltaje u(t) (la entrada) afecta el nivel del agua h(t) (la salida) del tanque
Datos experimetales
![Page 45: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/45.jpg)
/3545
Un primer intento de identificacion plausible es tratar con un simple modelo de regresion lineal
» Los parametros pueden ser estimados facilmente usando minimos cuadrados lineal, resultando en
Modelado con un ARX simple
1 2 3ˆ( 1) ( 1) ( 1)h t t h t u t
1 0.9063 2 1.2064 3 5.1611
![Page 46: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/46.jpg)
/3546
Resultados con el modelo ARX
» El nivel de agua simulado sigue al nivel verdadero pero a niveles cercanos a cero el modelo lineal produce niveles negativos.
niveles negativos
![Page 47: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/47.jpg)
/3547
Modelado semi-físico
La ecuacion del modelo se basa en la conservacion dinamica de la masa
– La acumulacion de masa en el tanque es igual a:
el flujo de masa hacia el tanque
el flujo de salida de masa
menos
i o
dhA q q
dt
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/3548
Modelado semi-físico
En tanto que el flujo de entrada es proporcional a u(t), el flujo de salida puede ser aproximado usando la ley de Bernoulli
» Los parametros pueden ser estimados facilmente usando minimos cuadrados lineal, resultando en
1 2 3 4ˆ( 1) ( 1) 1 ( 1)h t t h t h t u t
1 0.9634
3 1.2297
2 0.4571
4 4.4617
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/3549
Resultados del modelado semi-físico
El error RMS de este modelo es menor y mucho mas importante ninguna salida simulada es negativa lo cual indica que el modelo es fisicamente razonable
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/3550
Hacia el modelado fuzzy
Comparando el modelo ARX con el modelo semi-físico vemos que este:
» da una respuesta fisicamente razonable
» se comporta mejor, excepto a niveles mayores
Sin embargo, no existe garantia que las salidas del modelo sean físicamente razonables para otros valores de entrada.
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/3551
Hacia el modelado fuzzy
¿Qué conocemos del proceso?
» Primero que todo que, a flujos de entrada mayores el nivel de liquido aumenta. Es decir, la respuesta en estado estable es monotonica creciente
» Segundo, los datos de la entrada varian entre 3.5 y 7.5 V., lo cual indica que siempre existe un flujo a traves de tanque.
– Aunque los datos de estimacion sean de alta calidad presenta ciertos vacios. Un buen modelo deberia estar equipado con capacidad de extrapolacion (tanque vacio)
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/3552
Modelado fuzzy La entrada el modelo fuzzy:
» Los modelos ARX y semi-fisico estudiados indican que u(t – 1) y h(t – 1) son señales de regresion utiles
Las variables linguisticas
» Deseando un modelo de complejidad baja es importante describir cada variable lingüística con pocos valores linguisticos construccion de las reglas
La base de reglas
» Tomando como punto de partida el modelo ARX y notando su buen comportamiento a niveles altos, es razonable poner mayor esfuerzo en donde es bajo
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/3553
Estructura del modelo fuzzy
Modelo singleton fuzzy
1u t
1h t h t
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/3554
El modelo singleton
Recordemos la expresion para la salida del modelo singleton
Es un modelo lineal en bi
1
K
i ii
y x b
1, ,T
Kb b ( ) ( )Ty k k
![Page 55: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/55.jpg)
/3555
Estimacion de los parametros
Para la estimacion de los parametros del consecuente un metodo posible es el metodo de los minimos cuadrados lineales
¿Cómo estimar los parametros del antecedente?
Algoritmos de optimizacion
![Page 56: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/56.jpg)
/3556
Fuentes J.-S. Roger Jang, Slides for Fuzzy Sets, Ch. 2 of Neuro-Fuzzy
and Soft Computing. CS Dept., Tsing Hua Univ., Taiwan.
J.-S. Roger Jang and C-T Sung, Neuro-Fuzzy Modeling and Control. Proceedings of the IEEE, March 1995.
Robert Babuska. Fuzzy and neural control. DISC Course Lecture Notes (October 2001)
Robert Babuska. Course Fuzzy and Neural Control, 2001/2002.
![Page 57: 35 Control Inteligente Modelado con sistemas fuzzy.](https://reader036.fdocument.pub/reader036/viewer/2022062315/5665b4a11a28abb57c92cb3d/html5/thumbnails/57.jpg)
/3557
Fuentes R. Babuska, H.B. Verbruggen, H. Hellendoorn, Promising
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